2025年沪科版七年级数学寒假预习：无理数和实数

第02讲无理数和实数

T模块导航一T素养目标A

模块一思维导图串知识1.无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数

模块二基础知识全梳理（吃透教材）组成的；

模块三核心考点举一反三2.会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数

模块四小试牛刀过关测与数轴上的点一一对应；

3.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的

混合运算（以三步以内为主）；能运用有理数的运

算解决简单的问题,知道有理数的运算律在实数

范围内仍然适用。

纷模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理----------

知识点1无理数

1.无理数

（1）定义无限不循环小数叫做无理数.如无等.

（2）常见的无理数

①所有开方开不尽的方根，如J7.

②化简后含有兀的数，如-4-

③无限不循环小数，如0.120030210.…

（3）无理数的小数部分的表示

无理数是无限不循环小数,因此其小数部分是不可能全部写出来的.我们知道，V2的整数部分是1.因此，41

的小数部分就是行-1.即一个无理数减去整数部分，差就是小数部分，如兀的整数部分是3.小数部分是兀-3.

注意：（1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数.

（2）某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数却并不都是无理数.

知识点2实数

2.实数的定义与分类

（1）定义：有理数和无理数统称为实数.

（2）分类

（1）按定义分类

（整数|

实J有理数（分数有限小数或无限循环小数

I无理数——无限不循环小数

（2）按正负分类

（正有理数

正实数I正无理数

实数《0

（负有理数

负实数〔负无理数

3.实数与数轴的关系

任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应.但是，数轴上的点并不都表示有理数，有理数、

无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴

上的一个点来表示，反过来.数轴上的每一个点都表示一个实数.

4.实数的有关性质

⑴相反数：实数。的相反数是-a.具体地，若。与b互为相反数、则a+6=0;反之，若a+6=0,则。与b互

为相反数、

（2）倒数：实数。的倒数为1,若。与b互为倒数，贝Uab=l；若必=1,则。与b互为倒数.

a

（3）绝对值

①一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0.

②已知实数a/在数轴上的对应点分别为A,B，则有时,网分别表示点Z,点B到原点的距离；卜-耳表示

点A到点B的距离.这正是绝对值的几何意义.

2

（4）平方根：非负数都有平方根.

（5）立方根：任意实数都有一个立方根.

5.实数的运算

（1）实数的运算法则

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数

及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则

和运算性质等同样适用.

（2）实数的运算顺序

实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；同级运算

按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.

（3）实数的近似计算

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限

小数去代替无理数，再进行计算.

6.实数中的非负数及其性质

（1）在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

①任何一个实数。的绝对值是非负数，即时20.

②任何一个实数。的平方是非负数。即

③任何非负数的算术平方根是非负数，即JZ（a20）.

（2）非负数的性质

①在数轴上原点和原点右边的点表示的数是非负数.

②最小的非负数是0,没有最大的非负数.

③非负数大于一切负数.

④若干个非负数的和、积、商（除数不为0）仍是非负数.

⑤如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为零.即若a20）20,c»0且a+b+c=0,则必有

a=b=c=0.

a模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01：无理数

例1.（23-24七年级下•陕西安康•期中）把下列各数填入相应的大括号里.

47120

—I—61,2.2,0,——■,一（一2）,—,—,0.15.

5233

（1）正整数集合：｛...｝;

（2）分数集合：｛__________________________________

（3）无理数集合：｛...｝.

3

【变式1-1］在下列实数中，属于无理数的是（）

八兀c22

A.0B.—C.y/9D.—

27

【变式1-2】下列四个实数中，是无理数的为（）

A.0B.72C.-2D.y

【变式1-3］（2023•宁夏银川•三模）下列实数：①三，②③戈,@0,⑤T.010010001…，其中无理

数有个.

考点02：实数的概念理解

2.判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由.

