2025年高考数学第一次模拟考试试卷（新八省）（全解全析）

2025年高考数学第一次模拟考试01

(新八省通用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.己知集合/={x|-3<x<2},5={x|0<x<4),则4UB=()

A.[0,2)B.(-3,0]C.[0,2)D.(-3,4]

【答案】D

【解析】/U8=3-3<X44}=(-3,4].

故选D.

2.已知复数z满足(l-i)z=3+i,则彳在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】【详解】由题意知：2=口3+=i哥(3+i)(l"+i=)1+21,

所以1=所以彳在复平面内对应的点(1,-2)位于第四象限.

故选D.

3.若抛物线V=2px(p>0)的焦点到直线x=-2的距离为4,则2的值为()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】抛物线y=28(。＞0)的焦点坐标为[§0],

则有尹2=4,解得/=4.

故选：C.

4.已知△4SC,点。为边5C上一点，且满足丽=2方心，则向量施=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

3333

2—►2—►

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】B

【解析】AD=AC+CD^AC+-CB=AC+-[AB-AC^-AB+-AC,

另解：AD=AB+BD=AB+-BC^AB+-(AC-ABj=-AB+-AC.

故选：B

5.底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为

()

A.2B.-C.姮D.

255

【答案】D

【解析】由题意，令圆锥的高为"，底面圆的半径为「，则圆柱的高〃=2,,

所以，根据侧面积相等有2兀泌=，即4=&三/，

综上，圆柱体积匕="，=2兀/,圆锥体积匕=1办/=姮”3,

233

所以£=提=呼，

V2V155

故选D

6.展开式中一工2的系数为()

A.-840B.-420C.420D.840

【答案】C

【解析】现有8个+相乘，从每个中的三项1,无，一;各取一项相乘时，若结果为一尸2

的常数倍，则所取的8项中有4个1,2个x,2个-,

y

所以，总的选取方法数目就是C；•C；・C；=70X6X1=420.

每个这样选取后相乘的结果都是「小；-：：=xY2,即给系数的贡献总是1,所以一/2的系数就是全

部的选取数420.

故选：C.

7.若sin(a—£)=L,且tana=2tan/7,则sin(o+/7)=()

6

R岳2

A.—D.-------C.一D

223-I

【答案】D

【解析】因为sin(a-/7)=sinacosp-cosasin3=—,

6

sinoc2sinB

又tana=2tan0,即----=------,贝［|sin二cos尸=2cosasin4,

cosacos0

所以sinacos/3=—,coscrsin/3=—

369

故sin(a+=sinacos°+cosasinp=—+—=—,

362

故选D

8.已知点(见”)为函数/(x)=x%工和g(x)=e2(2-hu)图象的交点，则切+lnm=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

2

【解析】由题知方程Ye，=e2(2-tax),即//二色足上的根为加.

X

22222

因为x>0,所以xe，=±ln±,所以lnJ>0,且加为方程xe*=±ln上的根.

XXXXX

令力(力=在工(尤>0),贝!|〃(x)=eYx+l)>0,所以〃(x)在(0,+8)上单调递增.

(e2>|e2e2

又hIn一=一In一,所以x=ln—=2-lux,即加=2-Inm,所以机+ln加=2.

<XJXXX

故选D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知/(%)=然出(8+0)(/>0,0>0,0<0<3的部分图象如图所示，则()

A./⑴的最小正周期为兀

B./(x)的图象可由y=2cos2x的图象向右平移R个单位得到

C.在卜内有3个极值点

、ni7t1

D./(x)在区间—,27t上的最大值为6

0

【答案】ABD

【解析】由图可知，N=2,周期7=11444=兀，则0=F=2,故A正确;

由/得2sin[2x1+“=2,即sin[o+Ej=l,

解得。H—=—F2klikeZ,(p——F2ATC,keZ

62f3

因为0<0</,所以。=p贝！l〃x)=2sin]2x+m

3

对于B,>=2cos2x的图象向右平移三IT个单位得

=2sin|=2sin12x+|J=/(x),故B正确；

SirSjrTTjr

对于C,由得-3<2X+J<2TI,根据正弦函数的图象可知，

12623

2x+g=q和2x+g=5,即x=A和工=蒋是函数〃x)的两个极值点，故C错误;

