2025年高考一轮复习第二次月考卷（一）（新高考专用）

2025年高考一轮复习第二次月考卷01

(满分150分，考试用时120分钟)

测试范围：集合+不等式+函数+三角函数与解三角形+导数+复数

一、选择题

2

1.己知集合/==B={x|y=log3(x-9)},贝|/口(40=()

[x+2J

A.[―2,3]B.(—2,3]C.(—2,4]D.[3,4]

【答案】B

【分析】先解不等式求出两个集合，再求出以8,然后求/nQs即可.

【解析】由Jwo,得rn，解得-2<x44,

所以/=(—2,4],

由:？-9>0,得x<-3或x>3,

所以3y(—叫一3)U(3,+8),所以以8=[-3,3],

所以2门[；3=(-2,3].

故选：B

2.若复数z满足z+2彳=3+i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则求出z,再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解.

【解析】设z=a+6i,(a,6eR),贝”="所，

贝Ua+bi+2(。一历)=3+i,即3a—bi=3+i,所以3a=3,—b=—l,

解得。=1,b=-l,故z=l-i,对应的点(1,-1)在第四象限.

故选：D.

3.设a,3是向量，则",+巩”q=0"是纭=1或的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据向量数量积分析可知(1+不＞(，-3=0等价于同=|可，结合充分、必要条件分析判断.

【解析】因为W+孙,一3=片一庐=0,可得/=片，即同=W，

可知(2+3-,-3=0等价于同=忖，

若2=3或£=_九可得同=W，即(a+B)-(a-B)=o,可知必要性成立；

若6+3伞一3=°，即同=问，无法得出或2=-几

例如方=(i,o),B=(o,i),满足同=问，但£彳1且可知充分性不成立；

综上所述，"(方+孙,-役)=0"是"力3且力工”的必要不充分条件.

故选：B.

则cos(20+g)=()

A.B.c.V|

27~T2

【答案】A

【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果;

1.%2兀1.兀兀1兀1

=—sin0-\=—sinO+—+—=—cos(8+—)=一,

2v3y262J264

cos[e+巴]=，,

I6j2

cos'e+gj=2cos2,十力一1=一心,

故选：A.

5.设a>lfb〉l.若优=〃=3,a+b=26，则一+,最大值为()

xy

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】C

【分析】先利用指、对数的关系,用表示苍九再利用基本不等式求最大值.

【解析】,a>\,6>1,ax=by=3,

1211

V=logfc3=

logs6

a+b|2,，2凤।

--+—=loga+logb=logab<logI=log(—)=1，

xy一3〜3~3一323

当且仅当a=b=G，x=y=2时取等号.

.,一+'的最大值为1.

xy

故选：c.

6.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置,

被称为“定楼神器"，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的

位移y(m)和时间《s)的函数关系为y=sin3+8(0>O,[d<7t),如图2,若该阻尼器在摆动过程中连续三

次到达同一位置的时间分别为％,t2,Z3(O<?1<?2<?3),且4+马=2,质+%=5,则在一个周期内阻尼器离

开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为()

【答案】C

【分析】先根据周期求出。=亍，再解不等式5出[了才+01>0.5,得到f的范围即得解.

【解析】因为4+/2=2,+»3=5,4=7，所以7=3,又？=生，所以。=§,

03

贝Ijy=sin[^7+o],由y〉0.5可得+>0.5,

LL,、r_,712兀571_,,r

以2AJIH—<—，+0<--F2左兀，k£Z,

636

所以3左H------(p<t<---------(p+3k,kG7J,故(3左H-------e]—(3后H-------|=1,

42兀42兀I42兀JI42兀J

所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.

故选：C.

7.已知函数在R上可导，其导函数为/'(x),若/(x)满足：(x-l)[r(x)-/(x)]>0,

/(2-x)=/(x)e2-2\则下列判断正确的是()

A.〃l)>e/(O)B./(2)>e2/(0)

C./(3)>e3/(O)D./(4)<e4f(0)

【答案】C

【分析】根据题意令尸。)=竽，利用导数及题干所给条件求得/(x)的单调性，利用函数的对称性，可

得尸⑴<尸(0)=FQ)<砥3)<尸(4),对其进行比较即可判断各选项.

