2025年高考数学一轮复习讲义：两条直线的位置关系与距离公式

第二节两条直线的位置关系与距离公式

课标解读考向预测

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.近三年高考考查了点到直线的距离公式，以与

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐圆锥曲线交汇融合的形式出现在多选题和填

标.空题中，两条直线的位置关系也是常考内容之

3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线一，难度不大.预计2025年高考会继续以多

的距离公式，会求两条平行直线间的距离.选题或填空题的形式与其他知识交汇考查.

必备知识——强基础

知识梳理

I.两条直线的位置关系

直线/i：y=kix+b\,I2：^=左加+历的位置关系如下表:

位置关系h，/2方程系数满足的条件

平行ki=/且b#b?

垂直同女的二-1

相交园如

直线，3：4ix+5i_y+Ci=0,/4：4M+&V+C2=0（/3的法向量、=怛由（4,Ci）,〃的法向量也

=血（加，9））的位置关系如下表:

位置关系法向量满足的条件h，/4方程系数满足的条件

辰］/力2—也81=0且2c2—（或4c2一

平行也〃V2

垂直GLI/2+3I82=0

国——AB#。

相交VI与V2不共线

2.两条直线的交点

直线Z1和12的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组（优+与'+°—°，的解.

42^+&歹+。2=0

相交Q方程组有幽唯一解;

平行Q方程组讪无解;

重合Q方程组有同无数个解.

注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般

较少使用.

3.三种距离公式

⑴两点间的距离公式

①条件：点条(ri,yi),尸2(x2,歹2).

②结论：1Plp2|=一(12一阳)2+(H-XI)2.

③特例：点尸(X,回到原点。(0,0)的距离。尸|=出书2.

(2)点到直线的距离

点尸(xo,/)到直线/：/x+W+C=0的距离4=如0邙yo+q

ylA2+B2

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线小Nx+2y+Ci=0与句及+为+。2=0之间的距离

常用

I.直线系方程

(1)与直线4x+5y+C=0平行的直线系方程是4x+8y+加=0(7W£R且m^C).

(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx~Ay+n=0(n^R).

(3)过直线/1：/ix+5iy+G=0与，2：/2x+&y+C2=0的交点的直线系方程为Zix+Sy+G

+A(^2x+52y+C2)=0(2ER),但不包括A

2.五种常用对称关系

(1)点(%,内关于原点(0,0)的对称点为(一x,一刃.

(2)点(%,y)关于x轴的对称点为(%,—y),关于y轴的对称点为(一%,y).

(3)点(%,y)关于直线＞=%的对称点为(y,x),关于直线〉=一x的对称点为(一y,-x).

(4)点(%,y)关于直线x=q的对称点为(2。-x,y),关于直线＞=6的对称点为(x,2b-y).

(5)点(x,y)关于点(〃，b)的对称点为(2Q—x,2b-y).

诊断自测

i.概念辨析(正确的打y”，错误的打“X”)

(1)当直线/1和/2的斜率都存在时，一定有质=后2=/1〃/2.()

(2)点尸(xo,yo)到直线y=foc+6的距离为号)

(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

答案(l)x(2)x(3)4

2.小题热身

(1)(人教A选择性必修第一册习题2.3T6改编)点/(2,5)到直线/：彳―27+3=0的距离为

答案七

|2-10+3]

解析点/(2,5)到直线/：x—2y+3=0的距离为4=

V1+4

(2)(人教A选择性必修第一册习题2.3T7改编)两条平行线/i：3x+4y—6=0,氏9x+12y—

10=0间的距离为.

答案：

解析依题意，将直线/i：3x+4y—6=0化为/i：9x+12y—18=0,又心：9x+12y—10=0,

所以两平行线间的距离为

492+12215

(3)(人教A选择性必修第一册习题2.3T1改编)两条直线/i：x=2和京3x+2y—12=0的交

点坐标是.

答案(2,3)

x~~2,,x'='2,

解析联立•得,所以两条直线的交点坐标为(2,3).

3x+2y—12=0,y=3,

⑷直线/1：川+3夕+1=0与直线%6x—2夕一5=0垂直，则p的值为.

答案1

解析由题意，得6p+3x(—2)=0,解得p=l.

