2025年高考数学重难点复习：复数的四则运算（解析版）

第08讲复数的四则运算

T模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.掌握复数代数形式的乘法和除法运算

模块三核心考点举一反三3.逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘

模块四小试牛刀过关测法对加法的分配律

模块一思维导图串知识

加减运算

在复平面内，设复数为=。+历，z2=c+di(a.bcdeK)对应的点

分别是4sM,4aM,则|砧府而匚了.又复数

22

z「Z2=(a+bf)-(c+di)=(a-c)+(b-。.Jt!|I-z21=y/(a-c)+(b-(f),故

|Z4|=|z「W,即匕-z：1表示复数为z：在复平面内对应的点之间的距

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(Z>c-ad)iac+bdbe-ad.

复数的除法(a+bi)^-(c+di)

c+di(c+di)(c-di)c2+d2TTT'+TTZ'

6模块二基础知识全梳理--------

知识点1复数代数形式的加法运算及其几何意义

(1)复数的加法法则

设马=。+历，Z2=c+di,(a,dc,deR)是任意两个复数，那么它们的和:

Zj+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

(2)复数加法满足的运算律

对任意Z，Z2，Z3eC,有

交换律：Z+Z2=Z2+Z]

结合律：(Z[+Z2)+Z3=Z[+仁2+Z3)

(3)复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数4=a+历，Z2=c+di对应的向量分别为。Z「0Z2,以。Z「

。心为邻边作平行四边形，则OZ=OZ]+QZ2=(a,Z?)+(c,d)=(a+c/+d),即：。/

z=(a+c)+3+d)i,即对角线0Z表示的向量0Z就是与复数(a+c)+3+d)，对应的向量.所以：复数

的加法可以按照向量的加法来进行.

知识点2复数代数形式的减法运算及其几何意义

(1)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+成)+(x+yi)=a+bi的复数x+9叫做复数a+初减去复数c+dz•的差，记作(a+bi)一(c+di)

实部相减为实部

II_■I,八

(a+bi)<c+di)=(g-c)+(b-d)i

IIt

虚部相减为虚部

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

yt

Z2(c.d)

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减./

(2)复数减法的几何意义

复数Z2—Z1--------------------------------------->向量ZIZ?°1

知识点3IZ1-Z2|(马*2eC)的几何意义

在复平面内，设复数4=。+6，Z2=c+di(a,Z?,c,deR)对应的点分别是Z1(a,Z?),Z2(c,d),则

22

|ZjZ21=y1(a—c)+(b—d).又复数z1—z2—(a+bi)-(c+di)—(a-c)+(b-d)i.则

22

|Z1-z21=yl(a-c)+(b-d),故IZ|Z?|=|Z]—z?|,即IZ]—z?|表示复数4,z2在复平面内对应的点之间

的距离.

知识点4复数代数形式的乘法运算

(1)复数的乘法法则

我们规定，复数乘法法则如下：设Z]=。+6，Z2=C+力是任意两个复数，那么它们的乘积为

2

ZjZ2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)[c+di)={ac-bd)+(ad+bc)i

(2)复数乘法满足的运算律

复数乘法的交换律、结合律、分配律

4・Z2=Z2•Z](交换律)

(z1-z2)-z3=Z1-(Z2*Z3)(结合律)

Z1(Z2+Z3)=4・Z2+马・Z3(分配律)

知识点5复数代数形式的乘方

(1)复数的乘方

复数的乘方就是相同复数的乘积

(2)复数乘方的运算律

根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数哥的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的

z,Zj,z2eC,m,neN*,有:

@zmzn=zm+n

②(z»=z""，

/\nnn

③(ZE)=Z[Z2

知识点03：共物复数的性质

i^z=a+bi,'z=a-bi(a,bsR)z1,z2,z3<-z„eC

①(z)=z；②z=zu>z为实数；③z=—z且zW0二^z为纯虚数

④z==o|z|=l；⑤z+z=2a，z-z=2bi>z-z=a2+b2

z

知识点6复数代数形式的除法运算

(1)定义

规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c+成)(尤+*)=〃+初(a,dc,d,x,yeR,c+龙wO)

的复数x+yi叫做复数a+初除以复数c+龙的商，记作(«+4)+(c+di)或巴电

c+di

(2)复数的除法法则

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)+(c+di)=+__(c+d，wO)

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c1+d2c+d

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

。>模块三核心考点举一反三

考点一：复数加，减运算

(24-25高一上•上海•课堂例题)计算:

(l)(3-5i)+(^-i)-(3+4i)；

⑵5i-[(3+4i)-(-l+3i)]；

(3)(。+bi)-(2a-3历)一3i(a,6eR).

