2025年高考数学二轮复习：函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析（讲义）（原卷版）

专题06函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

()3%口*****•****•*•••**•••*••••••*•••••*••*••••••*•••*•*•**••••••*•••******•••••*••*••••••*•••*•*•**•••*••*••••••*•••*•*•**•••4

04真题研析•精准预测............................................................7

05核心精讲•题型突破............................................................9

题型一：唯一零点求值问题9

题型二：不动点与稳定点10

题型三：运用反函数思想妙解压轴题11

题型四：倍值函数12

题型五：最值函数14

题型六：嵌套函数15

题型七：共零点问题16

题型八：双参数比值型问题17

题型九：指数函数与对数函数的交点18

题型十：曼哈顿距离问题19

题型十一：平口单峰函数20

题型十二：三次函数22

题型十三：指对同构23

题型十四：切线放缩与夹逼25

题型十五：整数解问题26

题型十六：导数中的“最短距离”问题28

题型十七：等高线问题29

重难点突破：多变量问题30

差情;奏汨•日标旦祐

高考中函数与导数的经典压轴小题，往往聚焦于函数的零点、不等式恒成立等核心考点，这些考点与

函数的性质、表达式及图像紧密相连。解题过程要求考生展现出坚实的逻辑推理能力和空间直观想象力，

以及熟练的数学运算技巧。此外，面对贴近实际的数学问题，考生还需具备敏锐的数据分析能力和数学建

模思维，能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年天津卷第15题，5分预测2025年高考数学，导

2024年H卷第6题，5分数知识将成为重头戏。它或以

掌握零点概念，熟

零点2023年n卷第11题，5分

练求解方法。简洁明了的选择题、填空题形

2022年I卷第10题，5分

式独立出现，主要考察基础计

2021年I卷第7题，5分

算与几何理解,难度相对较低；

掌握导数应用，解2024年H卷第8题，5分或巧妙融入解答题之中，成为

不等式

决不等式问题。2021年H卷第16题，5分解题关键。特别是利用导数探

究函数单调性、极值与最值等

深层次应用，预计将作为选择

题、填空题的难点部分，出现

在题序后端，难度适中偏上，

2024年I卷第10题，6分

理解性质，熟练求综合考察学生的分析能力和解

三次函数2022年I卷第10题，5分

解应用。题技巧。这样的设计既考验学

2021年乙卷第12题，5分

生的基础知识，又挑战其综合

运用能力，是高考数学中的一

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，

当出现了(/(a))的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分

段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足

相应段自变量的取值范围.

2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，

其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响).

3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x进行分类讨论将

不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不

等式.

4、分段函数零点的求解与判断方法：

(1)直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；

(3)数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合

求解.

5、动态二次函数中静态的值：

解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称

轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题.

6、动态二次函数零点个数和分布问题：

通常转化为相应二次函数的图象与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的

判别式，相应区间端点函数值等来考虑.

7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：

(1)对称轴变动，区间固定；

(2)对称轴固定，区间变动；

(3)对称轴变动，区间也变动.

这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外.讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明

确函数的单调情况，从而确定函数的最值.

8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象

来研究原函数的图象.如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的(变号)零点研究原函

数的极值点(最值点)；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…

具体来说，对于二次函数〃%)=or3+笈2+G+d其导函数为尸(%)=+2/7%+c(〃>0),

(1)当AW0时，1(%)20恒成立，三次函数在R上为增函数，没有极值点，有且只有一个零

点；

(2)当A2o时，((x)=0有两根％,X?,不妨设不<X2，则玉+%2=-电，可得三次函数/'(x)在

3a

%

(-co,X1),(X2,+oo)上为增函数，在(石,尤2)上为减函数，则为，%分别为三次函数■/1()=渥+CX+"

的两个不相等的极值点，那么：

①若/&)"优)>0,则“X)有且只有1个零点;

②若〃占)0)<0,则有3个零点；

③若〃占>"々)=0,则有2个零点.

特别地，若三次函数〃司=以3+法2+“+1(°>0)存在极值点%,且〃/)=0,则/(尤)地解析式为

-

/(x)=a(x-x0)(x-m)•

同理，对于三次函数〃力=加+加+5+1(aVO),其性质也可类比得到.

9、由于二次函数/(%)=加+加+u+w0)的导函数(⑴=3加+2法+0为二次函数，其图象变

化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点此

结论可以由对称性的定义加以证明.事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点.

10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同.导数的几何意义就是求图象在该店

处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点

坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可.