考点探究——提素养

考点一两条直线的位置关系(多考向探究)

考向1判断两条直线的位置关系

例1(1)直线2x+y+l=0和直线x+2y+l=0的位置关系是()

A.平行B.相交但不垂直

C.垂直D.重合

答案B

解析方程2x+y+l=0可化为y=-2x—l,因此该直线的斜率肥=-2.方程x+2y+l=0

可化为y=-k—1,因此该直线的斜率左2=—1，因为由邦2，h左2=1，一1,所以这两条直线

222

相交但不垂直.故选B.

(2)(2024•四川宜宾叙州区第一中学期中)直线A：2x—叼+8=0和直线/2：加x+2y—4=0(〃?

GR)的位置关系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.重合

答案B

解析因为2%+(—%)2=0,所以直线/i与直线/2相互垂直.故选B.

【通性通法】

判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况.

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

【巩固迁移】

1.(多选)(2024•湖南郴州模拟)若A与b为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为内，ct2,

斜率分别为k\,左2,则下列命题正确的是()

A.若斜率左尸左2,贝U/l〃/2

B.若后次2=—1,则/山2

C.若倾斜角内=6X2,则/1〃/2

D.若内+<72=兀，则/1±/2

答案ABC

解析对于A,若两直线的斜率左1=上2,则它们的倾斜角ai=a2,则A正确；对于B,

由两直线垂直的条件可知，若左心2=—1,则B正确；对于C,由两直线平行的条件

可知，若倾斜角ai=a2,贝UC正确；对于D,若ai+a2=JT,不妨取内=匹，a2=互，则

33

k\=tan<xi1左2=tana2=-4^,k\k#—1,li,，2不垂直，D错误.故选ABC.

考向2由两条直线的位置关系求参数

例2⑴(2023•辽宁丹东二模)直线/i：x+即-3=0与直线兄(a+l)x+2y—6=0平行，则.

=()

A.-2B.1

C.-2或1D.—1或2

答案A

解析由题意，直线/i：x+砂一3=0与直线&：(。+l)x+2y—6=0平行，由1*2=°(°+1),

得.=—2或a=l.当°=—2时，Zi：x—2y—3=0,%：—x+2y—6—0,1\//h;当a=1时，

h：x+y—3=0,li：x+y—3=0,/i与心重合.故选A.

(2)(2024•江苏徐州模拟)若直线Zi：(a+2)x+(l-a)y-3=0与直线h：(a~l)x+(2a+3)y+2

=0互相垂直，则a=.

答案±1

解析因为直线/i：(a+2)x+(l—a)y—3=0与心：(。一l)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，所以

(a+2)(a—1)+(1—a)(2a+3)=0,得层=1,解得0=±].

【通性通法】

解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”

【巩固迁移】

2.（2023・陕西安康统考二模）已知直线/i：（a~2）x+ay+l=Q,直线小（。一2）x+y+2=0,

则，％=1”是，“〃/2”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当〃=1时，/i：—1=0,，2：—x+y+2=0,所以充分性成立；当/i〃

a（a-2）=a-2,

，2时，，解得4=1或Q=2,必要性不成立.故选A.

2分1,

3.（2023•吉林统考二模）已知Q>0,b>0,若直线/i：QX+勿-2=0与直线，2：2x+（l-d）y-\-1

=0垂直，则。+2b的最小值为.

答案9

71

解析由两直线垂直，得20+6（1—a）=0,即2a+6=06,整理可得-~I■-=1,所以a+2b=（a

ba

十26）1）+』=%+1+4+独，5+2、当且仅当a=6=3时，等号成立，因此a十

ba\lba

2b的最小值为9.

考点二两条直线的交点、距离公式（多考向探究）

考向1两条直线的交点

例3过直线小x—3y+4=0和b：2x+y+5=0的交点，且过原点的直线的方程为（）

A.19x—9y=0B.9x+19y=0

C.19x-3y=0D.3x+19y=0

答案D

x-3y+4-0,可得直线人和,2的交点坐标为卜7］又所求直

解析解法一：解方程组

2工+歹+5=0,

线过原点，所以所求直线的方程为y=—台，即3x+19y=0.故选D.

