2025中考数学一轮复习第11讲 分式方程（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第11讲分式方程

一．选择题（共10小题）

1．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（）

1�−2

+=1

A．a＞5�−22B−．�a＜5C．a＞5且a≠7D．a＜5且a≠3

2．方程的解是（）

23

=

A．x＝�−﹣33�B．x＝﹣9C．x＝3D．x＝9

3．若关于x的分式方程无解，则n＝（）

��−1

+1=

A．﹣1�+B．20�+2C．1D．

3

4．某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知2每台A型机器的进价比每台B

型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若

设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（）

A．12.6x＝21（2x﹣0.7）B．

2112.6

=

C．D．�2�−0.7

2112.62112.6

==2×−0.7

5．对于2�非−零0.7的两个�实数a，b，规定ab，若�2（2x﹣�1）＝1，则x的值为（）

11

⊕=−⊕

A．B．��C．D．

5531

−

6．若代6数式和的值互为4相反数，则x等于（2）6

13

A．1�−2�B．C．2D．

32

7．某体育中心准备改扩建一块2运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工3，相关信息如下：

工程队每天施工面积（单位：施工总面积（单位：施工时间（单位：天）

m2）m2）

甲x+3001800两个工程队同时完成

乙x1200工作任务

根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（）

A．B．

1800120012001800

==

�+300��+300�

C．D．1200x＝1800（x+300）

3000600

=

8．已知�+关3于00x的分�式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）

1+��1

−=3

A．﹣18B．2−﹣�17�−2C．﹣6D．﹣2

9．解方程“x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（）

1

=

�

A．x＝1B．x1＝1，x2＝2

C．x1＝﹣1，x2＝1D．x＝﹣1

10．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（）

��

+2=

A．k≥2B．�−k≤121−�C．k≤2且k≠﹣1D．k＜2且k≠1

二．填空题（共5小题）

11．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程

�+1�−1�+4

2≥6+1+

有整数解，则所有满3足�条−件�的≤整�+数1a的值之和为．�−1

�+2�

=−3

12．1若−�关于x的方程的解是x＝6，则a的值为．

32

=

13．关于x的方程��1−�的解为非负数，则k的取值范围是．

��

−=

14．若关于x的分式2�方−4程�−2有增根，则m的值是．

��

−3=

15．随着“中国诗词大会�”−节2目的热�播−，2《唐诗宋词精选》和《唐诗鉴赏辞典》也随之热销．某书商看准

商机，欲购进这两种图书，已知每本《唐诗鉴赏辞典》的进价比《唐诗宋词精选》多9元，花费2400

元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多．若设每本《唐诗

鉴赏辞典》的进价为x元，则可列方程．

三．解答题（共5小题）

16．以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务．

�+11

=−2

解：去分母：x+1＝﹣�−12﹣2（2−x﹣�2）…………．第一步．

去括号：x+1＝﹣1﹣2x﹣4…………，第二步

移项，合并同类项得：3x＝﹣6…………．第三步

系数化为1，得：x＝﹣2…………．第四步

检验：当x＝﹣2时，x﹣2＝﹣4≠0，

所以：x＝﹣2是原分式方程的解．

（1）填空：

①以上解题过程中，第一步去分母的依据；

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

（2）请你写出此方程的正确求解过程．

17．列方程解应用题：

无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人

配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使

用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹

多少件？

18．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树

苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆．

5

（1）求树4苗基地每捆A种树苗的价格．

（2）树苗基地每捆B种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A

种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠．求

本次购买最少花费多少钱．

19．在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，

解决实际问题．

根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．

20．北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤

亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，已

知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．

（1）求棉衣的单价；

（2）该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉

衣．

2025年中考数学一轮复习之分式方程

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（）

1�−2

+=1

A．a＞5�−22B−．�a＜5C．a＞5且a≠7D．a＜5且a≠3

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．

【答案】D

【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．

【解答】解：，

1�−2

+=1

去分母，得1﹣�−a2+2＝2x−﹣�2，

解得x＝5﹣a，

∵关于x的方程的解是正数，

1�−2

+=1

∴5﹣a＞0且5﹣�−a≠22，2−�

∴a＜5且a≠3．

故选：D．

【点评】本题考查了分式方程，掌握解方程和分母不能为0是关键．

2．方程的解是（）

23

=

A．x＝�−﹣33�B．x＝﹣9C．x＝3D．x＝9

【考点】解分式方程．

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【答案】D

【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．

【解答】解：，

23

=

2x＝3（x﹣3），�−3�

解得：x＝9，

检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，

∴x＝9是原方程的根，

故选：D．

【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．

3．若关于x的分式方程无解，则n＝（）

��−1

+1=

A．﹣1�+B．20�+2C．1D．

3

【考点】分式方程的解．2

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【答案】A

【分析】解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为x＝﹣2，即有，，求解

�−3�−3

�==−2

即可获得答案．22

【解答】解：，

��−1

+1=

去分母，得x+�+x+22＝n﹣1，�+2

合并同类项、系数化为1，得，

�−3

由题意可知，分式方程的增根为�=x＝﹣22，

即有，解得n＝﹣1．

�−3

=−2

故选：2A．

【点评】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为x

＝2是解题关键．

4．某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A型机器的进价比每台B

型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若

设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（）

A．12.6x＝21（2x﹣0.7）B．

2112.6

=

C．D．�2�−0.7

2112.62112.6

==2×−0.7

【考2点�−】0.由7实际�问题抽象出分式方程．��

【专题】分式方程及应用；应用意识．

【答案】C

【分析】设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为（2x﹣0.7）万元，根据“采购

相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元”即可列出分式方程．

【解答】解：设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为（2x﹣0.7）万元，

根据题意得．

2112.6

=

故选：C．2�−0.7�

【点评】本题考查主要了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出题目中的相等关系列出分式方程是

解决问题的关键．

5．对于非零的两个实数a，b，规定ab，若2（2x﹣1）＝1，则x的值为（）

11

⊕=−⊕

A．B．��C．D．

5531

−

【考6点】解分式方程；实数4的运算．26

【专题】整式；运算能力．

【答案】A

【分析】根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．

【解答】解：∵ab，

11

∴2（2x﹣1）⊕=�−�

⊕

11

=−

2�−12，

3−2�

∵=2(2�（−21x)﹣1）＝1，

∴⊕1，

3−2�

=

解得2(2：�−x1)，

5

=

经检验，x6是1的解．

53−2�

==

故选：A．62(2�−1)

