四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期第一次教学质量监测(期中)数学试题（含答案）

四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期第一次教学质量监测(期中)数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1．某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（）A．24种 B．4种 C．43种 D．32．已知函数f(x)=aex+bx在x=0A．e2−2 B．2−e2 C．3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数A．f(x)有2个极值点 B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有1个极小值 D．f(−1)为f(x)的极小值4．已知函数f(x)=xlnA．f(x)在(0,B．f(x)在(0,1C．当x∈(0,1)时，f(x)D．f(x)在定义域内无极值5．已知f(x)=ax2+lnx，且limA．43 B．23 C．16．若函数f(x)=kx−6lnx−x2在区间[1,A．(−∞,43) B．(−∞,8]7．已知函数f(x)=4x2−3x,x≤0x−aA．(−∞,0)∪[1,C．(0,1] 8．已知实数x，y满足ex+x=1A．1e2 B．1e C．e二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选或不选得0分）9．下列表述中正确的是（）A．若f'(x0)B．(ln2+loC．已知函数f(x)=e−2xD．若f(x)=2f'10．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x，都满足A．f(1)<2f(12)C．f(1)<4f(12)−211．已知函数f(x)=alnx−ax+1(a∈R)，g(x)=f(x)+3A．当a=1时，f(x)≤0在定义域上恒成立B．若经过原点的直线与函数f(x)的图像相切于点(3,f(3))C．若函数g(x)在区间[32,4]D．若函数g(x)有两个极值点为x1,x2三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12．函数f(x)=ex−x+1在区间[−113．如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有种不同涂色方法；（用数字作答）14．已知函数f(x)=alnx，(a∈R)，若直线y=2x是曲线y=f(x)的切线，则a=；若直线y=2x与曲线y=f(x)交于A(x1,y1)，四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f(x)=x2+aex−1（1）求a的值；（2）求f(x)的单调区间和极值.16．已知函数f(x)=x（1）求f(x)在[−2,（2）若函数f(x)恰有1个零点，求a的取值范围.17．已知0，1，2，3，4，5这六个数字．（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？（3）可以组成多少个无重复数字的小于1000的自然数？（4）可以组成多少个无重复数字的大于3000且小于5421的四位数？18．已知函数f(x)=ln（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）探究：是否存在实数a，使得函数g(x)=f(x)−ax−2在(0,e219．已知函数f(（1）若此函数的图象与直线x=1e交于点P，求该曲线在点（2）判断不等式f(x)>0的整数解的个数；（3）当exx<e2

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，每位同学都有3种选择，故共有3×3×3×3=3故答案为：D.【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=aex+bx的定义域为R因为函数fx在x=0处取得极小值1，所以f'(0)=ae0+b=0f(0)=ae0+b⋅0=1，解得a=1b=−1，

所以x=0是函数的极小值点，故a=1，b=−1，f'故答案为：C.【分析】由题意，根据函数的极值定义求解即可，注意检验.3．【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：

当x<−2时，g(x)>0，则f'(x)<0，即函数f(x)在当−2<x<0时，g(x)<0，所以f'(x)>0，即函数f(x)在当0<x<1时，g(x)<0，所以f'(x)<0，即函数f(x)在当x>1时，g(x)>0，所以f'(x)>0，即函数f(x)在则f(x)有3个极值点，故A错误；

f(x)在x=0处取得极大值，故B正确；

f(x)在x=−2和x=1处取得极小值，故C，D错误.故答案为：B.【分析】根据x的正负以及g(x)的正负，判断f'(x)的正负，求得4．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=xlnx的定义域为0，+∞，f'(x)=lnx+1(x>0)，

令f'(x)=0，解得x=1所以f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1当x∈(0,1)时，根据f(x)的单调性可知，故答案为：C.【分析】先求函数的定义域以及导函数，利用导数判断函数的单调性以及极值，从而判断即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：limΔx→0f(则−ba×3=−1，即a=3b，故f(x)=ax2+lnx故答案为：A.【分析】根据导数的定义求得切线的斜率，根据直线垂直列方程，求得a,b再求6．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=kx−6lnx−x2的定义域为0，+∞，求导可得f'(x)=k−6x−2x，

