贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（含答案）

贵州省遵义市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x∣lnA．{x∣−1≤x≤1} C．{x∣0<x≤1} 2．在复平面内，复数5i3−iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f(x)=siA．1 B．2 C．12 4．已知抛物线C:y2=mx(A．6 B．18 C．8 D．5．若m−1≤x≤m+1是不等式x2−x−6≥0成立的充分不必要条件，则实数A．−3≤m≤4 B．−4≤m≤3C．m≤−4或m≥3 D．m≤−3或m≥46．二项式(x+1x)n的展开式中仅有第5项系数最大，则A．−56 B．−28 C．28 D．567．第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（）A．60种 B．74种 C．88种 D．120种8．已知函数f(x)=eA．(−12,−13) B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9．下列选项中正确的有（）A．AB．AC．CD．C10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3,A．△ABC的外接圆半径为12147 C．b=6 D．△ABC为锐角三角形11．“新高考”后，普通高考考试科目实行“3+1+2”模式，其中“2”就考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（）A．B与C相互独立 B．PC．P(B∣D)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．经过椭圆x225+y216=1的左焦点F1作直线交椭圆于A，13．杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为．14．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°,AB=AC=2,（1）证明：A1D⊥平面（2）求二面角C−A16．随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．

回答正确回答错误问题中存在语法错误100300问题中没有语法错误500100结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．（1）测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；（2）现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望．17．某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表．年份20192020202120222023年份编号x12345保有量y(万辆)1820232529附：相关系数r=i=1在回归直线方程y=a+bx中，（1）请用相关系数说明y与x的线性相关程度；（2）求y关于x的回归直线方程y=b18．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船把三名航天员送入太空．空间站开展的公益活动是与大众比较接近的．为了解学生对空间站开展的公益活动是否感兴趣，某学校从全校学生中随机抽取300名学生进行问卷调查，得到如下2×2列联表中的部分数据．

