高等代数课件：线性空间

1线性空间的基本概念2第五节线性空间维数、基与坐标3基变换与坐标变换4线性变换5线性变换的矩阵6子空间的直和定义：设V是一个非空集合，F为数域，对于任意的a,b

V,总有唯一的元素g

V与之对应，称g

为a与b的和，记作g=a+b，且一、线性空间的基本概念1.

线性空间对于任意的l

F

及任意的a

V

，总有唯一的元素d

V与之对应，称d为l与a的积，记作d=la，且则称V

为数域F

上的线性空间，称V

的元素为向量，称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。一、线性空间的基本概念1.

线性空间

2．线性空间中的向量不一定是有序数组．

3．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．说明

1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．一、线性空间的基本概念1.

线性空间

4、一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．

5、一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．一、线性空间的基本概念1.

线性空间定义加法：例1.实数域上全体

n维向量的集合定义数乘：一、线性空间的基本概念1.

线性空间例2实数域R上的全体m×n

矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成R上的线性空间，记作Rm×n∴

Rm×n是一个线性空间。一、线性空间的基本概念1.

线性空间对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。例3次数小于n的多项式的全体，记作P[x]n一、线性空间的基本概念1.

线性空间

对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间n次多项式的全体}0{][

01¹+++=aaxaxaxQn-1n-1n-1nL例4.][对运算不封闭xQn\一、线性空间的基本概念1.

线性空间例5

正弦函数的集合对于通常的函数加法及数与函数的乘法构成线性空间．是一个线性空间.一、线性空间的基本概念1.

线性空间例５在区间[a,b]上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的线性空间，记作C[a,b]。∴

C[a,b]是一个线性空间。一、线性空间的基本概念1.

线性空间例6正实数的全体R+

，在其中定义加法及乘数运算为验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间．一、线性空间的基本概念1.

线性空间有对任何中存在零元素,,1)3(++ÎRaR使有负元素,,)4(1+-+ÎÎ"RaRa证明一、线性空间的基本概念1.

线性空间所以对所定义的运算构成线性空间．一、线性空间的基本概念1.

线性空间思考：一、线性空间的基本概念1.

线性空间一、线性空间的基本概念1.

线性空间1．零元素是唯一的．证明假设是线性空间V中的两个零元素，由于所以则对任何，有一、线性空间的基本概念2.

线性空间的性质2．负元素是唯一的．证明假设有两个负元素与，那么则有向量的负元素记为一、线性空间的基本概念2.

线性空间的性质证明一、线性空间的基本概念2.

线性空间的性质4．如果，则或

.证明假设那么又同理可证：若则有一、线性空间的基本概念2.

线性空间的性质定义:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，

若对于V中的加法和数乘二种运算，W是数域F上的线性空间，则称W是V的子空间。定理:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，

若W对于V中的加法和数乘二种运算封闭，即则称W是V的子空间。一、线性空间的基本概念3.

子空间例7.实数域上

n维向量的集合例8.设A为m×n矩阵，向量的集合一、线性空间的基本概念3.

子空间例9.设V是数域F上的线性空间，V的子空间,记作一、线性空间的基本概念3.

子空间为W1与

W2

的和，记作W1+W2定义:设W1,W2

是线性空间V的子空间，称集合称集合为W1与

W2

的交，记作W1∩W2一、线性空间的基本概念3.

子空间定理:设W1,W2

是线性空间V的子空间，则W1+W2

与

W1∩W2都是V的子空间。称W1+W2为W1与

W2

的和空间，称W1∩W2为W1与

W2

的积空间。一、线性空间的基本概念3.

子空间例10.线性空间R3的子空间求Rx+Ry，Rx+Rxy

和Rx∩Rxy。一、线性空间的基本概念3.

子空间解(1)不构成子空间.因为对例11有一、线性空间的基本概念3.

子空间即对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意有于是一、线性空间的基本概念3.

子空间满足且一、线性空间的基本概念3.

子空间定义:设V是一个线性空间，a1,a2,…

an∈V

若(1)a1,a2,…an线性无关，

(2)a∈V,a可由a1,a2,…an线性表示，

a=

x1a1+

x2a2+…+xnan则称a1,a2,…

an为V的一组基，

称x1,x2,…,xn为a

在基a1,a2,…

an下的坐标，称n为V的维数，记作dimV=n。二、维数、基与坐标二、维数、基与坐标定理(维数公式):设V1,V2

是线性空间V的子空间，则推论：设V1,V2

是n维线性空间V的子空间，若则V1,V2

中必有非零的公共向量。例12设则是实数域R上的线性空间。二、维数、基与坐标自然基二、维数、基与坐标34例13求中的元素，在基下的坐标。二、维数、基与坐标解：设二、维数、基与坐标二、维数、基与坐标例14设(1)证明(2)求f

在这组基下的坐标。二、维数、基与坐标定义:设V是一个线性空间，a1,a2,…

an∈V，b1,b2,…

bn∈V为V的两组基，若【基变换公式】三、基变换与坐标变换的则

P称为由基到基过渡矩阵，其中三、基变换与坐标变换定理:设V是线性空间，a1,a2,…

an,b1,b2,…

bn

是V的两组基，P是由基a1,a2,…

an到b1,b2,…

bn

的过渡矩阵，则是由

x到

y的坐标变换公式，其中三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换例15设是R2×2中的两组基，求到基的过渡矩阵P

(1)由基(2)在基下的坐标.

三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换定义设V

为线性空间，V

上的变换T:V

→V若满足则称T

为

V

上的线性变换。四、线性变换例16.设T为R3上的线性变换，T:

R3→R3四、线性变换线性变换的性质：设T是V上的线性变换，则四、线性变换定义设T

为

V

上的线性变换，a1,a2,…,an为

V

的基五、线性变换的矩阵A

称为T在基a1,a2,…,an下的矩阵.A五、线性变换的矩阵例17.设T为上的线性变换，，求T在基下的矩阵.五、线性变换的矩阵解：五、线性变换的矩阵例18.设T为R3上的变换，下的矩阵.(2)求T在基(1)证明