解法二：根据题意，可设所求的直线方程为x—3y+4+"2x+y+5)=0,因为此直线过原点，

所以4+54=0,解得力=一：，所以所求直线的方程为x—3y+4—：(2x+y+5)=0,即3x+19y

=0.故选D.

【通性通法】

求过两条直线交点的直线方程的方法

(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.

(2)共点直线系法：分离参数，假设直线方程中含有的参数为九则将直线方程化为人x,y)+

f(x,y)=0>

旭(x,y)=0的形式，解方程组/即可得定点坐标，从而得到所求的直线方程.

g(x,y)=0

【巩固迁移】

4.(2024•山西吕梁模拟)过直线x+y+l=0和x—2y+4=0的交点，且与直线工+2》-3=0

垂直的直线方程是.

答案2x—y+5=0

解析解法一：联立方程，‘解得,’所以交点坐标为(-2,1).直线x+2y

工一2y+4=0,y=1,

i]

—3=0的斜率为一；所以所求直线方程的斜率为一0=2,由点斜式方程得，所求直线方

2

程为y—1—2(x+2),即2x—y+5=0.

解法二：设所求直线方程为x+y+l+“x—2y+4)=0,即(1+%)x+(l—2i»+1+42=0.因为

所求直线与直线x+2y—3=0垂直，所以所求直线方程的斜率为2,易知及L则1拄=2,

22%-1

得力=1,则所求直线方程为2x—y+5=0.

考向2与距离有关的问题

例4(1)(2023•陕西咸阳模拟)已知直线小2x~y+l=0,Z2：x+卬-1=0,且/I_L/2，则点

尸(1,2)到直线，2的距禺”=()

55

答案D

解析由/」/2,可得2x1—lxa=0,解得°=2,故d=与冬口=色鸟故选D.

力+225

(2)(2024•福建厦门阶段考试)若平面内两条平行线/i：x+(6z—1»+2=0,氏QX+2》+1=0间

的距离为“，则实数a=

5------------

答案T

I2--I厂

解析,.71/7/,.*.«(«—1)=2,解得Q=2或。=一1.当Q=2时，d=---『--=---，不满足

2也4

题意；当。=—1时，满足题意.故。=—1.

弋55

【通性通法】

求解距离问题的思路

(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必

须为一般式.

(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线

上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式.

注意：(1)点尸(xo,/)到直线x=a的距离d=|xo一回，到直线y=6的距离1=伙)一6|.

(2)两条平行直线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.

【巩固迁移】

5.(多选)已知直线/过点尸(-1,2),且点/(2,3),8(—4,5)到直线/的距离相等，则直线

I的方程为()

A.3x+y+5=0B.x+3y—5=0

C.x=1D.y=2

答案BC

解析解法一：当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y—2=6x+l),即fee—4+2

=0.由题意，知睇一0+2]=|―4后^£^十二即|3左一”=|—3左一3],解得左=—1,所以直

#2+13

线/的方程为y—2=—；(x+l),即x+3y—5=0；当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为

x=-1,符合题意.故所求直线/的方程为x+3y—5=0或x=—1.

解法二：当/8〃/时，直线/的斜率后=自8=一%则直线/的方程为y—2=—$+1),即X

+3y—5=0；当直线/过A8的中点(一1,4)时，直线/的方程为x=一l.故所求直线/的方程

为x+3y~5=0或x=—1.

6.(多选X2023•山东济南调研)已知直线小2x+3y—l=0和直线如4x+6y-9=0,若直线

/到直线Zi的距离与到直线h的距离之比为1：2,则直线I的方程为()

A.2x+3y—8=0B.4x+6j+5=0

C.6x+9y-10=0D.12x+18y—13=0

答案BD

解析设直线/的方程为4x+6y+冽=0,冽2且冽9,直线/到直线/i和心的距离分别

山77L日有*2.7一\m+2\\m+9\皿山力_1；2|m+2|_\m+9\口口

为小，办，由赵思，知d尸忑霹短,办="5•因为办=2'所以即

1a

2辟+2|=|加+9],解得根=5或〃?=―—,即直线/的方程为4x+6y+5=0或12x+18y—13

=0.

