2025年北师大版八年级数学寒假专练：实数（12大题型）含答案

专题02实数

,内容早知道

》第一层巩固提升练（12大题型）

题型一平方根及其相关运用

题型二立方根及其相关运用

题型三平方根和立方根的实际应用

题型四无理数的大小估算

题型五实数的相关概念与运算

题型六二次根式相关概念与性质

题型七最简二次根式与同类二次根式

题型八二次根式的大小比较

题型九二次根式的混合运算

题型十分母（分子）有理化的运用

题型十一复合二次根式的化简

题型十二二次根式的应用

"第二层能力培优练

0=第三层拓展突破练

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

题型一平方根及其相关运用

☆技巧积累与运用

1.算术平方根：如果工2="（x>0）,那么这个数x叫做。的算术平方根，即：x=6。

2.平方根：如果/=a,那么x叫做a的平方根，即：x=±〃\

3.平方根和算术平方根的区别与联系

区别：（1）定义不同；（2）结果不同：土日和山i。

联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方

试卷第1页，共20页

根均为0。

（24-25八年级上•福建漳州•期中）

1.下列说法错误的是（）

A.J话的平方根为±4B.±3是9的平方根C.25的平方根为±5

D.负数没有平方根

（24-25八年级上•安徽宿州•阶段练习）

2.-+2024的平方根分别是。，b,则的值为（）

a

A.0B.1C.-1D.2

（24-25八年级上•河北石家庄•期中）

3.已知有是整数，则正整数”的最小值是（）

A.4B.5C.6D.2

题型二立方根及其相关运用

☆技巧积累与运用

1.一个数。的立方根，用妙表示，其中。是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运

算。

2.任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相

同。

两个互为相反数的数的立方根也互为相反数。

3.立方根的性质：而（V^）3=aM=-五

4.被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移

动1位。

（23-24八年级上•辽宁锦州•阶段练习）

4."的立方根是.

（23-24七年级下•安徽池州•期末）

5.若址）.3670=0.7160,#3.670=1.542,W-0.003670=.

（23-24七年级下•云南昭通•期末）

6.已知5a+2的立方根是3,3a+6-1的算术平方根是4,求（。+26）2必的值为：.

试卷第2页，共20页

（24-25八年级上•成都市•期中）

7.解方程:

（1）4（X-1）2-49=0；

（2）27（2x-l）3=64.

题型三平方根和立方根的实际应用

☆技巧积累与运用

①与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。

②按照正常方程思路，首先设未知数，列等式方程；再求解未知数；最后回答题干问题。

（24-25七年级上•浙江杭州•期中）

125

8.边长为。的正方形面积为256,棱长为6的正方体体积为X，则油的值为.

64

（24-25八年级上•山西运城•期中）

9.某饰品店老板想用一块边长为20cm的正方形包装纸裁剪一块面积为360cm2的长方形包

装纸（裁痕平行于正方形边长），且长方形包装纸的长、宽之比为4:3,请你用所学的知识

判断是否可以裁剪出来？并说明理由.

（24-25八年级上•河北石家庄•期中）

10.【问题发现】（1）如图1,把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4

个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为

大正方形的边长为.

【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方

形.如图2,将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角

试卷第3页，共20页

形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFG”的边长为

;大正方形的面积为；边长为.

【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积

为740cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4.请通过计算说明是否可行.

题型四无理数的大小估算

☆技巧积累与运用

估算法：（1）若则如<G<阮;（2）若则M<&<眄;

根据这两个重要的关系，我们通常找距离。最近的两个平方数和立方数，来估算G和妫

的大小。

例如：9<a<16,则3<G<4;8<a<27,则2c五'<3。

常见实数的估算值：血。1.414，百。1.732,百22.236。

（23-24七年级下•贵州遵义•期中）

11.“广州塔”以其独特的几何美学吸引了全世界的关注，其设计充满了曲线与几何的融合,

展现了建筑美学理念.建筑设计师在创作过程中，运用了黄金分割比例，使建筑在视觉上更

具协调性和美感.黄金分割的比值约为且二，这个比值范围正确的是（

2

J5-1J5-1

A.0.60<-——<0.61B.0.61<-——<0.62

22

V5-1V5-1

C.0.62<-——<0.63D.0.63<-——<0.64

22

（24-25八年级上•陕西咸阳•期中）

12.已知〃，6是两个连续整数，+5<b,则6的值为（)