对于D,由电4x42兀，^4n<2x+-<—,贝!J0W$亩（2尤+工］W",此时0</（x）<6,贝U/（x）

633I3J2

11兀

在区间—,2n上的最大值为行，故D正确；

o

故选：ABD

22

10.已知双曲线「土-==1伍>0,6>0）的离心率为e,过其右焦点厂的直线/与:T交于点48,下列结论

正确的是（）

A.若a=b,贝！Ie=

B.|4B|的最小值为2a

C.若满足|/8|=2a的直线/恰有一条，则e>VI

D.若满足|/同=2a的直线/恰有三条，贝lh<e<0

【答案】ACD

【解析】A：当时，因为°2=°2+62,所以e=：=F1巳=后，故A正确；

B：当过其右焦点厂的直线/与「交于左右两支时，|/用的最小值为2a,（此时43为双曲线的两顶点）

当过其右焦点厂的直线/与r交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为。，

22r2^72

代入双曲线方程为二-4=1,解得y=土也，此时弦长为工，

abaa

由于a不一定等于b,故B错误；

C：若满足|/邳=2a的直线/恰有一条，

由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，

2分2c

所以2av=>/>/,

a

此时e=—=:1=Jl+4>V2,故C正确；

D：若满足|，却=2〃的直线/恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线/与双曲线

的同一支相交，

所以2a加<a2,所以

a

又e>l,所以l<e<&,故D正确;

故选：ACD.

11.已知函数〃x)的定义域为R,若/(3x+l)为偶函数，〃x+2)-2为奇函数，且/⑴=0,贝|()

A.“X)为周期函数

B.〃x)的图象关于点(2,1)对称

C./(-3),/(-2),〃-1)成等差数列

D./⑴+/(2)+〃3)+…+/(9)=16

【答案】ACD

【解析】函数/(x)的定义域为R,由〃3x+l)为偶函数，得/(-3计1)=/(3x+l),则f(2-x)=/(x),

由〃x+2)-2为奇函数，得/(一》+2)-2=-[/。+2)-2],则/(2-x)+/(x+2)=4,

于是/(x)+/(x+2)=4,即/(x+2)=-+4,

对于A,f(x+4)=-/(x+2)+4=-[-/(x)+4]-4=/(x),〃x)是周期为4的周期函数，A正确；

对于B,由/(2-x)+/(x+2)=4,得/'(x)的图象关于点(2,2)对称，B错误；

对于C,/(-2)=/(2)=2,由/(x)+/(x+2)=4,得/(一3)+/(-1)=4=2/(-2),

因此八-3),/(-2),〃-1)成等差数列，C正确；

对于D,/(1)+/(3)=4,/(2)+/(4)=4,因此/(1)+/(2)+/(3)+…+/(9)

=2[/(1)+/(2)+/(3)+〃4)]+/⑴=16,D正确.

故选：ACD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽

取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为

【答案】8

【解析】田径队运动员的总人数是28+21=49,要得到14人的样本，占总体的比例为第142

2

于是应该在男运动员中随机抽取28x,=8(名)，

13.如图，△ABC中，AB=AC=2,且△4BC的面积为逐，点。在3c边上，24DC=45。，则4D的长

度等于.

A

【答案】V2

【解析】由题意，S^ABC=^AB-AC-smZBAC=^x2x2smZBAC=^,

则sinABAC=—,则N3/C=60。或120°,

2

当ZB/C=60。时，由于4B=/C,则/C=60。，

又一4DC=45。，所以/0/。=180-45。-60。=75。，不符合题意;

当NB/C=120。时，由于4B=/C,则/C=30。，又N4DC=45。,

ADAC

在△4DC中，由正弦定理得,

sinZC-sinZ^DC

AD2

则1一①,解得4D=0.

2T

14.定义：己知函数/（x）的导函数为/'（x）,若/'（X）是可导函数且其导函数记为了"（X）,则曲线y=/（x）

在点（x,/（x））处的曲率*一

卜据止匕，曲线y=e2、（其中xwR）的曲率K的最大值为.

【答案】巫

9

【解析】因为y=/,所以了=2e?工,Z=4e2\

所以曲线＞=，、（其中xeR）的曲率

4e214e2x

K—T一T

(l+4e4j)~，

所以8e2jr(l+4e4x)2-4e2jcx|x(l+4e41)2x16e48e2x(l-8e4A)

£

K~(l+4e41)3(l+4e4A)~

由K'>0,可得x<—In—,

所以当xe(-%Jln3时，K'>0,K单调递增；

48

当xwdln',+00)时，K'<0,K单调递减.

