专题06 二次函数中的存在性问题专训（原卷版）

专题06二次函数中的存在性问题专训【题型目录】题型一二次函数中直角三角形的存在性问题题型二二次函数中等腰三角形的存在性问题题型三二次函数中等腰直角三角形的存在性问题题型四二次函数中特殊角度的存在性问题题型五二次函数中平行四边形的存在性问题题型六二次函数中矩形的存在性问题题型七二次函数中菱形的存在性问题题型八二次函数中正方形的存在性问题【经典例题一二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式：(2)证明：为直角三角形：(3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023·陕西西安·统考三模）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点，其中点坐标为，且．(1)求二次函数表达式；(2)抛物线上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)将抛物线沿y轴方向向上平移k个单位（），平移后抛物线的顶点为点P，且点P在x轴下方，是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．3．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．

(1)试求出点B的坐标．(2)分别求出直线和抛物线的解析式．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题二二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线与轴相交于点，，对称轴是，与轴相交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F．(1)求抛物线的解析式：(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值．【经典例题三二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）已知抛物线：的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点．(1)当时，判断的形状；(2)抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点．在轴右侧有一点，使得是等腰直角三角形，并且点在抛物线上，求此时抛物线的解析式．【变式训练】1．（2023·吉林·统考一模）如图，抛物线与轴交于，两点．直线过点且在第一象限与抛物线相交于点．(1)①求此抛物线的函数解析式；②当时，自变量的取值范围__________；(2)设点的横坐标为，作轴于．①当为等腰直角三角形时，点的纵坐标为________（用含的式子表示）；②在①题的条件下，求出点的坐标．2．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．

(1)求抛物线的表达式；(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023·陕西榆林·统考一模）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．

(1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题四二次函数中特殊角度的存在性问题】【例4】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知抛物线M交x轴于与两点，交y轴于点，点在抛物线上运动．(1)求出抛物线的解析式；(2)是否存在点（在上方），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，已知拋物线与轴交于点，，与轴交于点．点是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接，若，求点的坐标；(3)连接，求四边形面积的最大值．2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）综合与探究抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．已知点A的坐标为，点的坐标为，是线段上的一个动点，点从点出发沿方向向点A移动，运动速度为每秒2个单位长度，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，设点的运动时间为．(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标．(2)如图1，当时，作直线，是直线上方抛物线上一点，连接，，是抛物线对称轴上的一个动点．当的面积最大，且是等腰三角形时，请直接写出点的坐标．(3)如图2，连接，，是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．3．（2023·青海西宁·统考二模）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且顶点的坐标为，对称轴与直线交于点，与轴交于点，连接．

(1)求二次函数的解析式；(2)点在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点的坐标；(3)在二次函数图象上是否存在一点，使得？若存在，求出直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题五二次函数中平行四边形的存在性问题】【例5】（2023·陕西西安·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点．

(1)求点、、的坐标；(2)点在坐标平面内，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．连接，，．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，已知二次函数的图像经过，两点，顶点为．(1)求该二次函数的解析式和顶点的坐标(2)设图像的对称轴为，点是图像上一动点，当的面积为时，点关于的对称点为，能否在图像和上分别找到点，，使得以点、、、为顶点的是四边形为平行四边形?若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．3．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式．(2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标．(3)点是抛物线上的动点，在轴的正半轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．【经典例题六二次函数中矩形的存在性问题】【例6】（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．【变式训练】1．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求的最大值；(3)过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．2．（2023·山东泰安·校考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．

(1)求抛物线解析式，并直接写出直线的解析式；(2)点在此拋物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为______；(3)若点是第三象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，过点作交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(4)点在抛物线上，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题七二次函数中菱形的存在性问题】【例7】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，已知经过，两点的抛物线与轴交于点．(1)求此抛物线的解析式及点的坐标；(2)若线段上有一动点不与、重合，过点作轴交抛物线于点．①求当线段的长度最大时点M的坐标；②是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于，两点，其对称轴直线l与x轴交于点D．(1)求抛物线L的函数表达式．(2)将抛物线L向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出满足条件的点M的坐标．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标；(3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023秋·重庆南川·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题八二次函数中正方形的存在性问题】【例8】（2023·陕西西安·校考三模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知抛物线．(1)若抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标；(2)如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点C在对称轴的右侧），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形为正方形时，求B点的坐标．(3)若抛物线有两个相异的不动点a、b，且，求m的取值范围．2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与探究如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与x轴