【点评】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．

6．若代数式和的值互为相反数，则x等于（）

13

A．1�−2�B．C．2D．

32

【考点】解分式方程．23

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【答案】B

【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【解答】解：根据题意得：0，

13

+=

去分母得：x+3（x﹣2）＝0，�−2�

解得：x，

3

=

检验：把x2代入得：x（x﹣2）≠0，

3

=

∴分式方程的2解为x．

3

故选：B．=2

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

7．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：

工程队每天施工面积（单位：施工总面积（单位：施工时间（单位：天）

m2）m2）

甲x+3001800两个工程队同时完成

乙x1200工作任务

根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（）

A．B．

1800120012001800

==

C．�+300�D．�1+20300x0＝1800�（x+300）

3000600

=

【考�点+3】00由实际�问题抽象出分式方程．

【专题】分式方程及应用；应用意识．

【答案】A

【分析】根据两个工程队用时相同，可列方程，然后作答即可．

18001200

=

【解答】解：依题意得，，�+300�

18001200

=

故选：A．�+300�

【点评】本题考查了本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键．

8．已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）

1+��1

−=3

A．﹣18B．2−﹣�17�−2C．﹣6D．﹣2

【考点】分式方程的解．

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【答案】B

【分析】先解此分式方程，再根据题意求得所有符合条件的a的值，最后相加求和．

【解答】解：两边同时乘以x﹣2，得

﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1），

解得x，

4

=

∴是�整+数3，且2，

44

≠

当�+34时，解得�+a3＝﹣2；

4

=

当�+31时，解得a＝1；

4

=

当�+31时，解得a＝﹣7；

4

=−

当�+32时，解得a＝﹣5；

4

=−

当�+34时，解得a＝﹣4，

4

=−

∴�﹣+23+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17，

即满足条件的所有整数a的和为﹣17，

故选：B．

【点评】此题考查了含字母参数分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用分式方程解的概念

和解法知识．

9．解方程“x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（）

1

=

�

A．x＝1B．x1＝1，x2＝2

C．x1＝﹣1，x2＝1D．x＝﹣1

【考点】解分式方程；函数的图象．

【专题】分式方程及应用；函数及其图象；运算能力．

【答案】C

【分析】根据图象得出两函数图象的交点坐标是（1，1），（﹣1，﹣1），再根据交点坐标求出方程的解

即可．

【解答】解：从图象中可知：两函数图象的交点坐标是（1，1），（﹣1，﹣1），

所以方程x的解是x1＝﹣1，x2＝1．

1

=

故选：C．�

【点评】本题考查了解分式方程和函数的图象，能根据函数图象找出两函数图象的交点坐标是解此题的

关键．

10．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（）

��

+2=

A．k≥2B．�−k≤121−�C．k≤2且k≠﹣1D．k＜2且k≠1

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．

【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．

【答案】C

【分析】先解含有k的分式方程，再根据已知条件列出关于k的不等式，解不等式，从而求出答案即可．

【解答】解：，

��

+2=

k+2（x﹣1）＝�﹣−1x，1−�

k+2x﹣2＝﹣x，

2x+x＝2﹣k，

3x＝2﹣k，

，

2−�

�=

∵关于3x的分式方程的解是非负数，

��

+2=

∴，�−11−�

2−�

≥0

2﹣k3≥0

﹣k≥﹣2，

k≤2，

∵x﹣1≠0，’

∴，

2−�

≠1

解得3：k≠﹣1，