（1）无理数都是开方开不尽的数.（）

（2）无理数都是无限小数.（）

（3）无限小数都是无理数.（）

（4）无理数包括正无理数、零、负无理数.（）

（5）不带根号的数都是有理数.（）

（6）带根号的数都是无理数.（）

（7）有理数都是有限小数.（

（8）实数包括有限小数和无限小数.（）

【变式2-1］实数3的相反数是（）

A.3B.-3C.±3D.-

3

【变式2-2］（2023•广东梅州•二模）已知实数。=卜2024|,则实数。的倒数为（）

11

A.2024C.-2024D.--------

20242024

【变式2-31下列说法正确的有.

①实数不是有理数就是无理数；②2也是有理数；③不带根号的数都是有理数；④兀是有理数；⑤数轴上任

一点都对应一个有理数；⑥-也的相反数是由.

考点03：实数的分类

［^2］例3.关于实数0.5和5，下列判断中，正确的是（

)

A.都不是分数B.都是分数

C.0.5是分数，且不是分数0.5不是分数，正是分数

D.

33

【变式3-1］（23-24七年级下•贵州安顺・期中）下列说法不正确的是（）

4

A.无限循环小数是有理数B.实数和数轴上的点一一对应

C.有理数和无理数统称为实数D.实数是由正实数和负实数组成

【变式3-2］（23-24七年级下•广东东莞•期中）下列说法中正确的个数是（）

①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限

小数；⑤实数分为正实数，0,负实数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3-3］（23-24七年级下•上海杨浦•期中）下列说法正确的是（）

A.无理数与无理数的和为无理数

B.一个数的算术平方根不比这个数大

C.实数可分为有理数和无理数

D.数轴上的点和有理数一一对应

考点04：实数的性质

例4.遥-2的相反数是,-我的绝对值是

【变式4-1】下列各组数中，互为相反数的一组是（）

A.131和|T31|B.后和_屿C.g和己D.5?和㈠丫

【变式4-2］如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【变式4-3］（23-24七年级下•四川广元•期末）在数-0.1,0,蛇石和4-几中，绝对值等于它本身的共有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点05：实数大小的比较

5.（23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•期末）比较河="+囱与双="7?的大小，其结果是M

N.（填“>”，或"="）

【变式5-1】比较大小：y/5V3（用”或“〈”表示）.

【变式5-2】比较大小：V7+3V87-3.

【变式5-3］（23-24七年级下•广东肇庆•期中）比较大小：V3+13.（填

考点06：无理数大小的估算

A.3到4之间B.4至IJ5之间C.5到6之间D.6到7之间

【变式6-1］（24-25八年级上•重庆・期中）估算6-旧的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

5

【变式6-2］（24-25七年级上•浙江温州•期末）已知机=居-百，则实数比在（）

A.5和6之间B.4和5之间C.3和4之间D.2和3之间

【变式6-3］（24-25八年级上•海南•期中）若加=布+2,则估计的机值所在的范围是（）

A.1<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4<m<5

考点07：实数的混合运算

例7.（23-24七年级下•云南曲靖・期中）计算：（-1广4+冷3-|2-国+/了.

【变式7-1］（24-25七年级上•浙江温州•期中）计算：

⑴网-岳；

(2)(-3)4-^-x-.

八/49

【变式7-2】计算：(―1)--V—8+\/\6—|—5|.

［变式7-3】计算：石_(_2)3+返方_(_1户24

考点08：程序设计与实数运算

8.（23-24七年级上•浙江杭州•期中）如图所示的是一个数值转换器.

（1）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的V值为加时，输入的x值为:

（2）若输入有效的X值后，始终输不出了值，所有满足要求的X的值为.

【变式8-1］按如图所示的程序计算，若开始输入X的值是64,则输出V的值是.

-------------是无理数--------

-------------------->

输.»取立方根是有理数j取算术平方根।是无理数厂输出y

是有理数

【变式8-2］有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是.