因为f(x)在[1令g(x)=6x+2x令g'(x)=0，得x=3，当x∈[1当x∈(3,+∞)所以g(x)的最小值为g(3)=43，所以k≤4故答案为：D.【分析】问题转化为f'(x)≤07．【答案】B【解析】【解答】解：由∀x1≤0,∃x2当x≤0时，函数f(x)=4x2−3x所以f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(0)=0，所以当x>0时，f(x)=x−alnx，则①若a>0，当x∈(0,a)时f'(x)<0，当所以f(x)在(0,a)上单调递减，在所以f(x)min=f(a)=a−a所以a−alna≤0，即1−ln②若a<0，则f'(x)=x−ax>0此时f(x)=x−alnx(x>0)值域为③当a=0时，f(x)=x(x>0)的值域为(0,综上所述，实数a的取值范围为(−∞,故答案为：B.【分析】由∀x1≤0,∃x2>0，使得f(x1)=f(x2)成立，可得函数8．【答案】A【解析】【解答】解：因为ex+x=1令f(x)=ex+x又f(x)=f(ln1y令g(x)=x−1ex，所以g'(所以g(x)在(−∞所以g(x)max=g故答案为：A.【分析】利用ex+x=ln1y+e9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、取f(x)=x13，则f但f(x)=x13在x=0B、(ln2+logC、函数f(x)=e−2x⋅则f'D、因为f(x)=2f'（1）x−令x=1，则f'(1)=2f故答案为：BD.【分析】举出反例即可判断A；根据基本初等函数的求导公式求导即可判断BC；求导可得f'(x)，再令10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、设g(x)=f(x)x(x>0)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，由g(1)>g(1B、由g(1)<g(2)得f(1)<1C、设h(x)=f(x)−2xx2所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，由h(1)<h(1D、由h(1)>h(2)得f(1)>1故答案为：BCD.【分析】设g(x)=f(x)x(x>0)，利用导数求出g(x)的单调性即可判断AB；设h(x)=11．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、当a=1，f(x)=lnx−x+1，f'当0<x<1时，f'(x)>0，故f(x)在当x>1时，f'(x)<0，故f(x)在[1,B、因为f(x)=alnx−ax+1，其中x>0，则f'所以f(3)=aln3−3a+1，f'(3)=−23a，故f(x)的图象在点(3,f(3))处的切线方程为y−(aln3−3a+1)=−23C、g(x)=f(x)+32x因为g(x)在区间[32,4]上单调递减，故可得a≥3x2x−1，令p(x)=3当32<x<2时，p'(x)<0，故当2<x<4时，p'(x)>0，故函数p(x)在因为p(32)=3×(32故a≥16，故实数a的取值范围是[16,D/因为g'由题意可知，方程g'(x)=0在即方程3x2−ax+a=0则Δ=a2−12a>0故答案为：AC．【分析】求出导数后判断其符号可得函数的单调性，即可判断A；求出函数的导数后求出切线方程，代入所过的点后可求参数的值即可判断B；求函数的导函数利用参变分离可求参数的取值范围，即可判断C；结合C中的导数，根据极值点的个数结合二次函数的图象和性质可求参数的取值范围，即可判断D.12．【答案】e【解析】【解答】解：函数f(x)=ex−x+1的定义域为R令f'(x)<0，得−1≤x<0；令f'故函数f(x)在[−1,0)上单调递减，在所以f(x)故答案为：e.【分析】求导，利用导数判断f(x)的单调性求其最值即可.13．【答案】144【解析】【解答】解：先涂区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法，区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，共有4×3×2×3×2=144种.故答案为：144种.【分析】根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理求解即可.14．【答案】2e；[【解析】【解答】解：函数f(x)=alnx的定义域为0，+∞，求导可得f'(x)=ax，

设切点为由alnx=2x得a=2xlnx，设g(x)=2xln当0<x<1或1<x<e时，g'(x)<0，此时，当x>e时，g'(x)>0，此时，当0<x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0，且当x→1时，g(x)→+∞，g(e)=2e，当x→+∞时，g(x)→+∞.所以当a∈(2e,+∞)时，直线y=2x与曲线y=f(x)有两个交点A(x1,y1)，B(x2,令t=x1x又alnx1=2x1aa=2x2lnxφ'(t)=φ(t)在[3设a=h(m)=2emh(m)在(0,ln32故答案为：2e；[43ln3,+∞).

【分析】求函数f(x)的导函数，设出切点(x0,alnx015．【答案】（1）解：因为f(x)=x2+a则f'(1)=1−a，因为函数f(x)=x2+a故(1−a)×(−14)=−1（2）解：因为f(x)=x2−3令f'(x)=0，解得x=3或x=−1，令f'(x)<0得x>3或x<−1，令列表如下：x(−∞−1(−13(3f−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘故f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(3,f(x)的极大值为f(3)=6e2【解析】【分析】（1）先求函数fx（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表求解即可.16．【答案】（1）解：f'可知x∈[−2,1]时，f'(x)>0，f(x)单调递增，x∈[1,2]时，f'(x)<0，f(x)单调递减；

x∈[2，3]时，由f(1)=52+af(x)（2）解：f当x<1或x>2时，f'(x)>0，当1<x<2时，所以f(x)在(−∞,1)和(2,所以f(x)极大值=f(1)=当x→−∞时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，因为f(x)有1个零点，故52+a<0或2+a>0，所以a<−5故a的取值范围.(−∞,−5【解析】【分析】（1）求导得f'(x)=3(x−1)(x−2)，根据导数的正负确定函数的单调性，求解（2）根据函数的单调性求解函数的极值f(x)极大值=f(1)=17．【答案】（1）解：分3步：①先选百位数字有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法；由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4=100个（2）解：分3步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法；由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4=48个.（3）解：分3类：①一位数，共有6个；②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字也有5种选法，共有5×5=25个；③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有5×5×4=100个；因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．（4）解：分4类：①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3=120个；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；④5420也满足条件；故所求四位数共有120+48+6+1=175个.【解析】【分析】（1）根据分步乘法计数原理，即可分别求解百位，十位以及个数的选择相乘求解；

（2）根据分步乘法计数原理，即可分别求解百位，十位以及个数的选择相乘求解；（3）根据分类加法计数原理，结合分步乘法原理求解即可；

（4）根据分类加法计数原理，结合分步乘法原理求解即可.18．【答案】（1）解：函数f(x)=lnx+ax+ax的定义域为当a=0时，f'(x)=1x>0当a≠0时，f'(x)=0，即ax所以方程有两个实数根−1+1+4a2①当a>0时，−1+1+4a2所以f(x)在区间(0，−1+1+4a②当a<0时，−1+1+4a2所以f(x)在区间(0，−1−1+4a综上所述：当a=0时，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在区间(0，−1−1+4a当a>0时，f(x)在区间(0，−1+1+4a（2）解：因为g(x)=f(x)−ax−2，则g(x)=lnx+ax−2g′(x)=1x−ax若a