A.5B.6C.7D.8

（24-25八年级上•河北石家庄•期中）

13.如图，数轴上A,3两点表示的数分别为血和疝，则A,8两点之间表示整数的点

试卷第4页，共20页

共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

（24-25八年级上•山东荷泽・期中）

14.【阅读与思考】我们知道不是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此近的小数部

分我们不可能全部的写出来，而因为即2＜不＜3,于是近的整数部分是

2,将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用近-2来表示近的小数部分.结合

以上材料，回答下列问题：

（1）”7的小数部分是,八-1的整数部分是;

（2）如果石的小数部分为。，后的整数部分为人，求a+6-君的值；

题型五实数的相关概念与运算

☆技巧积累与运用

1.无理数常见类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有7T的绝

大部分数。

2.每个实数都可以用数轴上的一个点来表示：反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数,

即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。

3.在实数范围内，相反数、倒数绝对值的意义和有理数范围内的意义完全相同。

4.实数和有理数一样，可进行加、减、乘、除乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律

对实数仍然适用。

（23-24七年级下•湖南长沙•期末）

15.公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分

数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整

数或整数的比表示，从而发现了无理数.下列各数中不是无理数的有（）

7

A.—B.V9C.72D."

（23-24八年级上•山东济南•开学考试）

16.下列说法正确的个数为（）

试卷第5页，共20页

①有理数与无理数的差都是有理数；

②无限小数都是无理数；

③无理数都是无限小数；

④两个无理数的和不一定是无理数；

⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

（24-25八年级上•吉林长春•阶段练习）

17.如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数据向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点

。，点。'对应的数是兀，这说明无理数兀可以用数轴上的点表示出来.则下列说法正确的

A.数轴上只能表示有理数B.数轴上只能表示无理数

C.有理数与数轴上的点一一对应D.实数与数轴上的点——对应

（24-25八年级上•江西吉安・期中）

18.-64的立方根的相反数为,J正的平方根的绝对值为,的倒数

为.

（2024・北京•模拟预测）

19.从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理.你只需要“说明”这些问

题即可，无需给出严格的“证明”.

问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大?

问题二：也是有理数还是无理数？

—1）•••（«・加+1）

问题三：〃，加均为正整数，且加是正整数吗？

问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的哆”的定义）

题型六二次根式相关概念与性质

☆技巧积累与运用

1）二次根式：形如G（a20）叫做二次根式

试卷第6页，共20页

2）二次根式标有意义的条件：被开方数（式）为非负数（«>0）

注：①。仅是一个表示式，可为常数、单项式、多项式等整式

②二不一定无意义。当好0时，则-起0,有意义。关键是看被开方数这个整体是否非负。

a（a>0）

3）平方根的性质77=14=0（。=0）（五）、。（a>0）

-a（a<0）

（24-25九年级上•福建泉州•期中）

20.下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.y/a2—2B.yja2+3C.3D.J-2a

（24-25九年级上•四川内江•期中）

21.已知无-2>0,则下列二次根式一定有意义的是（）

A.-xB.y/x—3C.y/x—1D.Jx-4

（24-25八年级上•成都・期中）

22.已知实数。满足|2024-4+&-2025=a,则0-20242的值为（）

A.2024B.2025C.20242D.20252

（24-25九年级上•四川内江•期中）

23.实数X、y、z满足条件五+Jy-l+Jz-2=w（x+y+z+9）,则初-z的值是

题型七最简二次根式与同类二次根式

☆技巧积累与运用

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不

含有可化为平方数或平方式的因数或因式.

同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个

二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并.

（24-25八年级上•广东茂名•期中）

24.下列式子中，为最简二次根式的是（）

A.B.J30C.-y/sD.77

（24-25八年级上•江苏苏州•期中）

试卷第7页，共20页

25.下列二次根式中，能与迎合并的是（）

A.^8B.C.s/12D.Jo.2

（23-24八年级下•吉林四平•期中）

26.若g与最简二次根式标工I可以合并，则加=.

