2025年九年级数学中考复习：圆综合压轴解答题（含答案）

九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题训练(附答案)

1.如图，四边形ABC。内接于O。，AC是直径，AB=BC,连接2。，过点。的直线与CA

的延长线相交于点E,且=

(1)求证：直线DE是。。的切线；

(2)求证：BD平分NADC；

(3)若4。=6,0)=8,求8。的长.

2.如图，在平面直角坐标系中，O尸经过x轴上一点C,与y轴分别相交于A、8两点，连

接AP并延长分别交OP、x轴于点。、点E,连接。C并延长交y轴于点?若点尸的坐

标为(0,1),点。的坐标为(6,-1).

(1)求证：DC=FC；

(2)判断O尸与无轴的位置关系，并说明理由；

(3)求O尸的半径；

(4)若弧BD上有一动点M,连接AM,过B点作BNLAM,垂足为N,连接DN,则

DN的最小值是.

3.如图，在。。中，AB=BC=CD,BD交0C于点、F,E8是。。的切线，交OA的延长线

于点E,EF交0B于点G,连接BC.

(1)求证：AOBEsAOFB.

(2)设NC8£)=x度，/0EB=y度,求x,y之间的数量关系.

(3)若。8=4,且。£平行△BC尸的一边时，求出所有满足条件的EF的长.

(4)若0G=8G,直接写出此时sin/08歹的值.

4.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,8。平分/ABC交AC于点。，。为A8上一点，。。

经过点B、D,且与BC、AB交于点E、F,连接DE.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若sinA=3,AB=10,求。。的半径；

5

(3)求证：BD2=AB'BE.

5.如图，在△ABC中，AC=MBC,以BC为直径的半圆。交边A8于点Z),AC切半圆。

于点C,点G是面上不与点C、。重合的任意一点，连接8G,C£＞交于点E,连接CG

并延长，交A8于点

(2)①若AC=4,且点G是CD的中点，则。E的长为

②当四边形COOG是菱形时，则

6.如图所示，。。是Rt^ABC的外接圆，其中/BAC=90°,过点A作直线A。交CB的

延长线于。，且NB4O=NC.

(1)求证：A。为。。的切线；

(2)①/为08中点，OELAC于E,连接。4、EF交于G点、,探究EG与GF的关系

并说明理由；

②在①的条件下，延长A。交。。于X,连接切，若EF=FH,则NACB=度.

7.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,以AC为直径的O。交A8边于点。，DELAC

于点E,尸为BC的中点，连接AF交。E于点G,连接。尸.

(1)求证：DF=^BC；

2

(2)求证：。歹是。。的切线；

(3)若CF=GF,求sinZBAF的值.

8.在平面直角坐标系xOy中，作。。分别交无轴、y轴于点A、2,点C在第三象限且在圆

上，。是弦48的中点，。。的长为显2.

2

(1)如图1所示，求半径的长度；

(2)如图1所示，若圆心。到弦8c的距离OE=K而，求C点的坐标；

(3)如图2所示，C点坐标同第(2)问，尸是无轴下方的一个动点，使得/BPC：ZBOC

=1：2,四边形OBPC的面积是否存在最大值？若存在请算出面积，并直接写出P点坐

标；若不存在，请说明理由.

（2）在（1）的条件下，若。。的半径为4.①求8。的长；②如图2,在四边形ABCD

中，若CA平分/BCD,求证：BC+CD^AC.

（3）在（1）的条件下，如图3,若AC是。。的直径，请用等式表示线段AB、BC、CD

之间的数量关系（直接写答案）.

10.如图1,。。的弦BC=6,A为8C所对优弧上一动点且sin/BAC=3,△ABC的外角

5

平分线AP交O。于点尸，直线AP与直线BC交于点E.

（1）求证：点P为BAC的中点；

（2）如图2,求。。的半径和PC的长；

（3）若△ABC不是锐角三角形，求必的最大值为

图1图2备用图

11.如图①，RtAABC^,CA=CB,ZACB=90°,经过顶点2,C作O。，分别交边AB,

AC于点。，E,连接。E,DC.

(1)求证：AD=ED.

(2)当AE=4,CE=2时，求。。的半径.

(3)设越■=尤，tanZDCB=y.

EC

①求y关于x的函数表达式；

12.如图，在△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，连接04、OB、OC,延长8。

与AC交于点。，与。。交于点凡延长到点G,使得/BGF=NGBC,连接FG.

(1)求证：FG是。。的切线；

(2)若O。的半径为3.