【答案】⑴T—15

⑵T+4i

(3)-a+(4Z?-3)i

【知识点】复数加减法的代数运算

【分析】(D利用复数的四则运算法则求解即可.

(2)利用复数的四则运算法则求解即可.

(3)利用复数的四则运算法则求解即可.

【详解】（1）（3-5i）+（T-i）—（3+4i）

=（3-4-3）+（-5-l-4）i=-4-10i.

（2）5i-[（3+4i）-（-l+3i）]

=5i-（4+i）=Y+4i.

（3）（a+历）-（2cz-3历）-3i

=（a-2q）+[6-（-36）-3]i=-a+（4Z?-3）i.

【变式1-11（2024高一下•全国•专题练习）计算:

⑴（3A/2-2i）-（-V2+3i）+（4虚+3i）；

⑵（3行-4i）-卜6+2i）；

【答案】⑴8&-2i

(2)4^-6i

(3)15+3A/3

【知识点】复数加减法的代数运算

【分析】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)(30-2i)-卜&+3。+(4夜+3i)=(3忘+夜+4&)+(-2-3+3)i=8夜-2i；

(2)(3君一4i)一卜如+2i)=(3指+如)+(-4一2)i=4^—6i；

(3)(8-2i)-(-7+5i)+(3V3+7i)=(8+7+3-x/3)+(-2-5+7)i=15+3^.

【变式1-2](23-24高一下•全国•课堂例题)计算：

⑴(372-2i)-(-72+3i)+(40+3i)；

⑵(35/^_4i)-卜^/^+2i)；

【答案】(l)80-2i

(2)475-61

(3)15+373

【知识点】复数加减法的代数运算

【分析】根据题意由复数的加减法运算，代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)原式=(30+应+4@+(-2-3+3)i=8夜-2i

(2)原式=9百+灼+(-4-2)i=4q一6i

(3)原式=(8+7+3⑹+(-2—5+7)i=15+3/

【变式1-3](2024高一下•全国•专题练习)计算：

(1)

⑵(3+2i)+(有-2)i；

(3)(l+2i)+(i+i2)+|3+4i|；

(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).

【答案】呜-|i

⑵3+后

(3)5+3i

(4)8+2i

【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算

【分析】(1)(2)(3)(4)根据复数的加减法法则直接求解即可.

【详解】⑴12Tmi)(2+卜(三一2)i=|一|i；

(2)(3+2i)+(^-2)i=3+(2+^-2)i=3+73i；

(3)(l+2i)+(i+i2)+|3+4i|

=(l+2i)+(i-l)+V32+42

=(l+2i)+(i-l)+5

=(l—l+5)+(2+l)i=5+3i；

(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)

=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-l]i

=8+2i.

考点二：根据复数加、减运算结果求参数

['j例2.(23-24高一下•全国•课后作业)已知xGR,jGR,(xi+x)+(yi+4)=(y—i)—(1—3xi),则x

=，尸•

【答案】611

【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数、根据相等条件求参数

【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解.

【详解】因为(xi+x)+Gi+4)=(y—i)—(l—3xi),

所以x+4+(x+j)i=(y—l)+(3x—l)i,

x+4=y-1x=6

,解得

x+y=3x-ly=11

故答案为：6,11.