考点三对称问题(多考向探究)

考向1点关于点、直线关于点对称

例5(1)过点尸(0,1)作直线/,使它被直线/i：2x+y—8=0和'x—3y+10=0截得的线段

恰好被点P平分，则直线/的方程为()

A.%—4j+4=0B.4x-y—4=0

C.4x+y+4=0D.x+4y~4=0

答案D

解析设/i与/的交点为/(a,8-2a).由题意知，点/关于点尸的对称点2(一°,2a—6)在

/2上，把点2的坐标代入/2的方程得一。一3(2a—6)+10=0,解得a=4.因为点/(4,0),尸(0,

1)在直线/上，所以直线/的方程为x+4y—4=0.故选D.

(2)(2023•江苏镇江期中)直线/：y=2x+3关于点尸(2,3)对称的直线/，的方程是()

A.2x—y—5=0B.2x-\-y—5=0

C.2x—j+5=0D.2x+y+5=0

答案A

解析因为/和/关于点P对称，则两直线平行，可设厂的方程为2x—y+6=0(屏3),点P到

两直线的距离相等，则户2—3+3|=12x2—3+”=,解得人=—5或6=3(舍去)，所以直

'岳+(-1)2也2+(-1)2

线/'的方程是2x—y—5=0.故选A.

【通性通法】

两类中心对称问题

x，—'2Q—x

(1)点关于点对称：点尸(X,y)关于M(a,6)的对称点P(T,")满足•’

y'^2b~y.

(2)直线关于点对称的两种方法

【巩固迁移】

7.直线3x—2y=0关于点°]

对称的直线方程为()

A.2x—3y=0B.3x—2y—2=0

C.x—y=0D.2x—3y—2=0

答案B

解析设所求直线上任一点为(x,y),则其关于点(？°)对称的点为【3一一],因为点

[j—x,一@在直线——2了=0上，所以slj―0—2(—y)=0,化简得3x—2y—2=0,所以所

求直线方程为3x—2y—2=0.故选B.

8.(2024•河北张家口质检)光线从点/(—3,5)射到x轴上，经反射后经过点8(2,10),则光

线从4到3经过的路程为()

A.5也B.2芯

C.5v10D.10卡

答案C

解析点，(一3,5)关于x轴的对称点为C(—3,-5),则光线从/到8经过的路程为C8的

长度，SP|CS|=(-3-2)2+(-5-10)2=5/To.故选C.

考向2点关于直线的对称

例6(2024・河北张家口阶段考试)点P(2,0)关于直线/：X—>+3=0的对称点0的坐标为

)

A.(-3,5)B.(-1,-4)

C.(4,1)D.(2,3)

答案A

f1=-1,

a—2

解析设点P(2,0)关于直线Z：x-y+3=0的对称点。的坐标为(a,b),则

上—%=0,

22

a=-3,

解得•所以点。的坐标为（-3,5）.故选A.

b=5,

【通性通法】

若两点P1（X1,勿）与尸2（X2,＞2）关于直线/：Nx+Sy+C=0（/2+52#））对称，则由方程组

f卜1+x]01+/]

卜〔2J+从2J+C=o,可得到点尸I关于/对称的点P2的坐标.

Is（%2—xi）—A（y2-yi）=0,

【巩固迁移】

9.（2023•广东深圳模拟）已知点4a+2,6+2）和3（6一0,一6）关于直线4x+3y=11对称，则

a,b的值为（）

A.a=1,6=2B.a=4,b=2

C.a=2,6=4D.a=4,6=2

答案D

解析点/,2关于直线4x+3y=ll对称，则自B=3,即"2——=3①，且的

4。+2—（6—。）4

他+21—/

中点〔2J在已知直线上，代入得2（6+2）+3=11②,联立①②组成方程组，解得i_2

故选D.

考向3直线关于直线的对称

例7（2024•河南南阳模拟）直线x—2y—1=0关于直线y—x=0对称的直线方程是（）

A.2x—y+l=0B.2x+y—1=0

C.2x+y+l=0D.x+2y+l=0

答案A

解析在直线x-2y—1=0上任取一点尸（a,b）,设点P关于直线＞一工=0的对称点为。（x,

曰=—1,

.x-ad_v,

y）＜则v+6x+a解得，即尸（y，x）,因为点P（y,x）在直线x—2y—1=0上，所以y

-——=---,旭=方

22

—2x—1=0,即2x—y+l=0,所以所求直线方程是2x—y+l=0.故选A.