①当。。=2,求的长度；

②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积.

管用图

13.(1)【操作】如图1,请用尺规作图确定圆的圆心P,保留作图痕迹，不要求写作法；

(2)【探究】如图2,若(1)中的圆P的半径为2,放入平面直角坐标系中，使它与x

轴，y轴分别切于点8和C,点A的坐标为(8,0),过点A的直线与圆尸有唯一公共点

D(与8不重合)时，求点。的坐标；

(3)【拓展】如图3,点M从点A(8,0)出发，以每秒1个单位的速度沿尤轴向点。

运动，同时，点N从原点。出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上运动，设运动时间

为过点M,N,。三点的圆，交第一象限角平分线OG于点E,当f为何

值时，有最小值，求出此时S四边形OMEN,并探索在变化过程中S四边形OMEN的值有变

化吗？为什么？

图1图2图3

14.△ABC内接于。。，弦于点E,A尸，BC于点F交弦CZ)于点G.

(1)如图1,求证：DE=EG；

(2)如图2,连接50、OF,若BD=MFG,求证：R?平分/AFC；

(3)如图3,在(2)的条件下，点”在线段CG上，连接若/CFH=NABD,FH

=4&,CG=10,求线段OG的长.

图1图2图3

15.如图，在。。中，直径A8_LCD于点E,连接CO并延长交4。于点况且CP_LA。，

求/OCF的度数.

(1)请解答本题.

(2)解完本题后，小芳对本题作进一步思考.她认为：如果去掉“CPLAD”这一条件，

而增加条件“/CD4=60°”，则有CTLAD你认为小芳的观点正确吗？如果正确，请

给出证明；如果不正确，请说明理由.

(3)解完本题后，同学小颖也对本题进行了反思.她认为：在图中所有的线段中，若已

知某一条线段的长度，则能求出扇形AOC的面积.请你在“C£>,EB,OF”这三条线段

中，选择其中一条并赋于长度，然后计算扇形AOC的面积.

16.已知A3为圆。的直径，弦。于

(1)如图1,求证：平分/ZME；

(2)如图2,点C为。。上一点，且满足血=食，求NCD4的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点C作于尸，交于G,交A8于K,若

CG-.EF=5：9,CD=2近,AF<CD,求AK的长.

17.我们曾经研究过：如图1,点P在。。外或点P在。。内，直线尸。分别交。。于点A、

B,则线段必是点P到上各点的距离中最短的线段，线段P8是点P到。。上各点

【运用】在Rt^ABC中，/A4c=90°,AB=AC=2,点E是AC的中点.

(1)如图2,若歹是BC边上一动点，将沿跖所在的直线翻折得到△(7'EF,

连接CB,则CB的最小值是

(2)如图3,若取A8的中点。，连接。E,得等腰将△ABC绕点A旋转,

点尸为射线8。，CE的交点，点。是AE的中点.

①BD与CE的位置关系是

②连接尸。，求PQ的最大值和最小值.

【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△相＞£绕点A旋转，而△A8C不动,

记点P为射线BD,CE的交点（如图4）,他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值,

请直接写出PB的最小值

18.折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上

的射影，就是折弦的中点.

①定理认识：如图1所示，AB,是圆。的两条弦（折弦），M是位的中点，MD±

BC,垂足为求证：.

②定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同

的辅助线作法以达到“截长补短”效果.同学1：在8上截取CE=AB同学2：过点M

作AB的垂线交48的延长线于点E同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接

使用）过点M作8C的平行弦交O。于点N.请你参考上述三位同学辅助线作法并用两

种方法完成证明.

③定理应用：如图2,已知等边△ABC内接于O。，AB=3版,。为圆上一点，ZABD

=45°,与点E,则△8OC的周长是.

C

图1

图2

19.问题背景：如图1,在四边形ADBC中，ZACB=ZADB=90°,AD=BD,探究线段

AC、BC、CO之间的数量关系.

小亮同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点。逆时针旋转90°到△AED处.点8、C

分别落在点A、E处(如图2),易证点C、A、E在同一条直线上，并且△<?£>£是等腰直

角三角形，所以从而得出结论：AC+BC=®CD.

简单应用：

(1)在图1中，若AC=2&,BC=4、0贝！］CO=.

(2)如图3,AB是圆。的直径，点C、。在圆。上，弧等于弧8D,若AB=13,

BC=12,求弦CD的长；

拓展延伸：

(3)如图4,ZACB=ZADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的

长(用含机，”的代数式表示).