【变式2-1］（23-24高一下•山东•阶段练习）已知a,beR,（a+3i）+（-l+历）=0,则（）

A.Q=1,〃=—3B.a=-l,b=3C.a=-l,b=-3D.a=l,b=3

【答案】A

【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数

【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可

【详解】由（a+3i）+（-l+bi）=ST+（3+»i=0,得：仁=：,解得：［

故选：A

【变式2-2］（多选）（2024•福建漳州•一模）若（l+i"+历=4i,a,bwR,则（）

A.a=lB.b=4C.a-b=-AD.ab=O

【答案】BCD

【知识点】根据复数的加减运算结果求参数、复数的相等

【分析】根据复数的加法结合复数相等求。，工进而逐项分析判断.

【详解】由题意可得：（l+i）a+历=a+（a+6）i=4i,

fa=0fa=0

则,，解得，，，可得。-6=-4,必=0,

［a+b=4-［b=4

故BCD正确，A错误.

故选：BCD.

【变式2-3］（23-24高二下•安徽蚌埠•阶段练习）已知Z|=（3x—4y）+（y-2x）i,z?=（-2尤+y）+（x-3y）i,

x，y为实数，若4—2=5-3i,求L+Z2I

【答案】|Z1+Z2|=V2.

【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数、求复数的模

【分析】先化简ZI-z?,再利用复数相等可求出％y,从而得到4+为，再用复数的模长公式求解即可

【详解】Z］—2=［（3x-4y）+（y-2x）i［-［（-2x+y）+（x-3y）i］

=［（3尤-4y）-（-2尤+y）［+［（y-2尤）-（x—3y）］i

二（5x-5y）+（-3x+4y）i=5-3i,

5x—5y=5

所以

—3x+4y=—3

解得y=。，x=l,

所以Z=3-2i,z2=-2+i,

则Z+Z2=l-i,所以「+［=#+（_以=/.

考点三：复数乘除法运算

二例3.（24-25高三上•河北石家庄•期中）已知复数z=。包（1一’）,贝呢的虚部为（）

I____i4-i

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【知识点】共粗复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部

【分析】根据复数的除法运算法则,计算出复数z的值，然后求出复数z的共物复数最后写出三的虚部

即可.

m2（l+i）2（l+i）（l+i）.

I.z=^;=~:~:-=~r_7r=2i>

i-il-i（l-i）（l+i）

所以』=-2i，所以1的虚部为-2.

故选：C

【变式3-1］（2024高二下•安徽•学业考试）已知i为虚数单位，（l+ai）i=5+i,则实数”等于（）

A.一1B.1C.一5D.5

【答案】C

【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等

【分析】化简方程可得i-a=5+i,由此可求。.

【详解】因为（l+0）i=5+i,即i+1=5+i,

可得i-a=5+i,所以a=-5.

故选：C.

【变式3-2］（24-25高三上•湖北武汉•阶段练习）已知i为虚数单位，若（z+D（l+2i）=-2+i,贝!Jz=（）

A.-1+iB.-l-iC.1+iD.l-i

【答案】A

【知识点】复数加减法的代数运算、复数的除法运算

【分析】利用复数的运算法则计算即可得到结果.

【详解】由（,z+l、）（/l+2i、）=-2+i得，z+l=-—2+i=高+昌=『5i，

故z=—l+i.

故选：A.

【变式3-3］（23-24高三下•浙江杭州•期中）已知复数z=|^,则同=（）

A.2B.1c.VsD.

5

【答案】B

【知识点】求复数的模、共辗复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】根据共朝复数的模的性质求解即可.

3+4i|3+4i|_732+42

【详解】同=M==1

4-3i西=心+(一咪

故选：B

考点四：复数乘方运算

'例4.（24-25高一上•浙江杭州•期中）设复数z满足z（l+i2M）=2（i为虚数单位），则复数彳在复平

面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方、共朝复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共朝复数，最后求出对应点的坐标即可得解.

22

【详解】由题意z=B===i+i,所以』—i,

则复数2在复平面内对应的点。,-1）在第四象限.

故选：D.

【变式4-1］（24-25高三上•山西吕梁•阶段练习）若复数z满足（l+i）z=l-i的,则卜+2|=（）

A.1B.6C.2D.75

【答案】D

【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的乘方

【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数z,再利用复数模的意义求解.

