2025年中考数学总复习03 微专题 代数式、整式与因式分解

微专题03代数式、整式与因式分解

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.代数式(6年6考)

用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成

代数式的概念

的式子叫做代数式

找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式

列代数式

子表示

(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序

计算求值

代数式求值(2)整体代入法(整体思想)：①观察已知条件和所求代数式的关系；

②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系，一般会用到提公

因式法、平方差公式、完全平方公式

2.整式的有关概念(6年2考)

(1)整式有关概念

概念：由数字与字母或字母的①所组成的代数式叫做单项式.单

单项

独一个数字或字母也是单项式；

式

单项式的系数：单项式中的数字因数；

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和

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多项概念：几个单项式的和叫做多项式；

式多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如2x＋x2y的次数是②

(2)同类项：所含字母相同，并且相同字母的③也相同的项.所有常数项都

是同类项

3.整式的运算(6年4考)

(1)幂的运算

运算文字表达符号表示

同底数幂相乘底数不变，指数相加am·an＝am＋n(m，n都是正整数)

am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m

同底数幂相除底数不变，指数相减

＞n)

幂的乘方底数不变，指数相乘(am)n＝amn(m，n都是正整数)

积的每个因式分别乘

积的乘方(ab)n＝anbn(n为正整数)

方，再把所得的幂相乘

(2)整式的运算

①整式的加减，可归结为去括号与合并同类项

②单项式的乘法运算：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，单独出现的字

母连同它的指数作为积的因式

③多项式的乘法运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；

(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb

平方差公式＋－＝

(3)乘法公式

完全平方公式:(��)(�＝�)④

2

4.因式分解(6年2考):(�±�)⑤

(1)概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式

(2)方法：①提取公因式法：ma＋mb＝m(a＋b)；

②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2

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5.非负数(6年2考)

(1)常见的非负数类型有a2，｜b｜，(c≥0)

(2)若几个非负数的和为0，则每个非负�数的值均为0，如：若a2＋｜b｜＋＝0，

则有a2＝0，｜b｜＝0，＝0，即a＝b＝c＝0�

�练考点

1.下列对代数式－3x的意义表述正确的是()

A.－3与x的和

B.－3与x的差

C.－3与x的积

D.－3与x的商

2.(1)已知x＝－1，则x2＋2x＝；

(2)已知2a－b＝1，则代数式8a－4b＋2的值为.

3.已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是()

A.3x2B.2m3n

C.－2x2yD.2a3

4.x3y2是次单项式.

1

5.计3算：

(1)－2x＋x＝；

2x3－x3＝；

(2)x·x3＝；

x8÷x2＝；

(3)(－2x2)3＝；

(4)2x2·(x－1)＝；

(5)(x－1)(2x＋1)＝；

(6)(x＋2)2＝；

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(x＋2)(x－2)＝.

6.分解因式：

(1)x2－xy＝；

(2)2x2－8＝；

(3)x2＋4x＋4＝.

7.(1)若｜x－1｜＋－＝0，则x＋2y的值为；

(2)若x2＋1＋＝�1，1则xy的值为；

�+2

(3)－＋－＝0，则x的值为.

2��2高频考点

考点1列代数式及求值(6年6考)

例1(人教七上习题改编)根据题意列代数式：

(1)原量a增加10％为；比原量a的n倍多m为；

(2)原价a的8折为；

(3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为元；

(4)每天完成的工作量为a，则要完成m的工作量所需天数为；

(5)一月份的产值为a万元，二月份的产值比一月份减少了m％，三月份的产值比

二月份增加了n％，则三月份的产值为万元.

例2求下列代数式的值：

(1)已知x2＋x－2＝0，则2x2＋2x的值；

(2)已知x＋y＝3，xy＝2，则(x－y)2的值为；

(3)(2024成都)若m，n为实数，且(m＋4)2＋－＝0，则(m＋n)2的值为.

