2025年高考数学重难点专项复习：利用基本不等式求最值【八大题型】解析版

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】

【新高考专用】

基本不等式是每年高考的必考内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通常为选

择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等

内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函数或代

数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣

“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.

►知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的解题策略】

1.基本不等式与最值

已知X,y都是正数，

⑴如果积孙等于定值尸，那么当x=y时，和x+y有最小值2/瓦

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积9有最大值T2.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(l)x、y>o,(2)和(积)为定值，(3)存

在取等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一：mx+—>>0,H>0),当且仅当x=时等号成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——--=m(x-a)H——-——Fma>2y/mn+ma(m>0,n>0),当且仅当工一a=J'■时等号成

x-ax-aNm

立；

(3)模型三：——=―1——(a>0,c>0),当且仅当时等号成立；

ax+bx+c办+6+g21cle+bVa

x

/八士音并linn，、mx(n-mx)1mx+n-mx.〃止口e止〃

(4)模型四：x(n-mx)=--------<—•(z----------------)2=—(m>0,H>0,0<x<—),当且仅当工=—

mm24mm2m

时

等号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求7+1的最值”的问题，先将V+夕转化为

xyxy

+

(x1)■-再用基本不等式求最值―

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

►举一反三

【题型1直接法求最值】

【例1】(2024•北京东城一模)已知》>0,贝咏-4+：的最小值为()

A.12B.0C.1D.2V2

【解题思路】由基本不等式求得最小值.

【解答过程】•••x>0,422，亚—4=0,当且仅当x=g即x=2时等号成立.

故选:B.

【变式1-1］（2024•甘肃定西•一模）尤2+5+77的最小值为（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5V7

【解题思路】利用基本不等式即可得解.

【解答过程】由题意知XK0,所以％2>0,5>0,

所以/+^+V7>2J%2,Z+V7=3V7.

当且仅当％2=5，即“2=77时，等号成立.

故选：B.

【变式1-2］（2024•全国•模拟预测）已知ab为正数，则胃+一（）

A.有最小值，为2B.有最小值，为2四

C.有最小值，为4D.不一定有最小值

【解题思路】利用基本不等式计算可得.

【解答过程】因为ab为正数，所以蓝>0,?>0,

所以胃+々225=2鱼，当且仅当胃=匕即6=7^1时取等号，

ba7baba

所以年+3有最小值2近.

故选：B.

【变式1-3］（2024•全国•模拟预测）（3++）（1+4/）的最小值为（）

A.9V3B.7+4V2C.88D.7+4遍

【解题思路】依题意可得（3+专）（1+4/）=7+3+12x2,再利用基本不等式计算可得.

【解答过程】（3+2）（1+4/）=7+9+12%2>7+2启12*2=7+4后

当且仅当专=12/,即久4=W时，等号成立，

故G+5）（1+4*2）的最小值为7+4V3.

故选：D.

【题型2配凑法求最值】

-1

【例2】（2024•全国•模拟预测）函数y=/+W（久2>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

【解题思路】由基本不等式即可求解.

【解答过程】由/>5可得/—5〉0,所以旷=/+2=%2-5+士+522］02—5）.（春）+5=7,

当且仅当5=力，即％=述时等号成立，

故选:D.

4

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）已知a>0,6>0,则a+2b+直药的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

【解题思路】根据基本不等式即可求解.

【解答过程】由于a>0力>0,所以a+2b+l>0,

由0+26+$=（。+2》+1）+占-122］（。+26+1）*工-1=3,

（当且仅当a+26=1时取等号），可得a+2b+房亮的最小值为3,

故选：D.

【变式2-2］（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）设x>2,则函数y=4x-1+2，的最小值为

（）

A.7B.8C.14D.15

【解题思路】利用基本不等式求解.

【解答过程】因为％>2,所以x—2>0,

所以y=4x-l+白=4（%-2）+3+722j4（x-2）~+7=15,

当且仅当4。一2）=展，即x=3时等号成立，

所以函数y=4%-1+白的最小值为15,

故选:D.

