2025年高考数学一轮复习讲义：余弦定理、正弦定理

第六节余弦定理、正弦定理

课标解读考向预测

从近几年的高考来看，正弦定理、余弦定理是高

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.

考的热点，预计2025年高考仍以利用正弦定理、

2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单

余弦定理解三角形为主，题型灵活呈现，中档难

的三角形度量问题.

度；也可能融合在其他考点里面，不单独呈现.

必备知识——强基础

知识梳理

1.余弦定理、正弦定理

在△A8C中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△48C外接圆半径，则

定理余弦定理正弦定理

/=1011〃+C2-2Z?CCOSA；

公式Z?2=102|C2+〃2—2C〃COS5；号=画刍=画*=27?

sinA1—'sinB1—'smC

廿=|(^用+/一2〃/7cosc

⑴a=2RsinA,6=画咨逋,c=[w]

rr—|Z72+c2—(22

2RsinC；

cosA-|_06]lbc；

r--|C2+<22—Z72(2)sinA=益，sing=nT|枭sinC=去；

常见变形cos”画法；

(3)a:b:c=|12|sinA:sinB:sinC；

r—14Z2+Z72—c2

cosC-1081c,

—2ab(4)asin8=Z?sinA,Z?sinC=csinB,asinC=

csinA

2.在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况

A为锐角A为钝角或直角

c

cc

-A

图形

r…-n

ABA-B

关系式a=bsinAZ?sinA<a<ba^ba>baWb

解的个

同一解国两解同一解国一解日无解

数

3.三角形常用面积公式

(l)S=；〃/la(/la表示a边上的高).

111ctbc

(2)S==]Q/?sinC==/tzcsinB==^Z?csinA~~.

(3)S=gr(a+b+c)(r为内切圆半径).

最结£^

在△A8C中，常有以下结论：

(1)A+B+C=K.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)〃>/?=A>5=sinA>sin5,cosA<cosB.

.।।।.A+BCA+B.C

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=­cosC；tan(A+B)=­tanC；sin~~g-=cos^；cos--=sin

(5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

诊断自测

i.概念辨析(正确的打“小,错误的打“X”)

⑴在AABC中，若sinA>sinB,贝!JA>8.()

(2)当〃+c2一层>。时，△ABC为锐角三角形.()

(3)在△A8C中，已知a,b,A,则三角形有唯一解.()

(4)在△ABC中，若A：2：C=1：2：3,贝i|a：6：c=l：2：3.()

答案(l)d(2)x(3)x(4)x

2.小题热身

(1)(人教B必修第四册第九章小结复习题A组T2改编)在△ABC中，角A,B,C所对的边分

别是a,b,c,若廿十,二层+小儿，则角A的大小为()

,5兀一2兀

A•飞B-T

C.D.J

3o

答案D

解析因为〃+c2=q2+小反，所以由余弦定理可得COSA==华=与，因为

7T

0<A<K,所以A=j

(2)(人教A必修第二册复习参考题6Tli改编)在△ABC中，A=30。，C=45。，c=g，则a

的值为()

A.2B.1

C.|D.坐

答案B

解析因为在△ABC中，A=30。，C=45。，c=@所以由正弦定理可得急=焉，即”=

总，sinA=；^%sin30o=粉=1.

2

(3)在△A8C中，已知a=2,b=3,8=30。，则此三角形()

A.有一解B.有两解

C.无解D.无法判断有几解

答案A

解析在△ABC中，a=2,b=3,8=30。，由正弦定理，得sinA=^^=驾船=/而时6,

则A<8=30。，即A为锐角，所以此三角形有一解.

(4)在△ABC中，若a=7,b—5,c—3,则4=.

答案120°

匕2+-421

解析由余弦定理，得cosA=­诋—=-].又0。<4<180。，所以A=120。.

(5)在AABC中，角A,B,C满足sinAcosC—sin2cosC=0,则此三角形的形状为.

答案直角三角形或等腰三角形

解析由已知，得cosC(sinA-sin2)=0,所以cosC=0或sinA=sinB,解得C=90。或A=B,

所以△A3C是直角三角形或等腰三角形.

