2025年高考数学二轮复习：三角函数的图象与性质的综合应用（讲义）（解析版）

专题09三角函数的图象与性质的综合应用

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

m占nt口马囱.田摊己I白?rq

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破...........................................................13

题型一：齐次化模型13

题型二：辅助角与最值问题15

题型三：与三角函数有关的最值问题18

题型四：绝对值与三角函数综合模型24

题型五：三角函数的综合性质28

题型六：换元法配凑角34

题型七：三倍角公式36

重难点突破：3的取值与范围问题40

差情;奏汨•日标旦祐

三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要

集中在两个方面：

1、三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通

常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。

2、三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以

及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问

题。

此外，三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题

或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围

等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年甲卷第8题，5分

同角三角函数基本关理解同角关系，熟2023年甲卷第7题，5分

系式练运用解题2023年乙卷第14题，5分2025年高考三角函数考

2021年I卷第6题，5分查重点：一是同角三角函数基

2024年I卷第4题，5分本关系及诱导公式，需复习三

2024年H卷第13题，5分

角函数定义，题型为选择或填

2024年北京卷第12题，5分

掌握恒等变换，提空，难度适中；二是三角恒等

2023年H卷第7题，5分

三角恒等变换高解题技巧与灵变换，注重公式变形、应用及

2023年I卷第8题，5分

活性

2022年H卷第6题，5分最值问题，同样以选择或填空

2022年浙江卷第13题，6分形式出现，难度为基础至中

2021年甲卷第9题，5分档；三是三角函数的图像、性

年卷第题，分

2024I75质及变换，组合考查为热点，

2024年II卷第6、9题，11分

题型灵活，既可为基础或中档

2024年天津卷第7题，5分

题，也可能成为压轴题。考生

理解三角图像性2024年北京卷第6题，5分

三角函数的图像与性需全面掌握三角函数相关知

质，提升函数应用2023年天津卷第5题，5分

质

能力2023年甲卷第10题，5分识，灵活运用，以应对高考挑

2023年乙卷第6题，5分战。

2023年I卷第15题，5分

2023年H卷第16题，5分

㈤3

1、三角函数图象的变换

（1））7=sinx的图象变换为y=Asin（0x+0）（A>0,口>0）的图象主要有如下两种方法:

方法1方法2

间出产sinx的图象画出产sinx的图象

向左（9>0）或

向右S<0）平移SI个单位长度-横坐标变为原来的表（倍）

步

得到尸$in（x+0）的图象骤f得到尸sin3r的图象

2向左3>0）或平移

横坐标变为原来的』（倍），写个单位长度

一向右“<0）

步

|得到产sin（3+p）的图象卜~骤―»|得到尸sin（@x+@）的图象

3

_

纵坐标变为原来的4倍）纵坐标变为原来的/（倍）

一

卜导到产（。）的图象步得到产然汨（加叶的图象|

4sinor+骤0）

4

_

（2）平移变换

函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对九作的变换;

（3）伸缩变换

①沿X轴伸缩时，横坐标X伸长（0<0<1）或缩短3>1）为原来的_1（倍）（纵坐标y不变）;

CD

②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长（A>1）或缩短（OvA<1）为原来的A（倍）（横坐标x不变）.

（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

2、三角函数的单调性

（1）三角函数的单调区间

y=sinx的单调递增区间是2左兀一］,2%兀+三（ZEZ）,

单调递减区间是2%兀十二,2%兀+空（2£Z）;

L22J

y=cosx的单调递增区间是［2左兀-冗,24兀］（keZ），

单调递减区间是［2左九,2左冗+冗］（左£Z）;

y=tanx的单调递增区间是［左兀一左兀+（kGZ）.

（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合y=|sinx|,y=sin|x|,

y=|cosx|，y=cos|x|=cosx的图象进行判断会很快得到正确答案.