题型二次根式的大小比较

☆技巧积累与运用

对于二次根式的大小比较，常用以下几种方法：平方法、作差法、作商法、分子有理化法、

分母有理化法、倒数法、特殊值法及定义法等。

平方法：主要针对一些二次根式的和或者差，不能通过观察，常常先需要平方，将其化为整

数再比较大小。

作差法：若大数减去小数，则差大于0,若小数减去大数，则差小于0。

作商法：若被除数小于除数，则商小于1,若被除数大于除数，则商大于1。

（24-25八年级上•山西晋中•期中）

27.利用数形结合的思想，可以比较实数的大小.若在方格纸中构造如图所示的图形（方格

纸中每个小方格的边长为1）,结合图形可得6―1+V2.（填或“=”）

［，］

（23-24八年级上•湖南衡阳•期中）

28.比较大小：立匚2（填“>,<或=”）

2

（24-25八年级上•内蒙古包头•期中）

29.比较大小：V3__2；y/15____3.85；1二1

28

题型九二次根式的混合运算

☆技巧积累与运用

在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除,

最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行。另外，有

理数的运算律在实数范围内仍然适用.正确化简各数是解题关键。

（24-25九年级上•河北邢台•期中）

试卷第8页，共20页

30.如下所示可将》=也二转化为方程x2+x-l=0,我们规定：方程Y+x-l=0称为

2

X=避二1的还原方程.

2

x=^，■去分母,2x=V5-l

移项，2x+l=6

两边平方，4x2+4x+1=5

整理，x2+x-l=0

则的还原方程是.

2

(22・23八年级上•四川成都•阶段练习)

乙1-1

31.已知苫=­，"行5

⑴①求代数式/+xy+/的值;

②先化简，再求值：《+*.

(2)若-x的小数部分为生一了的整数部分为6.化简求值:

-a)-2y+yj-b3-(x+4)202'(a+3户”.

(24-25八年级上•陕西咸阳・期中)

32.计算

(芯义厢2

⑴^^一2；

⑵(6+2)(1-@；

(3)|V7-3|-3V2xV14；

⑷(2+6『-(3-2@(3+2后)；

(5)^2712-2^1+727^273.

题型十分母(分子)有理化的运用

☆技巧积累与运用

试卷第9页，共20页

分子有理化与分母有理化：在对分子或分母变形时，主要用到平方差公式来进行的。

1）首先，将分子和分母各自简化为最简二次根式，确保没有多余的根式因子。

2）然后，关键步骤是找到分母的有理化因式。所谓有理化因式，指的是两个含有二次根式

的代数式，它们相乘后的结果中不含有二次根式。

3）接下来，将分子乘以分母的有理化因式，目的是消去分母中的根式部分，使得最终结果

只有有理数或最简二次根式的形式。

（24-25八年级上•四川成都•期中）

33.阅读下列解题过程：

]M而"）娓-小%R

瓜+小一（加+司（后-石厂（何、（百

请回答下列问题：

（1）观察上面的解答过程，请写出+;

3333

⑵利用上面的解法’请化简：年方+正二万+后石+,….,血024+也025

⑶g-JiE和耳-屈的值哪个较大，请说明理由.

（24-25九年级上•山西•阶段练习）

34.阅读与思考

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容.请认真阅读，然后完成后面的任务.

关于“分母有理化”的研究报告

博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值

研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值.

研究方法：利用概念一法则的方式进行研究

研究内容：【两个概念】

（1）在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称

这两个代数式互为有理化因式，如血的有理化因式为0+1，g+后的有理化因式是

V3-V2.

（2）在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化因式,

这样把分母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，如：

试卷第10页，共20页

41+\~(V2+1)(V2-1)-

【概念理解】

(1)血+石的有理化因式是.

(2)5后分母有理化的结果为.

任务：

⑴直接写出研究报告中“_____”处空缺的部分分别是、.

(2)利用分母有理化比较£_戈与圭的大小.

⑶计算：/需+/万+正条+…+悬6

(24-25八年级上•陕西咸阳•期中)

35.认识概念：

一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数

式互为有理化因式；

如：V3xV3=3；(V2+1)X(V2-1)=2-1=1,我们称为的一个有理化因式为百，四+1的

一个有理化因式是应-1；

二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,

使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

,11x(2-拘

如：iwr=2-^/3；

(2+V3).(2-V3)

理解应用：

L2

(1)填空：百-2的有理化因式是；将■万分母有理化得:

335

⑵化简：/k京iF

拓展应用：

(3)利用以上解题方法比较3-2也与5-2"的大小，并说明理由.