_______________________I是无理数I______

输入x—1->开平方一*求绝对值一*取算术平方根-------»输出y

是有理数

【变式8-3］（23-24七年级下•四川南充・期中）下面是一个简单的数值运算程序：

/输Ax/―->I<ZT|——>|-2|—>|~+1-1-----►/输出/

当输入X的值是-125时，输出的结果是

考点09：新定义下的实数运算

6

、产9.我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《X》，即当〃为非负整数时，若+

则《x》=〃.例如《0.67》=1,《2.49》=2,…下列结论中:①《2x》=2《x》；②当加为非负整数时,

《w+2x》="?+《2x》；③满足《x》=1x的非负实数x只有两个.其中结论正确的是.（填序号）

【变式9-1］（24-25七年级上•浙江杭州•期中）设。涉都是有理数，规定〃*6=底-”，糅b=a-bi,则

（一1忤（8*16）=.

【变式9-2］（24-25七年级上•江苏无锡・期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（。,为放入其中时，会

得到一个新的数：a3+2b+l.例如把（3,-2）放入其中，就会得至IJ3,+2x（-2）+1=24.现在将数对（-2,3）放

入其中得到数加，再将数对（叽1）放入其中后，得到的数是.

【变式9-3］（24-25七年级上•江苏无锡•期中）对于两个有理数°、b,我们对运算“软’作出如下定义：

a®b=-ab+1

⑴计算：（-3）07=；

⑵若忖-4|+(6+2『=0,求(a8b)管(-56)的值.

<►>模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24七年级下•辽宁铁岭•期中）在-3.14,兀，一庐,一心，衿，,-0.1324242424......中,

V4327

无理数的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024•山东青岛•中考真题）实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最

小的是（）

ad

114

21-2

-O

A.aB.bC.。D.d

3.（23-24七年级下•山西大同•期中）无理数而的小数部分是（)

A.V26-5B.5C.V26-6D.5-vn

4.（23-24七年级下•湖北恩施・期中）如图所示，数轴上表示2,6的对应点分别为C,8,点C是的

中点，则点A表示的数是（）

]A1C1B1

0

A.V5-2B.4-V5C.2-V5D.V5+2

二、填空题

7

5.（23-24七年级下•湖南永州•期末）比较大小：V10—（填""或

6.（23-24七年级下•广东汕头•期末）已知。是9+炳的小数部分，6是9-VH的小数部分，贝!I”+6的平方

根是—.

7.（23-24七年级下•重庆开州・期末）有一个数值转换器，流程如图：

当输入x的值为81时，输出y的值是.

三、解答题

8.（23-24七年级下•重庆九龙坡•期末）计算下列各题

（1）般—V4_3）2+11-V2

（2）^25—V-27

9.（22-23七年级下•贵州遵义•期中）数轴上点/表示近，点/关于原点的对称点为8,设点8所表示的

数为X,

BA

——1--------------1----------------i------->

0”

（1）求X的值；

⑵求［-夜）2+后的值.

10.（23-24七年级下•福建龙岩•期中）已知1+3。的平方根是±5,2a-6-5的立方根是-2,c是庖的整数

部分，求a+6+c的算术平方根.

8

第02讲无理数和实数

T模块导航一T素养目标A

模块一思维导图串知识1.无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数

模块二基础知识全梳理（吃透教材）组成的；

模块三核心考点举一反三2.会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数

模块四小试牛刀过关测与数轴上的点一一对应；

3.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的

混合运算（以三步以内为主）；能运用有理数的运

算解决简单的问题,知道有理数的运算律在实数

范围内仍然适用。

纷模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理----------

知识点1无理数

1.无理数

（1）定义无限不循环小数叫做无理数.如V2,V3，兀等.

（2）常见的无理数

①所有开方开不尽的方根，如J7.

②化简后含有兀的数，如4

9

③无限不循环小数，如0.120030210.…

（3）无理数的小数部分的表示

无理数是无限不循环小数，因此其小数部分是不可能全部写出来的.我们知道，V2的整数部分是1.因此，V2

的小数部分就是后-L即一个无理数减去整数部分，差就是小数部分，如兀的整数部分是3.小数部分是兀-3.

注意：（1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数.

（2）某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数却并不都是无理数.