【详解】i(l+i)z=l-i2025,得z=£(1-i)2-2i

(l+i)(l-i)=V

所以|z+2|=|2-i|=j22+（-l）2=6.

故选:D

【变式4-2］（2024高三•全国•专题练习）i+2i2+3i3++2O21i2021+2O22i2022=.

【答案】-1012+lOlli

【知识点】复数的乘方

【分析】根据i"的周期性进行求值计算.

【详解】观察原式=i+2i?+弁++2021i2021+2022i2022

=(i-2-3i+4)+(5i-6—7i+8)++(2017i-2018-2019i+2020)+(202li-2022)

=(2-2i)+(2-2i)++(2-2i)+(2021i-2022)

=505x(2-2i)+(2021i-2022)=1010-1010i+(202U-2022)=—1012+101li.

故答案为：-1012+1011i

【变式4-3](24-25高三上•江苏南通•期中)已知i为虚数单位，复数z满足z+2i=iz+(l+y,贝!J|z|=

【答案】回

【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的乘方

【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数z,进而求出其模.

【详解】由z+2i=iz+(l+i)4,得z+2i=iz+(2i)z,即z-iz=-2i—4,

-4-2i_(-4-2i)(l+i)_-2-6i

1-i-(l-i)(l+i)--2-

所以|z|=+(-3)2=回.

故答案为：Vio

考点五：共朝复数计算

j\例5.(24-25高三上•上海•期中)设i为虚数单位，若z=?,贝陵=()

A.2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

【答案】D

【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、复数的除法运算、共轨复数的概念及计算

【分析】结合复数的四则运算，以及共朝复数的定义，即可求解.

【详解】z=±p-=--=l+2i,

故彳=l-2i.

故选：D.

【变式5-1](24-25高三上•山东荷泽•阶段练习)若复数z满足z(l+2i)=3+i,则彳=()

A.1+iB.1-iC.2+iD.2-i

【答案】A

【知识点】复数的除法运算、共轨复数的概念及计算

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,从而求出其共朝复数.

3+i(3+"(l-2i)3-6i+i-2i2

【详解】因为z(l+2i)=3+i,所以z==l-i，

l+2i(l+2i)(l-2i)5

所以彳=l+i.

故选：A

【变式5-2](24-25高三上•江西赣州•阶段练习)若—z+]=2i,贝匹=()

Z-1

【答案】D

【知识点】共转复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】依题意可得Z=根据复数代数形式的除法运算化简Z,从而求出其共轨复数.

-1+21

z+1

【详解】因为受=2i,所以z+l=2i(z-1),

z-1

l+2i(l+2i)(-l-2i)34.

------=------------------~-----]

-l+2i(-l+2i)(-l-2i)55

所以-233+4不.

故选：D

【变式5-3］（24-25高三上•四川•期中）已知复数z=3-，，三为z的共轨复数，贝5的虚部为（）

【答案】A

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轨复数的概念及计算

【分析】利用复数的除法化简复数z,利用共辑复数的定义结合复数的概念可得结果.

【详解】因为z=3$=3一5=3一$-11

则z=3+K，因此，之的虚部为

2z

故选:A.

考点六：根据复数乘除法运算结果求参数

|、］例6-1.（2024•全国•模拟预测）已知4+3i

=。+历（。/€11,1为虚数单位），则4+匕=（)

2-i

A.-1B.3D.2

【答案】B

【知识点】根据除法运算结果求参数、复数的相等

【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得。涉的值，可得结果.

4+3i(4+3i)(2+i)

【详解】由二=1+2i=a+Z?i

(2T(2+i)

可得〃=1,b=29

因此a+2?=3.

故选:B.

|'j例62(23-24高一下•湖北咸宁•期末)已知复数z=1+2+®-l)iWeR),其中i为虚数单位.