20.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点尸在图形M上，点。在图形N上，称

线段尸。长度的最小值为图形加，N的“雅近值”，记为N),特别地，若图形

N有公共点，规定d(M,N)=0.

(1)如图1,OO的半径为2,

①点A(1,0),B(3,4),则d(A,OO)=，d(B,QO)=.

②已知直线/：>=士叶4与O。，求直线/与O。的雅近值d3,QO).

3

(2)如图2,C为x轴正半轴上的一点，OC的半径为1,直线y=如+b(a^0)与无轴

交于点与y轴交于点E.

①若a=-返，》=包巨，线段。E与OC的“雅近值”d(OE,QO)<』，请直接

332

写出圆心C的横坐标m的取值范围；

②若6=2衣，圆心C的横坐标机=加，直线DE与OC的“雅近值”d(DE,OC)

=0,求〃的取值范围.

参考答案

1.(1)证明：连接0。

OC=ODf

：.ZOCD=ZODCf

〈AC是。0的直径，

AZADC=90°,

,//EDA=/ACD,

：.ZADO+ZODC=ZEDA+ZADO=90°,

ZED0=ZEDA+ZADO=90°,

：.0D±DE,

*/0。是半径，

・・・直线是。。的切线；

(2)证明：・・,AC是。。的直径，

ZABC=90°,

'：AB=BC,

・・・AABC是等腰直角三角形，

：.ZBAC=ZBCA=45°,

ZADB=ZBCA=45°,ZCDB=ZBAC=45°,

NADB=NCDB,

・・・5。平分NADC；

(3)过点8作BHLBO交。。延长线于点"，

E.

D

B\7~~

■***".

'、、*

、、、•

H

：.ZDBH=90°,

〈AC是OO的直径，

ZABC=90°,

VZABD=90°-ZDBC,/CBH=90°-/DBC,

：.NABD=/CBH,

・・•四边形ABCD内接于OO,

.\ZBAD+ZBCZ)=180°,

VZBCD+ZBCH=180°,

:・/BAD=/BCH,

9：AB=CB,

：.AABD^ACBH(ASA),

：.AD=CH,BD=BH,

9

：AD=6fCD=8,

:・CH=6,

：.DH=CD+CH=14,

在RtZXBQH中，BD1=DH1-BH1,BD=BH,

.•.2B£>2=196,

：.BD=7yf2-

2.(1)证明：如图，过点。作轴于点H,则NCHZ)=NCO尸=90°.

•・•点厂的坐标为(0,1),点。的坐标为(6,-1),

：.DH=OF,

在△尸OC与中，

2FCO=NDCH

<ZF0C=ZDHC=90o,

OF=HD

:.△F0C94DHC(AAS),

：.DC=FC；

(2)解：。尸与x轴相切.理由如下:

如图，连接CP.

\'AP^PD,DC=CF,

：.CP//AF,

：.ZPCE^ZA0C^9Q°,即PC_Lx轴.

又PC是半径，

・•.G)P与X轴相切；

(3)由(2)可知，CP是△。刚的中位线,

：.AF=2CP.

\'AD=2CP,

：.AD=AF.

连接BD

是。尸的直径,

/.ZABD=90°,

：.BD=OH=6,OB=DH=FO=\.

设A。的长为x,则在直角△A3。中，由勾股定理，得

X2=62+(x-2)2,

解得尤=10.

：.AD=10,

二。尸的半径为5.

(4)如图2中，取AB的中点K,连接NK,DK.

由题意：P(3,-5),A(0,-9),B(0,-1),AB=8,

'：BN±AM,

：.ZANB=9Q°,

;AK=BK,

:.KN=LAB=4,

2

,:K(0,-5),D(6,-1),

DK—{42+62=2、13，

,:DN，DK-KN,

2Vl§-4,

...£W的最小值是2万-4.

