2025年二项式定理试题及答案

二项式定理试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若\((a+b)^n\)展开式的中间项是\(T_{k+1}\)，则\(T_{k+1}\)的系数为（）

A.\(C_n^{\frac{n}{2}}\)

B.\(C_n^{\frac{n-1}{2}}\)

C.\(C_n^{\frac{n+1}{2}}\)

D.\(C_n^{\frac{n-2}{2}}\)

2.若\((2x-3)^n\)展开式中\(x^3\)的系数为12，则\(n\)的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若\((a+b)^n\)展开式的末项系数为80，则\(n\)的最小值为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

4.若\((3x-2y)^n\)展开式中\(x^2y^3\)的系数为720，则\(n\)的值为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

5.若\((2x+y)^n\)展开式中\(x^4y^2\)的系数为90，则\(n\)的值为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若\((a+b)^n\)展开式中\(x^3y^2\)的系数为90，则\(n\)的值为________。

2.若\((x+1)^n\)展开式中\(x^5\)的系数为5，则\(n\)的值为________。

3.若\((a+b)^n\)展开式的末项系数为80，则\(n\)的最小值为________。

4.若\((2x-3)^n\)展开式中\(x^3\)的系数为12，则\(n\)的值为________。

5.若\((a+b)^n\)展开式中\(x^4y^3\)的系数为720，则\(n\)的值为________。

三、解答题（每题15分，共30分）

1.求\((3x-2)^5\)的展开式中\(x^2\)的系数。

2.若\((2x+y)^n\)展开式中\(x^3y^2\)的系数为120，求\(n\)的值。

四、解答题（每题15分，共30分）

3.若\((x-2y)^n\)展开式中\(x^2y^3\)的系数为80，求\(n\)的值。

4.若\((x+2)^n\)展开式中\(x^4\)的系数为120，求\(n\)的值。

五、应用题（每题20分，共40分）

5.一个长方体的长、宽、高分别为\(2x\)、\(3x\)、\(4x\)，求长方体表面积的\((x-1)^2\)展开式中的\(x^3\)项的系数。

6.若\((x+y)^n\)展开式中\(x^2y^3\)的系数为80，且\(x^3y\)的系数为24，求\(n\)的值。

六、证明题（每题25分，共50分）

7.证明：对于任意正整数\(n\)，\((1+x)^n\)的展开式中\(x^k\)的系数等于\(C_n^k\)。

8.证明：对于任意正整数\(n\)，\((1-x)^n\)的展开式中\(x^k\)的系数等于\((-1)^kC_n^k\)。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共25分）

1.B

解析思路：根据二项式定理，展开式的中间项是\(T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k\)，系数即为\(C_n^k\)，所以答案为B。

2.B

解析思路：\((2x-3)^n\)展开式中\(x^3\)的系数为\(C_n^3\cdot2^3\cdot(-3)^{n-3}\)，令其等于12，解得\(n=3\)。

3.B

解析思路：\((a+b)^n\)展开式的末项系数为\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}\)，即\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}=80\)，由于\(a\)和\(b\)均为正数，\(n\)的最小值为5。

4.B

解析思路：\((3x-2y)^n\)展开式中\(x^3y^2\)的系数为\(C_n^3\cdot3^3\cdot(-2)^{n-3}\cdotC_n^2\cdot(-2)^{n-2}\)，令其等于720，解得\(n=5\)。

5.C

解析思路：\((2x+y)^n\)展开式中\(x^4y^2\)的系数为\(C_n^4\cdot2^4\cdotC_n^2\cdoty^2\)，令其等于90，解得\(n=5\)。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.6

解析思路：\((a+b)^n\)展开式中\(x^3y^2\)的系数为\(C_n^3\cdota^3\cdotb^2\)，由于\(a\)和\(b\)均为正数，\(n\)的值为6。

2.5

解析思路：\((x+1)^n\)展开式中\(x^5\)的系数为\(C_n^5\cdot1^5\cdotC_n^{n-5}\cdot1^{n-5}\)，由于\(1\)的任意次幂均为1，\(n\)的值为5。

3.5

解析思路：\((a+b)^n\)展开式的末项系数为\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}\)，即\(C_n^{n-1}\cdota\cdotb^{n-1}=80\)，由于\(a\)和\(b\)均为正数，\(n\)的最小值为5。

4.3

解析思路：\((2x-3)^n\)展开式中\(x^3\)的系数为\(C_n^3\cdot2^3\cdot(-3)^{n-3}\)，令其等于12，解得\(n=3\)。

5.6

解析思路：\((a+b)^n\)展开式中\(x^4y^3\)的系数为\(C_n^4\cdota^4\cdotb^3\)，由于\(a\)和\(b\)均为正数，\(n\)的值为6。

三、解答题（每题15分，共30分）

1.系数为-40

解析思路：\((3x-2)^5\)展开式中\(x^2\)的系数为\(C_5^2\cdot3^2\cdot(-2)^{5-2}\)，计算得系数为-40。

2.\(n=4\)

解析思路：\((2x+y)^n\)展开式中\(x^3y^2\)的系数为\(C_n^3\cdot2^3\cdotC_n^2\cdoty^2\)，令其等于120，解得\(n=4\)。

四、解答题（每题15分，共30分）

3.\(n=4\)

解析思路：\((x-2y)^n\)展开式中\(x^2y^3\)的系数为\(C_n^2\cdotx^2\cdot(-2y)^{n-2}\)，令其等于80，解得\(n=4\)。

4.\(n=5\)

解析思路：\((x+2)^n\)展开式中\(x^4\)的系数为\(C_n^4\cdotx^4\cdotC_n^{n-4}\cdot2^{n-4}\)，令其等于120，解得\(n=5\)。

五、应用题（每题20分，共40分）

5.系数为-480

解析思路：长方体表面积为\(2(2x\cdot3x+2x\cdot4x+3x\cdot4x)\)，展开\((x-1)^2\)得\(x^2-2x+1\)，所以\(x^3\)项的系数为\(2(2x\cdot4x+3x\cdot4x)\cdot(-1)=-480\)。

6.\(n=6\)

解析思路：\((x+y)^n\)展开式中\(x^2y^3\)的系数为\(C_n^2\cdotx^2\cdotC_n^{n-2}\cdoty^3\)，\(x^3y\)的系数为\(C_n^3\cdotx^3\cdotC_n^{n-3}\cdoty\)，根据题意得到两个方程，解得\(n=6\)。

六、证明题（每题25分，共50分）

7.证明：\((1+x)^n\)展开式为\(C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\ldots+C_n^kx^k+\ldots+C_n^nx^n\)，其中\(C_n^k\)表示组合数，根据组合数的性质，\(C_n^k=C_n^{n-k}\)，所以\(x^k