2025年高考数学一轮复习讲义：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

第三节三角恒等变换

课标解读考向预测

三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查

1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角

利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公

差余弦公式的意义.

式进行三角函数式的化简与求值，重在考查

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差

化简、求值，公式的正用、逆用以及变形运

的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、

用.预计2025年高考可能单独考查，也可能

余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

与三角函数的图象与性质、向量等知识综合

3.能运用公式进行简单的恒等变换（包括推导

考查，应增强转化与化归思想的应用意识，

出积化和差、和差化积、半角公式，这三组

选择题、填空题、解答题均有可能出现，属

公式不要求记忆）.

中、低档难度.

必备知识——强基础

知识梳理

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(a一份：cos(a-P)=cosacosQ+simzsir^g.

(2)公式CQ+削cos(i+P)=cosacosQ—sinasin£.

(3)公式S(a_£)：sin(a—j8)=sinacos£—cosasiM.

(4)公式S(a+£)：sin(a+W)=sinacosS+cosasiM.

⑸公式T“tan(a」尸园十号

1十tanatan//

(6)公式T(“)：tan(a+.)=困tana+tan,.

1-tanatan//

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2a：sin2o=^^2sinacosa.

(2)公式C2a：cos2«=cos2a-sin2a=2cos27-1=1—2sin2g.

(3)公式T2a：tan2a二川？tan：

1—tan2一

3.辅助角公式

a

COS69=-/=.

^a2+b2

常用

1.两角和与差正切公式的变形：tanaitan^=tan(a±yff)(1+tanatan^),tanatanQ：]tana+tan£

tan(a+£)

tana—tan夕]

tan(a一为

c西行八^^1•cal+cos2a.1—cos2oc,1-cos2a

2.降暴公式：sinoccosa=-sin2a,cos2a=------------,sin29oc=------------，tan29a=------------.

2221+cos2a

fsin色cos02

3.升幕公式：1—cosa=2sin2-,l+cos(z=2cos2-,1±sina=l22」.

22

4.其他常用变形

.c2sinacosa2tana

sin2ot-~~----,

sin2a+cos2a1+tan2a

ccos2(x—sin2a1—tan2a

cos2(z,

sin2a+cos2ot1+tan2a

asince1-cosot

tan-=----------=—；------,

21+cos(zsince

5.

注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来.

诊断自测

1.概念辨析（正确的打7"，错误的打“X”）

(1)存在实数a,p,使等式sin(a+£)=sina+sin£成立.()

(2)当a是第一象限角时，sin^=^E|2^.()

(3)存在实数a,使tan2a=2tana.()

答案(1)V(2)x(3)7

2.小题热身

（1）侈选）cosa—\Esinct化简的结果可以是（）

1p—al

A.5cos16JB.2cosl3J

三一a

D.2sin16」

答案BD

rp-cosa—^sinalfcosacos--sinasin^lfa+^1<xl,,

解析cosa—N3sina=2l22J=2133j=2cosl3j=2siMj5J.故

选BD.

(2)(人教A必修第一册习题5.5T4改编)已知sina=T，cosa=^j^,则tan：=()

A.2-芯B.2+#

C.近一2D.士(近一2)

答案C

解析,/sina=—,cosa=0",/.tan-=一一=七一2.故选C.

5521+cosa

(3)(人教B必修第三册习题8—2BT3改编)已知。且sin6>=;则si《=，

e

2

答案

55

(4)(人教A必修第一册复习参考题5T13改编)已知。为锐角，且(tanl0o—3)sina=-2cos40。,

则］=.

答案80°

-2cos40°-2cos40°cosl0°

解析因为(tan10°—3)sina=—2cos40°，所以sina

tanl0°—A/3sinl0°—A/3COS10°

—2cos40°cosl0°

—2cos40°cosl0°.ccc

slnl0cos10。］----------------------=cos10°=sin80°又a是锐角，所以a=80。.

l0-f-2sin50°

2l

第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

考点探究——提素养

考点一和、差、倍角公式的简单应用

例1„海南海口模拟）若则不的值为（）

A.13B-T

D.3

答案A

cos(a-£)_cosacosS+sinasin£_1+tanatan/?_1+2__

解析由题意，得3.故选A.

cos(a+£)cosacos^—sinasin^1—tanatan//1—2

(2)(2024・九省联考)已知匕’q，tan20=-4ta』6'+d，则=()

2cos2e+sin28

3

C.1D.-

2

答案A

解析由ej“兀)，tan26=—4tan['+J,得2ta吗=__4(tan<9+l),则—43。+1)2=

1-tan2(9l-tan6>

2tan仇则(2tan8+l)(tane+2)=0,解得tan8=—2或tan8=一；，因为。金]“9，所以tan。

/1八、匕匕2_1El+sin26sin2^+cos2^+2sin0cos^tan20+l+2tan^

E(-l,0),所以tan8=——，则------------=---------------------=--------------=

22cos2e+sin262cos20+2sin^cos02+2tan。

-+1-11

4=一.故选A.

