2025年高考数学一轮复习讲义：常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语

课标解读考向预测

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较

理解判定定理与充分条件、性质定理与必要低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等

条件、数学定义与充要条件的关系.偏易.2025年备考仍以选择题为主训练，主要

2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使涉及与函数、数列、三角的有关性质、不等

用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题式的解法及直线与平面位置关系的判定等相

进行否定.关知识结合考查.

必备知识——强基础

知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

p与q的关系结论

pnqp是q的画充分条件,q是p的画必要条件

p0q且q^>pp是q的画充分不必要条件

p£q且q0Pp是q的画必要不充分条件

poqp是q的厨充要条件

p^>q且q^>pp是q的画既不充分也不必要条件

2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系

设人={刈7(%)},B={x\q(x)],则

(1)若A&B,则。是〃的画充分条件;

⑵若42,则。是〃的画必要条件;

(3)若4=2,则〃是〃的画充要条件;

(4)若AB,则p是g的11。|充分不必要条件;

⑸若A8,则p是q的「川必要不充分条件.

3.全称量词命题与存在量词命题及其否定

名称

全称量词命题存在量词命题

形式

结构对M中112|任意一个x,p(x)成立ri可存在口中的元素x,p(x)成立

简记114|vx€M,p(x)115|3x€M,p(x)

否定|16匹€〃，”(x)1171VxWAf,

常用

1.在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围.

2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.对省略了全称量词的命题否定时，

要对原命题先加上全称量词再对其否定.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“小,错误的打“X”)

(1)当q是0的必要条件时，p是q的充分条件.()

(2)已知集合A,B,的充要条件是4=8.()

(3)lc3.r€M,p(x)”与1(x)”的真假性相反.()

答案(1W(2)Y(3W

2.小题热身

(1)(2024・四川绵阳南山中学模拟)“sina=sin£"是％=夕，的条件.(用“充分不必要”“必

要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)

答案必要不充分

JT

解析若a=%,尸=不，则满足sina=sin/,而不满足a=£；当a=4时，sina=sin£一定成

立，所以“sina=si邛”是“a=夕”的必要不充分条件.

(2)已知p：尤>°是g：2a<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

答案(一8,2]

解析由已知可得{尤[2<x<3}{x\x>a],所以aW2.

(3)(人教A必修第一册习题1.5T6改编)已知“若x>l,则2x+l>%”是假命题，则实数力的取

值范围是.

答案(3,+°°)

解析因为“若x>l,则2x+l>2”是假命题，所以叼x>l,使2x+lW2”是真命题.因为当

尤>1时，2x+l>3,所以实数力的取值范围是(3,+8).

(4)设命题)：3x€R,x2—2x+7〃-3=0；命题q：Vx€R,x1—2(m—5)x-\-nr+19:^0,若p,

q均为真命题，则实数m的取值范围为.

答案（|，4_

解析若命题p：3x€R,f—2x+机-3=0为真命题，则/=4一4（机一3）20,解得mW4；

若命题q：Vx€R,/一2（机一5）X+/"2+19W0为真命题，则/=4（机一5>—4（机?+19）<0,解

得加,+8）又0,〃均为真命题，所以实数根的取值范围为{相的W4}n|mm>|j=（j,4.

考点探究——提素养

考点一充分条件、必要条件的判断

例1（1）（2023•全国甲卷）气山2（/+5m2尸=1”是“sina+cos戒=0”的（）

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

答案B

解析当sin2a+sin2^=l时，例如a=],0=0,但sina+cos夕W0,即sin2a+sin2^=1推不

出sina+cos夕=0；当sina+cos戒=0时，sin2a+sin2^=（—cos^）2+sin2^?=1,即sina+cosS=0

能推出sin2a+sin2/?=1.综上可知，“sin2a+sin2^=1"是"sina+cos£=0"的必要条件但不是充分

条件.故选B.

（2）（2023•河北石家庄模拟）已知a,b,c€R,贝『％=6=c”是“层+62+02="+反+的，，的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若a=b=c,则a2+Z>2+c2=:3a2,ab+bc+ac—3a2,即a—b—c^^+^+c^—ab+bc

+ac,满足充分性；若。2+匕2+。2="6+儿+碇，则2a2+2/+202=2必+2儿?+2或:，所以层

-2czZ>+Z72+Z?2—2Z7c+c24-a2—2ac+c2=0,即（a—匕>+3一cA+g—c）2=0,则a—b—c,满

足必要性.故选C.