【通性通法】

求直线Zi关于直线/对称的直线h的两种方法

（1）在直线/1上取两点（一般取特殊点），利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直

线/的对称点，再用两点式写出直线/2的方程.

（2）设点尸。，内是直线，2上任意一点，其关于直线/的对称点为尸1（X1，H）（P1在直线/1上），

根据点关于直线对称建立方程组，用x,y表示出XI,力，再代入直线/1的方程，即得直线/2

的方程.

特别地，若直线/1与直线/平行，则在直线/1上取一点，求出该点关于直线/的对称点，由

点斜式可得直线/2的方程.

【巩固迁移】

10.已知直线/1：x—y+3=o与直线/：x-y-l=0,若直线/i关于直线/的对称直线为b,

则直线h的方程为.

答案x-y—5=0

解析解法一：由题意，知设直线心：X—y+w=0(〃#3,1),在直线/i上取点

b一311

----xl=—I,

,a[=4,

M(0,3),设点M关于直线/的对称点为MQ,b),则〃+。b+3解得•即

....------1=0,心=-1,

22

M(4,-1),将M(4,—1)代入/2的方程，得4+1+加=0,解得加=-5.所以直线/2的方程

为5=0.

解法二：易知/i〃/,所以，2〃/,设直线心：x—y-\-m=0(m^3,m丰—1).因为直线4，，2关于

直线/对称，所以/l与/,/2与/间的距离相等.由两平行直线间的距离公式得.一([1)1=

伽一(「)I解得机=-5或机=3(舍去).所以直线/2的方程为x—V—5=0.

课时作业

A级基础巩固练

一、单项选择题

1.(2024・甘肃天水模拟)直线东ax+y+l=0与自工+利-1=0平行，则实数a=()

A.1B.-1

C.I或一1D.0

答案A

解析因为直线/i：ax+y+l=0与心：x-Vay—1=0平行，所以4—1=0且一a—1声0,解得

4=1.故选A.

2.过点4(2,3)且垂直于直线2x+y—5=0的直线方程为()

A.x—2y+4=0B.2x~\~y—7=0

C.x—2y+3=0D.x—2j+5=0

答案A

解析由题意，可设所求直线方程为2)+加=0,将4(2,3)代入上式，得2—2x3+冽=0,

即冽=4,所以所求直线方程为x—2》+4=0.故选A.

3.已知直线/i：x+2y—5=0和直线氏3%—^-1=0的交点为4,。为坐标原点，则点力到

原点的距离|/。|为()

A.1B.2

C.\[5D.3

答案C

解析解方程组・一‘得•一‘即直线/1与直线/2的交点4(1，2),又。为坐标原

3x—y—l=0,y=2,

点，则I/O尸炉工22=3，所以点/到原点的距离为45.故选C.

4.(2024•辽宁抚顺模拟)直线/i：2x+y—l=0与直线氏4x+2y+3+a(2x+y-l)=0(实数a

为参数)的位置关系是()

A./1与为相交

B./1与/2平行

C./1与/2重合

D.71与/2的位置关系与。的取值有关

答案B

解析由'4x+2y+3+a(2x+y—1)=0,可得(4+2a)x+(2+a)y+3—a=0,因为2x(2+a)

—1X(4+2Q)=0且1x(3—〃)力一1X(2+Q),所以/i与，2平行.故选B.

5.(2023•湖北武汉模拟)已知定点P(—2,0)和直线/：(l+3A)x+(l+2A)y=2+5A(AFR),则

点P到直线I的距离的最大值为()

A.23B.V10

C.V14D.2v15

答案B

解析将(1+34)/+(1+2为y=2+54变形得(x+y—2)+2(3x+2y—5)=0,所以/是经过两直线

k+y—2=0,

x+y—2=0和3x+2y—5=0的交点的直线系.设两直线的交点为。，由・「

3x+2j—5=0,

得交点。(1,1),所以直线/恒过定点。(1,1),于是点夕到直线/的距离d〈|PQ|=

(-2-1)2+(0-1)2=V10,即点P到直线I的距离的最大值为旧.故选B.

