2025年全国普通高等学校招生模拟考试数学卷1（云南、安徽、山西、吉林、黑龙江五省）含答案与解析

绝密★启用前

2025年全国普通高等学校招生模拟考试卷（一）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合&=｛刈乂41｝,B=[x\2x-a<6\,若则实数。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+oo）C.（-00,2）D.（-oo,2]

2.设i为虚数单位，且工=l+2i,贝的虚部为（）

1+Q1

A.-2B.2C.2iD.-2i

3.设向量2=（1,-sin。）,b=（sin26,sin。），则“2_1,另”是“13!16=2,,的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一

盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余

棋手与甲比赛获胜的概率均为:，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为:，若业余棋手队获胜，则选择

与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（）

A.24B.25C.26D.27

5.若（X—I），=+〃2必+，贝!]4_/+/_%=（）

A.-1B.1C.15D.16

6.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数机,〃只有1为

公约数，则称祖，〃互质，对于正整数是小于或等于"的正整数中与"互质的数的个数，函数以

其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：。⑶=2,。⑺=6,0（9）=6.记5,为数列｛夕（3'）｝的前〃项

和，则岳。=（）

D.310-1

7.已知函数/（x）=sinxco&x+cos2x,XGR,下列命题中:

①“无）的最小正周期是兀，最大值是与L

②/（x）+/停-x）=l+sin2x；

3兀冗

③/（X）的单调增区间是-丁+E,g+for（%eZ）；

|_OO

④将/（X）的图象向右平移9个单位得到的函数是偶函数，

O

其中正确个数为（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知是定义在R上的奇函数，/⑶=0,且"%）在（0,+。）上单调递增，则不等式/<）+2"-”<0

的解集为（）

A.（―,一3）（3,+8）B.（-3,0）1（0,3）

C.（-3,0）u（3,小）D.（ro,-3）D（0,3）

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.己知点A（-LO）,3。,0）,点尸为圆C：炉+丁―6x-8y+17=0上的动点,则（）

A.面积的最小值为8-4近B.AP的最小值为2&

C.NR4B的最大值为一D.AB-AP的最大值为8+4&

10.如图，在正方体ABCD-A耳GR中，点P为线段AG上的一个动点（不包含端点），贝I］（）

A.PCLBD

B.直线PC与直线B片异面

C.存在点尸使得PC与。2所成的角为60。

D.存在点尸使得PC与底面ABC。所成的角为60°

11.以下说法正确的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位数为95

B.具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据（孙匕），（％/），，（%，%），由此得到的线性回

归方程为$=&+&,回归直线5=标+3至少经过点（孙无），（得，/2），，（X”,%）中的一个点

c.相关系数厂的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强

D.已知随机事件A,8满足尸（A）＞0,P（B）＞0,且尸（B|A）=P（3）,则事件A与2不互斥

12.已知函数满足：①/（a+x）为偶函数；②/（c+x）+/（c—x）=2d,"c.尸（x）是〃x）的导函数，

则下列结论正确的是（）

A.广⑺关于x=c对称B.〃2x）的一个周期为2卜-4

C./（/⑺）不关于伍⑷对称D./（/⑺）关于x=a对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知g（x）=2sin18+£j（0＞O）,若对任意xe0,：,都有g（x）V6,则。的最大值为.

14.平面四边形A3CD中，ABUCD,AB=4,DC=1,AD=2,ND4B=60。，点E在直线8D上，点尸

在直线AC上，且BE=4BD,CF=〃CA（几＞0,〃＞0）,AEDF=4＞则彳+〃的最小值为.

15.如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE1平面48。。。歹//。£,且AB=_DE=2,CF=1,G

为棱8C的中点，”为棱DE上的动点，有下列结论：

①当H为DE的中点时，GH//平面BEE；

②存在点H,使得GHLAC；

③三棱锥3-GHF的体积为定值；

④三棱锥E-BCF的外接球的体积为147t.

其中正确的结论序号为.