（3）（多选）下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是（）

,,11

A.尤c，>yc2B._<_<0

-xy

C.|x|>|y|D.Inx>lny

答案ABD

解析对于A,若xc2>yc2,贝！JdWO,贝Ux>y,反之x>y,当c=O时得不出x^yc1,所以"xc2〉》。，

是“x>y”的充分不必要条件，故A符合题意.对于B,由;$<0可得y<x<0,即能推出x>y,

但x>y不能推出:<；<0(因为x,y的正负不确定)，所以是“x>y”的充分不必要条件，故

B符合题意.对于C,由可得/>;/,则(x+y)(x—y)>0,不能推出x>y；由x>y也不能推

出(如x=l,y=—2),所以是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C不符合题意.对

于D,若lnx>lny,贝!|x>y>0,反之尤>y得不出Inx>lny,所以“Inx>lny"是“尤〉y"的充分不必

要条件，故D符合题意.

【通性通法】

充分、必要条件的两种常用判断方法

【巩固迁移】

1.(2023.北京高考)若孙WO,贝心x+y=O”是［+：=—2"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为xyWO,且1+：=—2,所以f+y2=—2孙，即r+V+ZxynO,即(x+y)2=0,所

以x+y=O.所以“x+y=O”是［+：=—2”的充要条件.故选C.

2.(多选)(2023•广东广州华南师大附中模拟涵数7(x)=sin(2尤+0+袭)为偶函数的一个充分条

件是()

,5兀-2兀

A.(p=—~^B.(p=

〃兀一兀

C.夕=4D.(p=q

答案BD

解析由题意得9+亲=%兀+多左€Z,解得夕=左兀+?Z,令k=-l,则夕=一冬令k

JT

=0,则9=].故选BD.

考点二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围

例2已知p：—2WxW10,q：1—1+m(m>0).

⑴若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为

⑵若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为

答案(1)(0,3]⑵[9,十8)

l-m，一2，1-m>—2，

解析(1)因为p是4的必要不充分条件，所以■或1+，武1。，解得‘后3’又

1+〃2<10

m>Q,所以实数机的取值范围为(0,3].

1—-2，f1­m<-2，

(2)因为p是q的充分不必要条件，所以,或{,、解得机》9,即实数加

的取值范围为[9,+8).

【通性通法】

由充分、必要条件求参数范围的策略

巧用转化把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之

求参数间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形

端点值慎

在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍

取舍

注意：考虑空集的情况.

【巩固迁移】

3.(2023•福建福州四校联考)已知p：A=H厂GWOj，q：8={尤仇一。<0},若p是q的必要

不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.(2,+8)B.[2,+8)

C.(一8,1)D.(-8,1]

答案D

解析由题意得A={x|(x—2)Q—1)20且无#1}={X|尤或无<1},B={x\x<a],是g的

必要不充分条件，A,...aWL故选D.

考点三含有量词的命题的否定及真假判断

例3(1)设命题p：平行四边形对角线相等，则〉为()

A.平行四边形对角线不相等

B.有的平行四边形对角线相等

C.有的平行四边形对角线不相等

D.不是平行四边形对角线就不相等

答案c

解析因为命题P为省略了全称量词“所有''的全称量词命题，所以有的平行四边形对角

线不相等.故选C.

⑵(2024•湖北百校高三联考)设命题P：三无€(0,4),21十,=18；命题q：每个三角形都有内

切圆，贝式)

A.命题p的否定：Wxe(0,4),2叶6=18

B.命题p是真命题

C.命题q的否定：存在一个三角形没有内切圆

D.命题q是假命题

答案C

解析命题p的否定应为“Wxe(0,4),2*+,#18”,所以A错误；因为兀0=2*+#•在

(0,4)上单调递增，所以式X)勺(4)=18,所以当x€(0,4)时，2工+百<18,所以命题p为假命

题，所以B错误；命题q的否定为“存在一个三角形没有内切圆”，所以C正确；任何三角形

都有内切圆，所以命题q为真命题，所以D错误.故选C.

【通性通法】

1.含有量词命题的否定与不含量词命题的否定

含有量词命题的否定与不含量词命题的否定有一定的区别，含有量词命题的否定是将全称量

词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而不含量词命题的否定需先将

量词加上再按照含有量词命题的否定解答即可.