3、求三角函数最值的基本思路

（1）将问题化为y=Asin（*+e）+B的形式，结合三角函数的图象和性质求解.

（2）将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.

（3）利用导数判断单调性从而求解.

4、对称性及周期性常用结论

（1）对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中

心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.

（2）与三角函数的奇偶性相关的结论

若y=Asin（5+°）为偶函数，贝!I有°=左兀+］（%eZ）;若为奇函数，则有左兀（左eZ）.

若y=Acos（a）尤+。）为偶函数，则有e=左兀（AeZ）;若为奇函数，则有夕=左兀+］（左eZ）.

若y=Atan（ox+e）为奇函数，则有夕=々兀（左eZ）.

5、已知三角函数的单调区间求参数取值范删的三种方法

（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解.

（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的

子集，列不等式（组）求解.

（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过,个周期列不等式（组）求解.

4

0

心真题砒标•精御皿\\

.COS。rrEI，71

1.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知------；—=<3,贝UtanOf+~

cosa-sma

「V3

A.2A/3+1B.273-1D.1-5/3

2

・e、rcosa；

【解析】因为-------：—=。r3,

cosa-sma

所以「二一A/3,=z>tana=l-^-,

1-tana3

所以tan(a+?J=^±1=273-1,

1-tana

故选：B.

2.（2024年北京高考数学真题）设函数f（x）=sin&x（0>O）.已知/（玉）=-1,/每）=1,且1-苍|的最小

值为则。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题意可知:4为了（%）的最小值点，/为/（%）的最大值点,

则卜721m=「：，

nl即7=兀，

9IT

且G〉0,所以刃=7=2.

故选：B.

3.（2024年天津高考数学真题）已知函数〃x）=3sii.n[ox+]（。>0）的最小正周期为无.则/⑺在区间

TTTT

上的最小值是（）

12o

b-4D-i

A.C.0

2

【答案】D

【解析】因为函数/（X）的最小正周期为兀，则7=1=兀，所以。=2,

.(c711,兀兀1c兀71兀712兀

即/(x)=3i，sin2x+§,当xe时，2尤-,

336'y3

所以当2尤+巴=工，即》=一2时，f(x\=3sin工=3

3612v7nun62

故选：D

4.(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数f(x)=a(x+l)2-l,g(x)=cosx+2ox,当xc(-l,l)时，曲

线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，贝|］。=()

A.-1B.yC.1D.2

【答案】D

【解析】解法一：令〃x)=g(x),Bpa(x+l)2-l=cosx+2ox,可得依2+a-l=cosx,

令尸(了)=依2+£7-l,G(X)=COSX,

原题意等价于当xe(-1,1)时，曲线y=歹⑴与y=G(x)恰有一个交点，

注意到尸(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得尸(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2,

若4=2,令尸(x)=G(x),可得2/+1—cos%=0

因为xe(—1,1),贝U2X2»0,1-COSX20,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2/+1-cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2尤2+1一cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线y=尸(x)与y=G(x)恰有一个交点，

所以。=2符合题意；

综上所述：4=2.

解法二：令/z(x)=/(x)—g(x)=ax2+a-l-cos;v,xe(-l,l),

原题意等价于Mx)有且仅有一个零点，

因为力(—x)=a(—%)2+a—1—cos(—x)=ar2+a—1—cosx=%⑺，

则h(x)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，

即/2(0)=a—2=0,解得a=2,

若a=2,则/z(x)=2x2+1-COSX,XG(-1,1),

又因为2x?20,1-cosxNO当且仅当x=0时，等号成立，

可得/2(X)N0,当且仅当x=0时，等号成立，

即Mx)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

5.(2024年新课标全国I卷数学真题)当行[0,2加时,曲线y=sin尤与y=的交点个数为()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因为函数丫=sin龙的最小正周期为7=2元,

函数y=2sin(3x-胃的最小正周期为T=g,

所以在xe[0,2对上函数'=2$穴3苫-"有三个周期的图象,

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示:

6.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知《»3+0=〃?,1211£13116=2,则cos(a-#)=()

"2m

A.—3ntB.-----C.一D.3机

33

【答案】A

【解析】因为cos(a+/7)=加，所以cosacosP一sinasin笈="，

而tanatan/?=2,所以sinasin尸=2cosacos尸,

故cos。cos尸一2cosacos尸=机即cosacos/3=—m,

从而sinasin4=-2m,故cos(a-7?)=-3根，

故选：A.

