2024-2025学年山东省泰安某高中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省泰安某高中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的一方向向量为(1,3)，则直线l的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°2.直线3x+y+2=0的倾斜角为(

)A.150° B.120° C.60° D.30°3.已知直线l：x−y+m=0(m>0)与圆C：x2+y2−2x−4y−3=0交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若△ABMA.1 B.2 C.3 D.44.已知数列{an}满足an=A.20202021 B.20182019 C.201920205.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a2=12且a1A.244 B.243 C.242 D.2416.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为线段BA.33 B.12 C.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为(

)A.3 B.32 C.5 D.8.设双曲线x2a2−y2=1的左、右焦点为F1、F2，渐近线方程为y=±12x，过FA.9 B.10 C.14 D.15二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导运算正确的是(

)A.[cos(−x)]′=sinx B.(xlnx)′=lnx−110.关于双曲线C：x24−A.该双曲线与双曲线y25−x24=1有相同的渐近线

B.过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A、B，若|AB|=5，则满足条件的直线只有一条

C.若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈(−511.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，N1A.若MN与平面ABCD所成的角为π4，则动点N所在的轨迹为直线

B.若三棱柱NAD−N1A1D1的侧面积为定值，则动点N所在的轨迹为椭圆

C.若D1N与AB所成的角为π3，则动点N所在的轨迹为双曲线

D.若点N到直线BB1与直线12.已知向量a=(1,x,2)，b=(2,2,0)，c(−1,0,2)，若a，b，c共面，则x=13.把△ABC放置在平面直角坐标系中，点A在直线BC的上方，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，且点A，E都在y轴上，直线AD的方程为3x−y+4=0,|AD|=23，直线AC的斜率为−3，则点C的坐标为______；直线AB在14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过其焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A，B两点(A在第一象限)，若|AF|=6，则抛物线C的方程为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°，AB//CD，AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱PC上动点．

(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；

(2)在线段PC上是否存在点M，使得直线AP与平面MBD所成角为30°？若存在，求出PMPC的值；若不存在，说明理由．16.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=1−an(n∈N∗)．

(1)求数列{an}17.(本小题12分)

已知圆C的圆心在直线x−y+2=0上，与直线x+3y−2=0相切于点(−1,3)．

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点(2,0)的直线与圆C相交于M，N两点，若18.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A(2,0)，过点B(−1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点(M,N异于点A)，当直线l与x轴垂直时，19.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−6,0)、F2(6,0)，△MF1F2的内切圆与直线F1F2相切于点D(4,0)，记点M的轨迹为C．

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=2上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BP，AQ.若直线AB参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.A

6.A

7.B

8.A

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.2

13.(1,1)

−2014.y215.解：(1)证明：因为AB/​/CD，AB=2CD=2BC=4，所以CD=BC=2，因为∠ABC=90°，所以∠BCD=90°,BD=22，

因为∠ABD=45°，AB=4，所以AD=AB2+BD2−2AB⋅BDcos∠ABD=22，

所以AD2+BD2=AB2，∠ADB=90°，AD⊥BD，

取AD中点O，连结PO，因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，

又面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO⊂面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD，

又AD⊥BD，PO∩AD=O，PO，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD，

又BD⊂平面BDM，所以平面MBD⊥平面PAD．

(2)取AB中点N，连结ON，则ON/​/BD，AD⊥ON，

以ON，OD，OP为正交基底建立如图所示坐标系，

A(0,−2,0),D(0,2,0),B(22,2,0),C(2,22,0),P(0,0,6)，

设PM=λPC，0≤λ≤1，则DM=DP+PM=DP+λPC=(0,−16.解：(1)由2Sn=1−an(n∈N∗)，可得2a1=2S1=1−a1，解得a1=13，

当n≥2时，由2Sn=1−an(n∈N∗)，可得2Sn−1=1−an−1，

两式相减可得2an=2Sn−2S17.解：(1)依题意，过点(−1,3)且垂直于直线x+3y−2=0的直线方程为y−3=3(x+1)，

则圆C的圆心C在直线y=3x+23上，由x−y+2=0y=3x+23，解得x=−2y=0，

即点C(−2,0)，因此圆C的半径r=(−2+1)2+(3)2=2，

所以圆C的标准方程为(x+2)2+y2=4．

(2)显然直线MN的斜率存在，设直线MN18.解：(1)因为椭圆C：x2a2+y2b2=1的右顶点A(2,0)，

所以a=2，

当直线l与x轴垂直时，且|MN|=2，

所以直线l经过点(−1,22)，

可得12+24b2=1，

解得b2=1，

则椭圆C的方程为x22+y2=1；

(2)易知直线l的斜率不为0，

不妨设直线l的方程为x=ty−1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x=ty−1x22+y2=1，消去x并整理得(t219.解：(1)因为点F1(−6,0)、F2(6,0)，△MF1F2的内切圆与直线F1F2相切于点D(4,0)，

所以|MF1|−|MF2|=|F1D|−|F2D|=10−2=8<|F1F2|=12，

因此根据双曲线的定义可知，点M的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线的右支，

设点M的轨迹C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，焦距为2c(c>0)，

所以|F1F2|=2c=12，|MF1