2.含有量词命题真假判断的策略

判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成

立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

【巩固迁移】

4.(多选)(2024•河北沧州部分学校高三联考)命题p：3x€(0,2),x3>x6；命题4：每个大于2

的素数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是()

A.p是真命题

B.邛：Vx€(0,2),x3<x6

C.q是真命题

D.「4：存在一个大于2的素数不是奇数

答案ACD

解析若无=义，则x3方,所以〃是真命题，A正确；p：Vx6(0,2),x3^%6,B错误；每

个大于2的素数都是奇数，q是真命题，C正确；rg：存在一个大于2的素数不是奇数，D

正确.故选ACD.

5.（2024・湖北部分学校高三联考）已知p：3m€{m|-2<m<3）,使关于X的方程2?一m=0有

解，则>：・

答案Vm€{m\—2<m<3},使关于％的方程2—一m=0无解

解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，可得>：Vm€{m|-2<m<3},使关于x的

方程2d=0无解.

考点四根据命题的真假求参数的取值范围

例4（1）已知p：Vx€[3,4）,%2—“20,则p成立的一个充分不必要条件可以是（）

A.a<9B.a>9

C.a<16D.a>16

答案A

解析若p为真命题，则“Wf在区间[3,4）上恒成立，所以aW9,所以p成立的一个充分

不必要条件可以是。<9.故选A.

（2）（2024•山东聊城一中高三期中）若命题叼x€R,f+2a尤+2—a=0”是假命题，则实数a的取

值范围是.

答案（一2,1）

解析因为命题Tx€R,/+2m+2—a=0”是假命题，所以命题“Vx€R,/+2办+2—a¥0”

是真命题，所以/=4层一4（2—a）<0,即a^+a—2<0,所以一2<a<l.

【通性通法】

由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数

的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与〉的关系，转化成〉的真假求参数的范围.

【巩固迁移】

6.若命题“Vx€[l,4],x2—4尤一znWO”是假命题，则力的取值范围是（）

A.[—4,-3JB.（-8,-4）

C.[-4,+8）D.[-4,0]

答案D

解析若4],/—4x—「W0”是假命题,则4],/一标一机=0”是真命题，

即机=f—4x,设y=f—4x=（x—2）2—4,因为y=f—4x在[1,2）上单调递减，在（2,4]±

单调递增，所以当x=2时，ymin=­4；当x=4时，J>max=o,故当1WXW4时，-4WyW0,

则一4W«zW0.

7.已知命题p：m无>0,x+a—1=0,若p为假命题，则a的取值范围是.

答案[1,+8）

解析因为p为假命题，所以命题p的否定：Vx>0,x+a—1W0是真命题，所以xWl—a,

所以1-aWO,所以a^l.

课时作业

基础巩固练

一、单项选择题

1.（2023•天津高考）“片=庐，是“02+,=2而,，的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

答案B

解析解法一：若。2="，则当。=—670时,有析+庐=2片,2ab=-2a2,即片+庐#2a6,

所以726a2+62=2砧；若。2+/=2。6,则有片+/一2彷=0,即（a—8）2=o,所以0=匕,

则有a2=b2,即a2+b2=2ab=>a2=62,所以％2=卢，是“q2+b2=2qb”的必要不充分条件.故选

B.

解法二：因为，=62。4=—6或a=6,a2+b2=2ab^a=b,所以本题可以转化为判断a=一

b或a=b与a=b的关系，又“a=-6或a=6"是"a=b"的必要不充分条件，所以％2=庐，是

+/=2仍”的必要不充分条件.故选B.

2.（2024•浙江名校协作体高三上学期开学考试）设命题p：V»€N,rr<3n+4,则p的否定为

（）

A.〃2>3〃+4

B.V/7€N,«2^3M+4

C.37/€N,〃223"+4

D.Bn€N,“2>3”+4

答案C

解析因为命题〃：V??€N,"2<3〃+4,所以p的否定为于z€N,/》3"+4.故选C.

3.下列各项中是“四边形是矩形”的充分条件的是（）

A.四边形的对角线相等

B.四边形的两组对边分别相等

C.四边形有两个内角都为直角

D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补

答案D

解析对于A,四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A不符合题意；对于B,四边形的

两组对边分别相等为平行四边形，故B不符合题意；对于C,四边形有三个内角为直角才是

矩形，故C不符合题意；对于D,四边形的两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角

互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°,故相邻两角均为直角，

故该平行四边形是矩形，故D符合题意.故选D.

