第一章 直线与方程（知识归纳+题型突破）（解析版）

第一章直线与方程（知识归纳+题型突破）1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式．4．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．5．会利用直线的点斜式方程与斜截式解决有关问题．6．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式．7．了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围．8．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．9．掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．10．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．11．能应用两条直线平行或垂直解决有关问题．12．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．13．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．14．探索并掌握平面上两点间的距离公式．1．直线的斜率对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线l的斜率公式是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．(1)斜率公式不适用于直线与x轴垂直(x1＝x2)的情况，在使用斜率公式时，若两点的横坐标含有参数，则要注意分类讨论．(2)直线l上P，Q两点的选取是任意的，即P，Q无论怎样选取都不会影响斜率k的最终结果．(3)P，Q两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．(4)若y1＝y2，x1≠x2，则直线与x轴平行或重合，斜率k＝0．2．直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0．因此，直线的倾斜角α的取值范围为{α|0≤α＜π}3．直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系直线情况垂直于y轴由左向右上升垂直于x轴由左向右下降图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0，且随着α的增大而增大不存在k<0，且随着α的增大而增大4．直线的点斜式方程名称点斜式方程已知条件直线l经过点P1(x1，y1)，且斜率为k示意图方程形式y－y1＝k(x－x1)适用条件斜率存在(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x1，y1)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程．(2)方程y－y1＝k(x－x1)与方程k＝eq\f(y－y1,x－x1)不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x1，y1)的一条直线．(3)当k取任意实数时，方程y－y1＝k(x－x1)表示恒过定点(x1，y1)的无数条直线．5．直线的斜截式方程1．直线l的截距的定义(1)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．(2)直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距．6．直线的斜截式方程名称斜截式方程已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b示意图方程形式y＝kx＋b适用条件斜率存在斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．7．直线的两点式方程名称两点式方程已知条件经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)示意图方程形式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)适用条件斜率存在且不为零8．直线的截距式方程名称截距式方程已知条件直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0示意图方程形式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适应条件斜率存在且不为零，不过原点对直线的截距式方程的理解及应用(1)直线的截距式方程是直线方程的两点式的特殊情况，即直线经过的两点是直线与坐标轴的交点．(2)利用直线的截距式方程的前提条件是a≠0且b≠0(即ab≠0)，即当直线经过原点或与坐标轴垂直时，则不可用截距式表示．9．直线的一般式方程(1)概念关于x和y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．(2)几何意义①当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，它表示斜率为－eq\f(A,B)，在y轴上的截距为－eq\f(C,B)的直线．②当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－eq\f(C,A)，它表示垂直于x轴的直线．10．直线方程的五种形式的比较名称方程形式常数的几何意义适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上一点，k是斜率不垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直x轴和y轴截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a≠0，b≠0)a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)A，B，C为系数任何情况(1)直线的一般式方程与其他形式方程之间可以相互转化，直线方程的最终结果一般用一般式方程表示．(2)方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是A，B不同时为0，即A2＋B2≠0．(3)直线的一般式方程看似含有待定系数A，B，C，实际上只需求出－eq\f(A,B)，－eq\f(C,B)(B≠0)就可以确定直线的方程．(4)若题中无特殊要求，则把所求直线化成一般式时，有如下约定：①一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列；②x项的系数为正；③x，y的系数和常数项一般互质，若有除1之外的公约数需要化简约分．11．两条直线平行类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示(1)利用“k1＝k2⇒l1∥l2”判定两条直线平行的前提条件是这两条直线的斜率都存在，且这两条直线不重合．反之，当l1∥l2时，未必有k1＝k2.(2)设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B1＝B2＝0，,A1C2－A2C1≠0.))12．两直线的交点设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．13．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行14．过两条直线交点的直线系方程若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程．15．两点间的距离平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离OP＝eq\r(x2＋y2).16．中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))17．点到直线的距离公式定义点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))18．两条平行直线间的距离定义两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长求法两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)间的距离为d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))题型一直线的斜率【例1】(1)若过点A(4，m)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则m＝________．(2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，则k的值为______．(3)已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，则直线l′的斜率为________．