【解析】令尸(封=迫，贝I4(无)=(x);邛(x)J(X)一/(X),

函数/(x)满足(x-1)[/'(x)-/«]>0,

当x>1时F'(x)>0,F(x)在[1,+⑹上单调递增,

当x<1时尸(x)<0,F(x)在(-<»,1]上单调递减,

又由〃27)=〃刀3。匕」=军。尸(27)=尸(江

ee

即函数尸(％)的图象关于x=1对称，从而尸⑴<F(0)=F(2)<F(3)<尸(4),

二夕，/(l)<er(o),A错误；

对于A,F(l)<F(0),四v

e1e

〃2)=驾1,/(2)=e2/(0),B错误;

对于BF(0)=F(2),

e2e

“3)>夕，/(3)>e3/(O),c正确；

对于C尸(3)>尸(0),

e3e

〃4)>学，f(4)>e4f(0),D错误.

对于D,/(4)>尸(0),

e4

故选：C

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数尸(x)=§,利用导数法研究函数的单调性，结合函数

的对称性即可.

y14x-x2,0<x<2]

8.函数满足：当x>0时，f(x)=-,,,1,y=/(x)+：；是奇函数.记关于X的方程

2卜T+2,X>22

13

/(x)-Ax+g=0(4eR)的根为再也,…,x,，，若£/«)=-《，则上的值可以为()

/=12

11c175

AA.—B.——C.-D.1

18124

【答案】c

【分析】首先判断函数y（x）关于点，，-g1寸称，再画出函数/（x）和了=依-3的图象，结合函数的对称性,

判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.

【解析】若函数y=〃尤）+：是奇函数，则〃r）+；=-/（x）-:，

即+=则函数关于点,，-J对称，所以/（0）=

而尸履-g也关于点（0,-J对称，恒过点10,-j,

方程/（X）-京+；=0根，即为函数了=/（%）与>=依-：交点的横坐标，

因为两个函数都关于点“，对称，所以交点也关于点“m对称，且其中一个交点是“，，

如图画出两个函数的图象，

若根据对称性可知，了轴左侧和右侧各有3个交点，如图，

z=i2

当直线好质-g过点。时，了轴右侧有2个交点，此时左=j1,

当直线了=依-;过点（2,2）时，了轴右侧有3个交点，此时左=；,

所以满足条件的左的取值范围是,选项中满足条件的只有1.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数/（X）的图象，尤其是/（o）=-g,并且会利用数形结

合，分析临界直线，即可求解.

二、多选题

TT_

9.0<«<^<-,tanc和tan夕是方程尤2-〃氏+2=0的两个根，则下列结论正确的是（）

A.tana+tan-mB.tan（a+夕）〉0

C.m>2V2D.m+tan>4

【答案】AD

【分析】由题设tan/7>tana>0,利用根与系数关系及判别式有tana+tan£=加>0,tanatan/7=2,

“7>2亚，再结合和角正切公式、基本不等式判断各项正误.

7T

【解析】由0<。</<5，贝心@口/?>1211。>0,

贝IJtana+tan/?=机>0,tan^tan/?=2>A=m2-8>0,贝U加〉20，

,/门\tana+tan。八,,„

由tan(a+尸卜匚而而T-机<°，A对，B、C错;

।22>2/2tana---

由tan£=-------,贝(J加+tana=2tana+--------=4,

tanatanaVtana

当且仅当tana=1,tan#=2时取等号，故〃7+tana24,D对.

故选：AD

10.已知48，。是同一平面内的四点,且|由卜|砺|=1,|反卜5,O4OC=3,O8-OC=4jeR,贝!]()

A.当点43在直线OC的两侧时,OAOB=0

B.当点48在直线OC的同侧时,

C.当点42在直线OC的两侧时,

D.当点在直线OC的同侧时,10005=7504+706

【答案】ACD

【分析】依据48在直线OC的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断A、

C；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B,结合平面向量基本定理，判断答案D.