题型H■一复合二次根式的化简

☆技巧积累与运用

试卷第11页，共20页

化简二次根式，关键是要化简出平方（偶次）项来，我们八年级上册学习的完全平方公式能

够很好的完成这个任务。因此，在化简二次根式时，我们常用到乘法公式。

（24-25八年级上•贵州贵阳•期中）

36.贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式正不后的难

题.

【问题解决】

⑴小慧同学的解决思路是将3-20转化为（。-可2的形式，根据J（a-6）2=a-b.因为

（V2）2+l2=3,2xV2xl=2V2，所以，b=,则可得到化简；

【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式45+2卡;

【问题迁移】（3）若1WXW2,解方程Jx+2J无一1+Jx-2y/x-l=5（尤+3）.

（23-24八年级下•贵州黔东南•期中）

37.先阅读下列解答过程：

材料一：形如的式子的化简,只要我们找到两个正数使。+6=加,。6=〃，

即（G）+（筋）=m,y[axy/b=y[n,那么便有y]m±14n=+y[b'）2=y[a±y[b（a>b）-

例如：化简47+4省・

解：首先把g+4被化为j7+2g，这里机=7,«=12,

由于4+3=7,4x3=12,即（"『+（道『=7,74x73=712,

所以《7+46=V7+2V12=’（4+6）2=2+V3.

材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化

因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.例如：

11x73V38873x738（指+码、幅、、国

TTTrqr5'不正一（反一码（指+@一一4—……

请根据材料解答下列问题：

（_____3

（1）填空：①“—2方=:②忑7=-

⑵化简：719-4715（诸写出计算过程）；

试卷第12页，共20页

111

⑶化简：7^运+忘市+后变.

题型十二二次根式的应用

☆技巧积累与运用

注意题目中的隐含条件：在解决二次根式实际应用问题时，还需要特别注意题目中的隐含条

件。这些隐含条件可能是对被开方数的限制、对根的个数的限制等。在解题时，要认真审题,

充分挖掘这些隐含条件，以免造成解题错误。

(24-25九年级上•河南洛阳•阶段练习)

38.有一块矩形木板N2C。，木工甲采用如图的方式，将木板的长4D增加2V§cm,宽48

增加7AQcin，得到一个面积为192cm2的正方形/EFG.

B'-----------'C；

II

II

II

II

II

II

II

II

G---------------F

(1)求矩形木板45CD的面积；

(2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为12cm"宽为逅cm的矩形木料，则该矩

2

形木料的长为cm；

(3)木工丙想从矩形木板N5C。中截出长为2.0cm、宽为1.5cm的矩形木条，最多能截出

根这样的木条.

(24-25八年级上•山东青岛•期中)

39.已知Z=G+B=yla+b(<a>0,>0).

(1)计算：当。=0,6=1时，A-,B=；

当Q=1,b=l时，A=,B=；

当a=4,6=12时，A=,B=；

(2)猜想：无论〃，b为任何非负数时，A8始终成立(填“>”，“<”，">"，

或“二”)；

⑶请说明(2)中猜想的合理性.

试卷第13页，共20页

（24-25九年级上•湖南衡阳•阶段练习）

40.“二次根式”与“乘法公式”的碰撞往往很精妙，例如：①借助完全平方公式求3-2&的

算术平方根，•••3-2后=2-2亚+1=（拒『一2行+「=（百一1『，.•.,3-2亚=拒-1；②

利用完全平方公式求x+J（x>0）的最小值，当。>0,6>0时，有振了之0,...

a-2y[ab+6>0,即a+b2。，x+工22/了」=2,，x+一的最小值为2.

x\xx

根据以上信息解决以下问题：

D

（1）化简76+2-75的值为;当x<0时，-尤-*的最小值为;

⑵在RtZX/BC中，ZC=90°,AB=4-也,AC=6,那么2C边的长为多少？（结果化

成最简）.

（3）如图，四边形/BCD的对角线/C,2。相交于点O,"OB、△C。。的面积分别为12

和27,求四边形4BCD面积的最小值.

--------G^2HD-O-©--------

（24-25八年级上•四川成都•期中）

41.下列各式中运算正确的是（）

A.正=-2B.廊=±7

C.玳-4）3=4D.^27=3

（24-25八年级上•山西运城•期中）

42.根据表中的数据估计环的十分位上的数字是（）

n262.44265.69268.96272.25

16.216.316.416.5

A.2B.3C.4D.5

（24-25八年级上•福建泉州•期中）

试卷第14页，共20页

43.下列关于后的叙述中，错误的是（）.