∴k的取值范围是：k≤2且k≠﹣1，

故选：C．

【点评】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次

不等式组的一般步骤．

二．填空题（共5小题）

11．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程

�+1�−1�+4

2≥6+1+

有整数解，则所有满3足�条−件�的≤整�+数1a的值之和为6．�−1

�+2�

=−3

【1−考�点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．

【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．

【答案】6．

【分析】根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出a的取值范围，根据关于y的方程的解的情况

求出a的取值情况，然后求出满足条件的a的值，即可得出答案．

【解答】解：解不等式组，得，

�≥1

�+1

∵不等式组有解且最多有3个整数解，

�≤2

∴1＜4，

�+1

解得≤：12≤a＜7，

∴整数a为：1，2，3，4，5，6，

解分式方程，得y，

�+4�+2��−1

+=−3=

∵分式方程有�−整1数解1−，�2

∴是整数，且1，

�−1�−1

≠

∴整2数a为：1，5，2

∴所有满足条件的整数a的值之和是1+5＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题

的关键，本题需注意分式方程的分母不等于0的限制条件．

12．若关于x的方程的解是x＝6，则a的值为2．

32

=

【考点】分式方程�的解�．−�

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【答案】2．

【分析】把x＝6代入关于x的方程得关于a的分式方程，解分式方程即可．

32

=

【解答】解：把x＝6代入关于x的方�程�−�得：

32

=

，��−�

12

=

26﹣a＝6−4�，

解得：a＝2，

检验：当a＝2时，2（6﹣a）≠0，

∴a＝2是原分式方程的解，

故a的值为：2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程的解是使分式方程左右两边相等

的未知数的值．

13．关于x的方程1的解为非负数，则k的取值范围是k≥﹣4，且k≠4．

��

−=

【考点】分式方2程�−的4解；解�−一2元一次不等式．

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【答案】k≥﹣4，且k≠4．

【分析】先解该分式方程，再根据题意确定此题结果．

【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2）得，

k﹣2（x﹣2）＝2x，

解得x，

�+4

=

由题意得40，且2，

�+4�+4

≥≠

解得k≥﹣4，且k≠4，4

故答案为：k≥﹣4，且k≠4．

【点评】此题考查了含字母常数分式方程问题的解决能力，关键是能准确解分式方程，并能根据题意确

定最后结果．

14．若关于x的分式方程有增根，则m的值是2．

��

−3=

�−2�−2

【考点】分式方程的增根．

【专题】分式方程及应用．

【答案】见试题解答内容

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可．

【解答】解：去分母得：x﹣3（x﹣2）＝m，

∵分式方程有增根，

∴x﹣2＝0，即x＝2，

把x＝2代入整式方程得：m＝2．

故答案为：2．

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②

把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

15．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》和《唐诗鉴赏辞典》也随之热销．某书商看准

商机，欲购进这两种图书，已知每本《唐诗鉴赏辞典》的进价比《唐诗宋词精选》多9元，花费2400

元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多．若设每本《唐诗

鉴赏辞典》的进价为x元，则可列方程．

24001500

=

【考点】由实际问题抽象出分式方程．��−9

【专题】分式方程及应用；应用意识．

【答案】．

24001500

=

【分析】设�每本《�唐−诗9鉴赏辞典》的进价为x元，则设每本《唐诗宋词精选》的进价为（x﹣9）元，根

据“花费2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多”，

即可列出分式方程．

【解答】解：设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，则设每本《唐诗宋词精选》的进价为（x﹣9）元，

