2025年高考数学重难点专项复习：空间几何体表面积与体积（原卷版）

空间几何体表面积与体积

T模块导航A素养目标

模块一思维导图串知识1.柱、锥、台的侧面积和体积

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.是圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式

模块三核心考点举一反三及其应用

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

S松姓=S»+2%

'枝*='也+$意

棱台s检g=sa+s上咸+Sp底

表面积和体积

◎模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积

(1)正方体、长方体的表面积

正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和

长、宽、高分别为。，"c的长方体的表面积：

S长方体=2(ab+bc+ac)

棱长为。的正方体的表面积：

S正方体

(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图

棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:

棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图

（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱的表面积：S棱柱=5侧+25底

棱锥的表面积：S棱钺=5侧+S底

棱台的表面积：S棱台=5恻+S上底+S下底

知识点2棱柱、棱锥、棱台的体积

（1）棱柱的体积

①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与

底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.

②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积S和高〃的乘积，即V=S〃.

（2）棱锥的体积

①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）

之间的距离，即垂线段的长.

②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积s和高〃的乘积的，即丫=!§丸理解.

(3)棱台的体积

①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足(垂线与底

面的交点)之间的距离，即垂线段的长

②棱台的体积：V=；(§'+屈+S)/z(S',S分别为上下底面面积，〃为台体的高)

嚓-%-ABCD-^P-ABCD

=：S(〃+%)―

JJ

=L(S+&+S')h

3

知识点3圆柱、圆锥、圆台的表面积

(1)圆柱的表面积

①圆柱的侧面积：

圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为r,母线长为/,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周

长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为S侧=2万〃.

②圆柱的表面积：

S-S侧+2s底=17irl+21r2-21r(/+r).

知识点4圆锥的表面积

①圆锥的侧面积：

圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为r,母线长为I,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长,

半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为S侧=万〃

②圆锥的表面积：

S=S侧+S底=7irl+〃产=兀r(l+r)

知识点5圆台的表面积

①圆台的侧面积：

圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为r',下底面半径为r,母线长为/,故圆台的侧面积为

S恻=万(厂+/)/

②圆台的表面积：

知识点6圆柱、圆锥、圆台的体积

(1)圆柱的体积：V=Sh

（2）圆锥的体积：V=-Sh

3

（3）圆台的体积：V=g（S上+JS上S下+S下）丸

知识点7球的表面积和体积

（1）球的表面积：S=4TTR2

（2）球的体积：V=—"R3

3

模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：棱柱的表面积

△A

（23-24高一下•辽宁•期末）已知正四棱柱ABC。-ABCQ中，截面刖2片是边长为2友的

正方形，则正四棱柱的表面积为（）

A.4+8收B.8+8&

C.4+16eD.8+160

【变式1-1］（23-24高一下•四川巴中•阶段练习）在正方体ABCD-ABG2中，由A，G，B,£（四个点

为顶点的正四面体8-AG。的表面积为则该正方体的表面积为（）

A.B.y/3a2C.2a2D.娓a1

【变式1-2］（24-25高二上•上海•期中）已知一个正六棱柱底面边长为2,高为3,则这个正六棱柱的侧面

积为.

【变式1-3］（23-24高二上•上海黄浦•阶段练习）已知底面为正方形的长方体底面边长为1,体对角线长为

20,则长方体的表面积为.

考点二：棱柱的体积

'例2.（2024•江苏苏州•一模）已知直三棱柱ABC-A8cl夕卜接球的直径为6,且,BC=2,

则该棱柱体积的最大值为.

【变式2-1］（23-24高一下•安徽马鞍山•期末）一个高为3的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放

置如图（1）,水面恰好经过棱AC,BC,AG，4G的中点，现将底面ABC水平放置如图（2）,则容器

中水面的高度是（）.