知识点2实数

2.实数的定义与分类

（1）定义：有理数和无理数统称为实数.

（2）分类

（1）按定义分类

（整数］

实有理数八”有限小数或无限循环小数

好I分刎

I无理数——无限不循环小数

（2）按正负分类

正有理数

正实数

正无理数

实数＜0

（负有理数

负实数〔负无理数

3.实数与数轴的关系

任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应.但是，数轴上的点并不都表示有理数，有理数、

无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴

上的一个点来表示，反过来.数轴上的每一个点都表示一个实数.

4.实数的有关性质

（1）相反数：实数a的相反数是-a.具体地，若a与6互为相反数、则a+6=0;反之，若a+6=0则a与6互

为相反数、

（2）倒数：实数a的倒数为1,若a与6互为倒数，则ab=l；若ab=l,则a与6互为倒数.

a

（3）绝对值

①一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0.

②已知实数a,6在数轴上的对应点分别为Z,B，则有时,网分别表示点/,点B到原点的距离；卜-4表示

点A到点B的距离.这正是绝对值的几何意义.

10

（4）平方根：非负数都有平方根.

（5）立方根：任意实数都有一个立方根.

5.实数的运算

（1）实数的运算法则

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数

及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则

和运算性质等同样适用.

（2）实数的运算顺序

实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；同级运算

按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.

（3）实数的近似计算

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限

小数去代替无理数，再进行计算.

6.实数中的非负数及其性质

（1）在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即时20.

②任何一个实数a的平方是非负数。即

③任何非负数的算术平方根是非负数，即行（a20）.

（2）非负数的性质

①在数轴上原点和原点右边的点表示的数是非负数.

②最小的非负数是0,没有最大的非负数.

③非负数大于一切负数.

④若干个非负数的和、积、商（除数不为0）仍是非负数.

⑤如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为零唧若。20420,。20且。+5+。=0,则必有

a=b=c=0.

◎模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01：无理数

［例1.（23-24七年级下•陕西安康・期中）把下列各数填入相应的大括号里.

4兀20

一|一6|,2.2,0,--,一（一2）,--,—,0.15.

5233

（1）正整数集合：｛__________________________________

（2）分数集合：｛...｝；

⑶无理数集合：｛__________________________________

11

【答案】（1厂上2）

420

（C2）22,>0.15

⑶4

【解析】（1）解：一卜6|=-6,-（-2）=2,-1=|

则正整数集合：「上2）……｝,

故答案为：-卜2）；

（2）解：分数集合：｛2.2,-4-,三20,015……上

533

420

故答案为：｛2.2,--,—,0.15;

JT

（3）解：无理数集合：｛~……｝,

故答案为：-g.

2

【变式1-1］在下列实数中，属于无理数的是（）

A.0B.-C.也D.—

27

【答案】B

【解析】解：0是整数，学是分数，囱=3是整数，都属于有理数；

三是无理数；

2

故选：B.

【变式1-2】下列四个实数中，是无理数的为（）

A.0B.41C.-2D.1

【答案】B

【解析】解：A、0是有理数，故不符合题意；

B、逝是无理数，故符合题意；

C、-2是有理数，故不符合题意；

D、?是有理数，故不符合题意；

故选：B.

77TT

【变式1-3］（2023•宁夏银川•三模）下列实数：①？②：，③&，@0,⑤-1.010010001…，其中无理

12

数有个.

【答案】3

【解析】解：①_与22是分数，是有理数;

②;是无理数；

③布开方开不尽，是无理数;

④0是整数，是有理数；

⑤-1.010010001…是无限不循环小数，是无理数;

综上，无理数有3个，

故答案为：3.

考点02：实数的概念理解

2.判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由.

