2025年福建八年级数学下册开学摸底考试（含答案解析）

2025学年八年级数学下学期开学摸底考

（福建专用）

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（）

【答案】A

【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称,

据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A.

2.下列计算正确的是（）.

A.4a—2a=2B.a2-a4=a8C.（/）=a6D.—（a—=—a—b

【答案】C

【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幕的乘法，幕的乘方，去括号等知识点，熟练掌握相应的运

算法则是解题的关键.

根据合并同类项、同底数暴的乘法、嘉的乘方、去括号法则逐项分析判断即可.

【详解】解：A.4a-2a=2"2,原计算错误，故选项A不符合题意；

B.原计算错误，故选项B不符合题意；

C.(/)2=/,计算正确，故选项c符合题意；

D.-(a-b)=-a+b^-a-b,原计算错误，故选项D不符合题意；

故选：C.

3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明44'0'9=44。5的依据是()

【答案】B

【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，用SSS证明三角形的全等，由作一个角等于已知角可得出

OC^O'C,OD=O'D'>CD=CD',即可得出ADOC会AD'O'C'(SSS)进而可得出答案.

【详解】解：由己知条件可得出。C=O'C,OD=O'D'，CD=CD',

AZJOC也AD'O'C'(SSS),

ACO'D'=ACOD,

即ZA'O'B'=ZAOB,

即说明ZA'O'B'=ZAOB的依据是SSS.

故选：B.

4.下列计算不正确的是()

A.V16—A/9B.=C.=-D.3^2-2A/2=V2

【答案】A

【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的意义、实数的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算

法则.

【详解】解：A、V16-V9=4-3=1^77,原计算错误，因此选项A符合题意；

B、*匡=+?,计算正确，因此选项B不符合题意；

V93

C、在=3,计算正确，因此选项C不符合题意；

V644

D、3亚-2亚=拒，计算正确，因此选项D不符合题意；

故选：A.

5.如图，△4BCHDCB,若NDBC=40。，则N/O8=()

【答案】D

【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等.

【详解】解：AABCWDCB,ZDBC=40°,

ZACB=ZDBC=40°,

：.NAOB=ZOCB+ZOBC=400+40°=80°.

故选：D.

6.如图，在ZUBC中，44c5=90。，CD是高，44=30。，BD=2,则48的长为()

【分析】本题考查了直角三角形的性质.首先在RMCB。中根据直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于

斜边的一半可知C3=4,在RM/8C中再次利用直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于斜边的一半得到

A8=8.

【详解】解：••,CD是高，

ZCDA=90°,

又•.，=30°,

ZACD=60°,

ZACB=90°,

:"BCD=NACB-NACD=90°-60°=30°,

在RMC8。中，CB=2BD=2义2=4,

在RtA/BC中，AB=2CB=2x4=8.

故选：C.

7.甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3h,到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花

的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你花的时间行驶80km”，从他们的交谈中可以判断乙驾驶的

时长为多长时间，设乙驾驶的时长为xh,依题意可得（）

A.=X.皿B.（3-）&=x.坨

x3xX3x

「80180—18080

C.—=------D.-----=-------

x3—xx3-x

【答案】A

【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的

关系，找到题意中的等量关系.设乙驾车时长为xh,则甲驾车时长为（3-x）h,根据两人对话可知：甲的

1QQQQ

速度为£km/h,乙的速度为rLkm/h,根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可.

x3-x

1on

【详解】解：设乙驾车时长为Xh,则甲驾车时长为（3-x）h,根据两人对话可知：甲的速度为子km/h,

on

乙的速度为:;——km/h,

3-x

根据题意得：（3-x）•四=x•普.

x3-x

故选：A.

8.如图，边长为〃的正方形，将它的边长增加b,根据图形可以说明公式：（）

A.（a+b）（a-b）=a2-b2B.（a+bf=a2+2ab+b2

C.-ft）2=a2-2ab+b2D.（tz+=tz3+3a2b+3ab2+b3

【答案】B

【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积的关系，根据新图形的面积可表示为+或

a2+2ab+b?,从而可得答案.