11、恒成立(或存在性)问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用

函数单调性求解函数的最大、最小值.

13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数

形结合思想解决恒成立(或存在性)问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定

区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.

14、两类零点问题的不同处理方法

利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间m，切上是连续不断的曲线，且一

①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明

②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，

在每个单调区间内取值证明f(a~)-f(b)<0.

15、利用导数研究方程根(函数零点)的技巧

(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.

(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置.

(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

16、已知函数零点个数求参数的常用方法

U)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构

建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题

意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数f(尤)=(x+a)ln(H6),若/(%)»0，则/+b2的最小值为()

A.-B.—C.-D.1

842

2.(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数/(灯=。(X+1)2-1,g(x)=cosx+2办，当xe(-l,l)时，曲

线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，则。=()

A.-1B.3C.1D.2

3.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)曲线、=丁-3x与y=-(x-iy+a在(0,+“)上有两个不同的交

点，则”的取值范围为.

4.(2024年天津高考数学真题)设aeR,函数〃尤)=2>/津-依-版-2|+1.若f(x)恰有一个零点,贝M的

取值范围为.

5.(多选题)(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数/(x)=2d-3办?+1,贝U()

A.当。>1时，f(x)有三个零点

B.当〃<0时，x=O是/(无)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点⑴)为曲线y=/(x)的对称中心

6.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设函数〃幻=(尤-1)2。-4),则()

A.x=3是F(x)的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当-l<x<0时，f(2-x)>f(x)

7.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)函数/(月=/+6+2存在3个零点，贝匹的取值范围是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,-3)C.(T,-l)D.(-3,0)

8.(多选题)(2023年新课标全国II卷数学真题)若函数〃尤)=alnx+§+点0)既有极大值也有极小值，

则(),

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

x+2,x<-a,

9.(2023年北京高考数学真题)设。>0,函数/(x)=<,片-%2漫心尤4凡,给出下列四个结论：

-A/X-l,x>a.

①/（X）在区间（。-Ly）上单调递减；

②当时，/（x）存在最大值；

③设“（%,/&））（司训0（孙/'㈤）（％>a）,则|M2V|>1；

④设P（七,“£））（毛<-a）,Q（X4，4X4））（%2-a）.若|PQI存在最小值，则a的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是.

10.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设a«0,l）,若函数〃x）=，+（l+a）*在（0,+“）上单调递增，

则。的取值范围是.

11.（2023年天津高考数学真题）设aeR,函数"%）=/-2左-.-6+：1|,若/（久）恰有两个零点，则a的取

值范围为.

12.（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数〃x）=x3-x+l,则（）

A./（x）有两个极值点B./（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线>=/（尤）的对称中心D.直线>=2x是曲线y=/（x）的切线

13.（2022年新高考天津数学高考真题）设aeR,对任意实数无，用/（%）表示凶-2,/-6+3a-5中的较小

者.若函数4》）至少有3个零点，则。的取值范围为.

-尤2+2,x<i,/（1

14.（2022年新高考浙江数学高考真题）己知函数〃尤）=1则//彳=______:若当

尤+—1,x>l,I12刀

Ix

切时，l</（x）<3,贝的最大值是.

15.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知x=X］和x=/分另ij是函数/（x）=2a*-ex2（a>0且。工1）

的极小值点和极大值点.若为<%,则a的取值范围是

-ax+1,x<a,

16.（2022年新高考北京数学高考真题）设函数/（尤）=，.2若/（x）存在最小值，则。的一个取

（1一2）,x>a.

值为;a的最大值为

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：唯一零点求值问题

【典例1・1】已知函数/(%)=%2一2%+a(e，T+er+i)+cos(%—l)—l有唯一零点，则。=()

]]

A.1B.—C.—D.—

33*2

【典例1-2】已知函数〃尤)=5亩(9)+《1+J+|)有唯一零点，贝l]a=()

A.—1B.—C.-D.1

22

根据偶函数零点特性可知：若偶函数有唯一零点，则必然在x=0处取得，即〃0)二0.