4.（2024•福建百校高三上学期第一次联考）命题WQ”的否定是（）

A.Vx€Q,-\/X2+HQ

B.Vx庄Q,M%2+1€Q

C.€Q,1-+1糖

D.VxEQ,y/x2+l€Q

答案A

解析因为命题“八€Q,y/f+1€Q”为存在量词命题,所以命题“ACQ,汽炉+1WQ”的否

定是“Vx€Q，留+1阵Q”.故选A.

5.（2023•湖南邵阳高三二模）已知集合4=[—2,5],B=[m+1,2m-1].若“尤€8”是“x€A”

的充分不必要条件，则m的取值范围是（）

A.（一8,3]B.（2,3]

C.0D.[2,3]

答案B

m+l<2m—1,

解析因为匕€中是匕的充分不必要条件，所以BA,所以《机+11—2，或

、2加一1<5

m+l<2m—1、

加+1>—2，则2<加43,即m的取值范围是（2,3].故选B.

{2m—1^5，

6.（2024・湖南长郡中学高三月考）若命题p：叼x€R,加+2以一420”为假命题，则4的取

值范围是（）

A.（-4,0]B.[-4,0）

C.[-3,0]D.[-4,0]

答案A

解析命题p：叼x€R,420”为假命题，即命题>：ax2+lax—4<0,9

真命题.当〃=0时，-4<0恒成立，符合题意；当时，贝1]〃<0且力=（2〃）2+16〃<0,即

—4<〃<0.综上可知,—4<〃W0.故选A.

7.命题f—2〃W0”是真命题的一个必要不充分条件是（）

A.B.

C.。三2D.

答案A

解析因为命题“VlWxW2,x2—2aW0”是真命题，所以了=2,则一个必要不充分条

max

件是aNL故选A.

8.（2023•山东济南模拟）若“八€（0,兀），sin2x—AsiirvO”为假命题，则上的取值范围为（）

A.（—8,-2]B.（—8,2]

C.（一8,-2）D.（一8,2）

答案A

解析由题意，知“五€（0,71）,sin2x—Asinx<0''为假命题，贝!|“Vx€（0,兀），sin2x—Asinx》。“

为真命题，所以2sinxcosxN左sinx,则kW2cosx,解得左W—2,所以上的取值范围为（-8,

-2].故选A.

二、多项选择题

9.（2024•安徽六安实验中学高三上学期质量检测）下列命题正确的是（）

A.命题汨x€R,>>1"的否定是“\/犬€1<,yWl”

B.”至少有一个无，使r+2工+1=（）成立”是全称量词命题

C.w3x€R,X—2>\后”是真命题

D."VxWR,记>0”的否定是真命题

答案ACD

解析对于A,因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题叼x€R,y>l”的否定

是“Vx€R,yWl”，故A正确；对于B,“至少有一个x,使/+2；1+1=0成立”是存在量词

命题，故B错误；对于C,当x=9时，9-2=7>79=3,所以“AWR,*—2内7’是真命题，

故C正确；对于D,因为当x=0时，/=0,所以“Vx€R,『>0”是假命题，其否定是真命题，

故D正确.故选ACD.

10.（2024.广东东莞东华高级中学高三模拟）若“Vx€M,|x|>x"为真命题，€M,x>3”为假

命题，则集合M可以是（）

A.{x|x<—5}B.{x|—3<x<—1}

C.[x\x>3]D.{邓）《}

答案AB

解析因为x>3”为假命题，所以xW3”为真命题，可得MU{小W3},又“Vx

|x|>x"为真命题，可得MU{小<。}，所以M={x|无<0}.故选AB.

