1.7~1.8 线段的垂直平分线-八年级数学下册10分钟课前预习练（北师大版）（解析版）

课前预习记录：月日星期10分钟课前预习练（北师大版）1.7—1.8线段的垂直平分线知识要点:1．线段垂直平分线的定义：____________一条线段且__________这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.【答案】垂直平分2．性质1：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离_________.【答案】相等3．性质2：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_____________上.【答案】垂直平分线课堂练习一、选择题1．如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA＝PB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．【详解】解：∵直线PC是线段AB的垂直平分线，∴PC⊥AB，PA＝PB，∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，∵∠APC＝50°，∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，故选：A．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角．2．如图，在△ABC中，∠B=62°，∠C=24°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．70º B．60º C．50º D．40°【答案】A【分析】根据∠BAD＝∠BAC−∠DAC，想办法求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．【详解】解：∵∠B＝62°，∠C＝24°，∴∠BAC＝180°−86°＝94°，由作图可知：MN垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝24°，∴∠BAD＝94°−24°＝70°，故选：A．【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（）．A．20° B．30° C．35° D．70°【答案】A【分析】利用等边对等角依次可求得∠B和∠BAF的大小，根据等腰三角形三线合一可得∠BAD的度数，从而可得∠FAD的度数．【详解】解：∵，，∴，∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴AF=BF，∴∠BAF=∠B=35°，∵，，∴,∴，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等角和等腰三角形三线合一，并能依此求得相应角的度数是解题关键．4．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．【详解】∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，故选A．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．如图，在中，，，的中垂线交于点D，交于点E，下述结论中正确的是（）A．点D是线段的中点 B．C．的周长等于 D．平分【答案】B【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB＋BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD＝BD＝BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴BD＞CD，

∴AD＞CD，

∴点D不是线段AC的中点，故A错误；∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，

∴∠BDC＝180°−∠DBC−∠C＝72°，

∴∠BDC＝∠C，

∴BD＝BC，

∴AD＝BD＝BC，故B正确；∴△BCD的周长为：BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝BC＋AB，故C错误；∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝＝72°，

∵AB的垂直平分线是DE，

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝36°，

∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝72°−36°＝36°，∴，∵，∴，故D错误；故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．6．如图，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，ME平分∠BMC交BC于点E，则下列说法正确的个数有（）①△ABC≅△DCB；②ME垂直平分BC；③△ABM≅△EBM；④△ABM≅△DCM．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据，即可证明△ABC△DCB；②根据①的结论可得，可得即可证明，根据等腰三角形的性质即可证明ME垂直平分BC；③无法证明△ABM△EBM；④根据②可得△ABM△DCM．【详解】解：①∵，∴△ABC△DCB；故①正确；②∵△ABC△DCB；∴∴∵ME平分∠BMC交BC于点E，即ME垂直平分BC；故②正确③中所给条件中不存在直角，则无法证明△ABM△EBM；故③不正确；④△ABM△DCM．故④正确故正确的有①②④故选C【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质与判定，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题7．锐角中，，AB的垂直平分线与的垂直平分线交于点，则____________【答案】【分析】根据垂直平分线的性质可得，由三角形内角和定理可求出，从而可求出【详解】解：如图，根据直平分线的性质可得，∵∴∴∴故答案为：136°【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．解题的关键是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理．8．已知：如图，在中，，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么______．【答案】32°32度【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质求出∠A与∠ABE的关系，根据三角形内角和定理列方程解答即可．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABE，设∠A＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°，∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°，解得，x＝32°．故∠A＝32°．故答案为：32°．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答．9．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____．【答案】19cm

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，由△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，得到AB+BC＝13cm，由此即可得到答案．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案为：19cm．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．10．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝_____°．【答案】35【分析】设∠ABP＝x，根据角平分线定义，线段垂直平分线的性质得到∠PCB＝∠CBP＝x，根据三角形内角和定理列方程，解方程，问题得解．【详解】解：设∠ABP＝x，∵BP平分∠ABC，∴∠CBP＝∠ABP＝x，∵直线l垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PCB＝∠CBP＝x，∴60°+15°+x+x+x＝180°，解得，x＝35°，即∠ABP＝35°．故答案为：35【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，设出未知数，用含x式子表示出各角，列出方程是解题关键．三、解答题11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D．（1）尺规作图：作线段AC的垂直平分线EF，分别交BC、AC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AB＝EC，AC＝6，CD＝5，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析；（2）16；【分析】（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，则AB＝AE，根据等腰三角形的性质得到BD＝ED，然后利用等线段代换得到△ABC的周长＝2CD+AC．【详解】解：（1）如图，EF为所作；（2）连接AE，如图，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝CE，∴AB＝AE，∵AD⊥BC，∴BD＝ED，∴△ABC的周长＝AB+BD+CD+AC＝CE+DE+CD+AC＝2CD+AC＝2×5+6＝16．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．12．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．【答案】（1）6；（2）20°．【分析】（1）由DM和EN分别垂直平分AB和AC，推出AD＝BD，EA＝EC，可得AD+DE+EA＝6，由此得到答案；（2）根据AD＝BD，EA＝EC，求出∠B+∠C=80°，即∠BAD+∠EAC＝80°，再由∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）计算可得度数．（1）解：∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（2）解：∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC．∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°-∠BAC=180°-100°=80°，即∠BAD+∠EAC＝80°．∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）=100°-80°=20°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角求角的度数，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．13．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．【详解】（1）证明：连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG．（1）求证：BG＝CG；（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度数．【答案】（1）见解析；（2）27°【分析】（1）由等腰三角形的性质得出AD＝CD，BD⊥AC，则AG＝CG，由垂直平分线的性质得出AG＝BG，则可得出结论；（2）由直角三角形的性质求出∠BFE的度数，由等腰三角形的性质求出∠BCG，根据三角形外角的性质可求出答案．【详解】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝CD，BD⊥AC，∴AG＝CG，∵AB的垂直平分线EF交BD于G，∴AG＝BG，∴BG＝CG；（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∵∠ABC＝42°，∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝48°，∵BD平分∠ABC，AB＝BC，∴∠GBC＝∠ABC＝＝21°，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB＝21°，∴∠CGF＝∠BFE﹣∠GCF＝48°﹣21°＝27°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．如图，在ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．（1）若CMN的周长为16cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【答案】（1）16cm；（2）40°【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA=MC，NB=NC，根据三角形的周长公式计算即可；

（2）根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=