【变式1」】已知函数/(%)=-炉+4%+根(j2+/r)有唯一零点，则实数1=()

A.—B.2C.-D.—2

22

【变式12]已知函数g(x),无⑺分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g(%)+/i(x)="+sinx-%,若

函数/("=3|x-2020|-2g(x-2020)-23有唯一零点，则实数2的值为

A.—1或5B.1或-;C.-1或2D.—2或1

命题预测

1.已知函数/(%)=加2>2+(%2―2止1+々有唯一零点，则实数”()

A.—B.—C.-D.1

232

2.已知函数/(%)=—；f—cosx,g(x)=x2-k,若〃%)与g(x)的图象有且只有一个公共点，贝心的值为

()

A.-1B.0C.1D.2

3.函数/(尤)=如-4尤-4+或2>2+232)有且只有一个零点,则实数。的值为()

A.1B.2C.3D.4

题型二：不动点与稳定点

【典例2-1】设函数=如正’+/22_a(awR,e为自然对数的底数).若曲上存在(%,％)

使得/(〃%))=%，则。的取值范围是.

【典例2-2】设函数/(〈)=归+x-a(aeR,e为自然对数的底数)，若曲线y=sinx上存在一点(%,%)使

得/(/(%))=%，贝U。的取值范围是.

1、不动点

定义：一般地，对于定义在区间。上的函数>=/(无)，若存在飞©。，使得f(x0)=x。，则称X。是函数

y=/(x)的一阶不动点，简称不动点.

从代数角度看，一阶不动点是方程/(x)=x的根.

从几何角度看，一阶不动点是曲线y=/(尤)与直线y=x的交点的横坐标.

2、稳定点

定义：若存在使/(/(々。=无。，则称/是函数y=/(x)的二阶不动点，简称稳定点.

从代数角度看，二阶不动点是方程/(7(幻)=彳的解，也就是方程组[’!再1=々的解；

[f[X2)=Xt

从几何角度看，函数/(%)的二阶不动点是指：函数/(X)图象上关于直线y=x对称的两点的横坐标(即

函数y=/(尤)与其反函数x=f{y}的交点的横坐标)，或直线y=x与函数y=/(x)交点的横坐标.

3、不动点与稳定点的结论

(1)/(/(x))=x有解等价于=x有解.特别地，当函数/(%)单调递增时，

/(/(%))=X的解与/(x)=x的解相同.

(2)/(/(%))=尤无解等价于/(x)=x无解.

(3)/(g(x))=x有解等价于g(/(x))=x有解.

(4)/(g(x))=x无解等价于g(/(%))=为无解.

【变式2-1】已知函数〃x)=eX+2x—a,acR,若曲线y=sin无上存在点(%,%),使得/(〃%))=%,则

实数。的取值范围是.

【变式2-2】设函数/(x)=Jlnx+x+a，若曲线y=专上也犬+丁上存在点(后,%)使得/(/(%))=%成立,

求实数。的取值范围为.

命题预测J

I--------X

1.(2024•图三•福建泉州•期中)已知函数/(x)=Je、+x—a，若曲线V=亩石上存在点(%，%),使得

/(/(%))=%，则实数。的取值范围是.

2.已知/(x)=2"机+d+k若{巾(x)=0}={巾(4x))=o}w0,则m+〃的取值范围是.

3.对于函数〃x),若=则称/为函数〃x)的“不动点"；若"/(%))=%,则称/为函数〃x)

的“稳定点”.如果函数/⑺=V+3x+a(aeR)的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数。的取值范围

是.

题型三：运用反函数思想妙解压轴题

【典例3-1】(2024高三.江苏•课后作业)设点尸在曲线y=上，点Q在曲线y=ln(2x)上，贝力尸。|的最小

值为.

【典例3-2】已知函数/(x)=/+x-2,g(x)=lnx+x-2,且/'(a)=g(6)=0,给出下列结论：

⑴a>b,(2)a<b,(3)/(a)<0<f(b),(4)/(a)>0>f(b),(5)a+b=2,

则上述正确结论的序号是—.

1、反函数定义：已知函数y=/(x),xe£>,其值域为如果对/(。)中的任意给定的一个值y,

在D中满足“X)=y的x值有且仅有一个，那么由此得到的x关于y的函数叫作y=f(x),xeD的反函

数，记作x=/T(y),ye/(O).因为习惯上将x视为自变量，y视为函数值，所以通常将该函数写为

2、反函数性质：原函数与反函数关于y=x对称.

【变式3-1】设点P在曲线y=e”上，点Q在曲线y=lnx+a上，若|PQ|的最小值为2&，则。=.

【变式3-2](2024.高三・湖北黄冈•期中)已知函数与函数g(x)=(互为反函数，它们的图象关

于y=x对称.若关于x的不等式y2尤+12啦恒成立，则实数。的取值范围为.

aa

命题预测H

1.设"、”分别是方程log2(M3X+x-9=0和2013工+x-9=0的根，则;〃+〃=.