【答案】(1)－5(2)6(3)－eq\f(8＋5\r(3),11)【解析】(1)由直线的倾斜角为135°，得斜率为k＝tan135°＝－1．再由斜率公式，得eq\f(－3－m,2－4)＝－1，解得m＝－5．(2)∵点A，B，C在同一条直线上，且三点的横坐标均不相等，则kAB＝eq\f(3－－3,4－2)＝3存在，∴kAB＝kBC，即3＝eq\f(k－3,5－4),解得k＝6．设直线l，l′的倾斜角分别为α，β，则tanα＝2，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，所以β＝α＋60°，所以直线l′的斜率为k＝tan(α＋60°)＝eq\f(tanα＋tan60°,1－tanαtan60°)＝eq\f(2＋\r(3),1－2\r(3))＝－eq\f(8＋5\r(3),11)．思维升华求直线斜率的方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则该直线的斜率k＝tanα．(2)公式法：已知直线上任意两点的坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等，则直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．巩固训练1．已知点A(1，eq\r(3))，B(－1,3eq\r(3))，则直线AB的倾斜角为()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3) D．eq\f(5π,6)【答案】A【解析】设直线AB的倾斜角为α，则直线AB的斜率k＝eq\f(3\r(3)－\r(3),－1－1)＝－eq\r(3)，即tanα＝－eq\r(3)，因为α∈[0，π)，可以α＝eq\f(2π,3)．2．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．【答案】4【解析】依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1．由kAC＝3kBC，得eq\f(－m＋3－4,m－－1)＝3·eq\f(m－1－4,2－－1)，解得m＝4．3．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(其中a·b≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________．【答案】eq\f(1,3)【解析】由于A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，所以eq\f(0－3,a－3)＝eq\f(b－3,0－3)，所以ab＝3a＋3b．即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)．题型二直线的倾斜角【例2】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α＋45°或α－135°【答案】D【解析】由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°．而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．思维升华求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出示意图，找准倾斜角，同时还要根据旋转方向和旋转大小进行分类讨论．巩固训练1．已知直线l的倾斜角为α，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为()A．α B．90°－αC．180°－α D．90°＋α【答案】D【解析】C根据倾斜角的定义，并结合图形(图略)知，所求直线的倾斜角为180°－α．2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________．【答案】135°【解析】如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°．题型三直线的点斜式方程【例3】根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(－4,3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°；(3)过点C(－1,2)，且与y轴平行；(4)过点D(2,1)和E(3，－4)．【解析】(1)所求直线的点斜式方程为y－3＝3[x－(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]．(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1．∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)，∴斜率k＝eq\f(－4－1,3－2)＝－5．故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2)．思维升华求直线的点斜式方程的思路[提醒]只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．巩固训练1．(多选)已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1,2)，则在直线上的点是()A．(0,1) B．(－2，－1)C．(3,3) D．(3,2)【答案】AB【解析】直线的斜率k＝tan45°＝1，方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，将A、B、C、D中各点代入知，A、B正确．2．已知直线l过点P(eq\r(3)，－1)，并且倾斜角是直线y＝eq\r(3)x的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．【解析】∵直线y＝eq\r(3)x的斜率为eq\r(3)，∴直线y＝eq\r(3)x的倾斜角为60°，∵直线l的倾斜角是直线y＝eq\r(3)x的倾斜角的2倍，∴直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan120°＝－eq\r(3)，又直线l过点P(eq\r(3)，－1)，∴直线l的方程为y－(－1)＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即y＋1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))．题型四直线的斜截式方程【例4】写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2．【解析】(1)由直线的斜截式方程可知，所求方程为y＝3x－3．(2)∵k＝tan60°＝eq\r(3)，∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋5．(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)．∴k＝eq\f(－2－0,0－4)＝eq\f(1,2)，∴所求直线的斜截式方程为y＝eq\f(1,2)x－2．思维升华直线的斜截式方程的求解策略(1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可．(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．巩固训练1．已知直线的倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2，求直线的斜截式方程；【解析】因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得直线方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－2．2．已知直线的倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3，求直线的斜截式方程．【解析】因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝eq\r(3)．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3．题型五直线的两点式方程【例5】已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求边AB所在直线的方程；(2)求边AC上的中线BD所在直线的方程．【解析】(1)由两点式得边AB所在直线的方程为eq\f(y－4,6－4)＝eq\f(x－0,－2－0)，即x＋y－4＝0．(2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)，由两点式，得BD所在直线的方程为eq\f(y－2,6－2)＝eq\f(x－－4,－2－－4)，即2x－y＋10＝0．