根据题意得．

24001500

=

故答案为：��−9．

24001500

=

【点评】本题�考查了�分−9式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

16．以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务．

�+11

=−2

解：去分母：x+1＝﹣�−12﹣2（2−x﹣�2）…………．第一步．

去括号：x+1＝﹣1﹣2x﹣4…………，第二步

移项，合并同类项得：3x＝﹣6…………．第三步

系数化为1，得：x＝﹣2…………．第四步

检验：当x＝﹣2时，x﹣2＝﹣4≠0，

所以：x＝﹣2是原分式方程的解．

（1）填空：

①以上解题过程中，第一步去分母的依据等式的基本性质；

②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时第二项没有变号；

（2）请你写出此方程的正确求解过程．

【考点】解分式方程．

【专题】分式方程及应用；运算能力．

【答案】（1）①等式的基本性质；

②二，去括号时第二项没有变号；

（2）答案见解析．

【分析】（1）观察解方程的过程，进行解答即可；

（2）按照解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，然后进行检验

即可．

【解答】解：（1）①以上解题过程中，第一步去分母的依据等式的基本性质，

故答案为：等式的基本性质；

②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时第二项没有变号，

故答案为：二，去括号时第二项没有变号；

（2）正确的求解过程如下：

，

�+11

=−2

�去−分2母得2−：�x+1＝﹣1﹣2（x﹣2），

去括号得：x+1＝﹣1﹣2x+4，

移项，合并同类项得：3x＝2，

系数化为1，得：，

2

�=

检验：当时，x﹣32≠0，

2

�=3

∴是原分式方程的解．

2

【点�=评3】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤．

17．列方程解应用题：

无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人

配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使

用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹

多少件？

【考点】分式方程的应用．

【专题】分式方程及应用；应用意识．

【答案】见试题解答内容

【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用

工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快

递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．

【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，

根据题意得：2，

60006000

−=

解得：x＝150，4�5�

经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．

答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

18．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树

苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆．

5

（1）求树4苗基地每捆A种树苗的价格．

（2）树苗基地每捆B种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A

种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠．求

本次购买最少花费多少钱．

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．

【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．

【答案】（1）30元；

（2）2800元．

【分析】（1）设树苗基地每捆A种树苗的价格是x元，则市场上每捆A种树苗的价格是x元，利用数

5

量＝总价÷单价，结合用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆，4可列出关于x

的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；

（2）设购买m捆A种树苗，则购买（100﹣m）捆B种树苗，根据购买A种树苗的捆数不超过B种树

苗的捆数，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设本次购买共花费w元，利

用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设树苗基地每捆A种树苗的价格是x元，则市场上每捆A种树苗的价格是x元，

5

根据题意得：2，4

300300

−5=

解得：x＝30，�4�

经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，

答：树苗基地每捆A种树苗的价格是30元；

（2）设购买m捆A种树苗，则购买（100﹣m）捆B种树苗，

根据题意得：m≤100﹣m，

解得：m≤50．

设本次购买共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（100﹣m），

即w＝﹣8m+3200，

∵﹣8＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝50时，w取得最小值，最小值＝﹣8×50+3200＝2800（元）．

答：本次购买最少花费2800元钱．

【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

19．在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，

解决实际问题．

根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．

【考点】分式方程的应用．

【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．

【答案】甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位．

【分析】设甲种客车每辆有x个座位，则乙种客车每辆有（x+5）个座位，根据题意：若单独租用甲种

客车若干辆则刚好坐满，若单独租用同样辆数的乙种客车，则有20个空座位，列方程求解．

【解答】解：设甲种客车每辆有x个座位，则乙种客车每辆有（x+5）个座位，可得：，

200200+20

=

解得：x＝50，经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意；��+5

∴x+5＝55，

答：甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位．

【点评】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．

20．北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤

亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，已

知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．

（1）求棉衣的单价；

（2）该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉

衣．

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）设棉衣的单价是x元，则棉被的单价是（x﹣50）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1000

元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得

出结论；

（2）设该中学购买m件棉衣，则购买（100﹣m）件棉被，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过

22000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．

【解答】解：（1）设棉衣的单价是x元，则棉被的单价是（x﹣50）元，

根据题意得：，

1000800

=

解得：x＝250，��−50

经检验，x＝250是所列方程的解，且符合题意．

答：棉衣的单价是250元；

（2）设该中学购买m件棉衣，则购买（100﹣m）件棉被，

根据题意得：250m+（250﹣50）（100﹣m）≤22000，

解得：m≤40，

∴m的最大值为40．

答：最多可以购买40件棉衣．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，

正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

考点卡片

1．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，

又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三

角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运

算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

2．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且