2025年高考数学第一次模拟考试（广东卷2）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试(广东卷02)

全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合/=｛x|/-x>0｝,8=｛x|ln(x+l)2。｝.则/口5=()

A.(-oo,l)B.(-1,1)C.(1,+co)D.。,+8)

【答案】C

【详解】=1x|x2-x>o|=o|=｛x|x><0｝,

5=|x|ln(x+1)>0|=|x|ln(x+1)>lnl|=>0),所以NcB=(1,+功.故选：c.

2.已知数列应｝是等差数列，数列也｝是等比数列，若%+出+%2=12,*3%=27,则急=()

A.-B.—C.1D.—

543

【答案】C

【详解】设等差数列｛《｝的公差为d,

由/+%+=12,/+%+d+/+1\d—12,

即3.+12"=12,即为+4d=4,贝lj%=4,

设等比数列｛»｝的公比为式”0),

由她鬣=27,得小如2.而10=27,

Q4

即602=27,则加4=3,即々=3,所以优=币=1.故选：C.

3.已知)为单位向量，向量B在向量Z上的投影向量是2屋且(44+25)，4,则4的值为()

A.2B.0C.-2D.-1

【答案】C

【详解】因为向量B在向量£上的投影向量是2人

所以W<os«,%=景百=2°,化简得0%=2，

因为（4q+%B）_La,所以（4Q+/IB）〃=4）+4Q.B=4+24=0,

解得X=-2.故选C.

4.拄二学匚展开式中x项的系数为（）

xy

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】B

【详解】（x-2y）5的二项展开式的通项为％=c*51_2j；y=（--卞,

令左=3,得看=-8仁//=_80/9，

所以5季-的展开式中x的系数为一80.故选B.

xy

5.如图，S-/3C是正三棱锥且侧棱长为。,E,F分别是S4SC上的动点，△?£尸的周长的最小值为也

则侧棱S4SC的夹角为（）

A.30°B.60°

【答案】A

【详解】把正三棱锥沿S3剪开，并展开，

形成三个全等的等腰三角形，ASBC,ASCA,ASAB'，

连接88',交交于F,交S4于E,

则线段BB'就是△AEF的最小周长，即BB'=区,

s

又「SB=SB'=a,根据勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,

所以△SBB，是等腰直角三角形，

ZBSB'=90°,，ZASC=90°x；=30°,

所以侧棱S4SC的夹角为30。.故选：A.

6.若。和6是两个互不相等的正实数，则“a+6=2”是“log/<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

b=2-a>0

【详角星】若a+b=2,贝!J<a>0,即0<。<1或l<a<2,

a手b

当0<a<l时，1<Z><2,则k>g»<k）g/=0,

当l<a<2时,O<Z><1,则log/<log/=0,

所以“a+b=2唬“log/<0”的充分条件.

若a=2,b=；时，满足log/<0,而

所以“a+6=2”是“log/<0"的不必要条件.

综上所述，“。+6=2”是“log/<0”的充分不必要条件.

故选：A.

22

7.已知抛物线G：/=3向的焦点为点尸，双曲线C,:4=1（。>0,6>0）的右焦点为点心，线段R

ab

与G在第一象限的交点为点M,若G的焦距为6,且G在点M处的切线平行于a的一条渐近线，则双

曲线g的渐近线方程为（）

A.y=±4石xB.y=+s[2xC.y=±2A尤D.y=±^-x

332

【答案】D

【详解】抛物线G：/=34的焦点为尸’,学］,依题意可得入(3,0),

%I-=1

•••%直线方程为5出,即x+2V^-3=0,

x+25/2y—3=0、3

联立\，可得2d+3%-9=0,解得石=-3或％2=彳，

%2=3。2y2

3

又线段股与G在第一象限的交点为点M,:.M的横坐标为5,

由歹=25，所以y=#x，

・..G在点M处的切线斜率为・，

又G在点河处的切线平行于a的一条渐近线，

・・.双曲线C2的一条渐近线的斜率为变，

2

双曲线G的渐近线方程为y=±孝X.故选：D.

8.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当尤＜0时，/(x)=e*(x+2),则下列说法正确的是()

A.函数“X)有两个零点B.当x>0时，/(x)=-ex(-x+2)