故答案为：2^13-4-

3.(1)证明：VAB=BC=CD,

:・NBOE=/BOC,OCLBD,

・・・E3是OO的切线，

：.ZOBE=ZOFB=90°,

:•丛OBEs^OFB；

(2)VOCLBD,

：.ZCBD^-ZC=90°,

•：ZCBD=x°,

：.ZC=(90-X)°,

：.ZBOE=ZBOC=2x°,

：・NOEB=(90-2x)°=y°,

・・.2x+y=90；

(3)如图，当O石〃5。时，作即，OC交CO的延长线于点〃,

•：OE〃BC,

：.ZEOB=ZOBC,

;OB=OC,

：.ZOBC=ZC,

VAB=BC=CD,

・•・NAOB=NBOC,

：.ZBOC=ZOBC=ZC,

•••△3OC是等边三角形，

AOB=OC=4,OF=2,

：.ZEOB=60°,

*：ZOBE=90°,

：.ZOEB=30°,

J0^=205=2X4=8,

在RtZkEOH中，ZHOE=60°,

：.OH=4,EH=AM，

在RtAEFH中，EF=7ER2+FH2=V(W3)2+62=2点I，

如图，当O石〃B尸时,

'：ZOFB=9Q°，

；.NBOE=NBOF=NOBF=45°,

：.0F=2®0E=4近,

在RtAOEF中，EF=7QE2K)F2=V(4V2)2+(2V2)2=213，

综上所述，EF的长为2历或2近5；

(4)如图，作EP〃OC交。2的延长线于点P,

OG=GB=GF,

'：EP//OC,

：.ZBOC=ZP=ZEOP,

•/OB±EB,

：.OB=BP,OG_FG_1

PG'ET"3

设0G=G8=GF=l,则EG=3,

:.BE=2M，OE=2禽，

sinZOBF=sinZOEB=丝-=—=返

OE2733

4.(1)证明：如图，连接。£),

A

：./OBD=/ODB,

平分NA3C,

：・NOBD=NDBE,

：.ZODB=ZDBE,

：.OD//BC,

VZC=90°,

：.ZODA=90°,

•・・O。为。。的半径，

・・・AC是OO的切线；

(2)解：在Rt/kABC中，BC=A3sinA=10义=6,

设OO的半径片

•：OD〃BC,

：.AAOD^AABC,

・AO0D

••，二",

ABBC

•・•-10---r二r,

106

解得：r=至，

4

，O。的半径为工；

(3)证明：如图，连接ER

A

•・・5厂是oo的直径，

：.ZBEF=90°=ZC,

J.EF//AC,

:./BFE=/A,

ZBFE=NBDE,

：.ZA=ZBDE,

•・•ZABD=/BDE,

・•・△ABDsdDBE,

•・•—AB—_—BD,

BDBE

：.BD1=AB'BE.

5.(1)证明：为直径，

；.NBDC=90°,

AZCDH=90°,

•:/DBG=NDCG,

:ABDEsACDH,

.BD=DE.

,,CDDH'

(2)①如图，连接O£),OG,

：AC切半圆。于点C,

/.ZACB=90°,

:AC=«BC=4,

tanZABC==、RBC―如，BC-正,

BCBC3

AZABC=60°,

ZCOD=2ZABC=120°,

・・・G是而的中点，

：.ZCOG=ZDOG=60°,

：.ZBOD=60°,ZDBG=30°,

：.ZBCD=30°,

VZBZ)C=90°,

BC-cosZABC^Xcos60°=±Zl.xA=2V1

3323

DE=BDWDBG=^^-Xtan30°=X返=2，

3333

故答案为：—；

3

②如图，连接。G,

•.•四边形CODG是菱形,

：.DG=OD,

；OD=OG,

：.DG=OD=OG,

：.AODG是等边三角形，

：.ZDOG=60°,

AZGBZ)=-lzZ)OG=30o,

2

故答案为：30°.

6.(1)证明：'：OA=OC,

：.ZC=ZOAC,

,：ZBAD=ZC,

：.ZOAC=ZBAD,

VZBAC=90°,

：.ZOAC+ZOAB=90°,

：.ZBAD+ZOAB=90°,

:。4为O。的半径，

为O。的切线；

(2)@EG=FG,

理由：如图，取。4的中点K,连接五K,

是08的中点，K是。4的中点，

：.FK是L0AB的中位线，

：.FK//AB,FK=^AB,

2

0£±AC,

是AC的中点，

：。是BC的中点，

是△CAB的中位线，

：.OE//AB,OE=^AB,

2

C.0E//FK,0E=FK,

：.Z0EG=ZKFG,ZG0E=ZGKF

:.丛GOE”AGKF(ASA),

：.EG=FG；

②如图，延长PK交AC于M,连接AF,

0E±AC,0E//FK,

：.FK.LAC,

VOF=FB,OE//MF//AB,

：.EM=AM,

.♦.FM垂直平分AE,

：.EF=AF,

；EF=FH,

：.AF=FH,

'：AO^OH,

：.FO.LAH,

：.ZAOF=9Q°,

.*.ZC=45°,

故答案为：45.

