高考数学（人教A版文科）一轮复习考点规范练46

考点规范练46双曲线基础巩固1.(2017全国Ⅱ,文5)若a>1,则双曲线y2=1的离心率的取值范围是()A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2)2.(2017辽宁抚顺重点校一模)当双曲线M:=1(2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±xC.y=±2x D.y=±x3.若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为e,一条渐近线的方程为y=x,则e=()A. B.C.2 D.4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.=1 B.=1C.y2=1 D.x2=15.设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1||PF2|)2=b23ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.6.已知双曲线=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A. B.2 C.3 D.7.若双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的离心率为.

8.已知双曲线E:=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.

9.设A,B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使=t,求t的值及点D的坐标.10.已知点M(2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM||PN|=2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.能力提升11.(2017天津,文5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1 B.=1C.y2=1 D.x2=112.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.213.若点P在曲线C1:=1上,点Q在曲线C2:(x5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ||PR|的最大值是.

14.已知双曲线C:x2y2=1及直线l:y=kx1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.15.如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论.高考预测16.如图所示的曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y24y4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.答案：1.C解析:由题意得e2==1+.因为a>1,所以1<1+<2.所以1<e<.故选C.2.C解析:由题意知,c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=1时,焦距2c取得最小值,则双曲线的方程为x2=1,其渐近线方程为y=±23.C解析:因为e=,双曲线=1的渐近线方程为y=±x,所以.又b=,所以,即为e2=2e,解得e=2(e=0舍去).4.D解析:由题意知,双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.因为该双曲线的渐近线与圆(x2)2+y2=3相切,所以,解得b2=3a2又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2=1.5.D解析:由双曲线的定义知,(|PF1||PF2|)2=4a2,所以4a2=b23ab,即3·=4,解得=因为双曲线的离心率e=,所以e=.故选D.6.B解析:因为双曲线=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x2)2+y2=1相切,所以圆心为F(2,0),半径r=1.所以ca=1,即a=1,所以双曲线的离心率e==2.7.解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,即为bxay=0,一个焦点为(c,0),所以焦点到渐近线的距离为=b=×2c=c,所以c2=a2+b2=a2+c2,得8.2解析:由双曲线和矩形的对称性可知AB⊥x轴,设点A的横坐标为c,则由=1,解得y=±.不妨设A,B,则|AB|=,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=(舍去),所以离心率为29.解:(1)由题意知a=2,故可得一条渐近线方程为y=x,即bx2y=0,所以.所以b2=3,所以双曲线的方程为=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.故解得由=t,得(16,12)=(4t,3t),故t=4,点D的坐标为(4,3).10.解:(1)由|PM||PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=所以W的方程为=1(x≥).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=y2,从而=x1x2+y1y2==2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1k2)x22kmxm22=0,则x1+x2=,x1x2=,所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=+m2==2+.又因为x1x2>0,所以k21>0.所以>2.综上所述,当AB⊥x轴时,取得最小值2.11.D解析:∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2=1.故选D.12.C解析:设F(c,0),渐近线方程为y=x,可得点F到渐近线的距离为=b,即有圆F的半径为b.令x=c,可得y=±b=±.由题意可得=b,即a=b,则c=a.即离心率e=.13.10解析:依题意得,点F1(5,0),F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点,因此有|PQ||PR|≤|(|PF2|+1)(|PF1|1)|≤||PF2||PF1||+2=2×4+2=10,故|PQ||PR|的最大值是10.14.解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1k2)x2+2kx2=0.故解得<k<,且k≠±1.双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(,1)∪(1,1)∪(1,).(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,1),由(1)知,C与l联立的方程组可化简为(1k2)x2+2kx2=0.故当A,B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时,S△OAB=S△OADS△OBD=(|x1||x2|)=|x1x2|;当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)=|x1x2|.故S△OAB=|x1x2|=,即(x1x2)2=(2)2,即=8,解得k=0或k=±.又<k<,且k≠±1,所以当k=0或k=±时,△AOB的面积为.15.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2因为点P在双曲线x2=1上,所以=1.故=3.由椭圆的定义知2a2==2于是a2==2.故C1,C2的方程分别为x2=1,=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=.当x=时,易知A(),B(,),所以||=2,||=2.此时,||≠||.当x=时,同理可知,||≠||.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3k2)x22kmxm23=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m26=因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m28(2k2+3)(m23)=化简,得2k2=m23,因此=x1x2+y1y2=≠0,于是+22,即||2≠||2,故||≠||.综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.16.解:(1)上半圆所在圆的方程是x2+y24y4=0,则圆心为(0,2),半径为2.则下半圆所在圆的圆心为(0,2),半径为2.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(2,0),(2,0),即a=2.由于双曲线与半圆相