C.〃x)>0的解集是(-2,0)U(2,+8)D.0都有|/(匹)-/伉)|<：

【答案】C

【详解】设x>0,贝U-x<0,所以〃-x)=eT(-x+2),

因为〃x)是定义在R上的奇函数，所以〃-x)=-/(x),/(0)=0,

所以-〃x)=「(一x+2),即〃x)=-b(t+2),

QX(x+2),x<0

所以函数的解析式为了(X)=<0,x=0,故B不正确；

-e，(-x+2),x>0

当x<0时，令/(x)=0,解得x=-2,当x>0时，令/(x)=0,解得x=2,

所以函数/(x)有三个零点，故A不正确；

当x<0时，令/'(x)>0,解得x>-2,当x>0时，令/(x)>0,解得x>2,

所以〃x)>0的解集为(-2,0)U(2,+s),故C正确；

当x<0时，/'(x)=ex(x+3),

所以当尤<-3时，f'(x)<0,函数〃x)单调递减，

当-3<x<0时，f'(x)>0,函数单调递增，

所以当x=-3时，函数〃尤)取得最小值-厂，

又当x从左侧趋于0时，/(x)趋于2,

当x趋于时，〃x)趋于0,

所以当x<0时，函数的值域为[-十,2),

当x>0时，/'(x)=eT(-x+3),

所以当0〈尤<3时，r(x)>0,函数/(x)单调递增，

当x>3时，fr(x)<0,函数〃x)单调递减，

所以当x=3时，函数/(x)取得最大值e-3,

又当x从右侧趋于0时，/(x)趋于-2,

当x趋于+8时，/(x)趋于0,

所以当x>0时，函数的值域为(-2,^3],

当x=0时，/(0)=0,

所以V%,马€区都有|〃％)-〃%)|<[〃占)-/仇)]皿*=2+2=4,所以D不正确.故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z满足忖=1且彳=i.z,则z可能为()

兀..3兀c3..兀

A.cos——ism——B.cos—7i-isin—

4444

一兀..兀

C.cos—+isin—D.cos—7i+isin——

4444

【答案】AD

【详解】对于A,若z=cos工一isin^^=交-1ifilll—V2V2.

，则Jz=——+——1,

442222

交一旦]=遮+乌『

1

(22J22

对于B,^z=cos-7T-isin-=-^-^i,则亍=—卫+*i,

442222

fV2V2,YV2V2._

1z=-------------11=-------------------1WZ,故B错误;

I22J22

对于C,^z=cos—+isin—=^-+^-i,贝！J亍一^4，

442222

iz=+wN,故C错误；

22

7_Ljzrn3..3兀V2V2.m||_V2V2.

7^~rD,z=cos—K+ism——=-------1------1,贝1Jz=--------------1,

442222

zi=_也一把i与，且中

=1,故D正确.

2211

故选：AD.

10.已知函数/(x)=sinx+g|cosx|,则()

A.兀是/(x)的一个周期B.x是/(x)的一条对称轴

TT37r

C./(X)的值域为卜1,2]D.“X)在-,y上单调递减

【答案】BC

sinx+^3cosx--+2foi,—+2ATI(kGZ)

22

【详解】f{x)=sinx+V3|cosx|=<，图像如图

sinx-V3cosx畀2m$+2E(keZ)

所示:

2；

7兀

■>

。三5兀5兀x

-2TT

由图像可得，函数的最小正周期为2m故选项A错误，不符合题意；

X=5是/（X）的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；

“X）的值域为[T2],故选项C正确，符合题意；

TT37r

/（X）在-,y上先增后减，选项D错误，不符合题意；

故选：BC.

11.如图，直四棱柱/8CA-/4G2的底面是梯形，AB//CD,AB1BC,AB=BC=AAX=\,CO=2,P是

棱。〃的中点，。在直四棱柱/5C。-4瓦G2的表面上运动，贝I]（）

若。在棱4A上运动，则GQ+PQ的最小值为7+亚

若。在棱G2上运动，则三棱锥/-3PQ的体积为定值

若则。点的轨迹为平行四边形

D.若匕。|=也，则。点的轨迹长度为

【答案】BCD

【详解】由题意可得，/。=血,乙4。。=£.将平面4月£2和平面以4〃，

13兀

沿直线42展开，如图2,在△GAP中，cn=2,DF=3,/尸AG=],所以

G尸2=22+0]-2x2x-xcos—=—+V2,

244

G

A

P

D图2

则C©+P。的最小值为故A错;

CXDX//AB,CXDXcz平面ABP,ABu平面ABP.CXDX//平面ABP,

即CQi到平面尸的距离为定值，即三棱锥的高〃为定值,

又为定值,

所以％w=VQ-ABP=g.ABph为定值，故B正确;

图3

如图3,连接/G，/C,/A，

由正四棱柱的性质可得四边形为正方形，故481/耳，

而£G为中点，故FGHA\B,故厂G,2友，

而BB11平面ABCD,CBu平面ABCD,故2片_L8C,

又BC14B,4BCBBi=B,4B,BBiu平面,故3C1平面胡耳与，

故平面244画，而尸Gu平面A44耳，故耳CJAG,

而用GPU与=耳，及C1,/3iu平面4cM，故尸G,平面用C/,

而C/u平面与C/,故/GJ_CM.