【变式2-2］（2024•全国•模拟预测）已知在长方体ABC。-A与G2中，4。=34）=3,则该长方体体积的

最大值为（）

A.1B.2C.4D.6

【变式2-3］（23-24高二•上海•课堂例题）如图，设圆柱有一个内接棱柱（即棱柱的侧棱都是圆柱的母线，

棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内）.已知圆柱的体积是4岛,棱柱的底面是边长为2的正三角形.求

棱柱的体积.

B

考点三：棱锥的表面积

例3.（24-25高二•上海•课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a,则此棱锥的表

面积是（）

A3+^32R3+g

A.--------a;B.--------a2;

42

C.比g/；D.都不对.

4

【变式3-1］（24-25高一下•全国•随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为。，则该三棱锥的表面积为（）

22

A.3岛2B.2•aC.岛?D.4a

【变式3-2］（23-24高一下•北京昌平•期末）已知正四棱锥的底面边长为2,高为百，则它的侧面积

为,

【变式3-3］（24-25高二•上海•假期作业）三棱锥尸-ABC中，PA=4,尸3=PC=AB=5C=C4=3,求该

棱锥的表面积.

考点四：棱锥的体积

、例4.（24-25高三上•山西大同•期中）已知四面体A5C。的顶点均在半径为3的球面上，若AB=CD=4,

则四面体ABC。体积的最大值为（）

口16A/516A/316A/2

15.----------

333

【变式4-1］（24-25高三上•河北承德•期中）在棱长为2的正四面体A-3CD中，E为棱AO上的动点，当

防+CE最小时，三棱锥A-8CE的体积为（）

AV2„2V20历N4A/2

A•15•---------L♦U♦----

3329

【变式4・2】（2024高三•全国•专题练习）棱长为2的正方体AHCO-中，M,N分别为棱B耳，AB

的中点，则三棱锥A-QMN的体积为.

【变式4・3】（2024高三•全国•专题练习）如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=39AB=29点N分

3

别在棱总，上运动，且满足BN=〃5C,BM=ABP,其中〃+万％=1,求三棱锥A-的最大体积.

W

AB

考点五：棱台的表面积

5.（23-24高一下•北京•阶段练习）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3,高为1,则其侧

面积为（）

A.12B.12A/2C.24D.1275

【变式5-1］（24-25高三上♦内蒙古锡林郭勒盟•期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,高为百,

则其侧面积为（）

A.20B.24C.125/3D.2473

【变式5-2］（24-25高一下•全国•课后作业）若正四棱台的上底边长为2,下底边长为8,高为4,则它的

表面积为（）

A.50B.100C.248D.168

考点六：棱台的体积

6.（23-24高三下•山东青岛•阶段练习）正六棱台的上、下底面边长分别是2和6,侧棱长是5,

则它的表面积与体积分别为（）

A.16庖+60/26的B.16A/2T+60>/3;52A/3

C.24a+60娠786D.24A/2T+60V3;845/3

【变式6-1］（2024•广东•模拟预测）现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km,上底面边长

为4km,侧棱长为30km,则该水库的最大蓄水量为（）

112.3ac5613a

A.不―kmB.112km3C.-^~kmD.56km3

【变式6-2］（24-25高二上•上海•期中）已知正四棱台两底面边长分别为20和10,侧面积为780,则其体

积为.

【变式6-3］（24-25高三上•广东•开学考试）中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体

问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成

九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B,D,H,F

对应四个三棱柱，A,C,I,G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,

则该正四棱台的体积为.

图⑴图⑵

考点七：圆柱的表面积和体积

'例7.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm,

底面的半径长为10cm.

•・.....、、

（1）求纸篓的面积;

⑵求该纸篓的表面积.

【变式7-1］（24-25高二上•上海•阶段练习）若圆柱的高为10,底面积为4兀，则这个圆柱的侧面积

为.