7.(1)证明：连接CD

：AC是。。的直径,

AZADC=90°,

：.ZCDB=90°,

•.•尸为BC的中点,

：.DF=^BC-,

2

(2)连接O。，OF,

在△OO尸与△OCF中,

rOD=OC

<OF=OF,

DF=CF

:.△ODF"AOCF(SSS),

：.ZODF=ZOCF=90°,

二。尸是OO的切线.

(3)解：过点尸作目WLOE于点M,过点P作FNLBD于点N,

'：DE±AB,

：.ZAED=ZABC=90°,

J.DE//BC,

ZXAEGsAACF,AADG^AABF,

•.•-E-G--A-G-，-D-G---A-G-，

CFAFBFAF

•••E-G---D-G,

CFBF

•:BF=CF,

:・DG=EG,

•：DF=CF=FG,FMLDG,

：.DM=MG,

•：NAEG=/FMG,ZAGE=ZFGM,

：.AAEGsAFMG,

•.•—FG—_—GM——1,

AGEG2

：.AG=2FG,

没CF=DF=FG=x,则AP=3尤，BF=x,

AAC=VAF^-CF^=2&X,

AAB=VAC2+BC2=V(2V2X)2+(2X)2=2V3X，

*.•sinZNFB=sinZCBA,

•••-N-F=-A-C-,

BFAB

.NF2V2x

.工对77

3

NF~X_V6

sinNBAF=——

AF-3x~9

8.(1)-：OA^OB,NAOB=90°,

042=45°,

：O£＞经过圆心。点，。是AB的中点,

：.OD1AB,

(2)'：OE±BC,

是2C的中点，

；B(0,-5),

设C为(x,y),贝UE为(―,上一^),

22

"?OC=5,

.".x2+y2=25,

•：OE=2娓,

■■母2+甘*)2=20,

(x)2+(厂5)2=80,

.'.x2+y2-10y+25=80,

.1.25-10y+25=80,

解得y=-3,x=±4,

：C在第三象限，

C(-4,-3)；

(3)ZBPC：ZBOC=lt2,

①如图，P点的轨迹在。。上，此时不构成四边形02PC,不符合题意;

②尸点的轨迹如图所示在OM上（OM与0。是等圆），

.四边形OBPC面积最大，则延长与。M相交，交点即为P,。尸与交于点N,

：.OP垂直平分BC,

VC(-4,-3),B(0,-5),

.•.BC=3+22=2心

ON=VOB2-BN2=2事＞，

：.OM=2ON=2X2娓=4娓,

"：OP=OM+PM,

：.OP=4\[5+5,

四边形OBPC面积最大值为Jop-BC=20+5芯，

VC(-4,-3),B(0,-5),N为BC的中点，

：.N(-2,-4),

：.M(-4,-8),

设P(m,n),

.m2+n2=(4V5+5)2

•・《

222

t(m+4)+(n+8)=5

•尸是X轴下方的一个动点,

.fm=-4-V5

ln=-8-2V5，

：.P(-4-V5--8-2遥).

综上所述，四边形OBPC面积最大值为20+5遥，尸（-4-灰，-8-2A/5）.

9.解：（1）由题意得：而NA+NC=180°,

2

ZA=60°.

故答案为：60.

（2）①如图1,连接。O并延长交圆于E点，连接BE,

②证明：如图2：连接3。,

VZBAD=6Q°,

：.ZBCD=\2Q0,

：。4平分/8。，

/.ZACB^ZACD^6Q°,

ZABD=ZACD=6Q°,ZADB=ZACB=60a,

△AB。为等边三角形，

延长CB至UE,使得BE=CD,

5L'：AB=AD,/EBA=/CDA,

.♦.△AC。丝△ABE(SAS),

.*.Z£=ZACD=60°,ZEAB=ZDAC,

：.ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZBAC+ZDAC=6Q°,

•*.△ACE为等边三角形，

J.AC^CE,

'：BC+BE=BC+CD=CE,

：.AC=BC+CD,

(3)如图3,延长8C和AD交于点”，

*.•ZABH=90°,ZBAH=6Q°,

/.ZH=30°,

VZADC=ZCDH=90°,

:.CH=2CD,tanZBAH==BC-K：H=BC+2CD=tan60°=M，

ABABAB

:.BC+2CD=MAB.

故答案为BC+2CD=MAB.