2.(2024•高三•广东佛山•开学考试)已知函数7'(x)=2ae'-lnx+ln2a,对任意的正实数x都有〃到20恒成

立，则。的取值范围是.

题型四：倍值函数

【典例4-1】已知函数/(x)=loga(2"+。(°>0且arl),若存在实数〃,使函数y=/(x)在[加,”]

上的值域恰好为[2m,2n],则t的取值范围为.

【典例4-2】已知函数=当时，/(x)的值域为因〃，初],则实数k的取值范围是.

国陶巧

对于函数丁=/("/式必可,丁武/阳,〃回，这样的问题称之为倍值函数问题，该类问题主

要有三个模型：(1)模型一：函数单调递增，方程同构即可；(2)模型二：函数单调递减，

两式相减即可；(3)模型三：函数有增有减，分类讨论即可.

【变式4-1】已知函数〃x)=%2-左，若存在实数加，〃，使得函数”X)在区间［而册］的值域为［3疯3回,

则实数%的取值范围是.

【变式4-2】已知函数/(x)=31nx-；办2+(a-3)x+2a-l(a>0),>0的解集为(；",")，若/(x)在

(0,+8)上的值域与函数〃〃切在(m,冷上的值域相同，则实数。的取值范围为.

命题预测

卜........*

1.(2024・高三・浙江•开学考试)函数/(x)的定义域为。，若存在闭区间使得函数/(x)满足：

⑴在［m,n\上是单调函数；(2)f(x)在［m,n］上的值域为［2m,2ri\,则称区间［m,n［为y=f(x)的“倍值

区间下列函数中存在“倍值区间''的有.(填上所有正确的序号)

①/(x)=x2(xZ0)；

②/(x)=/(xeR)；

4x

③/(无)==~;(xN0)；

x+1

④f(x)=log03-：)(a>0,。*1).

O

2.已知函数的定义域为。，若存在区间［私〃仁。使得〃x)：

(I)“X)在［私”］上是单调函数；

(II)“X)在［加,力］上的值域是［2〃7,2可，

则称区间［加,"］为函数/(%)的“倍值区间”.

下列函数中存在“倍值区间”的有(填上所有你认为正确的序号)

①〃无)=尤:②〃尤)=［；

1

@/(x)=x+-；=

3.对于函数y=/(x),若存在区间6］,当尤e|o,可时的值域为［如,烟(左>。)，则称>=/(X)为％倍值函

数.若〃X)=e，+x是XeR上％倍值函数，则实数%的取值范围是.

题型五：最值函数

【典例5-1】(2024•天津北辰•三模)设aeR,对任意实数x,记了(力二面!!,'—2,e2，—ae*+a+24}.若

有三个零点，则实数。的取值范围是.

【典例5-2】(2024•河南•模拟预测)以maxM表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<l,已知622a或

a+b<l,则vw&{b-a,c-b,1-c］的最小值为.

min1/(%),g(%)|指的是二者之中取最小，max{/(x),g(x)}指的是二者之中取最大.

性质一：

小丁+回Je〃x),g(x)}

性质二：max{/(x),g(x)}2"x)；g(x)2J“x).g(x)Lmin{/(x),g(x)}.

【变式5-1］定义maxM为数集M中最大的数，已知0<〃</?<c<l,若或Q+则

2

max{b-a,c-b,l-c}的最小值为.

【变式5-2］(2024.云南昆明.三模)以maxA表示数集A中最大的数.已知。>0,b>0,c>0,则

1b1.aI,,

M=max]+]瓦+'的取小值为

命题预测n

1.设max{a,b,c}表示。，b,。中最大的数，设0<Q<Z?<C<1,且a+Z?Wl,贝Ijmax抄一a,c-的最

小值为________

2.设max｛a,6,c,d｝表示a,b,c,d中最大的数，已知x,丁均为正数，则max]：,；,2x,yj"的最小值为.

3.(2024•全国•模拟预测)记maxR,%,;^｝表示占，%,当这3个数中最大的数.已知a,b,c都是正实数,

M=maxH+T'fb则〃的最小值为

题型六：嵌套函数

Ix?X<0e"x<0

【典例6-1】已知函数/(x)=|二‘一八，g(x)=h；一n,则函数"(x)=g(〃x))T的零点个数为

[元~一4犬+3,尤>0

个.