P

【变式2-3］（2024•山西忻州•模拟预测）已知a>2,贝。2a+三的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.

【解答过程】因为@>2,所以a-2>0

pp

所以2a+碎=2(a-2)+言+422后+4=12,

当且仅当2(a—2)=白，即a=4时，等号成立.

所以2a+上的最小值为12.

故选：D.

【题型3常数代换法求最值】

【例3】(2024・河北•模拟预测)已知非负实数满足x+y=l,则a+禽的最小值为()

4

A3+2V^口3+2V2C.2D.

■-2-B,3

【解题思路】根据X+y=1,化简求得|(x+1+y)=1,得到?+A=G+自)X■+1+y)*

(1+爰+捻)结合基本不等式，即可求解.

1

【解答过程】因为x+y=1,可得x+y+l=2,BP-(x+1+y)=1,

又因为非负实数居y,所以x>0,y+1>0,

则？+*)x*%+i+y)=((1+?+白)

曰•(!+«)=干，

当且仅当空=木时，即x=2或—2,y=3—2鱼时，等号成立，

所以W+卡的最小值为手•

故选：B.

。1

【变式3-1](2024•云南大理•模拟预测)已知心0,C0且2a+b=l,则总+义的最小值为(

A.4B.6C.8D.10

【解题思路】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.

【解答过程】言+左=(言+&)[(a+l)+(a+b)]

9(a+b)(Q+1)1

9+a+]+T7T+ljx-

2（10+2回匚包1）x8（当且仅当a=J,6=0时取等号）.

故选:c.

【变式3-2］（2024•江苏扬州•模拟预测）已知久>0,y>0,且2%+y=l,则誉的最小值为（）

A.4B.4V2C.6D.2鱼+3

【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

【解答过程】因为久>0,y>0,且2x+y=l,

所以詈="（=（；+33+m=年+9+322杼|+3=2正+3,

当且仅当§即％=空，丫=四一1时取等号.

yAz

故选：D.

【变式3-3］（2024・四川成都•模拟预测）若a力是正实数，且熹+小=1,贝Ua+b的最小值为（）

JUTOZUT41O

42

A.-B.-C.1D.2

【解题思路】观察等式分母可知（3a+匕）+（2a+4b）=5（a+b）,利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.

【解答过程】因为a+6=1（5a+5b）=|［（3a+b）+（2a+4切=|［（3a+b）+（2a+4切（熹+五占）

.2a+4b.3a+b\、i2a+4b3a+b\4

=7（2H----------1--------）>72+2n----------------=7，

5\3a+b2a+4by5\yj3a+b2a+4bJ5

当且仅当a=|,b=（时取等号，

所以a+b的最小值为？

故选：A.

【题型4消元法求最值】

2

【例4】（2024•全国•模拟预测）已知（0,+8）,且满足%-2y+3z=0.则£的最小值为（）

A.12B.6C.9D.3

【解题思路】消元后用基本不等式求得最小值.

【解答过程】因为%,y,zE（0,+8）,且满足久一2y+3z=0.即y=g（%+3z）,

所以¥=陪=亘翳空=资+3+6）4（2万3+6）=3,当且仅当3=3即x=3z时等号成立,

故选：D.

【变式4-1］（2024•北京•模拟预测）设正实数万、y、z满足47—3孙+f一z=o,则十的最大值为（）

A.0B.2C.1D.3

1

【解题思路】计算得出?=*尹，利用基本不等式可求得券的最大值.

【解答过程】因为正实数x、y、z满足4%2-3xy+y2_z=0,则z=4尤2-3xy+y2,

则?=4x2-3xy+yz=y+^-3工2J至2-3=当且仅当V-2x>。时取等号.

故段的最大值为1.

故选：C.

【变式4-2](2024•浙江绍兴•三模)若x,y,z>0,且d+%y+2xz+2yz=4,则2x+y+2z的最小值是

_4_.

