全称量词与存在量词 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合和常用逻辑用语第五课时全称量词与存在量词我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词.(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的x∈R,x>3(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数思考下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?不是不是是是(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量

x进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句(4)在(2)的基础上,用短语“对任意一个”对

变量x进行限定，使(4)变成了可以判断真假的语句.关系:(1)短语"所有的""任意一个"在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.常见的全称量词有:“对所有的”,“对任意一个”,“对一切”,“对每一个”,“任给”,“所有的”等.例1

判断下列全称量词命题的真假:(1)所有的素数是奇数;(2)∀x∈R，x2+1≥1；(3)对每一个无理数x,

x2也是无理数.假命题真命题假命题真命题：需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立.假命题：只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可（举反例）.真命题假命题假命题√-1⊈算术平方根(³√3)3∈下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.不是不是是是关系:(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;

(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.(1)短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(或特称命题)(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x,使p(x)成立,可简记为:∃x∈M,p(x),读作“存在M中的元素,使p(x)成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p(x)成立即可;否则这一命题就是假命题.常见的存在量词有：“存在一个”,“至少有一个”,“有些”,“有一个”,“有的”,“对某个”等.全称量词命题与存在量词命题的判断判命题：判断该语句是不是命题看量词：看命题中是否含有量词或隐含量词，判断量词或隐含量词是全称量词还是存在量词下结论：含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题注意一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2+y2≥0”一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a,b∈R,使（a+b)2=(a-b)2”有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来。例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等的特征的命题都是存在量词命题。判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0；（2）平面内存在两条直线垂直于同一条直线；（3）有些平行四边形是菱形.假命题假命题真命题真命题：只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可.假命题：需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在.探究：写出下列命题的否定（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R，x+|x|≥0.存在一个矩形不是平行四边形存在一个素数不是奇数∃x∈R，x+|x|<0否定：这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.存在一个能被3整除的整数都是奇数至少有一个四边形的四个顶点在同一圆上存在一个x∈Z,x2的个位数字不等于3.对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)它的否定：∀x∈M，ㄱp(x)也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.探究：写出下列命题的否定（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；（3）∃x∈R，x2-2x+3=0.所有实数的绝对值都不是正数每一个平行四边形都不是菱形∀x∈R，x2-2x+3=0否定：这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.

一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论：存在量词命题p:∃x0∈M

,p(x0)，存在量词命题的否定是全称量词命题它的否定ㄱp:∀

x∈M,ㄱp(x)真命题假命题假命题√-1⊈算术平方根(³√3)3∈Q真命题假命题(-1)2-1∈偶数真命题写出下列命题的否定,并判断真假（1）有些三角形是锐角三角形;（2）∃x∈R,x²