⑴若z是纯虚数，求实数小的值；

z+i

(2)若机=2,设^—=a+bi(a,b&R),试求a+b的值.

z-i

【答案】(1)相=-2

,7

(l)a+b=-

【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、根据除法运算结果求参数

【分析】(1)根据纯虚数的定义求解即可；

(2)由〃z=2,则z=4+i,再通过复数的乘除法计算早即可.

z-1

【详解】(1)由题意可得：ZM2+777—2=0,且〃2-1甘0,

解得m=-2,

所以机的值为-2；

(2)若，〃=2,贝!|z=4+i,

ul,、，z+i4+2i2+i(2+i)23+4i

所以---=-----=----=--————=-----=a+bi,

z-i4-2i2-i(2-i)(2+i)5

34

所以a=g，b=M

7

所以。+6=二.

【变式6-1](2024•海南•模拟预测)已知复数z满足z(l+i)z=(-l+ai)2,aeR,则z为实数的一个充分条

件是()

A.a=—2B.a=^/2C.<2=1D.a—2

【答案】C

【知识点】根据充分不必要条件求参数、充分条件的判定及性质、已知复数的类型求参数、根据复数乘法

运算结果求参数

【分析】首先，设Z=/7,代入化简后，利用等式两边相等，即可求得用再根据充分条件的概念即可得出

答案.

【详解】解：若Z为实数，则设z=6,

已知+=(-1+而)2,可得6(l+i/=(-1+aip,BP2bi=l-2ai-a2>

所以二°,解得。=±1，

[2b=-2a

z为实数的一个充分条件是a=1或a=-1,

故选：C.

【变式6-2］（23-24高一下•陕西商洛•期末）已知0,匕均为实数，（2+i）（l+ai）=i0+i）,则必=.

【答案】21

【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、复数的相等

【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.

【详解】根据（2+。。+山）=1偿+。可得到2+2出+1-4=一1+历，

故2—a=—1,2a+l=b,求得a=3,6=7,

所以必=21.

故答案为：21

【变式6-3］（23-24高一下•广西•阶段练习）已知卜:a（aeR）,则。的值为.

【答案】4

【知识点】根据复数乘法运算结果求参数

【分析】根据复数模长的性质与计算求解即可.

【详解】==贝!］/+9=11/,解得。=±4,因为所以。=4.

i|i|1416

故答案为：4

【变式6-4］（2024•湖南•模拟预测）已知i是复数的虚数单位，且早=a+6i（a,beR）,贝!Ja+》的值

为.

【答案】-5

【知识点】根据除法运算结果求参数

【分析】计算出㈢，从而求出。，6以及a+6的值.

1

【详解】因为曰=^^=#=一2-3i,

11-1

所以a=-2,b=-39

所以a+Z?=—5,

故答案为：—5.

3模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

2

1.（24・25高三上•北京•阶段练习）在复平面内，复数z满足z=「，则复数z对应的点的坐标是（）

1+1

A.（I，/）B.（—1,1）C.（-1,-1）D.（1,1）

【答案】A

【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算

【分析】先根据复数的除法运算计算出Z,然后根据Z的实虚部可知Z对应的点的坐标.

【详解】因为2=下=（1+；）（1L）二1一1,所以z对应的点的坐标是（1,-1）,

故选：A.

2.（2024・湖南长沙•模拟预测）在复平面内，若i是虚数单位，复数z与三关于虚轴对称，贝！|z=（）

l+i

A.l+iC.-l+iD.1-i

【答案】C

【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得答案.

【详解】•••备22(l+i)

T^i-(l-i)(l+i)=l+i,

2

由复数Z与三对应的点关于虚轴对称,

1-1

Az=-l+i.

故选：C.

3.（2024•广东•模拟预测）已知复数z=「，贝!|z在复平面内对应的点位于（）

3-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.

l+i（l+i）（3+i）2+4i12（12^1

【详解】Z=『=*^4=—7]=£+£i,；.Z在复平面内对应的点为,

3-i+1055（55）

/.z在复平面内对应的点位于第一象限.

故选：A.

4.（24-25高三上•上海•阶段练习）设。eR,若存在复数z满足z-1•彳=a+2i（i为虚数单位），则。=

【答案】0

【知识点】复数的相等、共物复数的概念及计算

【分析】先设复数为z=x+M,再应用共朝复数，结合复数项的相等求参.