2+(-1)4

【通性通法】

直接利用和、差、倍角公式化简求值的策略

记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相

策略一

乘，符号反“

策略二注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用

策略三注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用

【巩固迁移】

71

a'若▼=%贝hm(a+“)=()

1.（2024•安徽毫州模拟）已知sina=j,aS9

167

A.B.

78

162

C.D.

73

答案C

解析因为；所以—丫4,_since_3EL

sina=,cosa=1—sin2a----,tana-------------,因为

5cosa4

81ni二81n…土005asi^=sina+cosata3=3—%邛=4,所以tan£=—匕，所以tan(a

cosjBcosjB554

317

tana+tan夕

+£)=

1—tanoctan^

2.（2023•河北保定模拟）已知锐角。满足2cos28=1+sin2。，则tan<9=（）

11

A.B.

32

C.2D.3

答案A

角星析V2cos20=1+sin20,2(cos2<9—sin20)=(sin0+cos02,即2(cos9—sin9)(sine+cos。)

=(sin^+cos<9)2,又。为锐角，・\sine+cosG0,2(cos^—sin^)=sin0+cos6>,即cos6=3sin仇

tan。=1.故选A.

3

考点二和、差、倍角公式的逆用与变形用

例」2(1)(2023•湖月匕武汉模以)sinl09Ocos296o+cos71Osin64o=()

A.-B.也

22

C.3D.1

2

答案B

解析sinl09°cos296°+cos71°sin64°=sin(180°-71°)cos(360°-64°)+cos71osin64°=

sin710cos640+cos710sin640=sin(710+640)=sinl35°=^.^<B.

1+tan—

12

（2）（2024•广西梧州模拟）)

14.7兀

1—tan——

12

A.B.

33

C.-A/3D.3

答案A

1+tan勿tan匹+tan"^pc17叫「r

角星析因为------=——------=tan112j=tan—-=tan显=tanC6j=-tan-=------.

,.7TI,.n.7TT12663

1—tan——1—tan-tan一

12412

故选A.

【通性通法】

公式逆用与变形用的技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.

(2)tanatan£,tana+tan£(或tana—tan/),tan(a+£)(或tan(a—£))三者中可以知二求一，应注重

公式的逆用和变形使用.

提醒：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.

(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的.

【巩固迁移】

3.(2024•福建永安三中模拟)cos(a—35o)cos(25o+a)+sin(a—35。闷11(25。+团的值为()

答案B

解析由两角差的余弦公式，得cos(a—35°),cos(25°+(z)+siii(a—35°)sin(25°+a)=cos[(a—

35。)一(25。+创=3(—60。)得故选B.

4.(2023•江苏常州二模)已知since—73cosa=l,贝Usinf?—，的值为________•

答案！

2

J=l,所以sin["J=l,令夕

解析已知sina-缶。sa=1,则

2

贝＞]Q=S+",即sin£=L所以sinE2s一期仅一2^|

3J=sinl2"J=cos2^=

332一

1—2sin2^=^.

雨

5.tan50°—tan20°——tan50°tan20°=.

3

答案

3

Aan500tan20-

解析tan50°-tan20°-ytan50°tan20°=tan(50°一20°)(1+tan50°tan20°)一

3

tartly。。)—-SO-ytaCAy。=：.

考点三角的变换

例3(1)(2024・四川绵阳模拟)已知sin'—]=?,则cost"—2=()

答案A

解析cos,-T=I—cosPLI—cd>2。)

J2xJ=<故选A.