【解题思路】由题意可借助久、y表示出z,从而消去z,再计算化简后结合基本不等式计算即可得.

【解答过程】由/+xy+2xz+2yz=4,贝！J2z=上；：；町,

日口c„04-x2-*46xy(2x+y)(x+y)+4-x2-xy

即2x+y+2z=2x+y+不一=---------------

2x2+3xy+y2+4—x2—xyx2+2xy+y2+4(x+y)2+4

x+y%+yx+y

=x+y+^22j(x+y>^=4,

4

当且仅当％+丫=而，即％+y=2时，等号成立.

故答案为：4.

【变式4-3](2024・四川德阳•模拟预测)已知正实数％,y,z满足%2+%y+yz+xz+x+z=6,则3%+2y+z

的最小值是—4-/3—2.

【解题思路】因式分解得到x+z=G，变形后得到3x+2y+z=2(x+y)+M，利用基本不等式求

出最小值.

【解答过程】因为％y,z为正实数，

故+xy+yz+%z+%+z=6今(％2+xz)+(xy+yz)+(%+z)=6,

BRx(x4-z)+y(x+z)+(%+z)=6=>(x+y+l)(x+z)=6=>x+z=x-+1^

6

3%+2y+z=2(%+y)+(%+z)=2(%+y)+%+.十】

=2(x+y+1)+7^-2>2^2(%+y+1)-^1^-2=4vA2,

当且仅当2Q+y+1)=二合，即/+丫=g一1,此时％+z=J^=2遮，

所以3x+2y+z的最小值为4V^—2.

故答案为：4V3-2.

【题型5齐次化求最值】

【例5】（2024•江西新余二模）已知x,y为正实数，且x+y=2,则的最小值为（）

A.12B.3+2V2C.D6«-3

【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.

【解答过程】由X+y=2,则号=汽=（―（瑟y+3（x+y）

_4/+9y2+i3砂_2x9y13\2x9y,13_25

2%y-y十豆十T一（亍•五十5'一5''

当且仅当,=/即乂=3y=^时，等号成立.

故选：C.

【变式5-1］（23-24高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）已知正数居y满足x+2y=L则蒙的最小值为（）

A.壶B.2V2C.eD,2V2+1

【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.

【解答过程】黑=立甯羽=立泮=》2+1,因为无>0,y>0,故;>0,§>0,

入_/"Jyxyx

贝（+§+122Jx§+1=2鱼+1,当且仅当；§,%+2y=l,也即汽=鱼一1）=1一日取得等号，

故^的最小值为2金+1.

41y

故选：D.

【变式5-2］（23-24高一上•江苏常州•阶段练习）已知孙=1,且0<y<J,则高短最大值为_辛_.

【解题思路】由xy=l且0<y<J可得y=：（x>2）,可得x-4y>0,再将成念化为（.4：+上后利用基

-rLJ

乙X九-'z'''x—4y

本不等式求解即可.

【解答过程】解：由町=1且ovyvg可得y=§(%>2),代入%-4y=%-：>0,

11

V4y________%_4y_1&_1_返

乂N+16y2-(x-4y)2+8xy—(x-4y)+^-^—2^(x-4y)-^^一百'

Q

当且仅当x-4y=三不，即x-4y=2VL

又町7=1,可得x=&+&,y=\返时，不等式取等，

即生的最大值为浮

故答案为：年.

O

【变式5-3】（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知实数x>0,y>0,则空瑞筌堡的最大值为上

【解题思路】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得.

O+l)2+(3y+l)2%2+2汽+l+9y2+6y+l_.2(>+3y)

【解答过程】因为-x2+9y2+2--N+9y2+2=1+N+9y2+2'

x+3y

又因为所以可由平方均值不等式得:

x>0,y>0,2

取等号条件是X=3y,即/+9步>任磐，

2Cx+3v）2（x+3y）2_2

所以上式可变为：1+商访7港W1+三江G=1+雪耳吾W1+21耍三==2,

取等号条件是：裳^=即x+3y=2,结合x=3y,

可得取到最大值的条件是：％=l,y=

故答案为：2.

