2025年高考数学重难点专项复习：利用基本不等式求最值【八大题型】原卷版

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】

【新高考专用】

基本不等式是每年高考的必考内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通常为选

择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等

内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函数或代

数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣

“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.

►知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的解题策略】

1.基本不等式与最值

已知X,y都是正数，

⑴如果积孙等于定值尸，那么当x=y时，和x+y有最小值2/瓦

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积9有最大值T2.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(l)x、y>o,(2)和(积)为定值，(3)存

在取等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一：mx+—>>0,H>0),当且仅当x=时等号成立；

xVm

(2)模型二：mx-\——--=m(x-a)H——-——Fma>2y/mn+ma(m>0,n>0),当且仅当工一a=J'■时等号成

x-ax-aNm

立；

(3)模型三：——=―1——(a>0,c>0),当且仅当时等号成立；

ax+bx+c办+6+g21cle+bVa

x

/八士音并linn，、mx(n-mx)1mx+n-mx.〃止口e止〃

(4)模型四：x(n-mx)=--------<—•(z----------------)2=—(m>0,H>0,0<x<—),当且仅当工=—

mm24mm2m

时

等号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求7+1的最值”的问题，先将V+夕转化为

xyxy

+

(x1)■-再用基本不等式求最值―

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和

为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

►举一反三

【题型1直接法求最值】

【例1】(2024•北京东城一模)已知》>0,贝咏-4+：的最小值为()

A.12B.0C.1D.2V2

【变式1-1］（2024•甘肃定西•一模）/+V+V7的最小值为（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5近

【变式1-2］（2024•全国•模拟预测）已知ab为正数，则与+，）

A.有最小值，为2B.有最小值，为2鱼

C.有最小值，为4D.不一定有最小值

【变式1-3］（2024•全国•模拟预测）（3+5）（1+4/）的最小值为（）

A.9V3B.7+4V2C.8V3D.7+4V3

【题型2配凑法求最值】

【例2】（2024•全国•模拟预测）函数y=乂2+或式%2>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

4

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）已知力>0,则a+2b+嬴引的最小值为（）

A.6B.5C.4D.3

【变式2-2］（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）设％>2,则函数y=4%-l+白，的最小值为

（）

A.7B.8C.14D.15

P

【变式2-3］（2024•山西忻州•模拟预测）已知a>2,贝。2a+1的最小值是（）

a一乙

A.6B.8C.10D.12

【题型3常数代换法求最值】

【例3】（2024•河北•模拟预测）已知非负实数满足x+y=l,则今+击的最小值为（）

口R3+2逅

A3+2C.2D.1

243

Q1

【变式3-1］（2024・云南大理•模拟预测）已知a20,b>05.2a+b=1,则募I+嬴^的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

【变式32］（2024•江苏扬州•模拟预测）已知%>0,y>0,且2x+y=l,则签的最小值为（）

A.4B.4V2C.6D.2V2+3

【变式3-3］（2024•四川成都・模拟预测）若a力是正实数，且熹+高?=1,贝b+b的最小值为（）

DUTO

42

A.-B.-C.1D.2

【题型4消元法求最值】

2

【例4】（2024•全国•模拟预测）已知x,y,z€（0,+8）,且满足久-2y+3z=0.则*的最小值为（）

A.12B.6C.9D.3

【变式4-1］（2024•北京•模拟预测）设正实数小y、z满足4/一3孙+产一=0,则苫的最大值为（）

A.0B.2C.1D.3

【变式4-2］（2024・浙江绍兴•三模）若*,y,z>0,5.x2+xy+2xz+2yz=4,则2x+y+2z的最小值是

【变式4-3］（2024•四川德阳•模拟预测）已知正实数久,y,z满足/+xy+yz+xz+x+z=6,则3x+2y+z

的最小值是.

【题型5齐次化求最值】

【例5】（2024•江西新余•二模）已知x,y为正实数，且x+y=2,则匕誓的最小值为（）

A.12B.3+2V2C.yD.

【变式5-1］（23-24高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）已知正数满足x+2y=l,则赞的最小值为（）

A.壶B.2V2C.eD,2V2+1

【变式5-2］（23-24高一上•江苏常州•阶段练习）已知孙=1,且0<y<9,则£券最大值为.

【变式5-3］（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知实数x>0,y>0,则空器萨的最大值为.