考点探究——提素养

考点一利用正、余弦定理解三角形

例1(2024•江西红色十校联考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosA

=Z?sin8+csin。一2csinBcosA.

⑴求A;

历

(2)若a=也,sinB=,求/?和c.

解(1)设△ABC外接圆的半径为R,

因为acosA=Z?sinB+csinC—2csinBcosA,

所以由正弦定理Y7=-^=-7；=2R,得

sinAsinBsine

a-2RcosA=b2+c2—2Z?ccosA,

结合余弦定理a1=b2+c2—2/?ccosA,得

a2RcosA=a2,因为

所以2RcosA—a=2i?sinA,所以cosA=sinA,

jr

因为A€(0,7i),所以4=不

(2)由(1)知A=7所以2R=sj也=2,

所以b=2RsinB=2/§=喙,

由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,得2=由+。2—2、乎展乎，即2c2—2。一3=0,

解得C=1可^或C=1J(舍去).

QL7近1+夜

综上，b=为,c=--

【通性通法】

应用正弦、余弦定理的解题技巧

利用正弦定理变形公式〃一?需等或余弦定理层—/十°2—2bccosA等求解

求边

利用正弦定理变形公式sinA—"SR8等或余弦定理变形公式cosA—>"等求

求角

解

利用式

如出现/+〃—。2=力"的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次

子的特

式用正弦定理

点转化

【巩固迁移】

1.(2023•广东东莞一模)设△A5C的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且满足2〃sinA=(2。

一c)sinB+(2c—Z?)sinC.

(1)求角A的大小；

(2)若〃=2/，b=2,求角。的大小.

解⑴由已知及正弦定理可得2a2=(2b—c)b+(2c—b)c,

整理得b2+c2—a2=bc,

济［、/。2+。2一〃2庆1

所以cosA_2bc~2bc~2-

JT

又A€(0,7i),所以A=g.

⑵由正弦定理可知急=导，

又〃=2，§,b=2,A=?

iIT

所以sinB=2<sinA=29故B=',

Jr

因为A+8+C=7i,所以C=].

考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状

例2在△A3C中，角A,B,。所对的边分别为“，b,c,〃=7,6=8,从下面两个条件中

任选一个作为已知条件，判断△ABC是否为钝角三角形，并说明理由.

131

①cosC=m；②cos3=,.

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

13

解若选①，在△A5C中，由余弦定理，="+反一2〃灰\)5。，#c2=72+82—2x7x8x—=9,

所以c=3.

因为cV〃V。，所以5是△A5C的最大角.

在△ABC中，

由余弦定理b2=a1+c2—2accosB,

72+32—821

得cos3=-五一=2x7x3―产。，所以5是钝角，

所以△ABC是钝角三角形.

若选②，

解法一：在△A3C中，

由余弦定理b2=a2+c2—2accosB,

得82=72+C2-2X7CX1,

化简，得(c—5)(c+3)=0,

解得c=5或c=-3(舍去)，

因为cVaVA所以B是△ABC的最大角.

因为cos5=：>0,所以3是锐角，

所以△ABC不是钝角三角形.

解法二：在△A3C中，因为cos3=],

所以sinB=yl1—cos2B=^^.

ABC中，由ZE•弓吸里sin/1—sinB,

日asmB7x7或

骨SinA=—-=--=2.

因为cos8=：>0,所以3是锐角.

又所以AVB,所以A是锐角.

因为sinA=坐，所以cos为=yj1-sin2A

4\/31111

所以cosC=cos（7i—A—B）=-cos（A+B）=sinAsinB—cosAcosB=T—-2X7=14>^）,所以

C是锐角.

综上，△ABC不是钝角三角形.

【通性通法】

1.判断三角形形状的两种常用途径

2.判断三角形的形状的注意点

在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中

要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，

应移项提取公因式，以免漏解.

【巩固迁移】

2.在△ABC中，5£=$出啜1,b,c分别为角A,B,C的对边），则△A3C的形状为（）

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

名r+u上.再1—cosB,c—cz1-cosB

解析由sm3=-—,得0-2—，

即cosB--.