10.(1)证明：①如图1,连接。C,AB,

平分/BAR

：.ZBAP=ZPAF,

VZB4F+Zfi4C=180°,

ZB4C+ZPBC=180°,

：.ZPAF=ZPBC,

又NBAP=NPCB,

:./PBC=NPCB,

：.PB=PC,

...弧尸8=弧~7,

点尸为俞的中点；

(2)解：连接。3,0C,过。作OM_LBC于

垂直平分BC,

.•.BM=CA/=』BC=3,ZBOM^—ZBOC^ZBAC,

22

：sin/BAC=S,

5

；.sin/B0M=^=3,

OB5

：.OB=5,

/.OO的半径是5,

在RtZXOMC中，OM^7OC2-CM2=4,

在RtZXPMC中，PM=0M+0P=9,

•••PC=VPM2+MC2=3VI5；

(3)VZACE+ZBCA=ZBPE+ZBCA=ISQ°,

/ACE=NBPE,

同理，ACAE=APBC=APAB,

：.^ACE^AAPB,

•.•-A-C=-A-E-,

APAB

：.PA-AE^AC-AB,

如图4,过C作CQLAB于。，

•.•sin/BAC=口，

AC

CQ=AC-sinZBAC,

S&ABC=CQ=WAB・AC,

210

.'.E4*AE=-^-SAABC,

3

：△ABC非锐角三角形，且BC=6,

.,.当A运动到使NACB=90°时，

△ABC面积最大，

在RtZ\A8C中，8c=6,48=10,

：AC=22

-7AB-BC=8，

二%ABC=-BC*AC=24,

2

...此时,PA-AE=8Q,

即PA-AE的最大值为80,

故答案为：80.

图1

11.(1)证明：VZACB=90°,且。。经过8、C、E,

二直线BE为。。的直径，

:./BDE=90°,

：.ZCBD+ZCED=180°,

VZAED+ZCED=180°,

NAED=/CBD,

*：CA=CB,

：.ZCAD=ZCBAf

：.ZDEA=ZDAE,

：.AD=ED.

(2)解：VZEDA=ZACB=90°,ZDAE=ZCBA=45°,

・•・AADE^ACAB,

AAE=4,AD=DE,

・・・AD=OE=-^=2&,CA=AE+CE=2+4=6,且生津

V2CAAB

即晅a

6AB

:.AB=6近,

:.DB=AB-AD=4■近,

•••BE=7BD2+DE2=V(4V2)2+(2V2)2=2V10'

QO的半径为百5.

(3)①连接。8,

VZACB=90°,

.♦.BE为。0的直径，E、O、8共线，

■:/DCB=/DEB,

tanZZ)EB=tanZZ)CB=y=-^-,

'DE

设_EC=如则4_£=如:，

.*.AC=(x+1)m,AB=y/2(x+1)m,

AD=DE=^mx,

2_

BD=AB-AD=42(x+1)机-亚mx=(5/2+^-x)m,

E

®^DF±DE,垂足为R

为BE的中点，MOF//BD,

OF=LBD=点x)m,

222

SAODE*xj-(V2/x)mX冬廿(2+x[m1

ZZZZo

SAABC=—(X+1)W,

2

(2+x)Kx

,△ODE=8=(2+x)x=生，

SAABC(x+1)2m24(x+l)264(

2

化简得，X2+2X-15=0,

解得，xi=3,X2=-5(舍去)，

x3

12.(1)证明：连接AR如图1,

•••3厂为。0的直径，

AZBAF=90°,ZFAG=9Q°,

ZBGF+ZAFG=90°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

VZACB=ZAFB.NBGF=NABC,

：.ZBGF=NAFB,

：.ZAFB+ZAFG=90°,即NObG=90°,

OF±FGf

又TOb为半径，

・・・FG是。。的切线；

(2)解：①连接CR如图2,则

'：AB=AC,AO=AO,BO=CO,

：.AABO^AACO(SSS),

ZABO=ZBAO=ZCAO=ZACO,

J.ZCAO^ZACF,

J.AO//CF,

.AD=OD

"CDDF'

;半径是3,00=2,

J.DF^OF-OD^l,BD=0B+0D=5,

'：ZABD=ZFCD,ZADB=ZFDC,

：.△ADBsAFDC,

.AD=BD

"DFCD'

：.AD-CD=BD'DF,

：.AD-CD^5,即14。2=5,

2

：.AD=y/lQ(负值舍去)；

②如图3,

:△OOC为直角三角形，NOCO不可能等于90°,

存在/OZ)C=90°或/。。。=90°,

当NOOC=90°时，

由①知/AC0=/ACF,

：.0D^DF^—,BD=—,

22

'：OD±AC,

：.AD=CD,

由①可知AZ>C£)=3Z>DF,

：.AD-CD=AD2=^-X^=^LL

224

:.AD=^^,

2

/.AC=2AD=3V3，

SAABC=—XACXBD=AX3V3X—=冬瓜；

2224

当NCOD=90°时,

\'OB=OC=3,

...△08C是等腰直角三角形，

:.BC=3五,

延长A。交BC于点M,则AM_LBC,

2

：.AM=3+^^,

2

.••S“BC=2XBCXAM=』X3&X（3+3V2_）=9+9加,

2222

AABC的面积为空区或生老叵.