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（2024•山西运城•二模）若a,b,c均为正实数，则建黑的最大值为（）

A-IB-?C.乎D.亨

z41

【变式6-1］（2024•河北衡水•模拟预测）已知实数％y,z>0,满足%y+1=2,则当］+5取得最小值时，y+z

的值为（）

35

A.1B.-C.2D.-

【变式6-2］（23-24高三下•浙江•开学考试）已知a、b、。、d均为正实数，且十+^=〃+序=2,则。+白

的最小值为（）

A.3B.2V2

「3+V^3+2^2^

•2,-2-

【变式6-3］（2024•全国•模拟预测）已知a为非零实数，b,c均为正实数，则4震U的最大值为（）

A-1B.9C.yD.中

【题型7实际应用中的最值问题】

【例7】（23-24高一上•陕西西安・期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄

金100g,售货员先将50g祛码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g祛码放在天平右

盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.与左右臂的长度有关

【变式7-1］（24-25高三上•江苏无锡•期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解

到下列信息：每月土地占地费力（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费

72（单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则丫2=4月.要使这家公司的两项费用之和最小，

则应该把仓库建在距离车站（）

A.2kmB.3kmC.4kmD.5km

【变式7-2］（24-25高一上•四川泸州•期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形

花室.

（1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；

（2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值.

【变式7-3］（24-25高一上•陕西咸阳•期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100

平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如

下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以

及其他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为。63久412）米，原有墙体足够长.

（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为＞0）元,若无论左面墙的

长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围.

【题型8与其他知识交汇的最值问题】

【例8】（23-24高三上•山西运城•阶段练习）在△4BC中，己知薪•£7=9,6=c•cosA,△ABC的面积

为6,若P为线段4B上的点（点P不与点4点B重合），且^="扃+、.商，则打金的最小值为（）

391

A-9B.］C.-D.-

【变式8-1］（2020•全国•高考真题）设。为坐标原点，直线x=a与双曲线。*^=1（£1＞0力＞0）的两条渐

近线分别交于2E两点，若△ODE的面积为8,贝UC的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

【变式8-2］（23-24高三•全国•阶段练习）在44BC中，a,b,c分别为内角4B,C的对边，且

（acosC+ccos/）tanA=y［3b.

（1）求角/的大小；

（2）若。=遮，求力c的最大值.

【变式8-3］（23-24高二下•辽宁•阶段练习）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究

和证明中占有重要的位置，基本不等式等2而（a>0,6>0）就是最简单的平均值不等式.一般地，假设

,…&为n个非负实数，它们的算术平均值记为力n=…;…+即=:（注：W：*=臼+的+-+

工

1In\nn

）几何平均值记为缶逆2（七）亦（注：

an,G“=••…anK=nnat=axaxan）,算术平均值与几何平

\t=1/i=1

均值之间有如下的关系：标”F，即当且仅当的=口2="=即时等号成立，上

述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式.

（1）已知x>y>0,求x+1片的最小值；

（2）已知正项数列｛斯｝，前n项和为Sn.

nn

（i）当Sa=1时，求证：n（1—才）>（n2-l）nna?；

i=li=l

nfin.

（ii）求证：n（1+af）>/名.

i=1〃

►课后提升练（19题

一、单选题

11

1.（2024•河北•模拟预测）已知久>1,y>0,且0+1=1,则4%+y的最小值为（）

A.13B.-.二C.14D.9+V65

2.（2024•四川绵阳•一模）已知1>0,y>0,且满足％+y=%y-3,则%y的最小值为（）

A.3B.2V3C.6D.9

3.（2024•江苏宿迁•一模）若a>0,6>0,a+2b=3,贝吟+葡最小值为（）

A.9B.18C.24D.27

4.（2024•陕西西安•模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数a,b满足a+6=l,贝叶+精最小值4

B.若正实数a力满足a+26=1,则2。+4b22鱼

C.y=+3+胃直的最小值为经

NXZ+33

D.若贝!|ab+lVa+b

5.（2024•四川成都三模）设a>b>0,若+劝2<号，则实数a的最大值为（）

a—b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

6.（2024•贵州遵义•模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪

在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之

中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b斜边为c（a、b、c均为正数）.则（a+b）2

=4ab+Qb-d）2,（a+6）2=2c2-（b-a）2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇,想用软钢丝制作

此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他

能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）

A.9B.18C.27D.36

7.（2024•福建宁德•模拟预测）若两个正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+*<瓶2一加有解，则实

数力的取值范围是（）

A.{m|-1<m<2}B.{znlm<-1或m>2}

C.{m|-2<m<1}D.{znlm<-2或m>1}

8.（2024•山东淄博•二模）记max{%,y/}表示居y,z中最大的数.已知居y均为正实数，贝！Jmax{|或%2+4y2}

的最小值为（）

A.1B.1C.2D.4

二、多选题

9.（2024•贵州铜仁•模拟预测）下列不等式正确的有（）

A.当0<尤<10时，J久（10-吗的最大值是5

B.已知正实数％y满足％+y=2,贝叶+：<2

C.当久>—1时，x+>1

O

D.函数y=l-2x--（x<0）最小值为1+2V6

10.（2024•广东佛山•一模）已知a,b>0,且ab=a+2b+6,贝!J（）

A.ab的最小值为18B.42+炉的最小值为36

O1O

C.展+g的最小值为§D.a+6的最小值为3+4班

11.（2024・吉林长春•模拟预测）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号

使用，后来英国数学家哈利奥