【解析】

CC

八八

BB

身4

OO

①②

设NAOC=a,/BOC=0,由力.反=3,网=1,®=5,

Mcosa=|,sina=1

；由赤•云=4,|砺1=1,|发1=5,得cos/?=g,sin/?=|,

当点4,2在直线OC的两侧时，如图①，cosa=si"，

兀

所以a+4=,,即方.砺=0，故A正确；

因为国-屈-词=7(?-3)2+9,

所以当/=3时，国一厉一砺的最小值为3,故C正确;

当点43在直线OC的同侧时，如图②,

24

cos(a—/7)=cosacosjff+sinorsin/?=—,

24

所以。405=石，故B错误;

------►►►►►2

OBOC=WAOC+JuOC

^OB=WA+piOC,贝卜------►，*-------2------------►

OBOA=WA+ROAOC

4=3/1+25//A=-

4

即:24..解得，

―-=A+3zz7

[25"〃二---

100

—►3—»7—►

所以或=彳°"+而℃’即1。。诙=75a+7反’故D正确.

故选：ACD.

pnVV

11.已知/(x)=H+__一左(h2有三个不相等的零点再用用且占<%<X3,则下列命题正确的是

xelnx+x

()

A.存在实数左，使得玉=1

B.x3>e

为定值

【答案】BCD

【分析】化简方程，令且配=/,得产+(1-左)/-%+1=0,构造g(x)=目竺，则g，a)=e•匕学，利用函数

XXX

的单调性，结合函数的图象，要使关于X的方程三个不相等的实数解占户2户3,且再〈无2<W，结合图象可

得关于/的方程〃+(1-左)/-上+1=0一定有两个实根％,t2(?1<0<Z2<l),结合韦达定理，推出所求表达式

的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案.

.elnx1.八

■左刀elnxX7n—r/R----+—；-------左=0

【解析】由万程----+--------k=0,可得xelnx

xemx+x-----h1

x

QInY1

令-----t,贝U有tH------k=0,即/+(1—左)/—左+1=(J,

X/+1

人丁皿/、elnxe，/、1-lnx

令函数g(x)=——，则g(x)=e----,

XX

令g〈x)>0,解得0<x<e,令g'(%)<0,解得x〉e,

所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减,

所以作出图象如图所示，

e

要使关于X的方程型三+———k=0有三个不相等的实数解占,％，W,

xelnx+x

且X]<%<X3,

结合图象可得关于f的方程〃+(1-e-左+1=0一定有两个实根%,明

且440,0<t2<1或4=1,0</2<1,

2

^g(t)=t+(l-k)t-k+l,若440,0<f2<1,

g(0)=-^+l<0

则<g(l)=3_2A:>0,故l<左<g,

A=(-后+1)2—4(-4+1)=42+2左一3>0-

g(0)=-左+1>0

g⑴=3-2左=0

若4=1,0<f2<1,则<'△=(-左+1『一4(-左+1)=左2+2左一3>0，无解，

„\-k

0<-----<I1

I2

综上：,故c正确;

由图结合单调性可知X3>e,故B正确;

若"1)一左=1一左=0,则左=1,又左故A不正确;

(Inx1YIn%,1'、"InX3+11

-----+—+-+-

e八ee

11zx11/7八1〃八11

=/区+/&+幻+/=/(-后+1)+/(%—1)+/=£

故D正确,

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数8(X)=胆，利用导数得出函数g(x)的单调性，结合图

X

象将他——k=0,转化成关于/的函数即可求解.

xeinx+x

三、填空题

12.若函数/(x)=ln(e2*-a)-x(xeR)为偶函数，贝！]。=.

【答案】-1

【分析】根据偶函数的定义得/(T)=/(X),代入化简即得“值.

【解析】因为/(X)为偶函数，所以/(-x)=/(x),即In(e2_a)+x=ln(e2'-a)-x,

即ln(l—ae~')—x=山卜2,—a)-x,BP1-ae2x=e2x—a,所以a=—1,

故答案为：-1

13.已知A28C的三个内角48,C所对的边分别为a,6,c,且62+2°2=3/,则cos/的最小值为.

【答案】叵R垃

33

【分析】由余弦定理可得cosN=：P+三)，利用基本不等式可求最小值.

3c2b

【解析】由题意可得力=匕生，

3

22仅2+2/

由余弦定理可得b2+c2-tz213J12b2+c11bc、,

cosA=---------=-----------------=---------=—(一+—)

2bc2bc32bc3c2b

因为Q>0,6〉0,C>0,所以cos/〉0,所以

所以根据基本不等式COM=；(2+§]23=申,

31c2b)3Nc2b3

当且仅当2=J即!」时等号成立.