Jr

7.(多选题)(2024年新课标全国II卷数学真题)对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-]),下列说法中

正确的有()

A./(》)与g(x)有相同的零点B.与g(x)有相同的最大值

C.f(x)与g。)有相同的最小正周期D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【解析】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得x=即为/(x)零点，

令gQ)=sin(2x-?)=0,解得x="+g,A:eZ,即为8(元)零点，

428

显然/(x)，g。)零点不同，A选项错误；

B选项，显然“x)max=g(x)1mx=1,B选项正确；

2兀

C选项，根据周期公式，/(x),g(x)的周期均为于=兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质/(x)的对称轴满足2x=far+Wox="+r«eZ,

g(x)的对称轴满足=E+=£+■，左eZ,

显然/(x)，g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

8.(2024年北京高考数学真题)在平面直角坐标系x0y中，角a与角月均以3为始边，它们的终边关于原

兀71

点对称.若ae,贝"os。的最大值为______.

o3_

【答案】-1/-0.5

[解析】由题意P=a+n+2kn,kGZ,从而cos(3=cos(a+兀+2E)=—cosa,

因为所以cosa的取值范围是,cos尸的取值范围是,

_o3J2222

TTJT

当且仅当&=^,即夕=£4+时，cos乃取得最大值，且最大值为一;1.

故答案为：

9.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)函数/(x)=sinx-石cosx在[0,可上的最大值是.

【答案】2

【解析】/(无)=sinx-6cos尤=2sin]x-3,当xe[0,可时，x-1-e，

当彳一色=四时，即关=至时，f(x\=2.

326v7mx

故答案为：2

10.(2024年新课标全国II卷数学真题)己知a为第一象限角，夕为第三象限角，tanc+tan6=4,

tanatan力=夜+1,贝!Jsin(a+(3)=.

【答案】-述

3

tana+tan夕4

由题意得tan（"+，）==-20

【解析】法一:1-tancrtan[3l-(72+l)

因为aw|2fai,2hi+曰)，,[2加兀+兀,2m7i+皇3兀)，k,nieZ,

2

则a+尸£《2%i+2左）兀+兀,（2m+2左）兀+2兀），k,meZ,

又因为tan（a+尸）=一2日＜0,

贝lJa+/£](2m+2%)兀+号](2m+2%)兀+2兀)，

k,meZ,则sin(a+〃)<0,

则:*J卜-2后,联立sin2(a+0+cos2(a+P)=l,解得sin(c+〃)=一寺.

法二：因为。为第一象限角，夕为第三象限角，则cosa>0,cos/?<0.

cosa1ncos(3-1

cosa=ii,cosp=]=,

Vsin2cr+cos2avl+tan2a，sin[3+cos(3，l+tan[3

贝°sin(cr+£)=sinacos)3+cosasin°=cosacos尸(tana+tanp)

“c-4-4-42返

—4cosctcosp——/-/=-/=-/.=---------

V1+tan26Z^/1+tan2/3^/(tana+tan/?)2+(tantan-1)2V42+23

故答案为：—也.

3

H.(2023年北京高考数学真题)已知命题P：若团尸为第一象限角，且。>/，贝hana>tan/.能说明p

为假命题的一组名£的值为夕=,B=.