22

16.已知双曲线C：1-2=1（“＞0,。＞0）的左顶点为4P为C的一条渐近线上一点，A尸与。的另一条

ab

渐近线交于点。，若直线AP的斜率为1,且A为PQ的三等分点，则C的离心率为.

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos25+cos2C-cos24=l-2sin3sinC.

⑴求A;

⑵若。=4,求ABC面积的最大值.

18.(12分)已知数列｛%｝中，〃1=；，。"+1

⑴记证明：数列｛a｝为等比数列;

an

(2)求数列｛%｝的通项公式；

⑶记c,=2"anan+1,求数歹U｛%｝的前〃项和S“.

19.(12分)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB//CD,AD=DC=\,AB=2,AC1PC.

(1)证明：平面ABC。人平面P3C；

(2)若PBL3C,PB=2A/3,求直线PA与平面尸CD所成角的正弦值.

20.(12分)今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某

调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年

龄段所占百分比如图所示：

36~45岁'19~25岁

[27%38%)

\/26-35^\/

X^22%

年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为

3

16,

(1)请将下列2x2列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为

青年有关；

预定旅游不预定旅游合计

青年

非青年

合计

（2）按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人

是青年人的概率.

①胪=_______n(ad-bcY_______

附:其中n-a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)，

②

2

P(K>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.（12分）已知椭圆M:5+£=l（a>6>0）经过点C（O,1）,离心率为乎，/与x轴交于两点A（a,O）,

B（-«,0）,过点C的直线/与M交于另一点£>,并与x轴交于点尸，直线AC与直线交于点Q.

⑴求椭圆M的方程；

⑵设。为原点，当点尸异于点5时，求证：0P。。为定值.

22.（12分）已知函数〃x）=xlnx-加，尸（x）为〃x）的导数.

⑴讨论「（力的单调性；

⑵若直线y=5与曲线y=〃x）有两个交点，求a的取值范围.

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合&={刈尤|<1},B={x\2x-a<6\,若AgB,则实数。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+co）C.（-co,2）D.（-00,2]

【答案】A

【分析】先解出集合4%再根据A=5列不等式直接求解.

【详解】集合4={+|41}={414x41},8=卜无<5.

要使A=8,只需1<叁，解得：a>2.

故选：A

2.设i为虚数单位，且工=l+2i,贝的虚部为（）

1+ai

A.-2B.2C.2iD.-2i

【答案】B

【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出。=-2,即可求出1-0的虚部.

【详解】由3=1+为可得：5=（l+2i）（l+oi）=（a+2）i—2a+l,

缶+2=0

则c,<na=-2,所以l—ai=l+2i的虚部为2.

[-2。+1=5

故选：B.

3.设向量。=（1,一sin，），b=（sin26,sine）,则“0_L6”是"tan。=2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先根据“，6,求tan。的值，再判断充分，必要条件.

【详解】由条件可知，ab=sin20-sin20=0,

得2sin6cos。—sin26=0,化简得sin6（2cos。—sin。）=0,

得sin，=0或2cosO-sin。=0,

即tan8=0或tan。=2

所以“a，/?”是“tan8=2”的必要不充分条件.

故选：B

4.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一

盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余

棋手与甲比赛获胜的概率均为（，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为:，若业余棋手队获胜，则选择

与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（）

A.24B.25C.26D.27

【答案】A

【分析】由二项分布及其期望计算即可.

【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X,选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为匕

设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n,则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-〃.

X所有可能的取值为0,1,2,…，n,则E（X）=]；

k所有可能的取值为0,1,2,…,32-«,贝|丫一2132-/丫）=%:岂，

F74，一nnA-

所以获胜的业余棋手总人数的期望E(x+y)=E(x)+£(y)=§+^^=-^-2io,解得〃224.

故选：A.

5.若(X-1)4=〃4次4++%%2+〃1%+%,贝|〃4_〃3+%_Q]=()

A.-1B.1C.15D.16

【答案】C

【分析】利用赋值法结合条件即得.