C

+d-廿9

解法一：由余弦定理得一加「=?即。2+c2—〃=2层，所以标+炉=/.所以△ABC为直

角三角形，无法判断两直角边是否相等.

解法二：由正弦定理得cos3=sinC又sinA=sin(8+C)=sin8cosC+cos3sinC,所以cosBsinC

=sinBcosC+cosBsinC,即sin8cosC=0,又sinBWO,所以cosC=0,又C为三角形的内角，

7T

所以。=多所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

考点三正、余弦定理的综合应用（多考向探究）

考向1三角形的周长、面积问题

Z?2+理一

例3（2023•全国甲卷）记△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知一

2.

⑴求be；

^acosB—bcosAb

⑵若启而何―1=1'求AAABC的面积•

解(1)因为a2=b2+c2—2/?ccosA,

及+。2一层2Z?ccosA

所以，=2bc=2,

cosAcosA

解得bc=l.

〃cosB—Z?cosAb

（2）由正弦定理可得

acosB+bcosAc

sinAcosB-sin5cosAsinBsin(A—5)sin。sin(A-5)-sin5

sinAcosB+sinBeosAsinCsin(A+B)sin(A+B)sin(A+B)

变形可得sin(A-B)~sin(A+B)=sinB,

即—2cosAsinB=sinB,

而OVsin^Wl,所以cosA=—

又OVAV兀，所以sinA=2J

,,c1,.41,V3亚

故SAA5C=2^CS11V1=2X1X2=4,

【通性通法】

与三角形面积有关问题的解题策略

利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的

策略一

面积

策略二把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量

【巩固迁移】

3.（2022•全国乙卷）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin（A—8）=

sinBsin(C-A).

⑴证明:2〃2=〃+»；

(2)若a=5,cosA=五，求△ABC的周长.

解(1)证明：已知sinCsin(A-B)=sinB-sin(C—A),

可化简为sinCsinAcosB—sinCcosAsinB

=sinBsinCcosA—sinBcosCsinA.

由正弦定理可得

accosB—bccosA=bccosA—abcosC,

即accosB=2Z?ccosA—abcosC.

,人、、d!2+c2—/?2/?2+c2—d!2“2+/一

由余弦正理可付ac-宏=Ibc-苏“小F^，即2占〃+c2.

(2)由(1)可知/+，=2〃2=50,

♦+(?一次50—252525

cosA=-近一=26c=荻=药

26c=31.

'：b2+c2+2bc=(b+c)2=8l,

；.6+c=9,；.a+6+c=14.

.♦.△ABC的周长为14.

考向2三角形中的最值、范围问题

例4(2023•内蒙古呼伦贝尔模拟)在△A8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且sinCcos专

(2小八.B

=1cosC户1町

JT

⑴当8=可时，求sinC+sinA的值;

(2)求3的最大值.

解(1)由题意，得

则sinC+sinA=sinC+sin^C+^=右.。+半cosC=V^^^sinC+gcos@=1.

(2)sinCcos^=coscjsin^,两边同乘以2cos学

B(后、BB

得2sinCcos22'=I-cosCl-Zsin^cos'^,

即sinC(l+cosB)=C^—cos@sin3,

整理，得sinC+sinA=^-^~sinB.

由正弦定理，得〃+c=叫.

由余弦定理，得

tz2+c2—Z72(a+c)2—b2—2acb1

cosB=-2^~=2^=6ac~1-

因为=!廿,当且仅当〃=c时等号成立，所以cos3=2：—12—

一।»_z

27t

由于86(0,兀)，而〉=8$了在(0,兀)上单调递减，故B的最大值为亍.

【通性通法】

解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本

不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围

确定最值或范围.

【巩固迁移】

4.(2024•山东青岛模拟)记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosB+bcosA

=2ccosC.

⑴求c；

(2)若△ABC为锐角三角形，求反的取值范围.