对空间站开展的公益活动感兴趣对空间站开展的公益活动不感兴趣合计男生150女生50合计已知从这300名学生中随机抽取男生和女生各1人，抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为38附表及公式：χ2α=P(0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828（1）将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为学生对此项活动感兴趣与性别有关；（2）该学校对参与问卷调查的学生按性别采用分层随机抽样的方法，从对空间站开展的公益活动感兴趣的学生中抽取8人，组成一个宣传小组，从这8人中任选3人担任宣传小组的主讲人，设随机变量X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．19．已知双曲线C:x2a2（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为A={x∣ln故答案为：D【分析】先利用对数函数的单调性求出集合A，再利用集合交集的运算可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为5i3−i所以其在复平面内对应的点坐标为(−1故答案为：B.【分析】先利用复数的除法运算化简出复数，再根据复数的几何意义可求出复数在复平面内对应的点坐标，据此可找出对应点所在的象限.3．【答案】A【解析】【解答】解：因为f(所以2π2ω=π，故故答案为：A.【分析】先利用二倍角余弦公式化简函数f(x)的解析式，再利用余弦函数的周期公式可求出ω的取值.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为点A(2,所以m4+2=4，解得故答案为：C【分析】根据焦半径公式可列出关于m方程，解方程可求出m的值.5．【答案】D【解析】【解答】解：不等式x2−x−6≥0的解集为{x|x≤−2或故{x|m−1≤x≤m+1}⊆{x|x≤−2或x≥3}，故m−1≥3或m+1≤−2，解得m≥4或m≤−3．故答案为：D.【分析】先解不等式x2−x−6≥0，根据充分必要条件的定义可得{x|m−1≤x≤m+1}⊆{x|x≤−2或x≥3}，据此可得不等式：m−1≥3或m+1≤−2，解不等式可求出实数6．【答案】A【解析】【解答】解：因为二项式(x+1x)因为(x−1x)所以C8r⋅(−1或C8r⋅(−1所以(x+1)(x−1故答案为：A.【分析】先根据二项式系数的性质可求出n，再求出(x−1x)8的通项，再分别乘以x和1，由x的指数为1可得方程：172−37．【答案】B【解析】【解答】解：当A场地承办1个竞赛项目时，分1,1,4和当A场地承办2个竞赛项目时，分2,1,3和故不同的安排方法共有60+14=74种．故答案为：B.【分析】分两种情况：A场地承办1个竞赛项目；A场地承办2个竞赛项目进行讨论，先求出分组情况，再利用排列组合知识列出式子进行计算可求出答案.8．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)=ef(所以f(x)又x+11−x=−x−1+2故lnx+11−x在(−1,1)上单调递增，而ex所以f(x)所以f(2m)由−1<2m<1−1<m−1<12m>1−m，解得13故答案为：C.【分析】先求出f(x)的定义域，判断出函数f(x)的奇偶性，利用反比例函数的性质判断出函数f(9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A，因为A4B，因为A10所以A10C，因为C100D，因为Cn+1所以C==C故答案为：BCD【分析】利用排列数的公式进行计算可判断A选项；利用全排列的阶乘表示公式：Ann=n!进行化简可判断选项；根据组合数的性质可得：C10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A，因为cosC=34因为c=32，所以2R=csinC=B，因为a=3,c=32C，因为c2=a2+因为b>0，所以b=6，C正确；D，由选项C，b=6，因为a2+c2−所以△ABC为钝角三角形，D错误．故答案为：BC.【分析】先利用同角三角函数的平方关系求出sinC，再利用正弦定理可求出外接圆半径判断A选项；利用正弦定理可直接求出sinA判断B选项；利用由余弦定理可列出方程18=9+b11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A.因为P(所以P(BC)≠P(B.因为P(C.所以P(因为P(D)D.因为P(故答案为：BCD.【分析】先求出P(B),P(C),P(12．【答案】20.【解析】【解答】解：因为椭圆方程x2所以a=5，根据椭圆的定义：AF1+AΔAF2B故答案为：20【分析】利用椭圆的定义可得：AF1+AF213．【答案】114【解析】【解答】解：当A完成第一棒时，有C5当B完成第一棒时，有(C故共有60+54=114种不同的传递方案．故答案为：114.【分析】以第一棒完成人分类计数：当A完成第一棒时，最后一棒没有限制条件，从剩下5人中选2人，再排中间三棒据此可列出式子求出方案数；当B完成第一棒时，最后一棒不能是AC完成，故最后一棒完成数为(C14．【答案】3；1【解析】【解答】解：由题意可知：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为12则向左的次数n∼B(4,12)，可知又因为X=5−n，所以E(X)=5−E(n)=3，D(X)=D(n)=1.故答案为：3；1.【分析】根据题意分析可知：向左的次数n∼B(4,12)，利用二项分布的期望和方差公式可求出：E(n)，15．【答案】（1）证明：如图，设O为A1在底面的射影，连接A1O,AO因为OA⊂平面ABC，所以OA⊥O又O为BC的中点，AB=AC，所以OA⊥BC因为BC∩OA1=O,BC⊂∴AO⊥平面A1又D为B1C1的中点，OD所以四边形AODA所以AO//∴A1D⊥平面（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.在三棱柱ABC−A1B所以A1则OA=由（1）知AO⊥平面A1BC，则OA=因为AA1//BB设平面A1BB则m⋅B设z=1，得x=y=7，所以m则cos〈所以二面角C−A1B−【解析】【分析】（1）先利用直线与平面垂直的性质可证明OA⊥OA1，再利用等腰三角形的性质可证明OA⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理可证明AO⊥平面A1（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面CA1B16．【答案】（1）解：记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，由测试结果知P(A)=3所以P(B)=P(记“测试的2个问题都回答正确”为事件M，“测试的2个问题中恰有1个存在语法错误”为事件N．则P(M)所以P(（2）解：易知X~P(X=0)=8P(X=2)=C所以X的分布列为X0123P8365427故E(【解析】【分析】本题考查全概率的计算公式，条件概率的计算公式，二项分布.

（1）先记事件，根据题意可求出P(A),P(B|A),（2）由题意可知：X~B(3,3517．【答案】（1）解：因为x=1+2+3+4+55所以i=1+(i=15i=15所以r=27因为|r所以y与x的线性相关程度较强．（2）解：因为x=3，yi=15i=15所以b=i=15所以回归直线方程为y=2.当x=7时，y=2所以预测2025年该地新能源汽车保有量为33.【解析】【分析】本题考查样本相关系数的计算，回归直线方程的求法.

（1）根据表格数据依次求出x，y，i=15(xi−x)(yi−y)（2）根据表格数据求出i=15xiyi，i=15xi218．【答案】（1）解：设抽取的300名学生中男生的人数为x，则女生的人数为300−x．因为抽到的2名学生都对此项活动感兴趣的概率为38所以150x⋅250−x300−x=所以抽取的300名学生中男生有200人，女生有100人，所以2×2列联表为对空间站开展的公益活动感兴趣对空间站开展的公益活动不感兴趣合计男生15050200女生5050100合计200100300因为χ2所以有99.9%的把握认为学生对该项目感兴趣与性别有关．（2）解：用分层随机抽样的方法抽取的8人中，男生有6人，女生有2人，所以随机变量X可能的取值为1，2，3，则P(X的分布列为X123P3155故