【详解】解：边长为〃的正方形，将它的边长增加6,则面积为（4+6）2或〃+2ab+〃，

・,.（〃+bp=a2+2ab+b1,

故选：B.

9.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=6,的面积为12,CQ14B于点直线跖垂直平分BC,

交AB于点E,交BC于点F,尸是线段E厂上的一个动点，则P5+P。的最小值是（）

A.4B.6C.7D.12

【答案】A

【分析】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，根据中垂线的性质，得到8P=CP,进而得到

PB+PD=PC+PD>CD,进而得到P3+PL1的最小值为CD的长，根据三角形的面积公式求出CD的长即

可.

【详解】解：连接尸C,

•.,直线跖垂直平分5C,

PC=PB,

：.PB+PD=PC+PD>CD,

,/CDVAB,

：

.S△ABC=-A2B-CD=n,

*/AB=6,

：.CD=4,

尸8+尸Z）的最小值为4.

故选：A.

10.如图，已知△4BC,分别以42、NC为边向外作等边△/B尸和等边△ZCE,CF和8E交于。点，则下

列结论：①CF=BE；②NCOB=120。；③。1平分NFOE；@OF=OA+OB.其中正确的有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】根据等边448户和AZCE的性质，利用SAS可证A43E四△，尸C,由全等三角形的性质可知①正

确；由三角形内角和为180。易求/BOC的度数,可知②正确;连接/。，过A分别作AP1CF于P,AM±BE

于。，由5.砥=5必笈可得4P=/。，进而可得04平分NFOE,所以③正确；在。尸上截取=08,利

用SAS可证AFBD空”5。，由全等三角形对应边相等可得。尸=。9+。。=。/+。5,故可得④正确，据此

即可求解.

【详解】解：•••△48尸和是等边三角形，

AB=AF,AC=AE,Z.FAB=Z.EAC=60°,

・•・/FAB+ABAC=ZEAC+ABAC,

即/FAC=/BAE,

在△/5£与春产。中，

AB=AF

<NBAE=/FAC,

AE=AC

：.AABE^AAFC(SAS),

:・BE=FC,/AEB=/ACF,故①正确；

ZEAN+ZANE+ZAEB=180°,ZCON+ZCNO+ZACF=180°,ZANE=ZCNO,

...ZCON=ZCAE=60°=ZMOBf

：.ZBOC=lSO°-ZCON=nO0,故②正确；

连接40,过A分别作4P1CF于P,于。，如图1,

AABE^AAFC,

•c—v

••LABE-uMFC，

：.^CFAP=^BEAQ,

•/CF=BE,

：.AP=AO,

.•.点A在NFOE的角平分线上，

：.O4平分NFVE,故③正确；

如图2,在。尸上截取00=08,

E

AOB。是等边三角形，

:.BD=BO,ZDBO=60°,

Z.NFBD=AABO,

,/BF=AB,

：.AFBD注“BO（SAS）,

DF=OA,

AOF=DF+OD=OA+OB,故④正确；

综上，正确的结论有①②③④，

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的内

角和定理，正确作出辅助线是解题的关键.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

H.如果式子471有意义，那么x的取值范围是

【答案】x>-2

【分析】本题考查二次根式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0,进行计算即

可.

【详解】解：由题意得：x+2>0,解得：x>-2；

故答案为：x>-2.

12.若正多边形的一个外角为60。，则这个正多边形的边数是.

【答案】六/6

【分析】本题考查了多边形的外角和.根据任意多边形的外角和都是360度求解即可.

【详解】解：360。+60。=6,

这个多边形的边数是六.

故答案为：六.

13.如图，在中，AB=AC,ZB=40°,点。为5c的中点，则/C4D=°.

B

D

【答案】50

【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到

/C=Z8=40。，ZADC=90°,再利用三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：=25=40°,

ZC=Z5=40°,

VAB=AC,。为5c的中点，

/.AD1BC,

：.NADC=90°,

ZC+ZCAD=90°,

：./CID=90°-40°=50°,

故答案为：50.