解(1)因为acosB+bcosA=2ccosC,

所以由正弦定理，得

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即sin(A+8)=2sinCcosC,

因为—C,

所以sin(A+B)=sinC=2sinCcosC,

因为0<C<兀，故sinCWO,

1IT

所以cosC=2,所以C=§.

1,7c27r

(2)由(1),知C=yA=~^—B,

因为△ABC为锐角三角形，所以0<3<m且0〈与一5号所以专<5号

坐cosB+/inB小

由正弦定理，得籍篝x

sinB_2tanB^2J

因为Q与所以tanB坐

所以

考向3利用正、余弦定理解决平面几何问题

例5如图，在圆内接△A8C中，Z.CAB,ZABC,NAC8所对的边分别为a,b,c,且acos

ZACB+ccosZCAB=2bcosZABC.

⑴求/ABC的大小；

(2)若点。是劣弧AC上一点，a=2,c=3,sin/CAO=理，求线段A。的长.

解(1)由题意知sinZCABcosZACB+sinZACBcosZCAB=2smZABCcosZABC,

.".sin(ZCAB+ZACB)=sinZABC

=2sinNABCeosZABC,

V0<ZABC<7i,AsinZABO0,

171

cosZABC=2^*,*ZABC=y

(2)在△ABC中，由余弦定理可得40=<22+32—2x2x3x/=市，

由/ABC=W，得NA£)C=空，

由sin/CAD=浮，且/CAD为锐角,

得cosZCAD=yJ1-(^)=斗，

sinZACD=sin[j-/CAD)=冬平一上等=唔,

由正弦定理可得张女

在△ADC中,

142

：.AD^1.

【通性通法】

平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值等问题，通常是转化到三角形

中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，

如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列

出方程，解之可得，若研究最值，常使用函数或基本不等式.

【巩固迁移】

5.记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知乂=的,点。在边AC上，BDsm

ZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2Z)C,求cosNABC

解(1)证明：设△ABC外接圆的半径为R,

由正弦定理，得sin/A3C=外，sinC=^,

Z/vZ/v

因为BDsinZABC=asinC,

bc

所以BD^=a^即BDb=ac.

Z/\Zi\f

又因为庐=QC,所以5。=/?.

(2)解法一：因为AD=2DC,

所以A£)=里，CD=^b,如图，

/+房一

在ZkABC中，cosC=-9—,①

〃+图—反

在△8CZ)中，cosC=----------------.②

2吗

由①②，得/+〃一，=3次+像2—〃，

整理，得2/—?。2+。2=0.

又因为b2=ac,所以6次一n〃c+3c2=0,解得或〃=竽,

当〃=件时，从=〃（?=]",“+Q，哼1c（舍去）.

W3c,23c32

当〃=了时,b—ac=~^,

啰+入孝7

cosNA8C=o=J2，

2・多

7

所以cosNA3C=适.

解法二：由(1),知5O=Z?=AC,由AZ)=2。。,

得AD=］。，CD=gb.

在△AQ8中，由正弦定理，

/HADBD

^sinZABZ)=slnA-

、2

因为SAABD=^SAABCf

1221

所以］xw02sinZADB=^x.~acsmZABC.

又〃=QC,所以sinZADB=sinAABC.

所以ZADB+ZABC=TI或ZADB=ZABC,

所以NCBD=NA或NA80=NC,

当NC8O=NA时，因为

sinNCB。—sinC

3b

所以氐/=菽，化简，得sinC=3sinA.

在△ABC中，由正弦定理，知c=3〃.

又Z?2=〃C=3〃2,

〃2+d—庐〃2+媛一3次7

所以cosXABC—=彳＞1(舍去);

2〃X3Q

当NA8O=NC时，因为

sinNABQ—sinA'

3h2

所以赤=而不化简，得sinC=]sinA

2

在AABC中，由正弦定理，知c=]〃.

又/二4尸御

_22

〃2+―左a3a7

所以C°S/A8C=F^=—=

「2^-12-

2x-a2

7

故cosZABC=-^2,

课时作业

制建基础巩亩索

一、单项选择题

1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a，A=2B,则cos8=()

A.BY

C.当D.芈

答案C

V6

2b21

解析因为〃,A=2B,所以由正弦定理可得而而=焉，所以所以

2sinBcosBsinB'

cos3=¥.故选C.