(1)无理数都是开方开不尽的数.()

(2)无理数都是无限小数.()

(3)无限小数都是无理数.()

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()

(5)不带根号的数都是有理数.()

(6)带根号的数都是无理数.()

(7)有理数都是有限小数.(

(8)实数包括有限小数和无限小数.()

【答案】(1)错误，理由见解析

(2)正确，理由见解析

(3)错误，理由见解析

(4)错误，理由见解析

(5)错误，理由见解析

(6)错误，理由见解析

(7)错误，理由见解析

(8)正确，理由见解析

【解析】(1)(错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有万，1.020020002…这类的数也是无理数；故答

案为：错误；

(2)(正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确；

(3)(错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故

答案为：错误;

13

（4）（错误）0是有理数；故答案为：错误；

（5）（错误）如万，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误；

（6）（错误）如如，虽然带根号，但a=9,这是有理数；故答案为：错误；

（7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误；

（8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有

限小数和无限小数表示；故答案为：正确.

【变式2-1】实数3的相反数是（）

A.3B.-3C.±3D.-

3

【答案】B

【解析】解：实数3的相反数是-3.故选：B.

【变式2-2］（2023•广东梅州•二模）已知实数。=卜2024|,则实数。的倒数为（）

11

A.2024B.------C.-2024D.---------

20242024

【答案】B

【解析】解：。=卜2024|=2024,2024的倒数为」;7,故选：B.

112024

【变式2-3］下列说法正确的有.

①实数不是有理数就是无理数；②2&是有理数；③不带根号的数都是有理数；④兀是有理数；⑤数轴上任

一点都对应一个有理数；⑥的相反数是6.

【答案】①⑥

【解析】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意;

2也是无理数，故②不符合题意；

不带根号的数都是有理数，描述错误，如兀，故③不符合题意；

兀是无理数；故④不符合题意；

数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意；

-百的相反数是石，故⑥符合题意；

故答案为：①⑥.

考点03：实数的分类

例3.关于实数0.5和。，下列判断中，正确的是

A.都不是分数B.都是分数

C.0.5是分数，虫不是分数D.0.5不是分数，也是分数

33

【答案】C

14

【解析】0.5是分数，是有理数，也是无理数，不是分数，故选：C.

3

【变式3-1］（23-24七年级下•贵州安顺•期中）下列说法不正确的是（）

A.无限循环小数是有理数B.实数和数轴上的点一一对应

C.有理数和无理数统称为实数D.实数是由正实数和负实数组成

【答案】D

【解析】解：A.无限循环小数是有理数，说法正确，故该选项不符合题意；

B.实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故该选项不符合题意；

C.有理数和无理数统称为实数，说法正确，故该选项不符合题意；

D.实数是由正实数、零和负实数组成，原说法错误，故该选项符合题意；

故选：D.

【变式3-2］（23-24七年级下•广东东莞•期中）下列说法中正确的个数是（）

①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限

小数；⑤实数分为正实数，0,负实数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】解：①无限不循环小数是无理数，故此选项错误；

②带根号的数不一定是无理数，故此选项错误；

③数轴上的点表示的数都是实数，正确；

④有理数都是有限小数，错误；

⑤实数分为正实数，0,负实数，正确.

故选：B.

【变式3-3］（23-24七年级下•上海杨浦•期中）下列说法正确的是（）

A.无理数与无理数的和为无理数

B.一个数的算术平方根不比这个数大

C.实数可分为有理数和无理数

D.数轴上的点和有理数一一对应

【答案】C

【解析】解：A.无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，V2+（-V2）=0,0是有理数,

故此选项不符合题意；

B.一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如;的算术平方根是。，故此选项不符合题意；

C.实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意；

D.数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意.

15

故选：c.

考点04：实数的性质

例4.石-2的相反数是,-我的绝对值是

【答案】2-V52

【解析】解：石-2的相反数是-（若-2）=2--我的绝对值是卜五卜卜2|=2

故答案为：2-石；2.

【变式4-1】下列各组数中，互为相反数的一组是（）

A.131和卜131B.V7和—J7C.；和D.5?和（—5）2

【答案】B

【解析】解：A、131和|-131|=131不互为相反数，不符合题意；

B、4和-右互为相反数，符合题意；

C、:和、B=J不互为相反数，不符合题意；

3\93

D、52=25和（一5）2=25不互为相反数，不符合题意；

故选：B.