14.若式子x2+fcr+16是一个完全平方式，则左=.

【答案】±8

【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍

项即可确定k的值.

【详解】解：x2+fcr+16=x2±2x4x+42,

kx=+2x4x,

解得左=±8.

故答案为：±8.

15.关于x的分式方程:-+三=1的解是非负数，则加的取值范围为.

l-xX-1

【答案】加《3且aw2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出X,由解为非负数求出山的范围即可.

【详解】解：去分母，得％-2=1-x,

解得x=3-S，

；分式方程的解为非负数，

3-m>0,且3-5wl,

解得加W3且*2.

故答案为：加<3且%#2.

【点睛】此题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，解题关键是注意在任何时候都要考虑分母不为0.

16.我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线

段”.例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”.如图，在AEEG中，若NG=2NF,

且AMG有一条过点E的“等腰线段”，则ZF的度数m的取值范围为.

【答案】0°<m<45°

【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是正确理解题目所给“等腰线段”的定

义，掌握等腰三角形等边对等角的性质.设射线E4将AEFG分成两个等腰三角形，即△/£尸和△/EG,

设/尸=x,则/G=2x,然后根据等腰三角形的定义分情况讨论，利用等腰三角形底角一定小于90。解答即

可.

【详解】解：.•・胡为“等腰线段”，即此时A/E尸和AZEG为等腰三角形，

设Z.F-x,贝！JNG=2x,

如图，当==时，

/EAG=/G=2x,

•：ZG+ZEAG+ZAEG=180°,即4x=180。—/ZEG,且//EG〉00,

・•・2x<90°,

・•・xv45。；

如图，当=Z/=4G时，

；./AEG=/G=2x,/AEF=/F=x,

,/NG+/AEG+ZF+ZAEF=180°,即6x=180°,

：.x=30°,

VZG=2ZF,NEAF=/G+NAEG>NG>NF,

二不存在NE=E尸的情况，

如图，当E尸=4/时，

贝I]NEAF=ZFEA=1(180°-ZF)=9O°-1x,

•1•ZAEG+ZG+NFEA+"=180°,

ZAEG=180°-2x-190。一gx)-x=90°-gx,

ZFEG=ZFEA+AEG=2x+900--x=90°--x=ZEFA,

22

此时，点4G重合，(舍去)，

综上，加的取值范围为0°〈机<45°.

故答案为：0°<m<45°.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(8分)

计算：

(1产

k7m2-lm+1*

(2)(TT-4)°+2-2-(-l)2022+(—；)1.

【答案】(1岛

⑵一争

【分析】本题考查了分式的减法运算，零指数暴以及负整数指数累的运算；

(1)根据异分母分式的加减进行计算即可求解；

(2)根据零指数幕，负整数指数幕，有理数的乘方进行计算即可求解.

【详解】⑴解：*一黑

m(m—1)m—1

(m+l)(m—1)m+1

mm—1

m+1m+1

1

m+1

(2)(7T—4)°+2—2-(-1)2022+(_?1

1

=1+-—1—4

4

15

=~~4~

18.(8分)

因式分解：

(1)—2a+12。2—18a；

(2)(2%+y)2—(%—2y)2.

【答案】⑴-2a(a-3)2；

(2)(3%-y)(%+3y).

【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.

(1)先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可；

(2)利用平方差公式分解即可.

【详解】(1)解：—2a3+12a2-18a

——2a(小—6a+9)

=—2a(a—3)2；

(2)解：(2%+y)2—(%—2y)2

=[(2%+y)+(x—2y)][(2%+y)—(x—2y)]

=(3%-y)(%+3y).

19.(8分)

先化简，再求值：(答—其中X满足尤2—2x—4=0.

Vx2-xx2-2x+l/x

【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.原式括号中两项通分并利用同

分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值.