[详解]因为(％—I)"=%%'++的%?+4X+/，

令X=0得，4=1,

令X——1彳导,%-/+4-〃]+"o=(-2)=]6,

所以，％—生+2―Q=16—1=15.

故选：C.

6.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数人〃只有1为

公约数，则称加，〃互质，对于正整数",0(〃)是小于或等于〃的正整数中与”互质的数的个数，函数0(〃)以

其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：。⑶=2,0⑺=6,°(9)=6.记5,为数列｛9(3")｝的前〃项

和，贝20=()

39-1310-1

A.-~-B.39-1C.-~-D.310-1

22

【答案】D

【分析】根据题意分析可得。(3")=2-3"T,结合等比数列求和公式运算求解.

【详解】由题意可知：若正整数机V3"与3"不互质，则加为3的倍数，共有j3"=个,

3

故0(3")=3"_3"T=2・3"T,

疔F=3,即数列加(3%是以首项夕(3)=2,公比4=3的等比数列,

故Si。=

1-3

故选：D.

7.已知函数/(x)=sinxco&x+cos2x,xeR,下列命题中:

①“X)的最小正周期是无，最大值是誓

②/(》)+/l+sin2x；

3冗jr

③f（x）的单调增区间是-木+配3+也（ZeZ）；

OO

④将“X）的图象向右平移1个单位得到的函数是偶函数,

O

其中正确个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】化简可得〃尤）=4sin（2x+：］+g,即可求出周期、最大值，得出①；代入化简/"）+/71

--X

4

即可得出②；解-V+2MW2X+工W=+2E/eZ,即可得出③；根据图象平移，得出g（x）=Y^sin2尤+L

242,22

求出g（-x）即可判断④.

71

【详解】/(%)=sinxco&x+cos%=?sin2x+1+0：=；卜由2尤+cos2x)+g=sin|2x+-|+-.

42

对于①，T=^-=TI,

因为-lVsi«2x+：）l,所以〃尤）的最大值为与L,故①正确；

对于②，+=*sin（2尤+：）+〈+孝sin［无_2x+：）+g

=¥sin［2x+：］+t^sin［2x-：］+l=sin2x+l,故②正确；

对于③，由一二+2E++可得，

242

3兀7兀77~

KJl<JV<FK71,左£Z,

8--------8

37r7t

所以，/（X）的单调增区间是-胃+Eq+E（左eZ）,故③正确;

对于④，将/（》）的图象向右平移弓个单位得到的函数为

O

/X_V2.\（兀）兀11拒.1

g（x）=---sin2x—4—H—=---sin2x4—,

v728j4j222

g（-x）=sin（一2x）+；=一sin2x+；w—g（x），故④错误.

综上所述，①②③正确.

故选：C.

8.已知/（%）是定义在R上的奇函数，"3）=0,且在（0,+。）上单调递增，则不等式/⑴+2/（一*<0

x

的解集为()

A.(-w,-3).(3,+«)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-3,0)u(3,+w)D.(—,-3)50,3)

【答案】A

【分析】由题意不等式“司+2〃T)<o等价于人(x)>0,再根据函数的单调性分无>0和尤<0两种情况

X

讨论即可得解.

【详解】因为/(X)是定义在R上的奇函数，/(3)=0,且/(X)在(0,+8)上单调递增，

所以"-3)=0J(x)在(-e,0)上单调递增，

由+得犷(力〉0,

当尤>0时，由/(尤)>。=/(3),得x>3,

当x<0时，由〃力<。=〃一3),得x<—3,

所以原不等式的解集为(93)(3,y).

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知点4(—1,0),5(1,0),点尸为圆C：/+丁-6x-8y+17=0上的动点,则()

A.一上钻面积的最小值为8-4及B.AP的最小值为2a

5兀

c./RIB的最大值为卫D.的最大值为8+40

【答案】BCD

【分析】对于A,点P动到圆C的最低点/时，一月记面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B,当

点P动到R点时，AP取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C,当AP运动到与圆C相切时,

取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D,利用平面向量数量积的几何意义进行求解.