2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3：2：4,则cosB=()

1

A.4B-16

11D.(

C.

16o

答案D

解析设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,因为sinA:sinB:sinC=3：2：4,所以a：b:

c2+c^—b216^+9^—4^7,,、小

：设贝二,故选

c=3:24,a=3k,b=2k,c=4k,k>0,IcosB=2ac2x3kx4k

D.

3.（2024.郑州调研）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知

则C=()

.兀c兀

A-12B-6

一兀c兀

C,4D.

答案B

解析由题意得4=5+与所以sinA=sin(B+&=cos8,又。=小。，所以由正弦定理得sinA

=，§sinB,故cosB=^/3sinB,所以tanB=坐，因为3€(0,兀)，所以8=*,所以。=九一仁+电

*弋.故选B.

4.在△A3C中，内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知/+，一反一碇=0,△ABC的

外接圆半径尺=小，△ABC的周长为9,则QC=()

A.6B.9

C.16D.24

答案B

层+—庐i

解析在△ABC中，由/+，一力2—〃c=0,可得〃2+，一力2=〃的所以cos5=----2^----=29

由0V5〈兀可得B=?所以Z?=2RsinB=2，§x坐=3.因为△A8C的周长为9,所以a+c=9

—6=9—3=6,由/+(?一82—碇=0,可得(〃+c)2—3碇=庐=9,所以3ac=27,所以ac=

9.故选B.

5.在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,若(M§0—C)COSA=〃COSC,则COSA=

()

A近B正

C也D迪

答案A

解析由正弦定理，得(小sinB—sinC)cosA=sinAcosC,即小sinBcosA=sin(A+C)=sinB,*.*

J3

0<B<TI,sinB>0,cosA=.故选A.

6.(2023•浙江杭州模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知acosB+bcosA

b

=3ccosC,asinA—csinC+bsinA=0,则一=()

57

--

33

A.cB.

7D.5

--

22

答案A

解析在A4i5c中，由正弦定理及acosB+Z?cosA=3ccosC,得sinAcosB+cosAsinB=

3sinCcosC,所以sin(A+B)=sinC=3sinCcosC,又sinCWO,所以cosC=g.由正弦定理及asinA

42+匕2­匕2_ab1

-csinC+Z?sinA=0,得/—，=一次?.又由余弦定理，得cosC=----yv----=,卜=],所以

b=5

a~y

7.在△ABC中，角A,B,。的对边分别为〃,b,c,若(〃+Z?)(sinA—sin8)=c(sinC+sinB),

b+c=4,则△ABC面积的最大值为()

A.|B.坐

C.1D.y[3

答案D

解析根据正弦定理知(〃+Z?)(sinA-sinB)=c(sinC+sing)可化为(a+0)(〃一A)=c(c+Z?),即b2

+c2—a2=—bc,故cosA/〃=-；'因为A€(0,联所以A=金，贝UsinA=^".因

为/?+c=4,b+c^2\[bc,所以Z?cW4,当且仅当/?=c=2时，等号成立，此时△A5C的面

积S=5心inA=M5,故△ABC面积的最大值为小故选D.

8.在△ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是()

A.(0局B.(0，0

(兀兀、(1171~

C.C句D.14刃

答案A

解析设c=AB=l,a=BC=2,6=AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

可知1<Z?<3,根据余弦定理850=表32+"一环=/(4+〃一])=/(3+庐)=京+/

信与=坐当且仅当靠=1,即时等号成立，所以0<CW^.故选A.

\liUT"乙ICZT'U

二、多项选择题

9.(2023•江苏镇江二模)在锐角三角形ABC中，A,B,C是三个内角，则下列不等式一定成

立的是()

A.sin(A+B)>sinA+sinB

B.sinA>cosB

C.sinB>cosA

D.sinA+sinB<2cosC

答案BC

解析在三角形中，两边之和大于第三边，贝!|a+b>c,由正弦定理得sinA+sinB>sinC=sin(A

+B),所以A错误；因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>90。今sinA>sin(90。一8)=cosB,

所以B正确；同理C正确；由于sinA>cosC,sinB>cosC=>sinA+sinB>2cosC,所以D错误.故

选BC.