【详解】原式=[*等一缶]义已，

x2+2x—3—%2x

=-----------X-----,f

入2x-3

1

x2—2x+l'

,：x2-2x-4=0,

.'.%2—2x=4,

原式=三="

20.(8分)

如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,ZB=zF.求证：AC=DF

工

AL---------------

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由8F=EC可得BC=EF,进而由SAS可证明AABCmADEF,

即可得证.

【详解】证明*；BF=EC,

：.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在△力BC和△DEF中，

(BC=EF

“B=NE,

VAB=DE

：.△ABC=△OEF(SAS),

：.AC=DF.

21.(8分)

如图，已知在△ABC中，点。在边AC上，S.AB=AD,乙B=2乙C.

BC

(i)用尺规作图法，作AB"的平分线ap,交BC于点尸；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)在(1)的条件下，连接PD.求证：点。在线段PC的垂直平分线上.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是正确寻找全等三角形解决问题.

(1)根据要求作出图形；

(2)证明△P4B三力。，推出NB=N4DP=2NC可得结论.

【详解】(1)解：如图，射线4P即为所求；

D

BP\C

(2)证明：•••4P平分的C,

・•・乙PAB=Z-PAD,

-AB=AD,AP=AP,

：.APAB=APADf

•••Z-B=Z-ADP,

乙B=2zC,Z-ADP=Z-DPC+zf,

•••Z.DPC=zC,

：.DP=DC

■■点D在线段PC的垂直平分线上.

22.(10分)

为了提高垃圾处理速度，某垃圾处理厂购进小B两种机器处理垃圾.其中B型机器每天比4型机器少处理50

吨垃圾，且8型机器处理150吨垃圾与2型机器处理300吨垃圾所需天数相同.

(1)求4、B两种机器每天各处理垃圾多少吨？

⑵现有1072吨垃圾需要处理，若4型机器每天维护所需费用为150元，B型机器每天维护所需费用为65元,

那么在总维护费用不超过1480元的情况下，至多安排4型机器工作多少天？

【答案】(1)4型机器人每天处理的重量为100吨，B型机器人每天处理的重量为50吨.

(2)至多安排4型机器工作4天.

【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题

的关键.

(1)设B型机器人每天处理的重量为久吨，则4型机器人每天处理的重量为(x+50)吨，根据B型机器处理150

吨垃圾与2型机器处理300吨垃圾所需天数相同列出方程，解方程即可，注意验根；

(2)设B型机器人工作b天，由题意列出不等式组，b为整数，求出6的最小值，进而即可得解.

【详解】(1)解：设8型机器人每天处理的重量为x吨，则4型机器人每天处理的重量为Q+50)吨，由题意

列方程为：

150_300

x工+50'

解得：x=50,

经检验，%=50是原方程的根，

则x+50=100,

型机器人每天处理的重量为100吨，B型机器人每天处理的重量为50吨.

(2)解：设8型机器人工作b天，4型机器人工作0°,；0050b)天,

由题意得:

1072-50》

150x-Too-+65b<1480,

解得：b>12.4,

・・・b为整数,

最小为13,

将b=13代入中，解得“工作天数约为4,总费用为：150x4+65x13=1445V1480,符合题

忌，

.•.至多安排a型机器工作4天.

23.(10分)

(1)【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问

题.图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为

(2)【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形.

①通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式(a+6)2,(a—b)2,ab之间的等量关系.

②若a—b=10,ab=11,求a+6的值.

(3)【解决问题】如图4,C是线段4B上的一点，分别以AC,BC为边向两边作正方形4CDE和BCFG,设

AB=6,两正方形的面积和为20,求△4FC的面积.

【答案】(11)(a+以=a?+2ab+炉：(a—b)2=a2—2ab+炉；(2)①(a—b)2=(a+6)2—4a6,②

a+b=12；(3)4

【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，正确地计算图形的面积是解决问题的关

键.