A.面积为5的正方形的边长为6B.火是无理数

C.在数轴上存在表示石的一个点D.右的小数部分是：2-6

（24-25七年级上•浙江宁波•期中）

44.下列说法正确的个数是（）

①最小的负整数是-1;②实数与数轴上的点一一对应；

③当。20时，14=-a成立；④两个无理数的和仍为无理数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

（24-25八年级上•陕西咸阳•期中）

45.下列计算中正确的是（）

A.375x372=3710B.26+3亚=5石

C..9-=3-D.员百=也

V42

（24-25八年级上•重庆・期中）

46.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简J（a+b）2+J（a+l）2的结果为.

-------1-------.-----------------1--------->-----------------1——>

-1a0b1

（23-24九年级上•重庆北暗•期中）

47.最简二次根式+6与。弋36-.是同类二次根式,则a+6=.

（23-24八年级上•江西抚州•阶段练习）

48.运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：

（1）当3WaV7时，化简：J（叱3）2+J（7_a）2=；

（2）若等式J（a-5）2_J（a+9『=14成立,则a的取值范围是；

⑶若J（a+1）2+=8,求a的值.

（24-25八年级上•河北唐山•期中）

49.数学课上，老师讲解实数与数轴上的点是一一对应关系，要求学生在数轴上描点.

Miijtu:uj即gI9鬻

颇n急14

（1）点A表示的数是面积为2的正方形边长，点A表示的数是；在数轴（如图）上标出

试卷第15页，共20页

点A；

（2）把一枚直径是1的硬币边缘上的一点3与数轴原点重合，让硬币沿数轴负方向无滑动滚动

一周，此时点8处表示的数字是，并在数轴（如图）上标出点8.

（3）比较点8处表示的数字与一所的大小，直接写出结果.

（24-25八年级上•广东茂名•开学考试）

50.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数7：机<7<〃，（其中加为满

足不等式的最大整数，〃为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（见“）,

如1<也<2,所以血的麓外区间为（1,2）.

（1）无理数M的“麓外区间”是；

（2）若6=Ja-2+j2-4-V7,求6的“麓外区间”.

（24-25八年级上•浙江杭州•期中）

51.阅读材料，完成下列任务：

材料一；材料二：

我们可以用以下方法

表示无理数近的小数我们可以用以下方法求无理数斌的近似值（保留两位小数）.

部分.

4<7<9,

••・面积为107的正方形的边长是&而，且10<Vi而<11..••设

•••V4<V7<V9,即

V107=10+x,其中0<x<l,画出边长为10+x的正方形，如图

2<77<3,

1：根据图中面积，W102+2X10X+XZ=107,当一较小时，忽略

,近的整数部分为2,

%2,得100+20x=107.解得x=0.35.

.••疗的小数部分为

.­.VW7=10+x=10.35.

VY-2.

试卷第16页，共20页

(1)利用材料一中的方法，厉的小数部分是二

(2)x是屏-2的小数部分，y是5-后的小数部分，则x+y的值是多少？

(3)利用材料二中的方法，探究而7的近似值(保留两位小数，并写出求解过程)

(24-25八年级上•辽宁沈阳•期中)

52.阅读材料：像心+2)(病-2)=1,G•6=小20)…这种两个含二次根式的代数式

相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时，利

I6+1n:,

==V

用有理化因式可以化去分母中的根号.例如：(72-i)(V2+i)

请你根据上述材料，解决如下问题：

(1)旗-石的有理化因式是，£加=；

⑵比较大小：J2025-J2024______J2024-J2023(填>,<,2或4中的一种)

(3)计算：[遭+]+逐+道+77+7?+…+V2025+V2023)^2025+0

(4)已知J2025+X+V2023+X=2,求J2025+X-J2023+X的值.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(24-25七年级上•浙江宁波•期中)

53.对于实数。、b,定义min{a,6}的含义为：当qVb时，mm{a,b}=a；当时，

min{a,6}=6,如：min{l,-2}=-2.已知min=a,minl-V40,Z,|=-740,且a

试卷第17页，共20页

和6为两个连续整数，则4a+66的立方根值为（）

A.3B.-2C.-3D.-4

（24-25八年级上•重庆南岸•期中）

54.对依次排列的两个二次根式近，Q进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：

夜，y/3,V3-V2；第2次操作，得到二次根式串：O,拒,V3-V2,-亚；第3次

操作，得到二次根式串：也，V3-V2,-V2，-百；…，每次操作增加的项，都是

用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串

展开研究，得到下面3个结论：

①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0.