42

13.解：（1）如图①所示，在圆中作任意两条弦的垂直平分线，由垂径定理可知这两条垂直

平分线必定与圆的2条直径重合，所以交点0即为所求;

（2）如图，过点。作。尺Lx轴于点R连接PC,PB,

图2

由题意得：OP与坐标轴相切，

ZOBP=ZOCP=ZCOB=90°,

四边形OBPC是矩形.

；PC=PB=2,

四边形OBPC是正方形，

：.OC=OB=2,则AB=6,

由题意得AE与OP相切于点D,

：.AB=AD=6,

设EC=ED=尤，

在RtZXOAE中，ZAOE=90°,AO=8,EO=x+2,AE=x+6,

由勾股定理得：OE2+OA2=AE2,

即：（x+2）~+8?=（无+6），

解得x=4,

/.A£=10,

ZDAF=ZEAO,ZDFA=ZEOA,

.ADDFAF

'*AE=E5"A0，

即：-LJLJF,

1068

DF-y-AF-y-

贝3F=8-普冬

bD

DD

(3)如图，在Rt^OMN中，NMON=90°,OM=8-t,ON=t,

贝IjMN2=(8_t)2+?=2?-16r+64,

当f=4时，加炉有最小值，即MN有最小值.

此时，0M=0N=4,

：.ZONM=ZOMN=450,

：0G平分第一象限，

AZNOE=ZMOE=45°,

:./NME=/ENM=45°,

：.ZONE=ZOME=90°,

，四边形OMEN是正方形,

S四边形OMEN=4X4=16.

在这个变化过程中，S四边形OMEN=16没有变化，

理由如下：

YOG平分第一象限，

:・/NOE=/NME=45°,

・・・4EMN是等腰直角三角形，

:・NE=ME,

NE2=^-MN2=y(OM2ON2)=y[(8-t)2+t2]'

S四―。MEN=SAMON+S△MEN=抑•。呜g

yt(8-t)4yX-^[(8-t)2+t2]=16.

14.(1)证明：连接AD

图1

VCELAB,AF±BC,

：.ZCEB=ZAFB=90°,

：.ZEAG+ZAGE=90°,ZEAG+ZB=90°,

・•・/B=ZAGE,

vAC=AC,

；・/B=ND,

：.ZD=AAGE,

：.AD=AG,

9：AE±DG,

:・DE=EG,

(2)证明：连接5G,

图2

由(1)知，直线AS垂直平分。G,

:・BD=BG,

,:BD=®FG,

:・BG=MFG,

・・sin/GBF二w，

：.ZGBF=45°，

:・BF=FG,

ZCGF=ZAGE=AABF,NAFB=NCFG=90°,

:•△AFB"XCFG(AAS),

：.AF=CFf

VOF=OF,AO=CO,

：.AAFO^ACFO(SSS),

・•・ZAFO=ZCFO9

：.O/平分NAbC；

(3)解：过/作也_LCG于点£,

•・,AD=AD,

・•・ZABD=ZACD,

•：NCFH=AABD,

：.ZCFH=ZACD,

：.ZFHG=ZCFH+ZHCF=ZACD-^-ZHCF=NACF,

VZAFC=90°,AF=CF,

：.ZACF=45°,

:・/FHG=45°,

:・LH=FL=FH・sin/FHG=4,

*：ZFGL+ZGFL=90°,/CFL+/GFL=90°,

：.ZFGL=ZCFL,

tanZFGL=tanZCFL,

•・•—FLCL,

GLFL

设GL=尤，贝!|CX=10-尤,

••4•1=0---x-,

X4

解得：x=2或8,

•；CF=AF>FG,

.,.tanZFGL>l,

：.x>2,

tanZFGL=2,

：.CF=2GF,

在RtZXLFG中，

GF2+(2GF)2=1()2,

：.GF=2通或-2遍(舍去)，CF=4店,

:.BF=FG=2层,

：.BC=6娓,

过。作。ATL8C于点M,ON_LA尸于点N,

:.BN=NC=3炳,

：.EM=y/5>

：.0/平分/AFC,

：.OM=ON,

四边形OMfN是正方形，

：.OM=MF=FN=ON=遍，

：.NG=FG-NF=4S>

.1.OG=VTO.