(1)用两种不同的方法计算图|中大正方形的面积即可得出答案；用两种不同的方法计算图2中大正方形的

面积即可得出答案；

(2)①用两种不同的方法计算图3中大正方形的面积即可得出代数式(a+b)2,(a—b)2,ab之间的等量关

系；②根据①得(a—b)2=(a+b)2—4ab,再将a—b=10,ab=11代入计算即可得出a+b的值；

(3)设正方形4CDE的边长为a,BCFG的边长分别为d则a+b=6,a2+b2=20,

根据(a+b)2=a2+2ab+b?得ab=8.由此可得△ACF的面积.

【详解】解：(1)由图可得：图①中阴影部分的面积可以看成是一个大正方形的面积即(a+6)2,或两个正

方形的面积加两个长方形的面积即层+2尤+按，

・・・图①中阴影部分的面积能解释的乘法公式为(a+by=a2+2ab+b2；

图②中阴影部分可以看成是边长为a-b的正方形，即面积为(a-忸

所以面积为M—b2—2fo(a—b)=Q?-2ab+b2,

所以图②中阴影部分的面积能解释的乘法公式为(a-8尸=a2-2ab+b2；

故答案为：①(a+bp=a2+2ab+按②(a—6)2=a2—2ab+b2；

(2)①大正方形的面积为(a+b)2,小长方形的面积为必，阴影部分的面积为(a—力产,

・•・(a—fo)2=(a+b)2—4曲

②由(1)得：(a—6)2=(a+Z?)2—4ab

a—b=10,ab=11,

.-.(a+b)2=102+4xll=144

a+b=12；

(3)设正方形/CDE和BCFG的边长分别为Q,b,

a+b=6,a2+h2=20,

:.2ab=(a+b)2—a2—b2=16,

•*,ctb=8,

i

SAAFC=2ab=4-

24.(12分)

阅读下面的解题过程：

已知心="，求高的值・

解：由/Y=g知％。0,所以^^=5,即％+[=5

所以：当=/+2=(%+工丫-2=52-2=23

所以爰石的值为强

该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：

(1)已知岛•=《，求岛的值；

⑵行U求高的值；

(3)拓展：已知x+y——5，y+z—g,x+z_To,求xy+yz+zx的值•

【答案】(1医

(2心

【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思

路，仿照例题的解题思路解题.

(1)根据品;=1可得X+；=3,根据=X2+5=(X+工)2—2求出要|的值，可得*7=,；

%-/XX

422-3可求:X4+X2+4

(2)仿照例题先求倒数可得：%+|=4,根据x+x+4=X2Y4x+的值，可得

X2+1+N=i)

X21

%4+x2+413'

11111。，可得打打”所以可得蟹比1

(3)仿照例题求倒数可得：-+^=-2,+6,|+-17,=5+

?7xX

+：=7,利用倒数法可得最诙1

7

X

【详解】(1)解:,%2+i—可知工。0,

X2+lQ

-----=3,

X

1c

・•・%+-=3,

X

4—

x+lX2+-2=32-2=7,

X2X2\X)

1

%4+17?

X

(2)解：•.*x2+x+2可知％W0,

X2+X+2I-

--------=5,

X

2一

-%+1+-x=5,

2,

・•・%+—=4,

X

x4+x2+4!=(尤+。2

X2+1+-3=42-3=13,

X2\X)

1

x4+x2+413'

xyi.yz工xz=*,可知ywo,zwo,

(3)解:x+y2，y+z6x+z

._ny+z

xyyz=6,—xz=10,

11-11

二尹『一2,-+6,—I—=10,

7ZX

1.1.11.11

+-+-+-+-+-14,

yxyX

11,1

-4-----1—7,

yxz

xy+yz+zx1,11

xyz出+歹=7,

xyz1

xy+yz+zx7,

25.(14分)

在△ABC中，48=乙C,点。在线段BC上,

AAA

(2)如图2,AH平分484。，点F在线段B。上，FH14H交4。的延长线于点G,乙4cB与乙4GF的角平分线交于

点P,问磊是否为定值，请说明理由；

Z-C.ru

(3)如图3,