考点2整式的有关概念(6年2考)�5

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例3(2024佛山南海区一模)单项式πr3表示球的体积，其中π表示圆周率，r表

4

示球的半径，下列说法正确的是(3)

A.系数是，次数是3B.系数是π，次数是3

44

C.系数是3，次数是4D.系数是3π，次数是4

44

－

变式1(23024广元)如果单项式－x2my3与3单项式2x4y2n的和仍是一个单项式，则

在平面直角坐标系中点(m，n)在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考点3整式的运算(6年4考)

例4(2024烟台)下列计算结果为a6的是()

A.a2·a3B.a12÷a2C.a3＋a3D.(a2)3

例5(人教七上习题改编)计算：

(1)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)；

(2)已知y2－xy－5＝0，求(3xy3－6x3y)÷3xy＋x(2x－y)的值.

考点4因式分解(6年2考)

例6(北师七上习题改编)因式分解：

(1)4ax2－ay2＝；

(2)4xy2－4x2y－y3＝；

(3)(p－4)(p＋1)＋3p＝.

变式2(2024中山模拟)下列因式分解正确的是()

A.x2－x＝x(x＋1)B.a2－3a－4＝a(a－3)－4

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C.a2＋b2－2ab＝(a＋b)2D.x2－y2＝(x＋y)(x－y)

考点5规律探索(2019.16)

例7根据下列数式规律，回答问题：

(1)等差类有一列数1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是；

(2)等比类有一列数3，9，27，81，243，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是；

(3)递增类有一列数1，2，4，7，11，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是；

(4)周期类有一列数－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数

是；

(5)平方类按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，…，则第n个单项式

是.

例8根据下列图形规律，回答问题：

(1)图形个数固定累加把白色正方形按图①所示的规律拼图案，则第5个图案中白

色正方形的个数是；

例8题图①

(2)图形个数递增累加如图②都是由同样大小的圆点按一定规律组成，则第8个图

形中圆点的个数是；

例8题图②

(3)图形个数为两种变化之和如图③都是由同样大小的正三角形按照一定规律组

成，则第n个图形中正三角形的个数是.

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例8题图③

真题及变式

命题点1代数式求值(6年5考)

1.(2021广东5题3分)若｜a－｜＋－＝0，则ab＝()

22

A.B.C.43C.99�12��+4�

9

323

2.(2020广东13题4分)若－＋｜b＋1｜＝0，则(a＋b)2020＝.

3.(2020广东14题4分·人教�八上2习题改编)已知x＝5－y，xy＝2.计算3x＋3y－4xy

的值为.

4.(2021广东15题4分·北师八下习题改编)若x＋＝且0＜x＜1，则x2－

1131

2

＝.�6�

变式

4.1变思维方式——直接平方变为化简后整体带入

已知－＝，那么＋的值为

－.

111��

命题�点2�整�式�的有关�概�念(6年2考)

5.(2022广东12题3分)单项式3xy的系数为.

6.(2020广东12题4分)如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么m＋n

＝.

命题点3整式的运算(6年4考)

7.(2024广东5题3分)下列计算正确的是()

A.a2·a5＝a10B.a8÷a2＝a4

C.－2a＋5a＝7aD.(a2)5＝a10

8.(2021广东4题3分·人教八上习题改编)已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝()

A.1B.6C.7D.12

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9.(2020广东18题6分·人教八上习题改编)先化简，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－

y)－2x2，其中x＝，y＝.

23

命题点4因式分解(6年2考)

10.(2023广东11题3分)因式分解：x2－1＝.

11.(2020广东11题4分)分解因式：xy－x＝.

命题点5规律探索(2019.16)

12.(2019广东16题4分)如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直

角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空

隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是(结果用

含a，b代数式表示).

第12题图

拓展训练

13.(2024东莞模拟)如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…，在射线ON上，

点B1，B2，B3，…，在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边

三角形，若OA1＝1，则△A2019B2019A2020的边长为.

第13题图

新考法

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14.[代数推理](2024珠海模拟)杰杰是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，

有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：

海、爱、我、珠、丽、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码

信息可能是()

A.我爱美B.珠海美丽C.爱我珠海D.美我珠海

15.[数形结合](北师七下复习题改编)如图①，有两个正方形A，B，现将B放在A

的内部如图②所示，将A，B并排放置后构造新的正方形如图③所示.若图②和图

③中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为()

第15题图

A.11B.12C.13D.14

16.[跨信息技术学科]日常生活中我们常使用的数是十进制数，而计算机程序使

用的数是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将二进制

3210

数1001记为(1001)2，换算成十进制数应为：(1001)2＝1×2＋0×2＋0×2＋1×2

＝9，按此方式，将二进制(101)2换算成十进制数为.