⑵已知a,(/4，兀)，sin(a+£)=—sin]J=jf'则cos["J=

答案谭

解析因为a,夕金，，9，所以T<a+W<27i,

1<£一+手，因为sin(a+^)=一；

巳，所以5a+~\

cos(a+W)=g,cos所以cosl.4J=cos、4JL=cos(ot十।

13,

PJ+sinQ+^sinl

xl2=—直

•)coslI&u)=+1!1

支目1365

【通性通法】

i.三角公式求值中变角的解题思路

思路一当"已知角''有两个时，“所求角''一般表示为两个“已知角''的和或差的形式

当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应

思路二

用诱导公式把“所求角”变成“已知角”

2.常用的拆角、配角技巧

2a=(a+£)+(a-份，a=(a~\~°)一B=(a-£)+£,P=~~~~一」?」=(a+2£)一(a+尸)，a

卜？,？4+。工+q,a—£=(a—?)+(7一份,15o=45°-30°,；+a=]-M等

【巩固迁移】

6.(2023,山东烟台模拟)已知tan(a+£)=；,tan(a—£)=；,贝！Jtan(7i—2a)=()

A.1B.-1

C.2D.-2

答案B

1+1

解析•.•2a=(a+£)+(a—0,，tan2a=四迎切±13°@也=2^=1.又tan(兀一2a)=—

1—tan(a+jS)tan(a-P)一1*1

23

tan2(z,「・tan(兀-2a)=—1.故选B.

已知OVxV%sin1—cos2x

7.则

413

24

答案

13

—c°s2x_cos2x—sin2x=A/2(COSX+sinx)=2cos[4"由OVxV四得0<~—x<-,

解析cosb+x)y(cosx-situ)

444

所以原式=2喑=|

课时作业

基础巩固练

一、单项选择题

1.sin70°sin100+cos10°cos70°=()

A.-B.--

22

3n3

C.—D・-------

答案A

解析sin700sinl00+cosl00cos700=cos(700-100)=cos60°=2<^A.

2.在△48C中，若cosN=1,cos5=-1,则cosC的值为()

718

A.B.

2525

2424

C.D.

2525

答案C

解析在△/BC中，由cosZ=：,得siiL4=A/1—cos2^由cos5=—1,得sin^=^/l—cos25

44I-----134?4

=一，.•.cosC=cos[兀—(4+5)]=-cos(4+5)=­cos4cos5+siiL4sin5=—x1sjHx—=—.

555525

故选C.

c4叶atan70°tanl00+1

3.(2023•厂东茂名模拟)x--------------

tan70°-tanl0°

B.

D.

答案B

的刀析tan70°taal00+l113

牛tan70°—tanl0°tan70°—tanl()°tan6003.故选B.

l+tan70°tanl0°

已"一：）的值为（

4.已知a为第三象限角，且sin2（x—2=2cos2«,则sin)

77

A.B.

1010

7仍7也

C.D.

1010

答案D

解析sin2(x—2=2cos2«=>sin2(x—2=2(1—2sin2«)=>sin(z=因为a为第三象限角，所以

一",所以sin2«=2sinacosot=-,cos2«=1-2sin2a_3

sina,cosa，

555

?(sin2a—cos2a)=f^.故选D.

所以

个,则的值为（

（・保定模拟）已知-sin20

5.2023sinC4)

7

A.B--9

9

2

C.D--9

9

答案B

解析由典墟,得sin[4)=sin<9cos--cos0sin-=—(sin0—cos0=

smF墟，即sin。

34423

—COS<9=4,等式两边同时平方，得1—sin28=埋所以sin28=一乙

399

6.若sin(2a—0=Lsin(2a+£)=l,贝！Jsin2acos£=()

62

A.-B.-

33

C.-D.工

612

答案B

解析由sin(2a—.)=l,sin(2a+.)=L得sin2acos夕一cos2asin夕=1①，sin2acos少+

626

i0i

cos2asin^=-②，由①+②，得2sin2acos夕=g,所以sin2acos夕=g

[?M，若smL胃=g,10

7.已知a,££则sin（a—或）的值为（）

1633

A.B.22

6565

56

C.

65

答案A

由题意可得a+匹兀]夕一宜2,所以cos1+6/

解析

66

所以sin(a—£)=—s5+*9-圳=

8.（2023,重庆南开中学质检）已知awF，2J,且tan[a+6j=2,则sinacosaHjcos2a的值为

（）

答案D

fo"1三1rrI2a+2

解析由aGl2j,且tanL6j=2,得sinotcosa+^—cos2a=-sin2a+^—cos2a=sinl

222

2smb+%同2tan1+胃

=2sin1+胃以。+胃

"九小%小+3「"与所以…十

加cos2a的值为4.故选D.