【典例6-2](2024・高三・辽宁大连•期末)己知函数〃切=[^-x+[(m4)有三个零点%,X2，w，且有

巧

嵌套函数：又名复合函数，指的是形如y=/(g(x))的函数，嵌套函数零点问题的求解关键在

于“设/=g(x),y=/(。”，注意定义域与值域的转化，结合图像解题.

【变式6-1](2024•河南南阳•模拟预测)已知函数〃x)=2(a+2)e2，-(a+l)xe，+V有三个不同的零点

X19X2,X3,且玉<0<%2<工3

【变式6-2]已知函数无)=3事+(/一吟+1_片有三个不同的零点%,马43，其中占<%<尤3则

的值为

命题预测

1.(2024・高三・湖北襄阳・期中)若函数龙+©有极值点晶,々(&<9)，/(%)=玉，则关于

%的方程[〃切2+24(耳+》=0的不同实数根的个数是.

2.若函数"x)=-lnx+办2+法-。-»有两个极值点占,％,其中一g<a<0,>>0,且玉</(9)〈马，则

方程2a[〃x)T+妙⑺-1=0的实根个数为个.

3.若关于X的方程上+/一+机=0有三个不相等的实数解七，尤2，W，且再<。<Z<退，其中加eH,

ex-e

e=2.718为自然对数的底数，则的值为_________

题型七：共零点问题

【典例7-1】设函数f(x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)N0,则lnS-a)=()

A.0B.1C.eD.前3个答案都不对

【典例7-2】(2024.高三・湖北武汉•开学考试)设函数〃x)=(2a-x)ln(x+6),若f(x)40,则典+从的最

小值为()

巧

共零点问题：此类问题往往是/(x)g(x”0的形式，其特征是两个函数具备相同的零点.

【变式7-1](2024.全国.模拟预测)设函数〃尤)=(e-T)(T+6),若〃尤)40恒成立，则(“+2)2+0一丁

的最小值为()

999

A.—B.—C.—D.9

842

【变式7-2](2024.河南洛阳.模拟预测)已知函数〃x)=/nx+2办,g(x)=。-。，且/(x)g(x)W0在定义域

内恒成立，则实数。的取值范围为.

(命题预测:]

1.若函数/(%)=-4%3-52+(3一根)1+1是R上的单调减函数，已知g(x)=ln(x+m—6)-2nx,h(x)=—+n,

x

且江力/2(到《0在定义域内恒成立，则实数〃的取值范围为.

2.设函数〃%)=(%+lna)ln(x+b),若“犬)之0,则而的最小值为.

3.设函数/(%)=(%—a)ln(%+b),若"x)NO,且。6>0,则下1+巳b的最小值为________.

aba

题型八：双参数比值型问题

【典例8-1】(2024.江苏.一模)己知函数〃x)=lnx+(e-a)x+b,其中e为自然对数的底数，若不等式

A

〃x)W0恒成立，则(的最大值为.

【典例8-2】(2024.高三・浙江宁波•开学考试)设函数/(x)=lnx-凡-2座+”，若不等式/(%)4。对任意

X

n

xe(0,+co)恒成立，则一的最大值为.

m

巧

对于双参数比值型问题，零点比大小法是一种有效的解决策略。这种方法类似于数形结合的思想，首

先我们将问题中的曲线和直线部分“曲直分开”，分别绘制出它们的图像，并找出它们的零点。

在这里，直线的零点具有特殊的意义，它通常对应着我们待求的双参数比值。接下来，我们观察直线

和曲线的交点情况，特别是当直线的零点与曲线的零点重合时，这意味着双参数比值取得了最值(这个最

值可能是最大值，也可能是最小值，具体取决于题目的要求)。

在图像上，这种最值情况表现为直线与曲线在曲线的零点处相切。换句话说，当直线与曲线仅有一个

交点，并且这个交点恰好是曲线的零点时，双参数的比值就达到了它的最值。

因此，通过绘制曲线和直线的图像，寻找它们的零点，并观察它们之间的交点情况，我们可以直观地

找到双参数比值的最值。这种方法不仅直观易懂，而且在实际应用中非常有效。

【变式8-1](2024•河北沧州•三模)若不等式e*-S+l)xN6,。>-1对于xeR恒成立，则6-a的最大值

为.