・小田、91171

【答案】--

【解析】因为〃x)=tanx在[。胃]上单调递增，^0<«0</?0<1,则tan4<tan4，

取1=2｛兀+g,夕=2%兀+夕0,左&eZ,

贝I]tana=tan（2勺兀+%）=tan%,tan/?=tan（2k/+4）二面14，即tanavtan力，

令匕＞k2,则。一尸=（2匕兀+4）—（2右兀+4）=2化一%2）兀+（4—4）,

因为2（左1―网）兀22兀,一^＜%-&＜（）,贝I=2（左一左2）兀+（%—凤）＞0,

即用〉化2,则a＞月.

不妨取％=1&=0,%=?&=卷，即1=事,』=三满足题意.

।f....,,,、>97171

故答案为：——.

43

12.(2023年北京高考数学真题)设函数/(x)=sinscos夕+cosoxsin0.

(1)若f(0)=一乌求。的值.

(2)已知了直)在区间-争三上单调递增，/［三］=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择

一个作为已知，使函数/(x)存在，求公。的值.

条件①：

条件②：/f-jV-i；

jrIT

条件③：/(x)在区间-］，-§上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

71

【解析】(1)因为/(x)=sin0xcos"+coss;sin9，G〉O,|o|<5

不

所以/(0)=sin(0•0)coscp+cos(0•0)sin夕=sin夕=一"-,

因为所以°=一三.

兀

(2)因为/(xXsinGxcoso+cosGxsinoMAOJoK,,

7T

所以/(尤)=sin(。龙+9),。>0,|夕|<5,所以/(x)的最大值为1,最小值为一1.

若选条件①：因为/(x)=sin(5+0)的最大值为1,最小值为-1,所以/［)=血无解，故条件①不能使

函数存在；

若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且/［g］=l,/「］=T

所以：=/一1一5)=兀,所以7=2兀,0=牛=1,

所以/(x)=sin(x+0),

又因为=，所以sin[-5+e]=-l,

TTIT

所以_§+。=_5+2版,左£Z,

所以夕=-F+2E#eZ,因为|例＜三，所以夕=一^.

626

JT

所以0=1,«9=--;

6

7T27rJT7T

若选条件③：因为“X）在-了不上单调递增，在一万,-§上单调递减,

所以“X）在*处取得最小值-1,

以下与条件②相同.

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：齐次化模型

【典例1-1】（2024•高三・江西宜春・期末）已知sin2e+2gsin8cose+3cos2。=4,则tan6=（）

A.1B.一近C.2D

2-T

【答案】D

【解析】由题意若cos6=0,则sin8=±l,不符合题意,

sin*2^+2A/3sin^cos0+3cos2^tan28+2石tan8+3

所以sin2e+2A/^sin6cose+3cos之。==4,

sin20+cos20tan26^+1

即3tan"25an0+l=0，解得tan*走,

3

故选：D

【典例］（・高三.河北沧州•期中）已知则主文二智£

1-22024tana=3,()

2cosa+3sina

A.A53

B.cD.

11n-H11

【答案】D

,,3cosa—2sina3-2tana_3-2x33

【解析】tana=3,故二-------—

2cosa+3sma2+3tana2+3x3TT

故选：D

巧

齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如:

asma+6cosc(一次显型齐次化)

csina+dcosa

asin2cir+/?cos2cr+csincrcoscr

或者asin?a+bcos2cr+csin2cos。=>（二次隐型齐次化）

sin2a+cos2a

这种类型题，分子分母同除以cos。（一次显型）或者cos2。（二次隐型），构造成tana的代数式，这

个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.

【变式（2。24・陕西安康・三模）已知tan"：'则盘■万

A.6B.—D.2

6

【答案】C

rA77+r2sin3^+sin^cos2^

［角军析］:——7-——~~西

cos夕+singeos0

_2tan3^+tan^

1+tang

43

2—4—1

1+32

12

故选：C.

则sin2a

【变式1-2］若tana=2,的值为（）

cos2a-sin?a

4244

A.——B.C.一D.