思维升华求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)差的顺序性：常会将x，y或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[提醒]已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．巩固训练1．经过点(3,5)，(－1,4)的直线方程为____________．【答案】x－4y＋17＝0【解析】代入方程的两点式得eq\f(y－5,4－5)＝eq\f(x－3,－1－3)，整理得x－4y＋17＝0．2．已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．【解析】由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为eq\f(y－0,1－0)＝eq\f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0．综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0．题型六直线的截距式方程【例6】求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．【解析】①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1．又l过点A(3,4)，所以eq\f(3,a)＋eq\f(4,－a)＝1，解得a＝－1．所以直线l的方程为eq\f(x,－1)＋eq\f(y,1)＝1，即x－y＋1＝0．②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq\f(4,3)，直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，即4x－3y＝0．综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0．思维升华应用直线的截距式方程的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意直线的截距式方程的逆向应用．巩固训练1．求过点A(－3，－4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．【解析】①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，又l过点A(－3，－4)，所以eq\f(－3,a)＋eq\f(－4,－a)＝1，解得a＝1．所以直线l的方程为eq\f(x,1)＋eq\f(y,－1)＝1，即x－y－1＝0．②当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点A(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，解得k＝eq\f(4,3)，所以直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，即4x－3y＝0．综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0．2．求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．【解析】①当截距不为0时，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，又l过点(3,4)，所以eq\f(3,a)＋eq\f(4,a)＝1，解得a＝7，所以直线l的方程为x＋y－7＝0．②当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq\f(4,3)，所以直线l的方程为y＝eq\f(4,3)x，即4x－3y＝0．综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0．题型七直线的一般式方程【例7】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1．【解析】(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq\r(3)(x－5)，即eq\r(3)x－y－5eq\r(3)＋3＝0．(2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0．(3)由两点式，得直线方程为eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，即2x＋y－3＝0．(4)由截距式，得直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，即x＋3y＋3＝0．思维升华关于直线的一般式方程与其他形式的方程一般情况下，直线方程的一般式与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化，但是最常用的是一般式化为斜截式，可以得出斜率、纵截距，用于作图或转化解题．巩固训练1．已知直线l经过点A(2,1)，B(3,3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．【解析】因为kl＝eq\f(3－1,3－2)＝2，所以点斜式方程为y－1＝2(x－2)，斜截式为y＝2x－3，一般式为2x－y－3＝0，直线l在x轴上的截距为eq\f(3,2)，在y轴上的截距为－3．2．(多选)直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出()A．点斜式 B．斜截式C．截距式 D．一般式【答案】ABD题型八由截距、斜率的值求参数【例8】设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m的值．(1)l在x轴上的截距是－4；(2)l的斜率为eq\f(1,2).【解析】(1)令y＝0，得x＝eq\f(3,m－3)，由eq\f(3,m－3)＝－4，解得m＝eq\f(9,4).(2)直线l的斜率k＝－eq\f(m2－m－6,3m2＋5m－2)＝－eq\f(m－3,3m－1).由－eq\f(m－3,3m－1)＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(7,5).思维升华(1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距，可将其化为斜截式，求其在x轴上的截距，可令y＝0，解出x即为所求．(2)涉及字母参数时，注意分母为零的讨论．巩固训练1．设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，若直线l的倾斜角为45°，试求m的值．【解析】由k＝－eq\f(m－3,3m－1)＝tan45°，即3－m＝3m－1，得m＝1.2．设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，若直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值．【解析】当x＝0时，y＝eq\f(3m＋6,3m2＋5m－2)＝eq\f(3,3m－1)，当y＝0时，x＝eq\f(3,m－3)，则eq\f(3,3m－1)＝eq\f(3,m－3)，即m＝－1.题型九判断两条直线平行或垂直【例9】判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直：(1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0；(2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0；(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．【解析】(1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2.(2)因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合．(3)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，故l1⊥l2.(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，则l2∥x轴，故l1⊥l2.思维升华1．判断两条直线平行的方法(1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝k2，,b1≠b2))⇒l1∥l2.②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇒l1∥l2.(2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．2．判断两直线垂直的方法法一：法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)．则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.