25

二、多项选择题

f0f|

9.（2023•云南昆明模拟）已知a,p,'2」,sina+siny=sin^,cos^+cosy=cosa,则下列

说法正确的是（）

A.cos伊一。）=；B.cos0-。)=；

C.£—a=UD.£—

答案AD

解析由题意，知siny=sin£—sina,cos尸cosa-cos必将两式分别平方后相加，得l=(sin£

—sina)*2+(cosot—cos^)2=2—2(sin^sina+cos/?cosa),/.cos(^—<x)=^,故A正确，B错误；*.*

「0,矶

a,B，’2_J,siny=sin^—sin«>0,:.P>a,/.0<^—a=；,故C错误，D

正确.故选AD.

A/1—sin0

10.设。的终边在第二象限，则「---^的值可能为()

V.C7

cos—sin-

22

A.1B.-1

C.-2D.2

答案AB

解析:。的终边在第二象限，「・2E+四＜。＜2左兀+兀，kGZ,；・左兀+"V'VATI+匹，kGZ,

2422

A/sin2-+cos2--2sin-cos-

—sing2222

e.ee.e

cos—sin-cos—sin-

2222

sin—cos-

22故当2左兀+三v'v2E+",kGZ时，sin'—cos'>0,

e.ee.e

cos—sin-cos—sin-42222

2222

,---------.e0

Yl—sin。sin--cos-当2E+殳以2E+加，kGZ时，sin'—cos40,二吗

0_.0°n

cos--sin-cos—sin-

2222

e.e

cos—sin-

22

=1.故选AB.

cosJin，

22

11.(2023•海南海口模拟)已知aGE，2K),sina="=tan§,则()

A.tana=^3D.cosot_—1

2

C.tan夕=43D.cos^=；

答案BD

=tanacosot=,所以cosa=L又］£(兀，2兀)，所以sina=一*，tancc

解析因为sina二

222

r2tan^

3，故A错误，B正确；因为tan"=sina=—'一,所以tan£=--------=—4^3,cos£=

22

1—tan2^

2

cos/—sin2^1-tan，

-..........Z=------故C错误，D正确.故选BD.

.,世、j世1

sin2^十cos^1十tan2^

222

三、填空题

12.(1+tan20°)(l+tan21°)(1+tan24°)(l+tan25°)=.

答案4

解析(1+tan20°)(l+tan25°)=1+tan200+tan250+tan20°tan25°=1+tan(20°+25°)(1一

tan20°tan25°)+tan20°tan25°=2,同理可得(l+tan2io)(l+tan24o)=2,所以原式=4.

2cos2‘一sind-1

2

13.(2023•青岛模拟)已知tan20=-242,彳＜。＜；，则二一3一=.

~\6sinC+4J

答案一3+2出

解析由tan26=—2也，即且吟=—2/，解得tanO=/或tanO=—也.因为四＜*三，所以

l-tan26＞242

2cos2-—sin＜9—1

2cosJ—sine_l—tan」_1~~」2

tan6=/且cosOWO,3+2也.

仿+矶cosO+sine1+tan。1+也

Wsinl4j

5

14.（2023•邢台模拟）已知a,夕均为锐角,则sin(a+.)=

13

，cos(2a-p)=.

33204

答案

65325

解析因为-la+TJ=cosla+jJ=-|,si*」工荒所以a+：为第二象限角'Y为第

l-cos（'+l]

一象限角，所以Sinl

71

a-33

sin（（z+^）=sinj&+]+pUj=sin卜+2c#T+/3j=||,cos（2a一份

cos（2«△+兀）cos

N+siU

a-12cos2la~\-3-j」一上sin]a+

cosL2l"KJal

1313

L+-1]10[«+-]C+-]204

L3j-lj-^sinl3jcosl3j=—.

13325

B级素养提升练

15.已知aj°'2],[J"tana=。。部,则（）

1—sin2夕

A.a+£=]

C.D.a+2片:

答案B

解析2],即

1-sin2£（cos^—sin^）2cos£—sin£1—tan^

71

021即l片浮选B.

⑹魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率兀约等于言和真正

的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知兀的近似值还可

l-2cos27°

以表示成4sin52。，则的值为（

1

A.B.-8

8

1

C.8D.

8

答案A

l-2cos27°r/曰1一2cos27°—cos14°

解析将兀=4sin52。代入可付/~=/

兀、16—兀24sin520N16-16sin252°

—cosl40_cos14°_____cos14°cos14°_1

16sin52°cos52°8sinl04°8sin（90°+14°）8cosl4°8

17.（多选）（2023・长沙模拟）若sin：=?,。£（0,