【变式8-2】已知关于x不等式aebx+匕对任意xeR和正数6恒成立，则，的最小值为____.

b

\命题预测］」

yi

1.已知机、”为实数，f(x)=x-mlnx+n-l,若/(x)2。对Vxe(0,+oo)恒成立，贝1］一的最小值为.

m

2.已知a,bwR,若关于x的不等式ei+x+12丘+6在1,+8)上恒成立，则7?—?片的最大值为.

3.(2024.安徽合肥•模拟预测)设左/eR,若关于x的不等式皿％-1)-。Wx(左一1)在。，也)上恒成立，则

b-2k+l

的最小值是.

k-1

题型九：指数函数与对数函数的交点

【典例9-1】(2024•山东济南•一模)设再分另IJ是函数/(x)=x-aT和g(x)=xlog“x-l的零点(其中。＞1),

则玉+43的取值范围为()

A.(4,+oo)B.[4,+oo)C.(5,+co)D.[5,+<»)

【典例9-2X2024.山东.模拟预测)已知函数/(x)=e'+x-2的零点为“，函数g(x)=lnx+x-2的零点为匕,

则下列不等式中成立的是()

A.ea+]nb>2B.ea+]nb<2

C.a2+b2<3D.ab>l

当时，方程"=log.x有且只有三解；

当ae时，方程优=log。x有且只有一解.

1

x

当〃〉e，,方程a=log2x无解

当〃=ee时，方程优=log2犬有且只有一解.

当1＜。＜/时，方程a，=log2X有且只有两解

【变式9-1】设A，马分另！]是函数/（x）=x-ar和g（尤）=xlog“尤T的零点（其中a＞l）,则x；+考的取值范

围

A.（2,+ao）B.[2,+co）C.（5,+＜»）D.[5,+oo）

【变式9-2]（2024.全国•模拟预测）若函数八了）=就与其反函数的图像有交点，则实数。的值可以是（）

A.1B.&C.2D.e

1命题预测HR

1.已知关于X的方程。'=1。8"双八1）有解，则实数”的取值范围是

2.已知指数函数/（尤）=就（。＞0,且arl）图象与其反函数的图象有公共点，则a的取值范围是.

题型十：曼哈顿距离问题

【典例10-1】（2024・浙江•一模）设函数/（x）=k2+4+|x+”（a,6eR）,当xw[-2,2]时，记的最大值

为M（a,b）,则Af（a,6）的最小值为.

【典例10-2】设函数/（x）=|lnx+a+|x+b|（a,beR）,当xe[l,e]时，记〃x）最大值为A/（a,6）,则M（a,6）

的最小值为.

结论1：已知/:小+为+0=0（4+32—0）,尸（%,%）为定点，且尸斜，则p到直线/上任意一点。

的“曼哈顿距离”为：人一司+I%-I=

出ma。x2｛同熏，回?｝.

22

结论2：己知两平行直线：l.-.Ax+By+C^O,l2-.Ax+By+C1=0（A+B^0）,RQ分别为44上任

|C-CI

意一点，则P,Q之间的“曼哈顿距离”为：|石一尤21+4一%|=（证明过程留给读者）

max｛A,

【变式10-1］在平面直角坐标系中，定义式P,Q）=1占-/1+1%-为」为两点尸（士,%）,。（%,%）之间的“折线

距离"，则椭圆［+产=1上一点P和直线4x+3y-12=0上一点。的“折线距离”的最小值为

【变式10-2】（2024•山西晋中•三模）已知函数〃e）=|acosO+bsinq+|asin。-6cos的最大值为40,则

满足条件6>e"的整数。的个数为.

L1...命..题..预..测..1

1.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点

4（箍,%）,3（孙%）的曼哈顿距离为*d（AB）=|孑-引+|乂-力|.已知点M在圆。：/+>2=1上，点N在直

线/:3x+y-9=0上，贝i"（M,N）的最小值为（）

A9A/10R9屈1-18-2anaM

101053

2.（2024・高三・浙江・开学考试）设函数/（%）=|%+。|+,”+43/£&,当工£［0,1］时，记了。）的最大值为“。力）,

若2《〃力）>2疗+4刃+e-l恒成立，则加的最大值为（）

3

A.eB.—2C.0D.一

2

3.（2024・高三・北京丰台•期末）已知函数"%）=|%2+。|+2|%|,当］£［-2,2］时，记函数/3的最大值为河（々），

则M（a）的最小值为（）

A.3.5B.4

C.4.5D.5

题型十一：平口单峰函数

【典例11・1】已知函数/（%）=|五一以一6|（〃,。£7?）,当X£［0,4］时，/（%）的最大值为“（〃,6），则