巩固训练判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直：(1)l1：4x＋2y－1＝0，l2：2x－y－2＝0；(2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0；(3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0.【解析】(1)因为4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2不平行．因为4×2＋2×(－1)≠0，所以l1，l2不垂直．(2)因为2×(－2)－3×(－3)≠0，所以l1，l2不平行．因为2×3＋(－3)×(－2)≠0，所以l1与l2不垂直．(3)因为eq\f(2,－4)＝eq\f(－3,6)＝eq\f(4,－8)，所以l1，l2重合，即l1，l2不平行也不垂直．题型十求与已知直线平行或垂直的直线方程【例10】(1)求过点(－1,3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程；(2)求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程．【解析】(1)法一：∵l的方程可化为y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq\f(3,4).∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq\f(3,4).又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.法二：由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由题意可设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0.令x＝0，得y＝－eq\f(b,4)，即可设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(b,4)))；令y＝0，得x＝－eq\f(b,3)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)，0)).又∵△AOB周长为10，即OA＋OB＋AB＝10，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(b,4)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))2)＝10，解得b＝±10，故所求直线方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.思维升华1．根据平行关系求直线方程的方法(1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程．2．根据垂直关系求直线方程的方法(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－eq\f(1,k)x＋m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．(2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程．巩固训练1．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程．【解析】设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0.因为l1经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l1的方程为4x－3y－2＝0.2．求与直线5x＋6y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程．【解析】∵直线5x＋6y＋9＝0的斜率为－eq\f(5,6)，∴设所求直线方程为y＝－eq\f(5,6)x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝eq\f(6b,5).由题意，b>0，eq\f(6b,5)>0，∴eq\f(1,2)×b×eq\f(6b,5)＝15，∴b＝5，故所求直线方程为y＝－eq\f(5,6)x＋5，即5x＋6y－30＝0.题型十一求相交直线的交点坐标【例11】分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋3y－1＝0，l2：2x＋6y－2＝0；(3)l1：6x－2y＋3＝0，l2：3x－y＋2＝0.【解析】(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以交点坐标为(－1，－1)，所以l1与l2相交．(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－1＝0，①,2x＋6y－2＝0，②))①×2得2x＋6y－2＝0.所以①与②表示同一直线，故l1与l2重合．(3)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x－2y＋3＝0，①,3x－y＋2＝0，②))②×2－①得1＝0，矛盾，方程组无解，故两直线无公共点，l1与l2平行．思维升华两条直线相交的判定方法利用两直线方程组成的方程组解的个数来判断两直线的位置关系：当方程组无解时，两直线平行；当方程组仅有一组解时，两直线相交；当方程组有无数组解时，两直线重合．除此之外，还可以利用两直线的斜率来判断两直线是否相交：若两直线斜率都存在且斜率不相等，则两直线相交；若两直线一条斜率存在，另一条斜率不存在，则两直线相交．巩固训练1．已知直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a＋1)y＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，－\f(6,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(6,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，－\f(6,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(6,5)))【答案】B【解析】由两直线垂直得2a×1＋1×[－(a＋1)]＝0，解得a＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2＝0，,x－2y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(6,5).))∴这两条直线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(6,5))).2．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()A．k＞－eq\f(2,3) B．k＜2C．－eq\f(2,3)＜k＜2 D．k＜－eq\f(2,3)或k＞2【答案】C【解析】由直线l1，l2有交点，得k≠－2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k＋2，,y＝－2x＋4))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－k,k＋2)，,y＝\f(6k＋4,k＋2).))又交点在第一象限内，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－k,k＋2)＞0，,\f(6k＋4,k＋2)＞0，))解得－eq\f(2,3)＜k＜2.题型十二求过两条直线交点的直线方程【例12】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解析】法一：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))即l1与l2的交点坐标为(－1,2)．又由直线l3的斜率为eq\f(3,5)，得直线l的斜率为－eq\f(5,3)，则直线l的方程为y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0.又直线l过直线l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.法三：由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.其斜率为－eq\f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq\f(5,3)，解得λ＝eq\f(1,5)，则直线l的方程为5x＋3y－1＝0.思维升华求过两直线交点的直线方程的两种方法(1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程；(2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0表示，根据题意求出λ，化简即可．巩固训练求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．