10.己知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边，下列四个命题中正确的是()

A.若tanA+tan8+tanC>0,则△ABC是锐角三角形

B.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形

C.若灰:osC+ccos8=6,则△ABC是等腰三角形

若一则是等边三角形

D.cosAcosBcosC4ABC

答案ACD

解析tanA+tanB=tan(A+B)(1—tanAtanB),.".tanA+tanB+tanC=tan(A+3)•(1—tanAtanB)

+tanC=—tanC(l-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanOO,.".A,B,C均为锐角，，人正确；

由acosA=6cosB及正弦定理，得sin2A=sin28,...AnjB或A+8=],.'.△ABC是等腰三角

形或直角三角形，；.B错误；由6cosC+ccosB=6及正弦定理，可知sinBcosC+sinCcosB=sinB,

；.sinA=sin8,：.A=B,则AABC是等腰三角形，；.C正确；由已知及正弦定理，易知tanA

=tanB=tanC,A=B=C,则△ABC是等边三角形，；.D正确.故选ACD.

三、填空题

11.(2024・嘉兴模拟)A48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinA=/acosC,

c=26，ab=8,则a+6的值是.

答案6

解析由csinA=^/3<7CosC及正弦定理得sinCsinA=^/3siii4cosC,VsinAv^O,tanC=^/3,

22222

兀—,人-PMa+Z?—c(a+Z?)—c1、

'•*CG(0,7C),/.C=T,再由余弦定理侍COSC=7=,门卜=5，代入c=

2\[3,ab=8,得〃+b=6.

12.(2023•宜春模拟)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知Z?sinC+csinB=

4〃sin8sinC,Z?2+c2-«2=8,则△ABC的面积为.

宏案

口水3

解析*.*/?sinC+csinB=4«sinBsinC,sinBsinOO,结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=

4sinAsinBsinC,.，.sinA=2,b2-\-c2—a1=?>,结合余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,可得2bccosA

=8,二.A为锐角，且cosA=坐，从而求得。c=理工:.△ABC的面积为S=；0csim4=/"卓

JT

13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=§,c=4,/XABC的面积为

2小，则外接圆的半径为.

答案2

解析由SAABc=；bcsiM得Jbx4sin]=2小，解得6=2.由余弦定理*=62+，—2bccosA,

得“2=22+42—2x2x4cos异12,所以。=24，由正弦定理，得外接圆的半径氏=二匕

3zsin/i

2小'

2x坐

7

14.在△ABC中，已知45=4,AC=7,8c边的中线AZ)=],那么8C=.

答案9

_|_Aj\2_A〃2

解析在△48。中，结合余弦定理得cos/AOB=-Zm.DU-/A\CU—，在△AC。中，结合余弦

CE^-^AD2一AC2

定理得cos/AOC=——mn——，由题意知ZADB+ZADC^n,所以COS/

2222

,BD+AD--AB-CD+AD-ACCD2+(JJ-42

ADB+cosZADC=O,所以一2BD.AD—+-^CDAD=°'即-----7------+

2x-C£)

5+®-72

-----7------=0,解得CZ)=E，所以8C=9.

2x-C£)一

四、解答题

15.(2024・山东荷泽模拟)在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB-AC^,bsinA

=4(sinAcosC+cosAsinQ.

(1)求〃的值；

(2)求△ABC周长的最大值.

解⑴由bsinA=4(sinAcosC+cosAsinQ,得加inA=4sin5,

由正弦定理，得ab=4b,

解得4=4.

(2)由ABAC=?,得/?ccosA=1.

由余弦定理，得余、号,二*整理，得房+。2=25.