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024•山西运城•二模）若a,b,c均为正实数，则。黑;工z的最大值为（）

A

-1B.；C.yD.§

【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【解答过程】因为a,6均为正实数，

ab+bca+c。+。a+c

则a2+2b2+c2=哼^+2b-2^^x2b=2疯石两

_工la2+2ac+c2_工卜+ac-<工11ac_工

2J2（a2+c2）2y12a2+c2-2J22Va2xc22，

当且仅当"=2b,且。=的即a=b=c时取等号，

则淳:黑，的最大值为今

故选：A.

z41

【变式6-1］（2024•河北衡水•模拟预测）已知实数％y,z>0,满足%y+1=2,则当］+W取得最小值时，y+z

的值为（）

3

A.1B.-C.2D.|

【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.

【解答过程】因为实数x,y,z>0,满足xy+（=2,

所以xy+(=2>2=2yfyz^yz<1,当且仅当2=、%2时，yz=l,

所以+陵=2区221=4,当且仅当且yz=l时，等号成立;

yz7yz7yzyiyz

所以当yz=l且4时1，亍4+$1取得最小值4,

（V=2

此时解得［z=工n5y+z=5，

故选：D.

【变式6-2］（23-24高三下•浙江•开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且工+号c2+d2=2,则a+刍

abca

的最小值为（）

A.3B.2V2

C3+鱼D3+2«

【解题思路】由题意，根据基本不等式先求解221,从而将a+2的最小值转化为a+6的最小值，再利用

乘“1”法求解不等式最小值.

【解答过程】因为5+（=°2+唐=2,所以cdW亨=1,即《21,当且仅当c=d=l时取等号，所以

a+2的最小值为a+b的最小值，所以Ra+b）Q+1）=|（3+^+y）>1（3+2够^）=三箸，当且仅当

（1+1=2

%b2a时取等号，所以a+9的最小值为社|返.

——---CCLZ

ab

故选：D.

【变式6-3］（2024•全国•模拟预测）已知a为非零实数，b,c均为正实数，则盍黑的最大值为（）

A.三B.yC乎D.f

【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【解答过程】因为a为非零实数，。2>0,b,c均为正实数，

mia2b+a2c"c―,b+c

222

34a4+/+C2=4a+^-^~—2J4a2乂=4y/b+c

b2+2bc+c2

当且仅当4a2=皆且b=c，即五a2=b=c时取等号,

则宗羽的最大值为率

故选：B.

【题型7实际应用中的最值问题】

【例7】（23-24高一上•陕西西安・期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄

金100g,售货员先将50g祛码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g祛码放在天平右

盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD,与左右臂的长度有关

【解题思路】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质

量的取值范围，进而得到选项.

【解答过程】设天平左、右两边的臂长分别为尤，y,

设售货员第一次称得黄金的质量为。克，第二次称得黄金的质量为b克，

则顾客购得的黄金为。+6=半+也22/四x也=100（克），

yx7yx

（当且仅当x=）/时等号成立），

由题意知，X^y,贝!|a+6>100克.

故选：C.

【变式7-1］（24-25高三上•江苏无锡•期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解

到下列信息：每月土地占地费打（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费

及（单位：元）与久成正比；若在距离车站6km处建仓库，则=4%.要使这家公司的两项费用之和最小，

则应该把仓库建在距离车站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【解题思路】设yi=§丫2=fc2x,（fci>o,fc2>0）,结合题意求出任=9k2,从而求出两项费用之和的表达式，

利用基本不等式，即可求得答案.

【解答过程】由题意设以=媒及=七品（的>0，©>0），仓库到车站的距离久>0,

由于在距离车站6km处建仓库,则y2=4yi，即6七=*,二七=9七，

两项费用之和为、=月+丫2=^+k2x>2J等.七%=6卜2,

当且仅当亭=七居即乂=3时等号成立，

即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.