6.(2023•山西阳泉模拟)设直线/i：x—2》-2=0与/2关于直线/：2了一了一4=0对称，则直线

h的方程是()

A.1卜+2/-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+厂11=0D.10x+y—22=0

答案A

x—2y—2=0,x=2,」，(,

解析联立得，取直线/i：x—2y—2=0_E一点(0,—1)，设点(0，—1)

2x—y—4=0,卜=0，

b+1-1_12

——，a=—,

a25

关于直线/：2x—>—4=0的对称点为(a,b),则b~l解得11直线/2

4=0,b=",

25

的斜率左=一T，所以直线，2的方程为y=-T(x—2),整理得llx+2y—22=0.故选A.

7.(2024•山东济南质检)已知a>0,b>0,直线(0-l)x+2y+3=0与直线x+力一1=0垂直,

则的最小值是()

ab

A.2+也B.4

C.3+2/D.6

答案C

解析因为直线(a—l)x+2y+3=0与直线x+6y—l=0垂直，所以(a—1>1+26=0,即。+

j(a+2Z?)=3+油+日》3+21/^^=3+2仍(当且仅当。=也一1,b

26=1,所以

abab\lab

匕区时，等号成立).故选c.

8.(2023•海南三亚二模)AABC的顶点N(4,3),NC边上的中线所在直线的方程为4x+13y一

10=0,/48C的平分线所在直线的方程为x+2y—5=0,则NC边所在直线的方程为()

A.2x—3y+1=0B.x—8y+20=0

C.3x—5y+3=0D.x—y+l=0

答案B

x~\-2y—5=0,x=9,

解析由得所以点2的坐标为(9,-2),设点/(4,3)关于直线

4x+13y—10=0,y=-2

,4—xo._xo=2f

的对称点为解得“所以

x+2y—5=04(xo,y0),则4±XO3+4(2,

+2X2O5=())加=一1,

22

—2—(—1)

—1),因为点4(2,-1)在直线5C上，所以直线5c的方程为>一(―1)=^-------------------(X—

9-2

11+4.+3]

2),即1+7丁+5=0,设点。的坐标为C(xi,yi),则4C的中点坐标为「三,2J,所以

xi+7yi+5=0,

%1——12

2(X1+4)+y(yi+3)-10=0,解得」'所以点。的坐标为(一12,1),所以总c

月=1,

3—111

-----------='所以4C边所在直线的方程为歹一3=々x—4),即x—8»+20=0.故选B.

4—(—12)88

二、多项选择题

9.(2024•湖南长沙模拟)已知两条直线/i：(a—2)x+3y+2a=0,Z2：x+@+6=0,则下列结

论正确的是()

A.当a=1时，Zi±Z2

2

B.若l\〃h,则a=—1或a=3

C.当a=0时，/i与/2相交于点(-6,-4)

D.直线心过定点(-6,0)

答案ACD

11Q

解析当避=一时,a—2+3〃=—24■—=0,/I_L/2>A正确;若则—2)—3—0,a

222一

=-1或a=3,其中a=—1时，/i的方程为一3x+3y—2=0,即3x—3歹+2=0,心的方程为

x—y+6=0,两直线平行，Q=3时，两直线方程均为x+3y+6=0,两直线重合，不平行，B

x=~6,

错误；当。=0时，由,“得

工+6=0,v=—4,

即两直线的交点为(一6,—4),C正确；直线，2的方程为、+皎+6=0,恒过点(一6,0),D

正确.故选ACD.

