第08讲 椭圆及其性质【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第08讲椭圆及其性质【人教A版2019】·模块一椭圆的定义和标准方程·模块二椭圆的几何性质·模块三课后作业模块一模块一椭圆的定义和标准方程1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.2．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：椭圆在坐标

系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系3．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【考点1曲线方程与椭圆】【例1.1】（2023春·四川遂宁·高二校考期中）如果方程kx2+y2=2表示焦点在A．1,+∞ B．1,2 C．12,1【例1.2】（2023春·江西景德镇·高一校考期中）方程x2m+A．m>32且m≠3 B．m>4 C【变式1.1】（2023春·广东·高二统考阶段练习）设0°<α<90°，方程x2A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）若方程x29-k+yA．k∈1,9 B．椭圆CC．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5 D．若椭圆C的焦点在x【考点2椭圆的定义】【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知点A，B是椭圆C:x29+y24=1上关于原点对称的两点，F1，A．1 B．2 C．4 D．5【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆x24+y22=1上的一点，F1，A．12 B．22 C．1 D【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x225+y216=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，BA．10 B．15 C．20 D．25【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）P为椭圆x26+y22=1上一点，曲线|x|2+|y|=1与坐标轴的交点为A，BA．7813 B．813 C．219【考点3椭圆方程的求解】【例3.1】（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知椭圆C的一个焦点为1,0，且过点0,3，则椭圆C的标准方程为（

A．x22+C．x23+【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､A．x24+C．x29+【变式3.1】（2023·高二课时练习）已知F1 ， F2分别是椭圆C ：x2a2+y2b2=1 a>A．x24+C．x24+【变式3.2】（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为（

）A．x212+y2C．x236【考点4椭圆中的焦点三角形问题】【例4.1】（2023秋·内蒙古乌兰察布·高二校考期末）椭圆x24+y23=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为A．6 B．8 C．10 D．12【例4.2】（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线A．23 B．13 C．4 D．【变式4.1】（2023春·江苏镇江·高二校考期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2A．4 B．8 C．16 D．32【变式4.2】（2023春·四川德阳·高二校考阶段练习）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点为F1,A．5+2 B．C．-5-2模块二模块二椭圆的几何性质1．椭圆的范围设椭圆的标准方程为(a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．椭圆的对称性(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.3．椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆的标准方程(a>b>0)为例.

(1)顶点

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.(2)长轴、短轴线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0<e<1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.【考点5利用椭圆的几何性质求标准方程】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为（

A．x24+C．x236+y2【例5.2】（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2A．x28+y24=1 B．【变式5.1】（2023·全国·高二专题练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（

）A．x281+C．x272+【变式5.2】（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（aA．x212+y216=1 B．【考点6求椭圆的离心率或其取值范围】【例6.1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>bA．34 B．23 C．53【例6.2】（2023秋·高二课时练习）已知两定点A(-2,0)和B(2,0)，动点P(x,y)在直线l:y=xA．2613 B．C．21313 D【变式6.1】（2023·四川广安·四川省校考模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，广安市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为3的圆，圆心到伞柄底端距离为3，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，广安的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（

）A．3-1 B．2-1 C．【变式6.2】（2023·重庆万州·重庆市校考模拟预测）已知点Mx1,y1，Nx2,y2x1≠A．14,1 B．22,1 C．【考点7由椭圆的几何性质求参数】【例7.1】（2023春·山东菏泽·高三校考开学考试）设椭圆C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 D【例7.2】（2023·全国·高二专题练习）设椭圆x2m+y2n=1m>0,n>0的离心率为eA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7.1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x2+y2m=1(m>0)的焦点在A．2 B．1 C．14 D．【变式7.2】（2023·高二课时练习）设F1，F2为椭圆C：y2+x2m2=1（0<m<1A．(0,12]C．(0,22]【考点8椭圆中的最值问题】【例8.1】（2023·全国·高二专题练习）已知点P为椭圆C:x24+y23=1A．2 B．3 C．23 D．【例8.2】（2023·全国·高二课堂例题）已知P为椭圆x225+y216=1上一点，M，N分别是圆xA．7,13 B．10,15 C．10,13 D．7,15【变式8.1】（2023·全国·高二专题练习）已知F1,F2分别为椭圆C:x2A．64 B．16 C．8 D．4【变式8.2】（2023春·广东汕头·高二统考期末）已知椭圆方程x24+y23=1,F是其左焦点，点A1,1是椭圆内一点，点P是椭圆上任意一点，若PAA．43 B．4 C．8 D．模块三模块三课后作业1．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线C:x24a+y23a+2=1，则A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高二课堂例题）若点Mx,y满足方程x2+A．x236+y232=1 B．3．（2023·全国·高二专题练习）已知△PQF的顶点P,Q在椭圆x216+y212A．12 B．43 C．16 D．4．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，且经过点P2,3，同时PF1A．x28＋y26＝1 B．xC．x24＋y22＝1 D．x5．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：x2a+1+y2aA．x2+y2=19 B．x26．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）点P为椭圆x28+y24=1上一点，曲线x2+y=1与坐标轴的交点为A，B，CA．223 B．89 C．27．（2023春·北京·高二校考期中）已知点P是椭圆x225+y216=1上一动点，Q是圆(A．4 B．5 C．6 D．78．（2023·全国·高二专题练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（

）A．2-3 B．2-1 C．39．（2023·重庆·重庆校考模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，平行四边形OACB的三个顶点A，B，C在椭圆E上，若直线ABA．x28+C．x24+10．（2023春·重庆沙坪坝·高二校考阶段练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆A．53,1 B．22,10411．（2023秋·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为-4,0和4,0，且椭圆经过点5,0(2)焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0；(3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M3,212．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