故选：B.

【变式7-2］（24-25高一上•四川泸州•期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形

花室.

（1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；

（2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值.

【解题思路】（1）由题意得面积表达式结合表达式性质以及二次函数性质即可得解；

（2）由基本不等式即可得解.

【解答过程】（1）设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为a米，与墙体平行的围墙的边长为6米.

因为栅栏的总长为120米，所以3a+2bW120,

其中0<a<40,0<b<60,则aW臂2b

每间花室的面积S=abS空展竺.

因为（i20；b）b=_|（z?2_60Zj）=一|（匕-30）2+600<600,

当且仅当a=20,6=30时，等号成立，

所以每间花室面积的最大值为600平方米.

⑵因为每间花室的面积为150平方米，所以必=15。，则》=詈

栅栏的总长/=3a+26=3a+雪22Isa■—=60,

当且仅当a=10,b=15时，等号成立,

故栅栏总长的最小值为60米.

【变式7-3］（24-25高一上•陕西咸阳•期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100

平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如

下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以

及其他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为“（6WXW12）米，原有墙体足够长.

（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为32°,1+切（。＞0）元,若无论左面墙的

长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围.

【解题思路】（1）设甲工程队的总报价为y元，根据题意可得出y关于久的函数关系式，利用基本不等式可

求出y的最小值，利用等号成立的条件求出工的值，即可得出结论；

（2）根据题意可得出320G+弓）+6400＞随炉，可知，a＜个用对任意的x6［6,12］恒成立，利用基

本不等式求出空詈0e［6,12］）的最小值，即可得出实数a的取值范围.

【解答过程】（1）解：设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为%（6WxW12）米，

则长方体前面新建墙体的长度为当米，

所以y=160x2xx1+320x哼x1+6400,

即y=320（%+手）+6400＞320x2+6400=12800,

当且仅当％=产时，即工=10时，等号成立.

故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元.

（2）解：由题意可知，320（x+产）+6400＞幽产，

即（久+手）+20＞吆箸对任意的xe［6,12开亘成立，

所以把竺”＞出之，可得&＜丝用，即&＜［鱼±叫.

xx久+1L%4-1」min

剑拌=尤+1+?+1822/（x+1）.—+18=36,

元+1X+19）X+1

当且仅当x+l=法时，即尤=8时，咛乎取最小值36,

则0＜a＜36,即a的取值范围是（0,36）.

【题型8与其他知识交汇的最值问题】

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【例8】（23-24高三上•山西运城•阶段练习）在△4BC中，己知•AC=9,6=c•cosA,△ABC的面积

Tr'A「R-J-|

为6,若P为线段4B上的点（点P不与点4点B重合），且CP=K•嵩+y•盲，贝哈+赤的最小值为（）

391

A.9B.-C.—D.-

442

【解题思路】先根据题意得bccos/=9,bcsinA=12,进而得tan/二三sinA=cosA=be=15,

b=|c,进而得c=5/=3,a=4,故CP=9,C4+*•CB,再根据P为线段48上的点得方+?=1,最后结

53454

合基本不等式求解即可得答案.

—>—>

【解答过程】解：因为所以bccos4=9,

因为△ABC的面积为6,所以besinZ=12,

所以tan/=*

4Q

所以sin4=m，cosv4=be=15,

由于b=c•cosi4,

所以b=铲，

所以c=5,b=3,

o

所以由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=25+9—2x5x3x-=16,即a=4.

—>CA41Ty-

所以CP=X喻+y,南=

因为P为线段SB上的点（点P不与点4点B重合），

所以■f+*=l,根据题意得x>0,y>0

所羽+曙4

3y+2,

京+

A+3y+2._A_>2座2一~+

12+12x+3(3y+2)三气工荻词+12一3十12一4,

当且仅当嗤=五扁，即3y+2=2%时等号成立,

39

4--

7-

6-14

故选：C.