②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9个.

③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是26-血.

以上结论正确的个数有（）

A.3B.2C.1D.0

（23-24八年级上•辽宁锦州•阶段练习）

55.类比平方根和立方根，我们定义〃次方根为：一般地，如果x"=a,那么x叫。的"次

方根，其中〃>1,且〃是正整数.例如：因为（±3）4=81,所以±3叫81的四次方根，记作:

土购=±3,下列结论中正确的是（）

A.负数。有偶数次方根B.32的5次方根是±2

C.20K声D.当”为奇数时，2的〃次方根随〃的增大而

减小

（24-25八年级上•重庆•期中）

56.任意一个四位正整数m=abed,如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上

的数字之和是10,百位与个位上的数字之和是9,则这个数称为“十拿九稳数”.将仅的千位

与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为“，其中尸（〃?）=踪£，则/。871）=；

若^厂（加）+4a+106+l为整数,则满足条件的“十拿九稳数”机的最大值为.

（24-25八年级上•山西临汾•期中）

57.对于实数P,我们规定：用｛四｝表示不小于V?的最小整数.例如：｛〃｝=2,

试卷第18页，共20页

｛百｝=2.现在对72进行如下操作：

72第一次＞｛阮｝=9第二次＞｛码=3第三次＞｛g=2,即对72只需进行3次操作后变为

2.类似地，要想让2024变为2,需进行的操作次数为.

(24-25八年级上•辽宁沈阳•阶段练习)

58.【观察发现】

•••函+病2=(倔2+(⑹2+276^5=11+2730.

•••711+2730=7(76+V5)2="+疗；

•••(2+V3)2=22+(V3)2+2x2x73=7+473,

•••77+4&=J(2+V3)2=2+V3.

【初步探索】

(1)化简：710+2721=；

(2)形如yjm-2-\[n可以化简为\[a—y[b,即sjm—=s[a—~Jb，且。，b,"I，"均为

正整数，用含。，6的式子分别表示加，“，得加=,〃=;

(3)若\+4幻=1+八后且x,V均为正整数，求x的值；

【解决问题】

(4)某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出.甲、乙两个饰品盒都是

正方体，底面积分别为80cm2和(14+6指)cn?.快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规

格如下表(纸箱厚度不计)：

型号长宽高

A型10cm8cm12cm

B型12cm10cm15cm

C型16cm10cm10cm

请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种

型号的纸箱？

(2024・广东•模拟预测)

试卷第19页，共20页

59.【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的

性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.

【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数加、"，它们的乘积q(q=m*

与较大数的和一定为较大数的平方.

(1)举例验证：当加=4,〃=5,则q+〃=4x5+5=25=52

(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：

设加＜〃，"八〃是连续的正整数，

n=m+l；q=mn,,-.q+n=mn+n=n(wz+1)=7z2.

.•・4+〃一定是正数〃的平方数.

【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你举例验证及推理证明；

【深入思考】若p=dq+2n+1q-2m(加，〃为两个连续奇数，0＜加＜%«="7"),求证:

p一定是偶数.

(23-24八年级下•江西赣州•期中)

60.定义：我们将(6+新)与(夕-6)称为一对“对偶式”.因为

(&+振)(&-痛)=(五『_(扬『=°一6,可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通

过构造“对偶式”来解决.

例如：已知,求J18-X+Jll-x的值,可以这样解答：

因为(J18-X-Jll-x)x(J18-X+Jll-x)=(718-x)2-(Vll-x)2=18-x_ll+x=7,

所以J18-X+Jll-x=7.

(1)已知：J20-X+J4-尤=8,求J20-X-J4-X的值;

(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：720^7+74^=8;

⑶计算：3V1+V3+573+375+775+577+十202342021+2021J2023.

试卷第20页，共20页

1.A

【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，

正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根.根据平方根的定义，逐个进行判断即可.

【详解】解：A、&%=4的平方根为±2,故不正确，故本选项符合题意；

B、士3是9的平方根，正确，故本选项不符合题意；

C、25的平方根为±5,正确，故本选项不符合题意；

D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意.