48

ilnl

4e28

所以当时,。,13

(l+4eni)7279

8

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(本小题满分13分)如图，在四棱柱/3CZ)-4瓦。/)1中，底面为直角梯形，AD//BC,

ADVCD,AAX_L平面=23C=2,E为GA的中点.

(1)设平面3CE与平面N4GA的交线为/，求证：BC//1；

⑵求平面4BBH与平面BCE夹角的余弦值.

【解】(1)由题意可知：平面4BCD〃平面

且平面BCEA平面ABCD=BC,平面BCEQ平面481Goi=/，

所以BC//1.

(2)由题意可知：ADA.CD,平面48cZ),

如图，以。为坐标原点，分别为x/,z轴，建立空间直角坐标系,

则4(2,0,0),5(1,2,0),C(0,2,0),4(2,0,2),0(0,0,2)6(0,2,2),£(0,1,2),

可得力=(-1,2,0),怒=(0,0,2),屈=(1,0,0),砺=(0,-1,2),

设平面的法向量万=(玉,%，4),

n-AB=—x+2y,=0

则——11，

n-AAX=2Z[=0

令玉=2,则％=2,4=0,

可得拓=(2,1,0)为平面/ABM的一个法向量;

设平面2CE的法向量应=(%，%/2),

m-CB=x2=0

mCE=-y2+2Z2=0

令歹2=2,则%2=。,%=1，

可得加=(0,2,1)为平面3C£的一个法向量；

__亢•比22

则COS〃，加=||||=—j=——1==—,

川\n\-\m\V5xV55,

2

所以平面ABB4与平面BCE夹角的余弦值为y.

16.(本小题满分15分)已知函数/(x)=x-lnx-2.

⑴求曲线N=〃x)在(e,e-3)处的切线方程；

(2)若。20,g(x)=ar2-2(ar+l)-/(x),讨论函数g(x)的单调性.

［解［(1)f(x)=x-1nx-2,x>0,贝！|/(无)=1一!=』，

则，'(e)=3,即切线斜率才=曰，

ee

故切线方程为y-(e-3)=?(x-e),gp(e-l)x-ey-2e=0;

(2)函数g(x)="2_(2〃+l)x+lnx的定义域为(0,+oo),a>09

2ax2一(2Q+V)x+1(2ax-l)(x-1)

g'(x)=2ax~(2a+1)+—=

当a=0时，g，(x)=?,由g'(x)=0,可得x=l,

当0<x<l时，g'㈤>0,函数g(x)在(0,1)上单调递增;

当x>l时,g'(x)<0,函数g(x)在(1,+8)上单调递减;

当。>0时,

①当0<a<一时，—>1,当0<x<l或x>—时，g'(x)>0,

22a2a

即函数g(X)在(0,1)和(1,+8)上单调递增，

当1<X<1时，g'(x)<o,即函数g(x)在(1,1)上单调递减；

2a2a

②当。=1时，则对任意的x>o,g，(x)=3£zo,即函数g(x)在(0,+8)上单调递增；

2x

③当。>：时，［<1，

22a

当0<x<］或%>1时，gW>0,即函数g(x)在(0,上)和(L+8)上单调递增，

2a2a

当4<X<1时，g'(x)<o,即函数g(x)在(1,1)上单调递减.

综上所述，当4=0时，函数g(X)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减；

当0<。<1时，函数g(x)在(0,1)和(1,+8)上单调递增，在(1，1)上单调递减；

22a2a

当a=g时，函数g(x)在(0,+⑹上单调递增；

当时，函数g(x)在(0,：)和(L+8)上单调递增，在(1,1)上单调递减.

22a2a

3

17.(本小题满分15分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为：，每命中一次

得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为:，命中得2分，没有命中得。分。假设该

射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立.

(1)求该选手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X的分布列及其数学期望E(X).

【解】(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件8,“该射手第

二次射击甲靶命中”为事件C，“该射手射击乙靶命中”为事件。.

31

由题意知，P{B}=P{C}=-,P(D)=-,

所以P(A)=P(BCD)+P(BCD)+P(BCD)=P(B)P(C)P(D)P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)

31113133119

=—一(七)+广,(1_了)+(1_土(1_1)“尸.