【详解】设2=彳+凡则5=尤-M,

所以z-l•彳=x+yi-(^x-yi)=a+2i

所以2yi=o+2i,

即a=0

故答案为：0.

5.（24-25高三上•四川自贡•期中）在复平面内，复数对应的向量分别是。4=（-2,3）,。3=（3,-2）,则

复数一对应的点位于（）

4—2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应

的复数

z11

【分析】写出Z]=—2+3i,z2=3—2i,利用复数的四则运算法则计算出=一5一元i，确定对应的点的坐

Z]—Z]，1U

标，得到答案.

【详解】由题意得4=-2+3鹏=3-2i,

Z2_3-2i_3-2i_（3-2i）（l+i）_3+2-2i+3i

2

贝"Z1-z2--2+3i-（3-2i）--5+5i--5（l-i）（l+i）--5（l-i）一一5一历'

对应的点为位于第三象限.

故选：C

6.（2024高三•全国•专题练习）已知复数z满足（1-i）z=l+i（i是虚数单位），贝！的值为（）

A.-2022B.1C.-1D.2022

【答案】C

【知识点】复数的乘方、复数的除法运算

【分析】根据复数除法的几何意义，结合复数单位的平方性质、指数的运算性质行求解即可.

【详解】由已知可得2=若=湍8l+2i-l2i.

------二—=1

22

因此，z2022W=（-L）1011=T.

故选：C

„7—1

7.（2024高三•全国•专题练习）已知复数z与复平面内的点（1,2）对应，则（丁=（）

1-1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】C

【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数

【分析】根据复数的几何意义可得z=l+2i,由复数的除法运算法则即可得结果.

[详解]由复数的几何意义可知z=]+2i,则宁=4=-l+i.

1-11-1（1-1）（1+1）2

故选：C.

8.（2024高三•全国•专题练习）已知复数z满足z（a+i）=2+3i,若复数z在复平面上对应的点在第二或第

四象限，则实数〃的取值范围是（）

【答案】A

【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数、在各象限内点对应复数的特征

【分析】利用复数的除法法则化简得z=a+句的形式，再由复数对应点在第二或第四象限列不等式求解

【详解】由题可得，

_2+3i_（2+3i）（a-i）_（2a+3）+（3a-2）i

Z=~=2=2，

a+ici+1ci+1

因为复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，

故（2a+3）（3a-2）＜0,

解得

故选:A.

二、多选题

9.（24-25高二上•云南昆明•期中）关于复数z,下列说法正确的是（）

2023

A.z=i=-i

B.若忖=1,贝!|z在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆

C.如果〃=0,那么z=a+初是纯虚数

D.若复数满足z=jL+5i,贝！jz在复平面对应的点是（-1,7）

2—1

【答案】ABD

【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的

象限

【分析】运用复数毒的周期性可判断A项，运用复数的模的几何意义可判断B项，运用复数分类可判断C

项，运用复数运算及几何意义可判断D项.

【详解】对于A选项，由虚数单位的定义12=-1，/=1,贝！Jz42023=1505x4/3=j3=_i，故A项正确；

对于B选项，设Z在复平面内的点为z（x,y）,由闫=+=1,即1+点Z在以（0,0）为圆心，1

为半径的圆上，故B项正确；

对于C选项，若。=6=0,那么z=a+历=0是实数，故C项错误；

5i5i（2+i）/、

对于D选项，z=^+5i=（2_；）（2；i）+5i=_l+2i+5i=_l+7i，所以z在复平面对应的点是（-1,7）,故D

项正确.

故选：ABD.

10.（24-25高三上•陕西汉中•期中）已知虚数Z],z?是方程z2+4z+8=O的两个不同的根，则（）

A.㈤=阂B.Zj+z2=4

C.平2=8D.z；+z；=32

【答案】AC

【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模、复数代数形式的乘法运算

【分析】解出方程z2+4z+8=0的两个不同的根，逐项判断选项.

【详解】由Z2+4Z+8=0,得（z+2>=-4,则z=-2±2i,

则|zj=|z2|=2A/2,Zj+z2=-4,平2=8,z；+z；=0.