【变式8-1］（2020•全国•高考真题）设。为坐标原点，直线x=a与双曲线喏一翁=1（£1>08>0）的两条渐

近线分别交于2E两点，若△ODE的面积为8,贝UC的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【解题思路】因为C^T=l（a〉0力>0），可得双曲线的渐近线方程是y=±±与直线久=。联立方程求

得D,E两点坐标，即可求得|ED|,根据△ODE的面积为8,可得时值，根据2c=27^不京，结合均值不等

式，即可求得答案.

【解答过程】•：C:^-^=l（a>0,b>0）

a，b乙、'

•••双曲线的渐近线方程是y=±宗

直线x=a与双曲线唁—'=l（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于。，E两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限

联立｛y=2x，解得｛:1胃

Ja,

故D（a,b）

联立｛y=_2久，解得｛J二S

故E（a「b）

・•.\ED\=2b

•••△OOE面积为：=万。x2b=ab=8

•••双曲线唔一£=1（。>0力>0）

其焦距为2c-2Va2+b2>272ab=2V16=8

当且仅当a=b=2立取等号

C的焦距的最小值：8

故选：B.

【变式8-2］（23-24高三•全国•阶段练习）在44BC中，a,b,c分别为内角4B,C的对边，且

（acosC+ccos7l）tan71=yj3b.

（1）求角a的大小；

（2）若a=V^,求be的最大值.

【解题思路】（1）利用正弦定理边化角，再由两角和的正弦公式即可求出tanA,结合角4的取值范围即可

求解；

(2)由(1)知，结合余弦定理得到关于b,c的方程，利用基本不等式即可求解.

【解答过程】(1)因为(acosC+ccos/)tan/=%瓦

利用正弦定理可得，(siru4cosc+sinCcos?l)tani4=V3sinB,

即sin(/+C)tan4=相sinB,因为A+C=n一B,

所以sin(7T—B)tan4=V^sinB,即sinBtanA=V3sinB,

因为OVBVTT,所以sinBHO,tanZ=g,

因为OV4<TT,所以/=*

(2)由(1)及余弦定理可得，

a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+c2-2hccosp

所以3=/+c2—bc>2bc-bc=be,当且仅当b=c时等号成立，

所以尻的最大值为3.

【变式8-3](23-24高二下•辽宁•阶段练习)平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究

和证明中占有重要的位置,基本不等式等>强(a>0,b>0)就是最简单的平均值不等式.一般地,假设的,。2

，…,与为〃个非负实数，它们的算术平均值记为4;*(注：2：*=的+国+…+

1

1/n\nn

M)12••…••…a),

，几何平均值记为金=(。。ctn)n=In七亦(注：nat=ararn算术平均值与几何平

\i=l/1=1

均值之间有如下的关系：州+即7+即2,.••…薪,即力nNG”当且仅当的=&2="=厮时等号成立，上

述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式.

(1)已知久>y>0,求X+五M的最小值；

(2)已知正项数列｛斯｝，前n项和为sn.

nn

(i)当S'=1时，求证：n(l-a?)>(n2-l)nna?；

i=li=l

nin.

(ii)求证：n(1+ttj)>/色

i=1=i=0"

【解题思路】(1)凑配成三个数的均值不等式；

(2)(i)对1+见=即+做—+%=由+做+…+。九—%应用均值不等式后相乘可证；(ii)

首先应用均值不等式，然后由二项式定理展开，再结合不等式m=(nT)!(>-i+l)……可证.

【解答过程】(1)(第一y)+y+y(jy)N3晒=6,

O

当且仅当=y=y(_y)，即X=4,y=2时等号成立，

o

则x+W齐的最小值为6.

(2)(i)证明：因为的+敢—+册=1,

1

所以由均值不等式可得1+a=的+做+…+Q九+四之(n+1)(。逆2•…，anat)^,

1—七=+。2+…+^n~ai(几—....患)"：取i=1,2,…，九,再将之分别累积后得「J(1—af)>

(n2-1)"]-["a?.