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考点精讲

①乘积②3③指数④a2－b2⑤a2±2ab＋b2

练考点

1.C

2.(1)－1；(2)6

3.D

4.5

5.(1)－x；x3；(2)x4；x6；(3)－8x6；(4)2x3－2x2；(5)2x2－x－1；(6)x2＋4x＋4；x2

－4

6.(1)x(x－y)；(2)2(x－2)(x＋2)；(3)(x＋2)2

7.(1)3；(2)0；(3)2

高频考点

例1(1)a(1＋10％)；an＋m；

(2)0.8a；(3)(ax＋by)；(4)；

�

(5)a(1－m％)(1＋n％)�

例2(1)4；【解析】∵x2＋x－2＝0，∴x2＋x＝2，∴2x2＋2x＝2(x2＋x)＝2×2

＝4.

(2)1；【解析】∵(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x＋y)2－4xy，∴当x＋y＝3，xy＝2时，

原式＝32－4×2＝9－8＝1.

(3)1【解析】∵(m＋4)2＋－＝0，∴m＋4＝0且n－5＝0，解得m＝－4，n

＝5，∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝�1.5

例3B【解析】πr3的系数是π，次数是3.

44

－

变式1D【解析3】∵单项式－3x2my3与单项式2x4y2n的和仍是一个单项式，∴

单项式－x2my3与单项式2x4y2－n是同类项，∴2m＝4，2－n＝3，解得m＝2，n＝

－1，∴点(m，n)在第四象限.

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例4D【解析】A.a2·a3＝a2＋3＝a5，故A选项不符合题意；B.a12÷a2＝a12－2

＝a10，故B选项不符合题意；C.a3＋a3＝2a3，故C选项不符合题意；D.(a2)3＝

a2×3＝a6，故D选项符合题意.

例5解：(1)原式＝1－x2＋x2＋2x

＝1＋2x；

(2)原式＝y2－2x2＋2x2－xy＝y2－xy，

∵y2－xy－5＝0，∴原式＝5.

例6(1)a(2x＋y)(2x－y)；

(2)－y(2x－y)2；

(3)(p＋2)(p－2)

【解析】(1)原式＝a(4x2－y2)＝a(2x＋y)(2x－y)；(2)原式＝－y(4x2－4xy＋y2)＝－

y(2x－y)2；(3)原式＝p2－3p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2).

变式2D【解析】A.原式＝x(x－1)，故本选项不符合题意；B.原式＝(a－4)(a

＋1)，故本选项不符合题意；C.原式＝(a－b)2，故本选项不符合题意；D.原式＝

(x＋y)·(x－y)，故本选项符合题意.

例7(1)2n－1；(2)3n；(3)n2－n＋1；(4)(－1)n；(5)n2an＋1

11

例8(1)18；(2)36；(3)3n＋222

真题及变式

1.B【解析】∵｜a－｜＋－＝｜a－｜＋(－)＝0，

222

39�12��+4�33�2�

－＝

∴，解得，∴ab＝×＝.

－＝

�3=0�3339

33322

3�2�=0�2

.【解析】∵－＋｜＋｜＝，∴－，解得，∴＋2

21b10＝－(ab)

�2=0�=2

020＝－2020＝.�2

(21)1�+1=0�1

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3.7【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5

－4×2＝15－8＝7.

4.－【解析】∵x＋＝，∴(x－)2＝(x＋)2－4＝()2－4＝，∵0＜x＜1，

65113111325

∴x－3＜60，∴x－＝－，�∴6x2－＝(x�＋)(x－�)＝×(－6)＝－36.

11511113565

2

��6�－��6636＋

变式4.13【解析】∵－＝，∴＝，∴xy＝(x－y)2，∴＋＝

－－22

111��1����

������������

＝(－)＝＝.

23

��+2��3��

5.3����

6.4【解析】∵单项式3xmy与－5x3yn是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3

＋1＝4.

7.D【解析】逐项分析如下：

选项逐项分析正误

＋

Aa2·a5＝a25＝a7≠a10✕