【变式4-2］如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】B

【解析】解：：（）2=0，［2=］,

...平方等于它本身，那么这样的实数有。和1,共计2个.

故选：B.

【变式4-3］（23-24七年级下•四川广元•期末）在数-0.1,0,次区和4-兀中，绝对值等于它本身的共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】解：|-0.1|=0.1,绝对值不等于它本身

|0|=0,绝对值等于它本身

值？=-4,=绝对值不等于它本身

|4-制=4-兀，绝对值等于它本身

绝对值等于它本身的共有2个;

故选：B.

考点05：实数大小的比较

16

、1例5.（23-24七年级下•黑龙江哈尔滨•期末）比较/=«+囱与N=的大小，其结果是"

N.（填“＞”，或“=”）

【答案】＞

【解析】解：Af=V4+V9=2+3=5，N=A＜区=5,

：.M＞N,

故答案为：＞.

【变式5-11比较大小：下V3（用或“〈”表示）.

【答案】＞

【解析】解：=5,（6『=3,

5＞3,

二石＞5

故答案为：＞.

【变式5-2】比较大小：77+3V87-3.

【答案】＜

【解析】解：：7＜9,

近＜3,

二行+3＜6;

,/87>81,

二炳>9,

而-3>6,

二厢-3>6>近+3,

即近+3〈厢-3,

故答案为：＜.

【变式5-3］（23-24七年级下•广东肇庆•期中）比较大小：V3+13.（填

【答案】＜

【解析】解：：3＜4,

二右＜2,

V3+1＜3.

故答案为：＜.

考点06：无理数大小的估算

例6.估计m+2的值在（）

17

A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间

【答案】C

【解析】解：：9<13<16,

,3〈而<4,

A5<V13+2<6.

故选：C.

【变式6-1］（24-25八年级上•重庆•期中）估算6-的值在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】A

【解析】解：：16<17<25,

4<V17<5,

••—5<-\/3~7<—4，

/.1<6-V17<2,

故选：A.

【变式6-2］（24-25七年级上•浙江温州•期末）已知根=后-班，则实数加在（）

A.5和6之间B.4和5之间C.3和4之间D.2和3之间

【答案】C

【解析】解：机=后-痒36-6=26=在，

V9<12<16,

*,•3<V12<4.

故选：C.

【变式6-3］（24-25八年级上•海南•期中）若〃?=店+2,则估计的加值所在的范围是（）

A.1<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4<m<5

【答案】D

【解析】解：〈后,

A2<V5<3,

4<V5+2<5,即4<〃？<5.

故选D.

考点07：实数的混合运算

（23-24七年级下•云南曲靖•期中）计算:（T广,+年—阎+^.

【答案】V3-1

18

【解析】(-9的+百年-闽+庖7

=l+(-3)-2+V3+3

=-\/3—1

【变式7-1](24-25七年级上•浙江温州•期中)计算:

(1)^8-725;

(2)(-3)4^-X-.

八/49

【答案】(1)-3⑵16

【解析】(1)解：V8-V25

=2-5

=-3.

,494

(2)解：(-3)4--x-

v749

44

=81x-x-

99

=16.

【变式7-2】计算：(一1)2-舛+伍-|-5|.

【答案】2

【解析】解：(-1)21-5|

=1-(-2)+4-5

=1+2+4-5

=2・

【变式7-3】计算：A/9-(-2)3+V=27-(-1)2°24

【答案】7

【解析】解：V9-(-2)3+V-27-(-1)2024

=3-(-8)+(-3)-1

=8-1

=7.

考点08：程序设计与实数运算

8.(23-24七年级上•浙江杭州•期中)如图所示的是一个数值转换器.

19

（1）当输入X值后，经过两次取算术平方根运算，输出的V值为■时，输入的X值为,

（2）若输入有效的x值后，始终输不出了值，所有满足要求的x的值为.

