2025年高考数学重难点专项复习：指、对、幂数比较大小问题【八大题型】原卷版

重难点04指、对、幕数比较大小问题【八大题型】

【新高考专用】

从近几年的高考情况来看，指、对、幕数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题,

往往将暴函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对数的

互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和嘉函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的形式

考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►知识梳理

【知识点1指、对、塞数比较大小的常用方法】

1.单调性法：当两个数都是指数幕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数

值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如优1和利用指数函数了=优的单调性；

②指数相同，底数不同时，如无:和石，利用幕函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如log.X］和log”马，利用指数函数log”X单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者

其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的

判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法:

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规

律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6.放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和嘉函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

【例1】（2024・四川资阳•二模）已知。=4。汽&=304,c=ln2,则（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

i

【变式1-1］（2024•天津河西三模）若a=logne,6=（赤京c=（1）~\则a,b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【变式1-21（2024•宁夏石嘴山•模拟预测）已知a=log56,b=log2V8,c=y/e,则a,b,c大小关系为

（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

」，105

【变式1-3］（2024•全国•模拟预测）已知Q=22b=log215,c=5,则a,hc的大小关系为（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【题型2中间值法比较大小】

i

【例2】(2024•辽宁•模拟预测)设Q=0.55,b=log23,c=log611,则()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

_i

【变式2-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）已知02力=log65,c=log56,贝!!（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【变式2-2]（2024•山东潍坊・二模）已知a=eT,b=Iga,c=e°,贝!J()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【变式2・3】（2024•天津北辰•三模）已知a=0.53」，b=logo,gO.3,c=logij,则a,b,c的大小关系为

)

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【题型3特殊值法比较大小】

【例3】（2024•陕西商洛•模拟预测）设a=logo.50.6,b=O.49-0-3,c=O.6-06,则a,b,c的大小关系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

a_i

【变式3-1]（2024•江西上饶•模拟预测）设6）=2,b=logi1,c=(|)\则有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

_1

【变式3-2]（2024•天津和平•一模）设GT

2,b=logi3—logi9,c=（93,则有（）

22

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【变式3-3]（2024•天津和平•三模）设a=0.42,b=logo.43，c=40-3,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【题型4作差法、作商法比较大小】

【例4】(2024・湖南岳阳•二模)设a=log23,b=log35,c=log58,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【变式4-1]（2024•陕西西安•模拟预测）若a=0.31L5,6=log312,c=log26,d=J—|,则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【变式4-2]（2024•贵州六盘水•模拟预测）若。=竽b=*。=娱则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)若a=2a4,1=30-25,c=logo.70.5,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【题型5构造函数法比较大小】

b

【例5】（23-24高二下•云南玉溪•期中）已知实数a,6,c满足2。+a=2,2+b=V5,c=log163,贝iJ(

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【变式5-1]（2024•全国♦模拟预测）已知。=吗，=ln7xln2,c=H，贝!J()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

1C

【变式5・2】（2024•全国•模拟预测）设a=5%,b=-,c=log45,则q,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【变式5-3]（2024•河南•模拟预测）已知实数a力,c满足次+log2a=0,2023-力=log2023hc=log7V6,则

)

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【题型6数形结合比较大小】

【例6】（2024•河南•模拟预测）已知a=1口兀力=log3",c=V^ln2,则见瓦c的大小关系是（

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【变式6-1]（2024•江西赣州•二模）若log3%=log4y=log5Z<-1,则)

A.3x<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x

【变式6-2]（2024•江西•模拟预测）若aea=blnb（q>0）,则（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.无法确定

c

【变式6-3]（2024•全国•模拟预测）已知a=g），G）=^ogabfa=logic,则实数Q,hc的大小关系为（

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【题型7利用基本不等式比较大小】

【例7】（23-24高一下•湖南长沙•开学考试）已知a=log32,b=log43,c=log54,贝ij（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【变式7・1】（2024•云南•模拟预测）已知a=logi69力=log2516,c=e-2,则（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【变式7・2】（2024•湖南•模拟预测）已知a=log32力=log53,c=log85,则下列结论正确的是（

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

i

4

【变式7-3]（2024•河南郑州•模拟预测）已知a=log35,b=2（|）,c=31og72+log87,贝ij（

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【题型8放缩法比较大小】

【例8】（2024•四川乐山•三模）若a=log32力=log43,c=e-2,贝心力,。的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【变式8-1]（23-24高二上•安徽•阶段练习）已知a=g—d17,b=6T,c=log53—1嘱5,贝|（

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【变式8-2]（2024•全国•模拟预测）已知a=log2mb=ln4,c=0.6-15,则（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

i

4

【变式8-3]（2024•河南郑州•模拟预测）已知a=log35,b=2（1）,c=31og72+log87,则（

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

►课后提升练（19题

一、单选题

1.（2024・福建泉州•一模）若实数Q>b>0,则下列不等式一定不成立的是（）

A.0.30<0.3"B.Iga>IgbC.---：<D.>VF

2.（2024•四川眉山•一模）若a=log39i\b=logo,sO-2,c=40-40,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

3.（2024•宁夏吴忠•一模）已知Q=0.23力=3°?,c=logo.23,则()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

4.（2024・四川宜宾•一模）已知a="|,b=V3,c=g蛇，则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

5.（2024・四川雅安•一模）下列不等式成立的是（）

2

r-3.9

A.(AB.log5<log12C.log3>D.(V2)>3,9

ir247

6.（2024・四川成都・模拟预测）已知a,b为实数，则使得成立的一个必要不充分条件为（）

A1i

a>bB.ln(a+1)>ln(b+1)

C.a3>h3>0D.Va—1>Vb—1

7.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=铲2-2%,记a=/Qog32)/=/Qog53),c=/(log75),则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.（2024•江苏徐州•模拟预测）已知偶函数/（%）在（一8,0］上单调递增，a=/（冗-2）力=/（-log25）,c=f

（】Og2g），则（）

A.b>a>cB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

二、多选题

9.（2024・河南洛阳•模拟预测）下列正确的是（)

A2-OQi>2-O・°oiB.log2V3>log2n—1

-001

C.logics<logicsD.log33.01>e

10.（2024・贵州・模拟预测）已知0<aVbVl,m>1,则()

A.am<bmB.ma>mb

C.logma>\ogmbD.loga/n>loghm

11.（2024・吉林•模拟预测）若b>a>0,则下列不等式成立的是（）

A.a<yfab<-7-<bB.-<