【变式7-2］（24-25高三上•天津•期中）已知底面半径为『的圆锥5。，其轴截面是正三角形，它的一个内

接圆柱的底面半径为:，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（）

2J32

A.-B.4C.-

993

【变式7-3］（23-24高一下•四川成都•期末）如图，圆锥R9的底面直径和高均为12,过PO上一点O'作平

行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧

C.36兀D.72Tt

考点八：圆锥的表面积和体积

'例8.（24-25高二上•辽宁抚顺•期中）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均

为2,则圆锥的体积为（）

A.2兀B.3兀C.—D.8所

39

【变式8-11（24-25高三上•宁夏•期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）

A.2兀B.3兀C.2&D.3岛

【变式8-2］（23-24高三上•北京房山•期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角

形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A.乖mB.2兀C.2扃D.4后

【变式8-3］（24-25高三上•宁夏银川•阶段练习）若一个圆锥底面半径为1,高为20,则该圆锥表面积为

（）

A.4兀B.3兀C.2兀D.兀

考点九：圆台的表面积和体积

|'j例9.（24-25高三上•黑龙江鸡西•期中）如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为点的锥尖,

剩余圆台的侧面积为（）

S

ASy/lOnB16>/107r160K口32A/2TI

'-9-'-9-99

【变式9-1］（24-25高二上•浙江•期中）把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆

台的高之比为（）

A.1B.72-1C.2D.72+1

【变式9-2］（24-25高二上•上海•阶段练习）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3,母线长为4,则圆台

的侧面积为（）

A.16nB.20TIC.24兀D.26兀

【变式9-3］（24-25高二上•上海•期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1,4,则该圆台的

表面积为•

考点十：球的表面积和体积

10.（2024高三•全国•专题练习）如图，过球。的一条半径OP的中点。1，作垂直于该半径的平面,

所得截面圆的半径为百，则球。的体积是（）

C.32TID.16兀

【变式（23・24高二下♦河北石家庄•期末）已知球的表面积为144兀cn?,则该球的体积是（)cm3

A.64nB.1447tC.2887rD.2167t

【变式10-2］（23-24高一下•浙江•期中）已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表

面积与球的表面积之比为（）

A.1:1B.2:1C.2:3D.3:2

【变式10-3］（24-25高二上•四川资阳•阶段练习）已知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及

侧面均相切），且圆台的上、下底面半径不4=2:3,则圆台的体积与球的体积之比为.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（24-25高三上•浙江•期中）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为n的半圆，则该圆锥的高为（）

A.逅B.@C.3D.1

2222

2.（24-25高二上•云南文山•期末）已知长方体ABC。-AqGR的体积为16,且惧=2,则长方体

ABC。-A4G2外接球表面积的最小值为（）

A.^^-71B.16。行兀c.207rD.IOOTT

33

3.（24-25高二上•上海•期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为9扃，则圆锥的高为（）

A.373B.2A/3C.3垃D.3

4.（23-24高一下•江苏•期末）若底面半径为「，母线长为/的圆锥的表面积与直径为/的球的表面积相等，

贝号=（）

A.75-1B.C.73-1D.

22

5.（24-25高二上•贵州•期中）已知某圆锥的底面半径和球的半径都为G，且它们的体积相等，则圆锥的

侧面积为（）

A.3#7KB.271771C.3岳兀D.2X/15TT

6.（2024高三•全国•专题练习）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（）

12

A.兀B.2兀C.—D.—

7171

7.（24.25高三上•云南昆明•阶段练习）某圆锥母线长为1,其侧面积与轴截面面积的比值为2兀，则该圆锥

体积为（）

A3Jt7tA/3TIn氐

88824

8.（2024高三•全国•专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，

现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略

不计，则该斗可以装米（1立方分米=1升）（）

A.39升B.156升C.201升D.210升

二、多选题

9.（23-24高一下•河南郑州•期中）已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球。与圆台的两个底面和侧

面都相切，则下列命题中正确的有（）

A.圆台的母线长为4B.圆台的体积为26扃