在梯形48CD中，AC=0AD=也,而CO=2,

i^AC2+AD2=CD2,故而EG//4D,故同理可证NQLEG,

而尸3门£6=6,尸6,£6匚平面尸£6尸，

则AC,，平面PEG/,，。点的轨迹为平行四边形尸EG尸，故C正确;

|G0|=行，如图4,以Q为球心，也为半径作球,

则。点的轨迹即为该球与直四棱柱各面截球所得的弧,

在线段上取一点使得GM=后,CD上取一点N,使得CN=1,

则GN=0,平面45cd截球得病，长度为乌乂亚=叵，平面CD2G截球得疝，

44

长度：X0=亨,q与，平面ABB.A,,C\A\=C\B=&，平面ABBXAX截球得“，长度为]x1=],

同理可得，平面/BCD截球得俞，长度为]xl=],平面40口4与球相切与点4，

则。点的轨迹长度为1+孝〉，故D正确.

故选：BCD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知cose+cos£=,sina+smf3=—,贝Ucos(c-/)=.

【答案】T

【详解】由cosa+cos£=巫平方得：cos2a+2cosacos°+cos2(3=—,

1010

由sina+sin"。平方得：sin2«+2sinasin/?+sin2=^-,

1010

两式相加得：l+2cosacos尸+2sinasin£+l=1,

所以2cos(a-0=-l,所以cos(a-⑶=-g,故答案为：-1.

r_l_1

13.已知函数〃x)(xeR)满足〃-x)=2-〃x),若函数y与y=〃x)图像的交点为

X

2024

(西,外)，(尤2，%)，…(.^2024，％024)，则£(%+%)=；

Z=1

【答案】2024

【详解】因为〃f）=2-〃x）,所以函数f（x）（xeR）关于（0,1）对称,

j_11

又>=Y3=1+上的图像关于（0,1）对称，

XX

所以两函数的交点也关于（0,1）对称,对于每一组对称（4％）和（，乂），都有x,+x：=o,X+M=2.

警2024

从而£&+■）=—^义2=2024.故答案为：2024.

i=i2

14.从1,2,2024中任取两数。，b（可以相同），则3"+7〃个位为8的概率为

3

【答案】77

【详解】从1,2,2024中任取两数a,6（可以相同）,共有2024x2024种取法，

因为3"的个位数字随着4从1开始，依次是3,9,7,1,3...,周期变化，

7〃的个位数字随着6从1开始，则依次是7,9,3,1,7,…，周期变化，

故它们的周期均为4,

所以，1〜2024中，共有4左+1,4左+2,4左+3,4左+4（04左W505,左eN）4种数型，

且每种数型的个数是均等的，都是506个，

3"和7"的尾数中只有9+9,7+1,1+7三种情形中个位数字是8,

即a=4左+2,6=4/+2；a=4左+3,Z>=4/+4；a=4左+4,b=4/+l时，3"+76的个位数字是8,

（QMkM505,keN；0</<505,/GN）,

所以满足3"+7'的个位数字是8的取法有506x506x3种取法,

506x506x33

所以所求概率为

2024x202416

3

即3。+7b个位为8的概率为—.

16

3

故答案为：—.

16

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

sin/一sin8_sinC

15.（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

b+ca+b

⑴求A；

(2)若丽=4①，4C=5求BC.

【详解】⑴由当『sinCf十心E,口Q一6c

—及正弦定理得—=--.2分

a+bb+ca+b

整理得/=62+c?+bc,.............................................................................................................................3分

又由余弦定理的推论得，cos/=/+c~2=法」,...............................5分

2bc2bc2

因为/e（O,兀），所以/=/..........................................................7分

（2）由丽=4函，邑3c=乎，得S/BC=3S-=孚，............................9分

^-AC-AB-sinZBAC=-xy/3xABx—=—,可得48=26,.............................................11分

2222

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC--2AB-AC-cosABAC

=12+3-2x2退x百x]-J=21,gpBC=V21...............................................................................13分

16.（15分）如图，已知圆锥S。的底面圆周上有4民C三点，48为底面圆。的直径，且/BOC=60。,。为

AC的中点.

⑴证明：平面S。。！平面S/C；

Q）若AB=2,SO=C，求二面角3-SQ-C的正弦值.

【详解】（1）根据圆锥性质可得SO,平面NBC,4Cu平面N3C,

可得SO1ZC,.........................................................................................................................................2分

又。为/C的中点，利用圆的性质可得QOL/C,

因为SOc。。=。,SO,。。U平面SOQ,

可得平面SO0,..............................................................................................................................4分

又NCu平面”C,所以平面S。。，平面"C....................................................................................5分

（2）取3。的中点为D,连接OD,

又4B为底面圆。的直径，且N2OC=60。,。为NC的中点，

可知/C，CB,OD1BC,OQ1AC,且^BOC为等边三角形，

因此可得。°,。。,OS两两垂直，.....................................................6分

以。为坐标原点，以OS所在直线分别为x/，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

z.