【详解】x2+y2-6x-8y+17=0o(x-3)2+(y-4)2=8,

圆C是以(3,4)为圆心，2a为半径的圆.

对于A,—P1B面积的最小值为点P动到圆C的最低点/时，yM=4-25/2,

S.PAB=—'AB-yM=5x2x(4—20)—4—20,故选项A错误；

对于B,连接AC交圆于R点，当点尸动到R点时，AP取至I]最小值为AC-RC=7^7否不-2瓶=2直，故

选项B正确；

对于C,当AP运动到与圆。相切时，―取得最大值，设切点为。，

smZCAQ=^=^=-,:.ZCAQ=~,sin/C4N=至=±=1,：./CAN

AC4A/226AN44

5兀

:.ZPAB^ZCAQ+ZCAN,故选项C正确；

对于D,AB-AP=\AB\\AP[cos^PAB,当点P动到S点时，,叶侬//%2取得最大值，即AS在AB上

的投影，ABAP=|AB'|-|AP|-cos^PAB=\AB\-|A?V|=2x(1+3+2>/2)=8+4^,故选项D正确；

故选：BCD.

10.如图，在正方体中，点尸为线段AG上的一个动点(不包含端点)，贝IJ()

B.直线尸C与直线Bg异面

C.存在点尸使得PC与。2所成的角为60°

D,存在点尸使得PC与底面A8CO所成的角为60。

【答案】ABD

【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；证明平面BCC由，PCO平面BCG4,可判断B；求出

PC与。R所成的角的最大值恒小于60。可判断C；求出PC与底面ABC。所成的角为60。时，C/的长度可

判断D.

【详解】对A,在正方体ABCD-4耳CQ]中，易得BD1AC,M1底面ABCD,

Q3Du平面ABCD,.^.AA，B。，

ACDA^=A,AC,A4（u平面ACC]A,则平面ACQA,

因为尸Cu平面ACC0,所以BDLPC,故A正确；

对B,因为尸任平面BCG耳，Ce平面BCC4，8瓦£=平面3。£耳，且CeBB1，

所以直线PC与直线8片异面，故B正确；

对C,因为CC"/。，，所以尸C与。Q所成的角即为PC与CG所成的角，

CC11

由图可知，当点P位于点A处时，NPCG最大，此时cos/PCC|=%U=F>3,

所以PC与。，所成的角恒小于60。，故C不正确；

对D,过点尸作尸平面ABCD交直线AC于点则尸〃//胡，

设正方体的边长为1,PC与底面ABC。所成的角即为/PC",

PHi

若Z.PCH=60°,贝1Jtan/PCH===V3,

CHCH

则CH=^-<s/2,所以存在点尸使得PC与底面ABC。所成的角为60°.

3

故D正确.

11.以下说法正确的是（）

A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位数为95

B.具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据（孙兀），（%%），一，（相，％），由此得到的线性回

归方程为*=%+4,回归直线£=嬴+&至少经过点（孙无），（巧，/），，（%，%）中的一个点

C.相关系数r的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强

D.已知随机事件A,B满足尸（A）>0,P（B）>0,且尸（B|A）=尸（3）,则事件A与2不互斥

【答案】ACD

【分析】对于A选项：结合百分位数的定义即可求解；

对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；

对于c选项：根据相关系数的性质即可判断；

对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.

【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，贝卜=9x75%=6.75不是整数，则第75百分位数为从

小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95,所以A选项正确；

对于B选项：线性回归方程£=%+&不一定经过点(七,无)，(4，Z)，，(%,%)中的任何一个点，但

一定经过样本的中心点即(元月，所以B选项错误；

对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1,所以

C选项正确；

对于D选项：因为「(5|A)=P(3),则尸(AB)=P(B|A)P(A)=P(B)P(A),

则事件A与8相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；

故选：ACD.