10.(2023・重庆八中质检)下列说法正确的是()

A.动点4,5分别在直线/i：x+y—7=0和/2：x+y—5=0上移动，则线段45的中点M到

原点的距离的最小值为3啦

B.直线3工一y—5=0的倾斜角是直线3%+y—5=0的倾斜角的一半

C.当点P(3,2)到直线冽x—y+1—2加=0的距离最大时，冽的值为1

D.过点(2,1)且与直线3%—2》=0垂直的直线方程为3%+2》-8=0

答案AB

解析对于A,直线/i：x+y—7=0和京x+y—5=0平行，故中点的轨迹方程为x+y—6

=0,原点到直线的距离为4=4=3/，即线段45的中点M到原点的距离的最小值为3啦,

A正确；对于B,设直线/%—^一5=0的倾斜角为a,otG[0,7i),所以tana=43,«=|,设

直线市x+y—5=0的倾斜角为.，/£[0,兀)，所以tan夕=一/，§=三,B正确；对于C,

直线冽x—>+1—2冽=0过定点N(2,1),当直线与7W垂直时距离最大，此时冽•匕1=-1,

3-2

解得加=-1,C错误；对于D,直线3L2尸0的斜率左弓，直线3工+2y-8=0的斜率左2

——3,不满足左1左2=—L两直线不垂直，D错误.故选AB.

2

三、填空题

11.(2024•湖北襄阳阶段考试)过两条直线x-2y+4=0和x+y—2=0的交点，且与直线3x

―4了+2=0平行的直线方程为.

答案3x—4y+8=0

x—2y+4=0,(x=0,

解析联立,7解得•故交点坐标为(0,2),设所求直线方程为3X一知+加

x~\~y2=0,y=2,

=0(冽R2),将(0,2)代入，得-8+冽=0,解得加=8,故所求直线方程为3x—4y+8=0.

12.(2023・重庆育才中学模拟)设点4(—2,0),B(0,3),在直线/：x-y+l=0上找一点尸，

使|附+|尸5|取到最小值，则这个最小值为.

答案V17

解析设点5关于直线/：X—>+1=0的对称点为。(冽，〃)，线段5C的中点12,2J在工

一歹+1=0上，则%一7r±^+1=0,又k/kBc=­l,-—-xl=-1,解得加=2,n=l,即C(2,

22m

1),\R4\+\PB\^\R4\+\PC\^\AC\^\!(2+2)i2+12=<7,即|刃|+|尸2|的最小值为而.

13.(2023・河南新乡模拟)已知直线/：kx-y+l+2k^Q,若直线/在两坐标轴上的截距相等，

则实数左的值为________；若直线/不经过第三象限，则左的取值范围是.

1「—1ol

答案一1或一12,」

解析因为直线/在两坐标轴上的截距相等，所以原0,在1+2左=0中，令x=0,得

)=1+2匕令歹=0,得x=—2―—,依题意可得1+2左=—2—L即2左2+3左+1=0,解得左

kk

ik+2=0,k=-2,

=一工或左=—1.直线/的方程可化为左(x+2)—y+l=0,由・得・

2[—y+l=0,卜=1，

所以直线/过定点M(—2,1),所以以=一料为坐标原点)，由直线/：kx~y+\+2k=Q,

可得y=Ax+2左+1,若直线/不经过第三象限，则一即左的取值范围是12,J.

14.(2024•北京海淀区月考)过点尸(3,0)有一条直线/,它夹在两条直线小2x—y—2=0与

A：x+y+3=0之间的线段恰被点尸平分，则直线/的方程为.

答案8x—y—24=0

解析设直线I夹在直线[1,/2之间的线段是48(/在/1上，3在/2上),4,3的坐标分别是(XI，

yi)，。2,歹2).因为45被点尸平分，所以Xl+%2=6,yi+j2=0，于是X2=6—为，y2=—yi.

2xi-yi-2=0,1116日口)协

由于4在/1上，5在/2上，所以斛骨用=丁，丁1=丁，即4的

.(6—Xi)+(—yi)+3=0,33

坐标是G'T.直线PA的方程为了=「，即8x—y—24=0.所以直线I的方程为8x—y

----0----3

33

-24=0.

四、解答题

15.已知直线/i：x+冲+1=0,h：2x—y—4=0,h：3x+y—1=0.

(1)若这三条直线交于一点，求实数加的值；

(2)若这三条直线能构成三角形，求加满足的条件.

y-4=0,

解⑴由,'

3x+y-1=0,

x=1,

解得•代入/1的方程，得机=1.

y——2,

(2)当这三条直线相交于一点或其中两条直线平行时，这三条直线不能构成三角形.

①当三条直线相交于一点时，

由(1)可知，«=1;

②当/1：x+w+l=0与'2x—y—4=0平行时，加=一