'B

3

X

巧1

由/8=2,SO=后可知08=80=1,0。=],。°=]；

所以3

一（6）

因此8。=1,-3,08分

I27

设平面BS。的一个法向量为丽=（芭,乂,zJ,

BQ-m=xx-^-y[=0r-r-

2，令士可得弘=理型

则=2,1,4=

丽•龙=；再一任]=032

、

即成二10分

；

2，FF7

设平面S0C的一个法向量为亢=（超,%/2）,

QC-n=^-y2=0r-

则一2，解得％=。，令无2=2,可得*;

SQ-n=-x2-yflz2=02

、2

22

17.（15分）已知椭圆C：]+方=1,>6>0）的左、右焦点为％F2,P为椭圆上一点，且尸乙，甲"

h

tanZP^=^-.

（1）求椭圆。的离心率e；

（2）已知直线/交椭圆C于A,3两点，且线段N8的中点为,若椭圆C上存在点X,满足

2OA+SOB=^OM,试求椭圆C的方程.

b2

【详解】（1）解：因为tan/尸尸尸.石-工-3,2分

122c2ac12

所以6"=岳°,即6（/_02）=6℃3分

则，解得0=心

5分

2

（2）解:设4（%,乂）,8（%％），川（马，为），

由e2=1r得〃=#|c2=1a2,所以/=必2

,所以62=/一027分

a

x2j

设C：=1,BPx2+4y2=4b2

由于42在椭圆上，则

2xj+3X2

2再+3%=4x。，即,X。=-4-

由2厉+3砺=4殖，得9分

2%+3%=4%2%+3%

%-4-

22

2再+3X

由〃在椭圆上，则四+4%2=4凡即2I+42凹+3%I=4/,

44

即4（%J+4必2）+12（玉%2+4M％）+9（、22+4%2）=64/,②

将①代入②得：XR+4yM=/,③..................................................11分

若直线N8的斜率不存在，则线段4B的中点在x轴上，不合乎题意，

线段的中点为°（1,一；］,设/8:歹=曲》一1）一:，可知〃=，。一1）一5,

12［-+4/=4〃

（1+4左2）X2—（8左2+4后）x+4左2+4左一4/？+1=0

8左2+4左c,,1

M+招=------=2x\nk=一,...................................

121+4左22

所以X2-2X+2-262=0，其中A>0,解得

所以国=2-2/,48方程为y=gxT

-

又必歹2二［；再_"二；演、2—1（演+工2）+1二^^，④

将④代入③得：2-2/+4-上=/=62=3,

25

经检验满足/>g,...............................................................14分

所以椭圆C的方程为正+至=1...................................................15分

164

18.（17分）已知函数/（力=1址+办2.（其中e是自然对数的底，e=2.71828---,aeR）.

⑴讨论函数/（x）的单调性；

（3）

⑵当X>1时，若/（X）<e工恒成立，求整数a的最大值”。4.5.

\7

【详解】（1）函数/（x）=hu+"2定义域为（0,+8）,/，（叼=：1+2^=空里。>0）.....1分

XX

当。上0时，/'（x）>o,/（x）在（0,+8）上是增函数；....................................2分

当。<。时，由尸（刀）>o,解得o<x<—‘由/''(%)<0，解得X>

2a

一2b上是增函数，在

所以函数/（X）在0,上是减函数.4分

2a,

综上所述，当。20时，/（X）在（0,+8）上是增函数;

当"。时，/（X）在0,上是增函数，在上是减函数................5分

(2)由题意当x>l时，/(x)<e\整理得。〈巴里.................................6分

X

令函数g(x)=e_21m^x'l).

则卜―卜-2"-则=卜_2育+21』1.

g⑴一?"?

令力(x)=(x-2)e"+21nx-l(x>l),贝1」力'卜)=('一1卜”+—.

当%>1时，〃(%)>0恒成立，所以h(%)在(1,+8)单调递增.............................8分

又彳|]=21nTT_ge飞O，M2)=21n2_l)0,

所以*oe1|,2)使得力(x°)=0,即一11«。=(£一1卜一〈............................10分

故xe(Lxo)时，Mx)<0;xe(x(),+8)时，h(%)>0.

因此g(x)在(L/)单调递减，在(%,+。)单调递增，...................................12分

X,e%+(血Ee%工

所以r(：；「e'=ku。〔2J222_e'。1........................13分

队0尸~~一一~—一元年

令函数°(x)=(一占底]川：则/(力当9+卜心

所以9(x)在]|,2)单调递增，因此夕0<g(/)<9(2).................................15分