11.（2024•江苏南京师范大学附属中学高三模拟）设a,b,c都是实数，则下列说法正确的是

（）

A.“后>加2”是、>6”的充要条件

B."Ina>lnb”是％2>庐，的充分不必要条件

C.△ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,则“sinA>sinB”是％知”的充要条件

D."tanO=率是“sin20=拿的必要不充分条件

答案BC

解析对于A,由〃，>反2可得〃>》，当C=0时，由Q>Z?,得〃02=历2,所以“〃。2>爪2"是

的充分不必要条件，故A错误；对于B,因为ln〃>lnA,所以〃泌>0,则层泌2,由次泌2,

得|〃|>|罚，若a>0>b,则Inb无意义，即推不出In«>lnb,所以“In〃>lnb"是“层>庐，的充分不

ah

必要条件，故B正确；对于C,根据正弦定理，得sinA>sin8=;m>#=4>Z?,所以"sinA>sin3”

ZKZK

是S6”的充要条件,故C正确;对于D,由tan0=坐,得6=^+kn（k€Z）,故sin20=sin停+2版）

=坐，由sin28=9,得20=生+24兀（左€Z）或2。=卷+2E（左€Z）,即。弋十左兀（左€Z）或。=

；+E/€Z）,故tan0=^或小，所以“tan0=率是“sin20=事的充分不必要条件，故D错

误.故选BC.

三、填空题

12.（2023•山东潍坊高三二模）若“尤=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，则a的一个可能值

是.

答案既只需满足a€（2E,2析+孰€Z）即可）

解析由sirir+cosx>l,得也sinG+*>l,即sin（x+*>坐，所以2E++x+$2fai+普（%

€Z）,解得2fat<x<24兀+全左€Z）,因为"x=a"是"sin%+cos尤>1"的一个充分条件，所以a的一

个可能值为今

13.（2024•福建厦门第六中学高三检测）已知命题“Vx€R,x2—2x+心0”为假命题，则实数机

的取值范围为.

答案（一8,1]

解析因为命题“VxeR,为假命题，所以命题与x€R,X2—2x+mW0”为真命

题，所以/=（—2>—4加三0,解得mW1.故实数根的取值范围为（一8,1].

14.若五乃二%2—2x,g（无）=ax+2（a>0）,Vxi€[—1,2],S%2€[—1-2],使g（尤。=黄尤2），则

实数a的取值范围为.

答案（。[

解析问题等价于函数g(x)的值域是函数兀。值域的子集.因为危)=f—2x=Q—1)2—1，X

€[-1,2],所以1,3],即函数五x)的值域是[—1,3],因为〃>0,所以函数g(x)的

值域是[2—a,2+2Q],则2—-1且2+2〃<3,即"式义•故实数〃的取值范围是(05].

B级,:素养提升练

15.(2024•江苏扬州中学高三上学期开学考试)若Fxe[l,2],使2『一加+1<0成立”是假命

题，则实数2的取值范围是()

A.(—8,2W)B.2A/2'!

「9,、

C.(一8,3]D.|_2'+°°J

答案C

解析若2],使2?—&+1<0成立”是假命题，贝2],使2f—Ax+lN0

成立”是真命题，即Vx€[l,2],2W2x+%令;(x)=2x+：,[b2],由对勾函数的性质可

知，/(x)在[1,2]上单调递增，故式X)mm=/U)=3,则4W3.故选C.

16.(2021.全国甲卷)等比数列｛斯｝的公比为q,前〃项和为&.设甲:q>0,乙：｛S。是递增数

列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当ai=—1,q=2时，｛S,｝是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当｛S〃｝是递增数列

时，有a”+i=S“+i—S〃=aiq”>0,若m>0,则g">0(〃eN*),即q>0；若的<0,则q"<0(〃eN*),

这样的q不存在，所以甲是乙的必要条件.故选B.

17.(2024•华中师范大学第一附属中学高三期中)在△ABC中，“tanBtanGl”是“△ABC为锐角

三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析若△A8C为锐角三角形，则2+。多即2>与一C,又0<8弓0<C<5>贝U04一C/,

（、cosC

所以tarEXan^—Cj,贝U以n8>.「>0,所以tanBtanOl；在△ABC中，若tanBtand,则

、乙xSilll_z

]cosCsin昼-0zx

tanB>0,tanOO,即5,。均为锐角，所以tanB>而面，KPtanB>^^=~rT=tan[5—CJ,

cosg-Cj一

所以吟―C,则B+O^,即A号所以△ABC为锐角三角形，故"tanBtanOl”是“△ABC

为锐角三角形”的充要条件.故选C.

18.(2023•新课标I卷)记S”为数列｛斯｝的前w项和，设甲：｛斯｝为等差数列；乙：作为等差

数列，贝1()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案C

解析解法一