故选：AC

11.（2024高三•全国•专题练习）（多选）已知i是虚数单位，若z（2+i）=*N,则（）

2+1

A.复数z的虚部为-13B.z=-11+|3i

C.复数z对应的点在第二象限D.-11=1

【答案】AD

【知识点】求复数的模、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、几何意义、共飘复数的定义以及复数模的运算

公式逐一判断即可.

3-i3-i3-i（3-i）（3-4i）9-12i-3i-413.

【详解】z-（2+iJ-4+4i-l-3+4i-（3+4i）（3-4i）-25一5一。

故其虚部为-z=i+|i.复数z对应的点为m1，在第四象限，

=1,

1155

故选：AD

12.（2024高三•全国•专题练习）（多选）已知复数4，%，满足|"上2卜0,下列说法正确的是（）

A.若㈤=阂，则z；=z；B.区+即4㈤+%

Z,

C.若Z|Z2eR,贝（J’eRD.卜闻二闻同

Z2

【答案】BD

【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数的向量表示

【分析】对选项A,设4=l+i,瓜即可判断A；分类讨论复数对应向量z；，W方向相同和方向不相

同即可判断B正确；对选项C,设％=l+i,z2=l-i,即可判断C；对选项D,设4=a+历，Z2=c+历，

6,c,d*0,再分别计算忸引和归间即可判断D.

【详解】对于选项A,设4=l+i,z2=V2i,

则闾=闾=0,z；=(l+i>=2i,z；=(0i『=_2,不满足z；=z；,故A错误；

对于选项B,设4，Z2在复平面内表示的向量分别为4，z2,且4，z2^0,

当4，Z2方向相同时，上1+22Hzi|+卜21

当Z],Z2方向不相同时，上i+z；k|z||+归

综上，届+旬4同+同，归+引《闯+阂,故B正确；

对于选项C,设Z]=l+i,z2=l-i,ZjZ2=(l+i)(l-i)=2eR,

_l+i_(1+i)2

Z1=i0R故C错误;

对于选项D,设Z]=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d^0,

ZjZ2=(a+历)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

贝！I2闫=yl(ac—bd)2+{ad+bc)2=^/(ac)2+(bd.)1+{ad)2+(be)2,

2222

[ZJIZJI=\Ja+b-A/C+d=](ac)。+(bd)°+(ad)2+(6c>=|Z]Z2|,故D正确.

故选：BD

三、填空题

7

13.(2024高三•全国•专题练习)复数z=a+2i,aeR,若二+l-3i为实数，则。=

1

【答案】-3

【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算

【分析】由复数的除法运算结合复数的几何意义求解即可；

1+

【详解】V-+l-3i=—+l-3i=~.^.^+l-3i=3-(a+3)i>

111(-1)

•••7W+l-3i为实数，...a+3=。，即a=-3.

i

故答案为：-3.

14.(2024高三•全国•专题练习)若-iz=l+3i,则2=.

【答案】-3+i

【知识点】复数的除法运算

【分析】根据复数的除法法则运算.

【详解】由题得z=U="ili=（i+3i）i=-3+i.

—1—1

故答案为：-3+i.

15.（24-25高三上•上海松江•期末）若复数z满足i.z=2+3i（其中i是虚数单位），则复数z的共朝复数

【答案】3+2i

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】利用复数的除法运算得到z,根据共辑复数的定义即可得到结果.

2+3i（2+3i）i-3+2iq..

【详解】由题意得,-----=----力---=------=3-21

ii2-1

/.z=3+2i.

故答案为：3+2i.

四、解答题

16.（23-24高一下•福建漳州•期中）已知复数z=3+历（beR）,且（l+3i）-z为纯虚数.

⑴求复数z；

⑵若复数。=/z,求复数而-69的模.

2+15

【答案】（l）3+i

【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、求复数的模、共飘复数的概念及计算

【分析】（D运用纯虚数概念，结合乘法计算即可；

（2）运用模长公式，结合除法和共朝复数知识求解.

【详解】（1）由题意得。+3斗（3+历）=（3—3b）+（9+b）i,

（l+3i）-z是纯虚数，

f3-3b=0

[9+b^Q'

\b