(ii)证明：因为GnW4n，

；

所以(1+的)(1+。2)♦・…(l+an)W空++...+a)=(i+?‘

=1+%x?+C哈丫+•••+或少+…+C哙广

因为n！=(n—i)l(n—i+1).......n<(n—i)W,

所以或到=备•汨w率

从而证明成立.

►课后提升练(19题

一、单选题

11

1.(2024•河北•模拟预测)已知1>1,y>0,且二五+1=1,则4%+y的最小值为()

A.13B.%二C.14D.9+V65

【解题思路】由4%+y=4(%—1)+y+4=[4(%—1)+y]Q*++4,利用基本不等式即可求.

【解答过程】.e.x-1>0,又y>0,且三+[=L

/11\y4(%—1)

・・.4%+y=4(%—1)+y+4=[4(x-1)+y](有+/+4=9++---

>9+2区区互=13,

7X-1y

(-+-=1f_5

当且仅当解得“二守时等号成立，故4%+y的最小值为13.

(x^l-_y_iy-

故选：A.

2.（2024・四川绵阳•一模）已知x>0,y>0,且满足久+y=xy-3,贝Uxy的最小值为（）

A.3B.273C.6D.9

【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值.

【解答过程】x+y-xy-3>2y/xy,

（V%y）2-2V%y-3=（V%y-3）（Vxy+1）>0,

Vxy-3>0,xy>9,

当且仅当x=y=3时等号成立，

所以xy的最小值为9.

故选：D.

3.（2024・江苏宿迁•一模）若a>0,6>0,a+2b=3,则|+葡最小值为（）

A.9B.18C.24D.27

【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.

【解答过程】根据题意可得：+9=笳+2匕）（2+。=43+半+丝+12）2呢15+2隹叫=9；

当且仅当詈=耳，即a=l/=1时，等号成立；

此时|+牺最小值为9.

故选：A.

4.（2024・陕西西安•模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数a力满足a+6=1,贝叶+：有最小值4

B.若正实数a力满足a+2b=1,则2。+4622近

C.y=，%2+3+的最小值为经

D.若a>b〉l,则ab+l<a+b

【解题思路】对于A,利用：+：=（£1+》）©+9即可证明3+24,再给出取等的情况即可得到A正确；

对于B,利用2a+22b2272a•22b即可证明2a+#22vL得到B正确；对于C,利用换元法与对勾函数

单调性判断；对于D,验证当a=3,b=2时不等式不成立，得到D错误.

【解答过程】对于A,若正实数a,b满足a+b=l,则｝+5=（a+b）G+/=2+?+£22+2后

=2+2=4,而当a=b='|时，有a+b=l,：+g=4,从而5+（的最小值是4,故A正确；

对于B,若正实数a力满足a+2b=1,贝眨°+4b=2。+22"N2后苹=2后0=2鱼，故B正确；

对于C,设遮,+8）,则丫4+如2㈣，由对勾函数单调性得最小值是遍+专=竽，故

C正确；

对于D,当a=3,b=2时，有但ab+1=3・2+1=7>5=3+2=a+b,故D错误.

故选：D.

5.（2024・四川成都・三模）设a>6>0,若a?+劝2<史岑，则实数％的最大值为（）

a—b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

【解题思路】由不等式可得；IW空三=嗯1=三年，求出右边的最小值，进而可得4的最大值.

〃ab-b2S-1

【解答过程】因为a>6〉0,若。2+助23号，可得aw空三=岩|=:年，

a—b1,2ab—bz—1

ub

设t=?>l,只需要4小于等于右边的最小值即可，

则1+（斤=小

人J«-1t-1

b

令s=t—l>0,可得t=s+l,

所以I+（S+I）2=S+2+222「1+2=2近+2,当且仅当s=?,即s=«时取等号，

ssqss

所以4W2+2VL

即加勺最大值为2+2V2.

故选：A.

6.（2024•贵州遵义•模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪

在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之

中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,