北京市丰台区高三上学期期末考试数学（文）试题

丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习高三数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】集合，，所以.故选C.2.“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解可得，易知“”是“”的充分而不必要条件，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.3.执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3.7，则输出的值是（）A.0.7B.0.3C.0.7D.3.7【答案】B【解析】执行程序框图，输入，不满足，所以；不满足，所以；不满足，所以；不满足，所以.故选B.4.若满足则的最大值是（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】画出不等式组的可行域如图所示：可变形为：斜率为，，平移该直线，当直线经过点时，最小，最大.此时.故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5.已知向量，，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】向量，，所以.所以.设向量与的夹角为，则.解得，所以.故选D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A.3B.C.D.2【答案】A【解析】由三视图可得几何体的直观图如图所示：有：面ABC，△ABC中，，边上的高为2，所以.该三棱锥最长的棱的棱长为.故选A.点睛;思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.已知抛物线的焦点为，点在轴上，线段的中点在抛物线上，则（）A.1B.C.3D.6【答案】C【解析】抛物线的焦点为，设，则线段的中点.由在抛物线上，得，解得..故选C.8.全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题中不正确的是：A.若，则B.若，则中元素的个数一定为偶数C.若，则中至少有8个元素D.若，则【答案】C【解析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.所以当，则有，，，进而有：，，，A.若，则，正确；B.若，则，，，能确定4个元素，不正确；C.根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；D.若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确，故选C.点睛：点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；（2）对称：①变为，则图象关于y轴对称；②变成，则图象关于x轴对称；③变成，则图象关于原点对称；④变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称；⑤变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.复数在复平面内所对应的点在第__________象限．【答案】二【解析】复数，在复平面内所对应的点为(在第二象限.答案为：二.【答案】6【解析】年龄在20~35岁,，35~50岁,50~60岁的人数比为：.35~50岁年龄段占.所以从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取人.答案为：6人11.已知，，则__________．【答案】【解析】，，所以..答案为:.12.已知直线和圆交于两点，则__________．【答案】2【解析】圆，表示圆心为(1,0)，半径为1的圆.圆心（1，0）满足直线，即该直线过圆心，所以.答案为：2.13.能够说明“方程的曲线不是双曲线”的一个的值是__________．【答案】之间的数即可【解析】方程，当或3时，曲线不是双曲线；当且时，化简为：，若曲线为双曲线，则，解得或.综上，当或时，曲线是双曲线，当时，曲线不是双曲线.答案为：.点睛：对于方程有：（1）表示为焦点在轴上的双曲线；（2）表示为焦点在轴上的双曲线；（3）则表示椭圆.14.设函数的周期是3，当时，①__________；②若有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是__________．【答案】(1).(2).【解析】①函数的周期是3，所以;②当时，为增函数，所以,当时，为减函数，所以.若有最小值，且无最大值，则，解得.实数的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在中，．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的值.【答案】（1）（2）6【解析】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角公式化简得，进而得；（Ⅱ）利用余弦定理可得即可得的值.试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以.因为，所以，所以，所以.（Ⅱ）由余弦定理可得，所以，解得或（舍）.解得.16.在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积..【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）由中位线定理可得，进而得线面平行；（Ⅱ）易证得，从而证得线面垂直；（Ⅲ）由平面，点是的中点，所以点到平面的距离等于，利用即可求解.试题解析：解：（Ⅰ）证明：连接，因为分别是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）证明：因为，为中点.所以.又因为是矩形，所以.因为底面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以平面.（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面.因为，所以平面.因为点是的中点，所以点到平面的距离等于.所以，即.点睛：证明线面平行有两种方法，一是利用线面平行的判定定理，常常利用三角形的中位线定理或者利用平行四边形得出线线平行，进而得出线面平行；二是面面平行，证明直线所在的平面与另一个平面平行，进而说明线面平行；求体积除了直接计算外，大多都使用体积变换，利用变换顶点，转化底面，平行转化、对称转化、比例转化等，然后在进行体积计算.17.等差数列中，，，等比数列的各项均为正数，且满足.（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的公比；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列的基本量运算即可得数列的通项公式，设等比数列的公比为，由由，得作比即可得公比；（Ⅱ）求得，得，采用分组求和即可.试题解析：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.依题意，解得.所以.设等比数列的公比为，由，得.因为，且，所以.因为数列的各项均为正数，所以.（Ⅱ）因为，令，得，因为，所以，所以.所以.所以.18.某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.（Ⅰ）从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅱ）若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求的值；（Ⅲ）若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.【答案】（1）（2）(3)1080【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率估计概率进行计算即可；（Ⅱ）依题意，即可得的值；（Ⅲ）由即可得解.试题解析：解：（Ⅰ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动”为事件，则.所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动的概率为.（Ⅱ）依题意，所以.（Ⅲ）.所以估计该校4000名学生中，12月获得的公益积分不少于30分的人数约为1080人.19.已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点在椭圆上，线段与线段交于点，若与的面积之比为，求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆短轴上的顶点得，由是正三角形得即，从而求得方程；（Ⅱ）设，，因为，所以，且，从而得即，代入椭圆方程得，将代入直线的方程得到，即可得解.试题解析：解：（Ⅰ）由题意是椭圆短轴上的顶点，所以，因为是正三角形，所以，即.由，所以.所以椭圆的标准方程是.（Ⅱ）设，，依题意有，，，.因为，所以，且，所以，，即.因为点在椭圆上，所以，即.所以，解得，或.因为线段与线段交于点，所以，所以.因为直线的方程为，将代入直线的方程得到.所以点的坐标为.20.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ），结合定义域讨论导数的正负求单调区间即可；试题解析：解：（Ⅰ）函数的定义域为，.由得或.当时，在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.所以在上有零点的必要