15.解：(DAB是直径，且ABLCD

ZA+ZCDA=90.,DE=CE=LCD,

2

'：CF±AD,且CF过圆心O,

：.ZC+ZCDA=90°,AF=DF=^AD,

2

，ZA=ZC,

在△AO尸和△COE1中,

fZA=ZC

<OA=OC,

ZAOF=ZCOE

.♦.△AO/丝△COE(ASA},

：.AF=CE,

：.DF=^CD,

2

VCFXAD,

：.ZDCF^3Q°；

（2）小芳观点正确，理由如下:

如图，连接O£）,

\'AB±CD,NCD4=60°,

：.AD=—DE—=2DE,CD=2DE,

cos60

：.AD=CD,

在△AO。和△CO。中，

'OA=OC

<OD=OD,

AD=CD

.♦.△A。。g△CO。(SSS),

/A=NC,

/ADE=NCDF,

：.ZCFD^ZAED=90°,

即CF±AD；

(3)若CD=4弧,

•：AB±CD,且A3为直径,

:.CE=LCD=2M，

2

由(1)知/。CB=30°,则/AOC=NOCF+NAEC=30°+90°=120°.

CE

在RtZ\COE中，OC=_o=4,

cos30

图1

,：AB为圆。的直径，DELAB,

BD=BE,

；.NBAD=NBAE,

：.AB平分NZME；

(2)解：如图2,

(3)解：如图3,

连接AC,连接OC,作CH±AD于H,

••.NCAB=£NB0C=45。，

在RtZXCDH中，ZADC=45°,CD=2近,

：.CH=D//=2A/2•sin450=2,

设CG=5,EF=9x,ZBAD=ZBAE=a,

：.ZCAD=45°-a,NAG尸=90°-ZGAF=90°-2a,

：.ZAGF^2ZCAD,

,：ZAGF^ZCAD+ZACG,

：.ZCAD=ZACG,

.\AG=CG=5x,

'：ZCHG=ZAFG=9Q°,

/AGF=/CGH,

：./\CGH^/\AGF(A4S),

：.AF=CH=2f

AD=AE=9x+2,

VZ)H=2,

.\AH=9x,

：.GH=AH-AG=4xf

，CH=7CG2-GH2=3尤,

3%=2,

：.AH=EF=6,

AG=CG=5x=』i,

3

FG=GH=4x=^-,

3

作KTLAD于K,

：.KT=FK,

由&ATG=Sz\AFK+Sz\AGK得，

yAF'FG=yAF'FK+yAG'TK>

：.2X^-^2FK+—FK,

33

：.FK=1,

22

AK=7AF+FK=V5•

17.解：【运用】

(1)连接BE,如图：

「△CEF沿EF所在的直线翻折得到△(?'EF,

;.EC=EC=LC=I,

2

...C的轨迹是E为圆心，1为半径的半OE,

在8E上时，8cl最小，此时BC=8E-CE,

在RtaABE中，7AB2+AE2=-

：.BC=^-1,

故答案为：V5-1；

(2)①如图：

A

・・・AADE是等腰直角三角形，

：.AD=AEfZDAE=90°,

9：ZBAC=90°,

・・・ZDAB=90°-ZBAE=AEAC,

而AB=AC,

:.ADABTAEAC(SAS),

：.ZDBA=ZECA,

,：ZECA+ZAGC=90°,

NAGC=ZBGP,

：.ZDBA+ZBGP=90°,

：.ZP=90°,

：.CE±BD,

故答案为：CELBD；

②由①知，CELBD,即在△OEP中，ZDPE=90°,

的轨迹是以。E为直径的圆，设T为DE中点，

当。。最大时，线段尸。过T,如图：

「△AOE是等腰直角三角形，AE=AD=\,

:*DE=VAE2+AD2=企，

:.PT=DT=ET=LDE=^~,

22

而。7是△ADE中位线,

；.TQ=^AD=^,

...尸°=吟旺

故PQ的最大值为9+1,PQ的最小值为9-1；

/.ZBPC=90°,

；.BP=BC，sin/BCP,

而BC=VAB2+AC2=>

:.BP=2jjsi