4444444446477

(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

____3313

P(X=0)=P(5C7))=(l--)x(l--)x(l--)=—,

44464

一一--33133118

P(X=l)=P(5CZ))+P(8C2))=-x(l--)x(l--)(l--)x-x(l--)=--,

J444+44464

___3313a12S

P(X=2)=P(SCD)+P(SC23)=-x-x(l--)+(l--)x(l--)x-=—,

JJ44444464

P(X=3)=P(BCZ>)+P(5C7J)=|X(1-1)X1+(1-|)X|X1=A>

3319

p(X=4)=P(8CZ))=—x—x—=——

44464

故X的分布列是

X01234

3182869

p

6464646464

口八八3118c28.6,9128c

二E(X)=0x--F1x----F2x---F3x---F4x—=---=2.

v7646464646464

18.（本小题满分17分）已知椭圆C的两个焦点为片卜6,0）,乙（△,（））,且椭圆C的离心率为5.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知。为坐标原点，斜率为左化片0）的直线/与椭圆。有两个不同的交点48,且弦的中点为

E,直线。£的斜率为左2，求尤・上2；

（3）直线£与椭圆C有两个不同的交点尸,。，椭圆C在点尸，。处的切线分别为乙,乙,乙与右交于点？,

点T在直线x=4上.请你判断直线L是否经过定点，并说明理由.

22

【解】⑴设椭圆c的标准方程为:"/=1（八8>0）,

ab

cy[3

e=­=—

a2a=2

c=y/in<c=6,

a2=b2+c2b1

，椭圆C的标准方程沏

（2）方法一：点差法:

国+迎=2x°①

设4(和%),8(%,%),则

，+%=2%'

2

%2

+y-

4一1

又45在椭圆。上，贝！），考

-+-

4

两式相减得：星X2o

M-

4+4

即.（%2+国）（工2-11）

+（歹2+必）（了2-必）=。②，

4

由①②得，2%©一网）+2%（%一%）=o.

4

而匕=AzA,&=%,；.左.&=一；.

x2-xxxQ4

方法二：椭圆方程代换：

设/（石,必）,3（工2/2）,月（%,%）,直线/：、=攵/+，，

X,+/

无。=丁

①,

1+%

为v2

%+■

22

人向=%二&.及=七&.^歹2一必②,

X；~Xj

X2-XxXoX2-X1-2+%1

2

2-2

%2万

」

^-+一

-1-

44

1

22③,

222^

+v」-

^-2-

4-4

一1».

1人2—

4

方法三：联立方程:

设/（X1/J,8（X2/2）,£（XO，%）,直线/：y=Kx+f,

西+x2

xo=

2①,

%=

2

兰2=]

+y

联立方程~T―1得，（4-+1卜2+跖江+（4/一4）=0,

y=kxx+1

8k、t…

,F+X2=—-J②,

一「、〜-4毋—4k）t

由①②得，％=一昕，贝物。=/％+=叼+/=叩.

%=44+11

/__4毋—4左1

%+1

]_

.,.k,k=

x24

（3）设尸（七,%）,。（七,九）,先求椭圆c在点尸，。处的切线6,4的方程.

方法一：根据判别式A=0求解

椭圆c在点「（w，%）处的切线右，设4i=巾+5,

E2=]

联立方程丁+了一得，（4r2+l）x2+8r5x+（452-4）=0,

y=rx+s

A=64（4/一§2+1）=o=$2_4/十],

-Srs-Srs-4r

2（4户+1）s

-4r2-4r21

y=rx+s=-----Fs=------二—

33sss

1sx3x3

/.5=——/=一丁一值

%

；/：昨一年+），即4:*+%y=L

叩3Z34

同理可得，L2-.^+y4y=l.

子+%尸1

n、=Q'可得『点的横坐标'即芍=空口1

苦+招户1%%一%3歹4

又均=4,可得，”3—匕乂+乂―为=0,

由题意可知直线£的斜率不为0,设上:x=my+n.

（叼4+〃）%-（即3+"）%+%-%=°，整理得,

（"T）%-（"T））4=0，即（"T）（为-%）=0.

又/N”，贝!1〃=1.

:.L:x=my+1,即直线Z恒过定点（1,0）.

方法二：导数的几何意义:

,2

~^+y2=1=y=±j-》-2MxM2.

当点尸(七,%)在了1-?时，%=

—X「3

y'=K=y

,「丁，则切线斜率4%，

4VT

22

•­A:歹一%=~~^~\x~x3)^y^y-y?,===彳+%=1,

即小手+%>=1.当点p(w,%)在歹=」-二时，同理可得小手+%v=l.

4V44

，右：芍+%了=1，同理可得，L2：^+y4y=l.

号+JV=1

=>%="%一”可得T点的横坐标，即芍=4(%一”)