2

C2bc2

故答案为：交.

3

14.已知函数〃X)=四，+1一机苫(机eR)有四个零点a,b,c,d,且且在区间(a,6)和(c,d)上

各存在唯一一个整数，则实数〃?的取值范围为.

«小石、ln2+l八

【答案】-^―,1

【分析】解法一：

根据〃同=幽±1一加x=0可以化为为国+1-mf=0,令〃(x)=l川x|+l-加x?,易得〃(x)为偶函数，所以

只需考虑x>。时〃(x)=lnx+l-加/有两个零点以d,且在区间(c,d)存在唯一的整数，根据因为奴x)=0,

则41=加，令8(力=1£孑1,根据导数得到g(x)单调性，根据在区间(c,d)存在唯一的整数，列出不等

书组即可；

解法二：

由/。)=。得至U业上=机》，令g(x)=幽上，得到g(x)为奇函数，所以只需考虑x>0时g(x)=见出

XXX

与"X)=机X有两个交点(c,g(c)),3g(d))且在区间(c,d)存在唯一的整数，通过求导得到g(x)单调性，根

据直线〃(无)=mx过特殊点时m的值即可得到m范围.

【解析】(解法一)

“、ln|x|+l.1I

/(%)=——----加x=00ln|x|+1-mx10=0,

令/z(x)=ln|H+1-加―，则=/z(x).

(X)为偶函数,

••・只需考虑x>0时〃(x)=lnx+l-加/有两个零点c,d,且在区间(c,d)存在唯一的整数.

x>0时/!(x)=0oln\+1=m,

人lnx+1e，/、21nx+1

令g(x)=1^,则g[x)=—-京一，

当0,e2时，gz(x)>0.

・・・8(工)在1£0,e2单调递增,

7

,

当xee2,+8时，g(x)<0,

\7

.•・g(x)在xee2,+oo]单调递减,

••・在区间(Gd)存在唯一的整数,

；.g⑵M加<g(),即一-—<m<\,

■■m的取值范围为总■：+1,11.

(解法二)

八/、ln|x|+l

/(x)=00———=mx,

令g(x)=)区+1,则g(-X)=-g(x),.-.g(x)为奇函数,

v/z(x)=mx也是奇函数，

••・只需考虑x>0时g(x)=虫皆*■与力(x)=如有两个交点k，g(c)),(d,g(d))且在区间(c,d)存在唯一的整数.

当xe(O,l)时，g<x)>0,；.g(x)无e(O,l)在单调递增,

当xe(l,+co)时，g'(x)<0,j.ga)在xe(l,+oo)单调递减,

当直线力(X)=7MX过点(1,1)时机=1,当直线力(X)=7MX过点12,筲“卜寸加=笥生，与/z(x)有两个

交点，且在区间(Gd)存在唯一的整数,

ln2+l,

-----<m<1,

4

ln2+l]

・•,m的取值范围为

45T

ln2+l)

故答案为:

4

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

四、解答题

15.在443c中，内角B,C的对边分别为a,b,c,且。8。的面积S=；(/+c?—6,sin8.

⑴求角8;

(2)若/NBC的平分线交/C于点D,a=3,c=4,求AD的长.

【答案】(1)B=W

(2)3。=型1.

7

【分析】(1)由三角形面积公式可得/+02-62=碇，即可由余弦定理求解,

(2)利用等面积法即可求解.

【解析】(1)在“8C中，S=-acsmB=^(cr+c2-Z>2)sin5,而0<8<兀，

即sin8>0,a2+c2-b2=ac,

由余弦定理得cos8="2+L—”=」,所以B=g.

2ac23

(2)在A/8C中，由等面积法得邑/品=S&BAD+S&BCD，

11D1D

即一BC,B4・sinB=——+—BCBOsin—,

22222

BP—x3x4x=—x4xBDx—+—x3xBDx—

222222

所以如苧

16.已知函数/(x)=(x+l)lnx—办+2.

⑴当a=1时，求/'(x)的图象在(1J0))处的切线方程;

⑵若函数/'(X)在(1,+8)上单调递增，求实数。的取值范围.