12.已知函数/(尤)满足：①/+元)为偶函数；②/(c+x)+/(c—x)=2d,"c./'(x)是/(x)的导函数,

则下列结论正确的是()

A.尸(x)关于对称B.〃2x)的一个周期为2|c-"

C./(〃尤))不关于(c,d)对称D./(〃尤))关于x=a对称

【答案】ABD

【分析】A选项，对/(c+x)+/(c-x)=2d两边求导可判断选项正误；

B选项，由①②可知/(x)的一个周期为4|c-g,即可判断选项正误；

C选项，验证/(/(c+x))+〃〃c-x))是否等于2d即可判断选项正误；

D选项，验证/■(/■(a+x))=/(/'(a-x))是否成立可判断选项正误.

【详解】A选项，由/(c+x)+〃c-x)=2J两边求导得r-/("力=0,即尸(x)关于x=c对称，

故A正确；

B选项，由/(a+x)为偶函数，知〃a+x)=〃a—x)=/(—%)=〃2a+x).

又〃c+x)+〃c—x)=2d=^>f(—X)=2d—f(2c+x),

/\z\[f(x]=2d-f(x+2\c-a\\

贝！J/(2〃+x)=2d—/(2c+x)=>1产

f(^x+2\c-a\^=2d-f(^x+4\c-a^

f(x)=f(x+4|c-a|),即〃尤)的一个周期为4|c-a|,则〃2x)的一个周期为2年一《，故B正确；

C选项，注意到当c=d时，/(c+x)+y(c-x)=2c=>/(x)+/(2c-x)=2c.

贝lJ/(〃c+x))+/(2c-〃c+x))=f(〃c+x))+f(〃c-x))=2c,即此时

/(〃元))关于(c,c),即(c,d)对称,故C错误;

D选项，由〃a+尤)为偶函数,知"X)关于x对称，即/(a+x)=/(a—x),则/(/(a+x))=/(/(。一切,

即/(〃尤))关于x=a对称，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知g(x)=2sin［s+"(0>O),若对任意xe0,：,都有g(x)wg,则。的最大值为.

【答案】1/0.5

【分析】运用整体法，根据正弦型函数的图像求解.

7T717171A/3.71

【详解】由题意，xe0,耳CDX+—<—CD+—,又g(元)(省,/.sincox-ir—<——=sin—

636I623

IT7T7TI

由正弦函数>=sinx的单调性和周期性可知：+；

3632

故答案为："I".

14.平面四边形ABC。中，AB//CD,AB=4,DC=1,AT>=2,//MS=60。，点E在直线80上，点尸

在直线AC上，且BE=4BD,CP=〃CA(2>。,〃>0),AEDF=4>则彳+〃的最小值为.

［答案］

3

【分析】过点。作于。点，以点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知得出点以及向量

Q3

的坐标，根据A££>P=4,得出了+—=3,然后根据基本不等式“1”的代换，即可得出答案.

XJLL

【详解】过点。作于。点.

因为AD=2,/ZMB=60。，

所以OA=1,OD=豆，OB=AB—OA=3.

如图，以点。为坐标原点，分别以A瓦。。所在的直线为羽y轴，建立平面直角坐标系,

则0(0,0),A(-l,0),8(3,0),C(1,V3),

所以，04=(-2,-^),BD=(-3网,AB=(4,0),£>C=(l,0),

所以，BE=AB£)=(-3A,73/l),CT=〃C4H-2〃,-®),

所以，AE=AB+B£=(4-32,732),DF=DC+CF=0-2丛-岛).

因为AE-。尸=4，

所以有(4_34)(1_2〃)+&*卜也〃)=4_8〃_34+32〃=4,

83

所以8〃+3九=34，所以力十/3,

际3311476+11

所以,42

'%〃33

当且仅当学二蓑‘即*"'"=*时等号成立•

4#+11

故答案为:

-3

15.如图，多面体ABCDM中，面ABCD为正方形，平面ABCD,C/〃OE,_g,AB=DE=2,CF=l,G

为棱3C的中点，”为棱OE上的动点，有下列结论：

①当H为DE的中点时，GH//平面BEF；

②存在点//,使得G"LAC；

③三棱锥3-G麻的体积为定值；

④三棱锥E-BCF的外接球的体积为147t.