【解析】由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1.故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.题型十三直线过定点问题【例13】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程．求证：不论k取何实数，直线l都过定点，并求出这个定点的坐标．【解析】证明：法一：对于方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0，令k＝0，得x＋y＝0；令k＝1，得2x－2＝0.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,2x－2＝0，))得两直线的交点的坐标为(1，－1)．将(1，－1)代入直线l的方程的左边，得(k＋1)－(k－1)(－1)－2k＝0.这表明不论k取何实数，直线l都过定点(1，－1)．法二：整理直线l的方程，得x＋y＋k(x－y－2)＝0.令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))故不论k取何实数．直线l都过定点(1，－1)．思维升华证明直线过定点的方法要证明直线系中的直线过一定点，就是要证明它是一个共点的直线系．一般有两种方法．(1)特殊值法，利用“不论参数取何值方程都有解”，给参数赋予两个特殊值，得到直线系中的两条直线的方程，联立两方程解出的x，y的值即所求定点的坐标，再代入原方程验证即可．(2)将直线方程整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，从而将直线经过的定点转化为两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0，))求出交点坐标，即得所求的定点坐标．巩固训练1．当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，求使四边形面积最小时的a的值．【解析】由题意得，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))∴直线l1过定点B(2,2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4＝0，,y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))所以直线l2也过定点B(2,2)，如图所示，l1与y轴交于点A(0,2－a)，l2与x轴交于点C(a2＋2,0)．∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝eq\f(1,2)×(2－a)×2＋eq\f(1,2)×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4).∴当a＝eq\f(1,2)时，S四边形OABC取得最小值，最小值为eq\f(15,4)，故四边形OABC的面积最小时，a的值为eq\f(1,2).题型十四两点间距离公式及应用【例14】如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．【解析】法一：∵AB＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，AC＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又BC＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又AC＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，AB＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形．法三：∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(6，－4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(4,6)．∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝6×4－4×6＝0，∴AB⊥AC.又eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\r(62＋－42)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\r(42＋62)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰直角三角形．思维升华1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．通过平面内两点间距离公式的探索过程可以看到平面向量中向量的模的坐标计算公式就是平面内两点间的距离公式．3．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理．巩固训练1．已知点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为()A．41 B．eq\r(41)C.eq\r(39) D．39【答案】B【解析】设M(x，y)，由中点坐标公式得eq\f(x－2,2)＝1，eq\f(y＋5,2)＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)．则OM＝eq\r(42＋－52)＝eq\r(41).故选B.2．已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)．求证：△ABC为直角三角形．证明：法一：∵AB＝eq\r(5－12＋3－12)＝2eq\r(5)，AC＝eq\r(0－12＋3－12)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(5－02＋3－32)＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形．法二：∵kAB＝eq\f(3－1,5－1)＝eq\f(1,2)，kAC＝eq\f(3－1,0－1)＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形．法三：∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(4,2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1,2)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝4×(－1)＋2×2＝0，∴AB⊥AC.∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形．题型十五点到直线的距离公式及应用【例15】已知正方形中心的坐标为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0，))得正方形的中心的坐标为(－1,0)．设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由点(－1,0)到两直线l，l1的距离相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，解得c＝7或c＝－5(舍去)，∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线均与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0(a≠b)．∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－3＋b|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，解得a＝9，b＝－3或a＝－3，b＝9，∴另两边所在直线的方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.思维升华计算点到直线的距离的步骤整理将直线方程化为一般式，即Ax＋By＋C＝0代入将点P(x1，y1)的坐标及A，B，C的值代入公式d＝eq\f(|Ax1＋By1＋C|,\r(A2＋B2))计算得到d的值巩固训练求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且与点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－4＝0，,4x＋3y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－\f(2,3)，))即直线l过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(2,3))).①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．②当l与x轴不垂直时