故选：A.

2.B

【分析】此题考查了平方根的意义.正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方

根，且互为相反数，据此进行解答即可.

【详解】解：:/+202422024〉0,/+2024的平方根分别是。，b,

6互为相反数且都不为0,

,.b,

：.a+b=0,—=-1,

a

.-.a+b——=0—(—1)=1,

故选：B

3.C

【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据题意可得2?x6”是一个完全平方数,

再结合〃为正整数即可得到答案.

【详解】解：•.•声=后应是整数，

.•・22*6〃是一个完全平方数，

・•・正整数〃的最小值为6,

故选：C.

4.也

【分析】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题

的关键，注意：a(a>0)的算术平方根是G，。的立方根是无.

先求出〃=2，再求出2的立方根即可.

【详解】解：:"=2’

答案第1页，共36页

.•.V4的立方根是蚯，

故答案为次.

5.-0.1542

【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

利用立方根的定义及负指数幕的性质判断即可.

【详解】解：,•・0.003670=3.670义10一3,

•••W-0.003670=3-3.670x10-3=-1.542X10-'=-0.1542,

故答案为：-0.1542.

6.92024

【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，解题的关键是根据立方根定义和算术平

方根定义求出。=5,b=2.根据立方根定义和算术平方根定义求出a=5,6=2,然后求

出结果即可.

【详解】解：:5a+2的立方根是3,

5。+2=27,

解得：a=5,

又•:3a+b-l的算术平方根是4,

二3a+6-1=16,

X"a=5,15+6-1=16

解得6=2,

・•.(a+26产,=(5+4).=9的.

59

7.(l)Xj=--,x2=-

7

(2)^=-

6

【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握利用平

方根解方程和立方根的实际应用是解题的关键：①利用平方根解方程的方法：一个正数有

两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，负数没有平方根；在解方程时，利用平

方根的定义进行开方，从而求出未知数的值；②利用立方根的概念解方程的方法：正数的立

方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0；在解方程时，利用立方根的

定义进行开立方，从而求出未知数的值；在求立方根时，常需转化为d=a的形式，也常常

答案第2页，共36页

将（x+af中的x+a看作一个整体来处理.

（1）在解方程时，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值；

（2）在解方程时，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值.

【详解】（1）解：4（X-1）2-49=0,

、4Q

整理，得：（x-l）-=彳，

7

开平方，得：x-l=±-,

7

x=1+—,

2

59

・F=”，

（2）解：27（2X-1）3=64,

,64

整理，得：（2x-l）3=1p

4

开立方，得：2x-l=§,

7

x=一.

6

8.20

【分析】本题考查了算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键.先利用正方

形的面积和体积公式求出a,6的值，然后再代入式子中进行计算，即可解答.

【详解】解：•••边长为。的正方形面积为256,

■-a2=256,

6Z>0,

6Z—16,

•••棱长为b的正方体体积为12标5，

64

高U,

64

：.b=—,

4

（26=16x—=20,

4

故答案为：20.

9.不能裁剪出符合要求的长方形包装纸，见解析

答案第3页，共36页

【分析】本题考查算术平方根的应用，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.

设长方形包装纸的长、宽分别为4xcm、3xcm,根据算术平方根求解比较即可得出结果.

【详解】解：不可以裁剪出来.

理由：设长方形包装纸的长、宽分别为4xcm、3xcm,

贝!J：4x-3x-360.BPx2=30,

解得：x=V30（负值舍去）.

长方形的长为4A画cm.

V4A/30>20

二不能裁剪出符合要求的长方形包装纸.

10.（1）2,72;（2）1,13,V13；（3）不可行，理由见详解

【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法

以及算术平方根.

（1）根据大正方形的面积=2个小正方形的面积和，即可得解；

（2）根据大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答；

（3）设截出的长方形纸片的长为5xc机，宽为4xc加，根据题意列出方程，计算即可解答.

【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为1+1=2,边长为0；

（2）由题意得：所得到的小正方形EFG8的边长为：3-2=1；大正方形N8CD的面积为:

4X1X3X2+12=13；边长为布；

（3）不可行，理由如下：

设截出的长方形纸片的长为,宽为4xcm,

则5x-4x=740,

x=A/37（负值舍去），

二截出的长方形纸片的