其中正确的结论序号为.

【答案】③

【分析】根据线面平行的判定定理，及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径

的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.

【详解】①：当以为OE的中点时，取以中点为M,连接如下所示：

E

因为分别为ED.E4的中点，故可得M?/〃A。，MH=^AD,

根据已知条件可知：BG//AD,BG=-AD,故MH"BG,MH=BG,

2

故四边形为平行四边形，则用//MB,显然MBc与面=

故用与面麻户相交，即不平行，故①错误；

②：因为ED_L面ABCD,DA,DCu面ABC。，故DE_LZM,OE_LDC,

又四边形ABC。为矩形，故R4J.OC,则OE,D4,OC两两垂直，

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：

则A（2,0,0）,C（0,2,0）,G（l,2,0）,设“（0,0,同，me[0,2],

所以G”-AC=（-l,-2,7〃>（-2,2,0）=-2,故不垂直，故②错误；

VV

③：B-GFH=H-BGF»因为民尸,G均为定点，故SRGF为定值，

又DE〃CF,CFcUBGF,DE<2面BGF,故DE〃面BGF,

又点H在OE上运动，故点H到面BG/的距离是定值，

故三棱锥3-G加的体积为定值，则③正确；

@：取的外心为。一过。|作平面EPC的垂线。声，

则三棱锥B-EFC的外接球的球心。一定在QN上，

因为Oq_L面跖C,歹€?_1面43。。,。8<=面458,则CFJ_CB,又CB_LCD,

C尸cC£>=C,CfCDu面EFCD,故C5_L面跖CD,即BC1面EFC,

则。OJ/CB,故。Q,BC在同一个平面，过。作OP_LBC,连接。民0。如图所示.

在△£FC中，容易知EF=&EC=20,FC=1,

由余弦定理得cosNEFC=5+1~8=--

故sinZEFC=—

2V555

EC710

由正弦定理得qc==0P；

2sinZEFCF

设三棱锥E-RCB的外接球半径为R,则OC=OB=R,且P为8C中点,

在△OBP中OB=R,OP=—,又BP=PC=1,

2

7

由勾股定理知：O*=o尸+8产，即R2=—,

2

该棱锥外接球的体积V=-nR3=-x（巫了兀=也兀，故④错误.

3323

故答案为：③.

22

16.已知双曲线C：与=1伍>0,6>0）的左顶点为A,P为C的一条渐近线上一点，AP与C的另一条

ab

渐近线交于点。，若直线AP的斜率为1,且A为尸。的三等分点，则C的离心率为

【答案】巫

3

【分析】写出直线AP的方程为y=x+。，将其分别与双曲线渐近线联立解出尸,。的纵坐标，根据A为P。的

三等分点，得到关于6的方程，最后化为关于“，C的齐次方程，即可得到离心率.

【详解】不妨设点尸在第二象限，直线AP的方程为'=工+巴

y=x+a,

b，得点尸的纵坐标％=」当；

联立

y=——xa+b

a

y=x+a

联立b，得点。的纵坐标坨=q.

y=—xb-a

、a

由A为PQ的三等分点，可知为=-2%，则有1L=一当，整理得a=3b,

b-aa+b

则〃=9(c2—片)，则10°2=%2,故c的离心率e，=®.

a3

故答案为：叵.

3

四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos23+cos2C-cos2A=l-2sinBsinC.

⑴求A;

(2)若。=4,求ABC面积的最大值.

【答案】⑴三

(2)473

【分析】(1)由二倍角余弦公式及正弦边角关系得片一从一°2=_灰，根据余弦定理求A的余弦值，进而确

定其大小；

(2)由已知和余弦定理得16=k+02一A2根，再由S.c=；6csinA求面积最大值，注意取值条件.