【答案】(1)昨X

(2)a<2.

【分析】(1)求出/'0)=1,切点为(U),直接写出切线方程；

(2)转化为/'(x"0对于xe(l,+e)恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a=l时，/(x)=(x+l)lnx-x+2,(x>0),

/〈x)=lnx+g,=/⑴=1,

所以的图象在X=1处的切线方程为：y=x.

(2)=---F1-Clf

若函数“X)在(1,+。)上单调递增,则/'(x"0对于xe(1,+8)恒成立,

即041!«+1+1对于工€(1,+8)恒成立，

令g(X)=颐+工+1,(X>1),

当x>l时，g'(x)=^^〉O,

则函数g(x)在(1,+8)上单调递增，所以g(x)〉g⑴=2,

故Q«2.

17.已知向量比=105(妙+］］心05妙］,n=卜山(妙—3，COSGX)(。>0),=成•万—；，y=/(x)图

象上相邻的最高点与最低点之间的距离

⑴求。的值及“X)在0,-上的单调递增区间；

(2)设。8c的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且6+。=2,4=三，求〃。)的值域.

【答案】(1)。=、兀，单调递增区间为0,-1

【分析】(1)根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简函数，设函数的最小正周期为T,则

V2=J-+1,即可求出从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得;

(2)由余弦定理得到/=4一3A，再由基本不等式求出6c的范围，即可得到。的范围，最后根据正弦函数

的性质计算可得.

7171+cosW-l

【解析】(1)依题意可得/(x)=cosG)X~\---•-sinCDX——

324

兀..兀

coscoxcos——sincoxsin—.cos^+cos2^--

334

Icos.x-^sin.x.cos^+cosW-l

I22)4

x+£m。…+c°s”

224

=——sin28x+—COS2GX

44

1.(ryJ

=—sin2cox+—

2I6

由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为行，设函数的最小正周期为T,

则行H+1'解得52(负值已舍去)，则？=2=弱，解得。=幸

"(x)=)IT

令2版一女<7LX+—<2kji+—{kGZ),

262

71

^2k--<x<2k+-(keZ)f

「2[-

所以的单调递增区间为2k--,2k+-化eZ),

又xe0,1,故在0,y上的单调递增区间为0,1

(2)因为4=1,b+c=2,

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=4-3bc,

又2=6+c22〃^且bc>0,所以0<bcWl,当且仅当b=c=l时取等号,

所以又2=6+c>a,所以1WQ<2,

7兀,7i13KE1,•(兀、I

所以<Tia+—<――,则一1Wsm兀Q+;<彳，

666Voy2

则-;所以的值域为.

18.某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，

空气中释放的浓度丁（单位：毫米/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当04x44时，

>=普-1;当4<x410时，>=5-!x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒

剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能

起到杀灭空气中的病毒的作用.

⑴若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？

（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（lWaW4）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能

够持续有效消毒，试求。的最小值（精确到0.1,参考数据：0取1.4）

【答案】（1）8小时

（2）1.6

【分析】（1）由4>24可求出结果;

（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经x（64x410）小时后，其浓度关于x的函数解析式，再根据基本不

等式求出其最小值，再由最小值不低于4,解不等式可得结果.

【解析】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，

6440<x<4

所以其浓度为〃x）=4y=8-x'一一，

20-2x,4<x<10,

64,

当0WxW4时，-----4>4,解得xNO,止匕时0WxW4,

8-x

当4<xW10时，20—2x24,角犁得x48,止匕时4<xW8,

所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时.

（2）设从第一次喷洒起，经x（6WxV10）小时后,

其浓度g(x)=2(5-gx16yy八16a-16a

+a-1=10-xd-----------a=14-xd------------a—4A,

8-(x-6)14-x14-x

因为14-XE[4,8],«G[1,4],

所以14-x+——a-4>2J(14-xY——。-4=-a-4,

14-xV14-x

当且仅当14-X=¥^,即》=14-4及仪6,10]时，等号成立；

14-x

所以其最小值为8&-0-4,由86-0-424,解得24-160WaW4，

所以a的最小值为24-16巾一1.6.

19.若函数“X)在区间/上有定义，且Vxe/,/(x)eZ,则称/是〃x)的一个“封闭区间

⑴已知函数〃