【答案】1000或1

【解析】解：（1）当>=加时，（而）2=10,1（）2=100，则x=100；

故答案为：100；

（2）当x=0,1时，始终输不出》值，

I的算术平方根是0,1,一定是有理数，

所有满足要求的x的值为0或1.

故答案为：0或1.

【变式8-1］按如图所示的程序计算，若开始输入x的值是64,则输出V的值是.

是有理数

【答案】次

【解析】解：由题可得：

64的立方根为4,4的算术平方根为2,2的立方根是蚯；

故答案为啦.

【变式8-2］有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是.

【答案】V2

【解析】解：：土后^=±16,田6|=16,V16=4,4为有理数，

.♦•把4输入，4的平方根是土"=±2，|±2|=2,2的算术平方根为&,g是无理数，

输出的y是及.

故答案为：

【变式8-3］（23-24七年级下•四川南充・期中）下面是一个简单的数值运算程序：

/输心/>|y/x|—>|-2|—>|+1|-►/输出/

当输入x的值是-125时，输出的结果是一

20

3

【答案】-4

2

____0

【解析】解：由题意得，Xi而+2+1=-5+2+1=-巳，

2

3

故答案为：-耳.

考点09：新定义下的实数运算

例9.我们把对非负实数X“四舍五入”到个位的值记为《X》，即当〃为非负整数时，若+

则《x》=〃.例如《0.67》=1,《2.49》=2,…下列结论中：①《2x》=2《x》；②当机为非负整数时，

《切+2x》=加+《2x》；③满足的非负实数%只有两个.其中结论正确的是.（填序号）

【答案】②③

【解析】解：①当％=0.67时，《2x》=《1.34》=l,

而2《x》=2xl=2,

左边。右边，故①不成立；

②注意到机,％都是非负数，令左边=《加+2x》=〃，

贝I」〃一;W冽+2x<〃+；,（〃2加），

（〃一冽）一；W2x<（〃一、1

冽）+/,

《2%》=n—m，

移项得加+《2x》=〃=左边,

即左边=左边，②式成立.

（§）^n--<x<n+—,贝lj《x》=n

22

33

又因为《x》=—x,故〃=-x,

22

3

所以将〃代入式中，

2

办31/31

一X----«X<—XH----,

2222

解得：-1<X<1,

3

又由于G》=—x

2

3

知《%》=2%为整数，

2

3

得/x=0或1（非负整数）,

21

3

所以《x》=；x的非负实数x只有两个.

故③式成立.

故答案为：②③.

【变式9-1](24-25七年级上•浙江杭州•期中)设。,6都是有理数，规定“*8=姬-/，a^b=a2-b2,则

(-1忤(8*16)=.

【答案】-3

【解析】由题意可知，8*16=^8-716=2-4=-2,

㈠)※(-2)=(_仔_(_2)2=]_4=-3,

故答案为：-3.

【变式9-2](24-25七年级上•江苏无锡・期中)数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(。㈤放入其中时，会

得到一个新的数：力+2H1.例如把(3,-2)放入其中,就会得至1133+2x(-2)+1=24.现在将数对(-2,3)放

入其中得到数加，再将数对(见1)放入其中后，得到的数是.

【答案】2

【解析】解：根据题意，得“1=(一2)3+2x3+1=-!,

故(-17+2x1+1=2.

故答案为：2.

【变式9-3](24-25七年级上•江苏无锡•期中)对于两个有理数°、b,我们对运算“◎作出如下定义：

a®b=-ab+1

⑴计算：(-3)07=；

⑵若|。-4|+仅+2)2=0,求(0区6)区(-56)的值.

【答案】(1)22(2)-89

【解析】(1)解：,：a®b=-ab+],

二(-3)区7=-(-3)x7+l=22,

故答案为：22；

(2)解：V|a-4|+(Z)+2)2=0,

:・。=4,b=—2,

：.(a®b)0(-5b)

=[40(-2)]010,

=9010,

=-9x10+1,

22

=-89.

6模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.（23-24七年级下•辽宁铁岭•期中）在一3.14,无，-也，驹，,-0.1324242424……中