7397

【答案】A

【解析】因为tanc=2,

“…sin2a2sinacosa

月「以Q•~2―2丁^~2

cos2a-sinacoscz-2sina

2tana_2x2_4

-l-2tan2a-l-2x22-一7'

故选：A

命题预测二1

1.设ae（0,g],若tana=正，则,山2a=（）

I2J2cos2a-3

A.2万B.72C.—gD.一比

4

【答案】D

【解析】解法一：因为tanc=g,

所以sina=——,即cosa=Vasina，

coscr2

又cos2cr=cos2。—sin2a,sin2a+cos2a=1,

sin2。2sinacosa2sinacosa2后sin2a

所以V2

cos2cr-3cos2a-sin2a_3cos2a-3sin2a-2cos2cr-4sin2cr-8sin2a4

sin2a2sinocostz2sinacosa_tan。

解法二:因为

cos2a-3cos2a-sin2a-3cos26f-3sin2a一2cos之。-4sin2a2tan2a+1

变

变

4

故选：D.

题型二：辅助角与最值问题

【典例2-1］若函数f(x)=sinx-3cos尤在》=七处取得最大值，贝！|tanxo=.

【答案】

【解析】因为/(%)=sinx—3cos%=

13

TVcos0=~,sin0=—.—,

贝tan。=3,

TT

当兄一6=2也+—,左wZ时，

2

即当无=2E+'+d,上eZ函数〃x)取最大值，最大值为历，

JT

所以％o=2E+—+0,

一广」(CT兀八、(兀八、cosg1

所以tan%=tan|2kjt+-+0=tan-+6»=---=

V2J12Jsin"3

故答案为：

【典例2-2】(2024•高三・江西萍乡•期中)设0<e<g,Mcos+sin6)+(cos6)—sin=z/z(cos6)+sin6(+1)2,

则实数机的取值范围是—.

3A/2-4,1

【答案】

cos+sin^+(cos0-sin0^(cos6+sin8)(cos6+sin6+1)-4cos6sin6

【解析】m=---------------------------~~L=----------------△-------------------&-----------------

(cos夕+sin8+1)(cos8+sin8+1)

令x=cose+sine,则x=版sin£(L6］，且sincos0-~~~~，

2

m、j%(冗+1)-2(/—1)-X+X+22-X31

所以机=----------5-------=-----------厂=----=------1,

(x+l)(x+l)X+1%+1

因为〃X)=三-1是(1,&］上的减函数，所以机<〃1),

即me3夜-4,31.

故答案为：口后-4,£|

第一类:(其中tane=2)

a

第二类：二次辅助角asincoxcoscox±bcos2cox^a,b>0)

21

asincoxcoscox±Z?cos2cox=］sin2cox±:(cos2cox+1)=y/a+bsin(2cox±夕)土:(tan(p=­)

2

【变式2”】(2024.高三.山东临沂.期中)已知关于x的方程asinx+0+l)cosx+2b+2=。有解，则/+/的

最小值为.

3

【答案】7/0.75

【解析】由asin%+(b+l)cosx+2/?+2=亚~7^77了sin(x+0)+2/;+2=0,其中tan°="L

、-2b-2\2b+2\

.z,即|26+2|4荷+优+1)2,

则"+*FFF,可得后而广

22

两边平方化简可得3伍+1)2<々2,因止匕4+/>3^+1)+b=4/+66+3,

由4户+66+3=4。+3]则。2+6223,当且仅当6=一。时，等号成立.

14)4444

3

故答案为：—.

4

【变式2-2】已知吧2=cos(a+£),求tan"的最大值_______.

sina

【答案】亨

sinB

[解析】———=cos(a+/?),且cos+。)=cosacos0-sinasinj3,

sina

sin/?=sincrcosacos/?-sincrsincrsin/?,即sin方(1+sin2a)=gsin2。cosP

-sin26z

所以sin2asin2a

tan/3=2

1+sin2a2+2sin2a3-cos2a

、门sin2a

攻--------=£=>sin2。+%cos2a=3t,

3—cos2a

由|3心户-孝w4.