由25=加十°22屹："，得班(当且仅当6=c=平时取等号)，

所以aABC周长的最大值为4+5^2.

cir»A—sin"

16.(2023•吉林实验中学模拟)5c的内角A,B,。的对边分别是mb,c,且――7一

a—c

a~\~b'

(1)求角B的大小;

(2)若〃=3,。为AC边上一点，BD=2,且8。为角8的平分线，求△ABC的面积.

Ee,sinA—sinBa-c

解⑴因为

a~\~bf

,一「、、fa-ba-c

由正弦定理'上z-=.+%'

化简，得a1+c2—b2=ac,

所以由余弦定理，得cos"2ac

71

又因为3€（0,兀），所以B=g.

（2）c

A

如图所示，

因为S^ABC=SAABD~\~SACBD9

即切.8csin/ABC

1ZABC

=^BABDsm_2~

,1ZABC

+]BCBDsin——,

化简，#BA+BC=^BABC,①

又由余弦定理，得AC?=BA2+Be?—2848CC0SNABC,

即（8A+8C）2-33A.8C=9,②

①②联立，解得BABC=-2（舍去）或6,

所以SAABc=^BA-BCsmZABC=^-.

素养提标

17.（多选）对于△ABC,有如下判断，其中正确的是（）

A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形

B.若A>B,则sinA>sinB

C.若a=8,c=10,2=60。，则符合条件的△ABC有两个

D.若sii?A+sin?氏si/C,则△ABC是钝角三角形

答案ABD

解析对于A,若cosA=cosB,则A=B,所以△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B,

77人

若A>B,贝！|a>b,由正弦定理.4=.R=2R,得2RsinA>2Rsin5,即sinA>sinB成立，故B

sin/isin/j

正确；对于C,由余弦定理可得/7=\y82+1（）2—2X8X10X；=2，^T,只有一解，故C错误；

、4+廿一02

对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得"+庐<，，则cosC=-------------<0,所以

C为钝角，所以△A8C是钝角三角形，故D正确.故选ABD.

18.（多选）（2024•珠海模拟）已知△ABC满足sinA:sinB:sinC=2：3：巾，且SAABC=呼,

则下列命题正确的是（）

A.ZkABC的周长为5+巾

B.△A8C的三个内角A,B,C满足关系A+8=2C

C.AABC外接圆的半径为

D.AABC的中线C。的长为华

答案ABD

解析因为△ABC满足sinA：sinB:sinC=2：3：巾，所以a：b：c=2：3：巾，设a=2t,

222222

rqe人力、-rmtz+Z?—c4/+9z—7Z1.__

b=3t,c=y[7tft>0,利用余弦定理骨cosC=----五石---=----右---=爹，由于C€（0,兀），

所以.对于A,因为SA43C=U-，所以5〃加皿。=5'2机3机天-="^-,解得尸匕所以〃

=2,b=3,c=S，所以△ABC的周长为5+市，故A正确；对于B,因为C=?所以A

2冗

+B=—,故A+3=2C,故B正确；

对于C,利用正弦定理得卓=2R,解得R=写，所以△ABC外接圆的半径为

sineA/JJD

2

号,故C错误；对于D,如图所示，在△ABC中，利用正弦定理得,=熹，解得sinA=

2

野,又a<c,所以cosA=平，在△ACD中，利用余弦定理得C£)2=AC2+AZ)2—ZAC/OCOSA

=9+(—2、3*曰*2^=学，解得故D正确.故选ABD.

19.(2023・广东茂名一模)已知△ABC的内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且a=6+26cosC.

⑴求证：C=2B；

⑵求陪的取值范围.

解⑴证明：在△45C中，由a=b+2bcosC及正弦定理得sinA=sin8+2sin3cosC,

又A=兀一(3+C),sinA=sin[兀一(3+0]=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinB+2sinBcosC,

贝IcosBsinC—sinBcosC=sinB,

/.sin(C—B)=sinB,

*.*0<sinB=sin(C—B),0<C~B<C<TI.

VB+(C-B)=C<K,

：.B=C~B,即C=2B.

⑵解法一：由⑴得C=2B

则5+。=33€(0,7i),

71