【详解】(1)由已知l—2sin2]5+l—2sii?C—l+2sin2A=1—2sin5sin。，

2222

即sinA—sinB—sinC=-sinBsinC，由正弦边角关系得/一/_c=_儿,

所以cosA="—又OVAVTT,所以A=g.

2bc23

(2)由余弦定理，得a、=/+(?-2bccosA,又a=4,

所以16=/+/一反2从*,当且仅当b=c=4时等号成立，

所以=gbcsinA=^~bcS46,故ABC的面积的最大值为4百.

18.(12分)已知数列｛a“｝中，4=g

⑴记证明：数列也｝为等比数歹U；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

n

(3)记c„=2anan+l,求数列｛g｝的前n项和Sn.

【答案】(1)证明见解析

⑵4m

(3^5"=3-2"+1+1

b

【分析】(1)由已知可推出d4=2,即可得出证明；

b“

(2)求出々=2,写出也｝的通项公式，即可得出｛0｝；

(3)将%的表达式代入％=2"%0向，裂项可推得%=+-亍=丁然后求和即可得出答案.

-1

1h2-2%―2

【详解】(1)因为伪=--「2,昔=%

--1

故数列也｝是公比为2的等比数列.

,1，c

⑵因为仇=---1=2,

ax

所以々=^1=2x27=2”，

所以_1_1=2",

册

所以""

,-2%2"（*+1）-（2"+1）______

（3）口为”“"+1（2"+1）（2"一）（2"+1）（2"+1+1）2"+12"+1+1，

-

^f^^-Ll+：|-22+11+122+]23+11++12"+1-2叫1

_11

一丁2角+1

19.（12分）在四棱锥P-A8CD中，四边形ABCO为等腰梯形，AB//CD,AD=DC=1,AB=2,AC1PC.

p

(1)证明：平面ABCD人平面尸3C；

(2)若PBL3C,PB=243,求直线序与平面PC。所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵画

34

【详解】(1)证明：在等腰梯形ABCO中，AB//CD,BC=AD=1,AB=2,

过点C作于E,则=可知NABC=60。，

2

由余弦定理矢口AC2=『+22-2xlx2xg=3,

则4。2+3。2=4勿，所以AC13C.

又AC_LPC,BCcPC=C,BC,PCu平面P3C,

所以AC_L平面尸3c.

又ACu平面ABC。，所以平面ABCD人平面PBC.

(2)解：因为AC_L平面PBC,PBLBC,所以C为坐标原点，CA,CB的方向分别为K轴、＞轴的正方

向建立空间直角坐标系.

x

y

则A("0,0),3(0,1,0),尸似,2⑹，D¥，-；，0

CD=4,一：,0,C尸=(0,1,2道)，PA=(V3,-1,-2A/3).

(22J

设平面尸CD的法向量为。=(%,y,z),

CD,n=_J_y=0](厂]

则22，,令x=l,贝ljy=g,z=——,即几=1,6,—,

CP-n=y+2V=0

设直线PA与平面尸CD所成的角为巴

2

即直线序与平面尸。所成角的正弦值为巨.

34

20.(12分)今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某

调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这20。名游客中各年

龄段所占百分比如图所示：

(36~45岁Y19~25岁

127%38%)

\/26-35^\/

年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为

3

16,

(1)请将下列2x2列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否为

青年有关；

预定旅游不预定旅游合计

青年

非青年

合计

(2)按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人

是青年人的概率.

n(ad-bc)2

附：①.=

(Q+〃)(c+d)(a+c)(Z?+d)，其中n=a+b+c+d.

②

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）列联表答案见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关

呜

【分析】（1）先求出青年游客预订旅游人数，再求出青年游客不预订旅游的人数，从而得到2x2列联表，

再利用2x2列联表求出K?的值，从而得到结论；

（2）先求出每层抽取的人数，再求出基本事件的个数和事件A包含的个数，利用古典概率公式即可求出结

果.

【详解】（1）200名有预订的游客中，青年游客人数为200x（38%+22%）=120,

3

200名不预订的游客中，青