故皿的最大值为当

故答案为：f

命题预测.

1.［新考法］(2024・高三・江苏苏州•开学考试)设角a、£均为锐角，贝"ina+sin尸+cos(a+/)的范围

是.

【答案】

【解析】因为角〃均为锐角，所以sinacosa,sin，,cos/的范围均为(0,1),

所以sin(a+/)=sincifcos[3+cosasm<sina+sin4，

所以sina+sin夕+cos(a+4)>sin(a+/)+cos(a+尸)=A/2sin[a+,

因为0<a<3,0<,0+〃+：<,，

所以及sin[a+/+：]>=

sina+sin4+cos(a+£)=sina+sin尸+cosacos万一sinasin/3

=(l-sin/?)sina+cosacos+sin/?<J(1-sin/?)2+cos2尸+sin4

=<^2(1-siny0)+sin6，

当且仅当。-sin/?)cosa=sinacos/7时取等，

令Jl-sin尸=t,G(0,1),sin/?=1-r2,

所以=^2(l-siny0)+sin2=-J2t+l-t2=-t-+^-<.

则sina+sin/?+cos(a+/7)的范围是：H,-1.

故答案为：［1,|

题型三：与三角函数有关的最值问题

【典例3-1】已知函数〃x)=2sinx+sin2x,则〃x)的最小值是.

【答案】_迫

2

【解析】［方法一］:【通性通法】导数法

f\x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx—2

=2(cosx+1)•(2cosx-1).

令尸(x)>0,得cosx>；,即/(x)在区间。也-2,2配+三｝4€2)内单调递增；

令r(x)<0,得cosx<5，即/(%)在区间［2E+］,2E+~yJ(壮Z)内单调递减.

则"。加„=，2版-。=一竽.

故答案为：—更.

2

［方法二］:三元基本不等式的应用

因为/(%)=2sin%+2sin%cosx=2sinx(l+cosx),

223

所以产(%)=4sinx(l+cosx)=4(1-cosx)(l+cosx)

=j(3-3cosx)(l+cosx)(l+cosx)(l+cosx)

<4(3—3cosx)+(1+cosx)+(1+cosx)+(1+cosx)4_43Y27

-34-3X(2j

当且仅当3-3COSJV=1+COSX,即cos%=—时，取等号.

2

根据/(—©=—/(%)可知，A©是奇函数，于是/(元)£—孚,孚，［/(')］.=—孚，此时

.V31

sinx=------,cosx=—•

22

故答案为：-一.

2

［方法三］:升塞公式十多元基本不等式

r,、•z-»•A•"c2%

j(x)=sinx+sin2x=2sinx(l+cos%x)=4sin—cos—•2cos—,

/2(x)=64sin2,cos6^=64sin2Al-sin2,

_.4

3sMf+［l-sin2fHiTiWH-iW)］_幺

34-T

YYy1i——i27

当且仅当3sin2±=l-sin2土，即sin±=±—时，「产(处］.

2222LJmax4

3J33J3I3J3

根据/(—%)=—/(%)可知，/(x)是奇函数，于是/(%)£—

故答案为：-巫.

2

［方法四］:化同角+多元基本不等式+放缩

/(x)=sinx+sin2x=2sinx(l+cosx)=4sincos］•2cos2

8ctan—%8tan—8tan—

__2_>.2236

->-

、2.2-2F,当且仅当tan22=Ltan2=—史时等

1+tan2鼻l+l+Ltan,土

12%42323

33324―Ytan—

332

号成立.

故答案为：一更.

2

［方法五］:万能公式+换元+导数求最值

Of2

则，(尤)可化为、^2t1-t8t

g(f)=2x+2xx2

wl+tl+2r+/4

当r