天津市河东区2022-2023学年高二下学期数学期中试卷（含答案）

天津市河东区2022-2023学年高二下学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（）A．3种 B．6种 C．37种 D．1848种2．(x−3y)5A．90 B．-90 C．-270 D．2703．设函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=4x−3，则A．1 B．2 C．3 D．44．某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（）A．2% B．30% C．72% D．26%5．已知函数f(x)A．−32 B．32 C．36．已知随机变量X的分布列如下：X12Pmn若E(X)=53，则A．16 B．13 C．237．已知函数f(x)=ax3+bx+1的图象在点(1,a+b+1)处的切线斜率为6，且函数f(x)在x=2A．−263 B．7 C．2238．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A．5 B．8 C．14 D．219．已知a，b∈RA．acosa>bcosb B．acosa<b二、填空题10．已知随机变量X∼B(5，29)11．若二项式(x+ax)5的展开式中12．已知定义在区间x∈(0，π)的函数f(x)=sinxe13．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为.14．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)15．已知函数f(x)=(x−1)ex−kx三、解答题16．（1）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？（2）将五个不同的元素a，b，c，d，e排成一排.若a不排在首位，e不排在末位，求共有多少种排法？17．已知二项式(2x（1）求n的值；（2）展开式中的常数项．18．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=2xf'(1)+19．若函数f(x)=aex+2−20．已知函数f(x)=2x（1）讨论f(x)的单调性；（2）当0<a<3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M−m的取值范围.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】求不同的取法种数有3类办法，取1本语文类读物有12种方法，取1本政治类读物有14种方法，取1本英语类读物有11种方法，由分类加法计数原理得：不同的取法共有12+14+11=37种.故答案为：C

【分析】根据已知条件，利用分类加法计数原理计算可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】(x−3y)5展开式的第3项为T故答案为：A

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出(x−3y)53．【答案】D【解析】【解答】因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=4x−3，则所以limΔx→0故答案为：D

【分析】由已知可得f'4．【答案】A【解析】【解答】依题意，甲厂产品的不合格率是10%，乙厂产品的不合格率是20%，任意购买甲、乙厂各一件电子产品，这两件产品都不是合格品的概率为10%故答案为：A

【分析】根据已知条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式进行计算，可得答案.5．【答案】D【解析】【解答】f'(x故答案为：D.

【分析】根据导数的公式进行计算，可得答案.6．【答案】B【解析】【解答】由已知得m+2n=解得m=故答案为：B.

【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解，可得答案.7．【答案】C【解析】【解答】由题可知：f'则3a+b=6,12a+b=0,解得a=−23经检验，当a=−23，b=8时，f(x)在所以a+b=22故答案为：C

【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用函数f(x)=ax3+bx+18．【答案】C【解析】【解答】乙排在第五的情况有：A33，乙不在第五的方法有共有A3故答案为：C．

【分析】先求出乙排在第五的情况数，再求出乙不在第五的情况数，再由分类计数原理即可求解出答案.9．【答案】D【解析】【解答】∵a，又∵lg∴lg若a=b=1，则lga+a=若a、b∈(1，+∞)当a、b∈(0，又因为x∈(0，1)设ya=lga+a，构造函数f(x)=x令g(x)=sing(0)=0，且因此可知f'(x)>0，所以在x∈∴asin故选：D

【分析】利用a，b∈R+，c>−1，再利用lga+a+c=0    ，     lnb+b+c=0，得出lga+a=−c<1，lnb+b=−c<1，再结合分类讨论的方法结合不等式的性质和对数函数的单调性，得出当a、b∈(0，1)时，lga+a=lnb+b<1成立，再利用当x∈(10．【答案】70【解析】【解答】因为随机变量X∼B(5，29故答案为：70

【分析】根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解出答案.11．【答案】1【解析】【解答】二项式(x+ax由5−2r=−1解得r=3，因此展开式中1x的系数是a3C53所以实数a=1.故答案为：1

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，求出x的指数为-1时的系数，即可求出常数a的值.12．【答案】(0【解析】【解答】f'令f'(x)>0，即cosx−sinx>0显然sinx>0，即有cos因此0<tanx<1，则故单调递增区间为(0，故答案为：(0，

【分析】对函数进行求导，导函数大于零，即可求解出f(x)的单调递增区间.13．【答案】3【解析】【解答】不放回的逐一取球，在第一次取得红球的条件下，袋中还有2红3白的5个球，从中任取1球，有5个基本事件，取到白球的事件含有3个基本事件，概率为35所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为35故答案为：3

【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解出答案.14．【答案】1260【解析】【解答】详解：若不取零，则排列数为C52因此一共有C5【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，分类讨论，求解即可．15．【答案】(−∞【解析】【解答】由x1f(x由函数单调性的定义可得函数f(x)故f'(x即k⩽ex3x在(0，+∞)上恒成立，记g(x)=ex3x(x>0)所以函数g(x)在(故答案为：(−∞

【分析】根据函数的单调性，问题转化为k⩽ex3x在(16．【答案】（1）解：依题意，从7名志愿者中任选3人的方法种数是C73，3人性别相同的方法种是所以不同的选择方法种数是C7（2）解：元素a，b，c，d，e排成一排的排法种数是A5其中元素a排在首位的方法种数是A44，元素e排在末位的方法种数是而元素a排在首位且元素e排在末位的方法种数是A3所以符合要求的排法种数是A【解析】【分析】(1)由题意可知，选取的人为1女2男，2女1男，分别计数，利用分类加法计数原理求解即可；

(2)a不排在首位，e不排在末位有以下两种排法：①a排在末位，②a排在中间，分别求出它们的方法种数，最后根据加法原理，即可求出符合要求的排法种数.17．【答案】（1）解：因为前三项的二项式系数和是56，所以Cn0+整理可得：n2+n−110=0，解得：（2）解：(2x2+令20−52k=0所以展开式中常数项为C10【解析】【分析】(1)求出前三项的二项式系数和，建立方程即可求出n的值；

(2)求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解出展开式中的常数项．18．【答案】解：由f(x)=2xf'(1)+lnx求导得：f解得f'(1)=−1，因此f(x)=−2x+ln所以曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程是y−(−2)【解析】【分析】求出原函数的导函数，取x=1即可求得f'(1)，得到函数解析式，进一步求得f(1)，利用直线方程的点斜式得曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程.19．【答案】解：函数f(x)依题意，∀x∈(−π令函数g(x)=−sin当−π2<x<π4时，g'(x)<0，当当x=π4时，g(而当a=−22e−π4−2时，当且仅当x=所以实数a的取值范围(−∞−【解析】【分析】求出函数f(x)的导数，利用给定单调性建立恒成立的不等式，分离参数构造函数，求出最小值，进而求出实数a的取值范围.20．【答案】（1）解：f'(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)．令f'(x)=0，得x=0或x=a3.若a>0，则当x∈(−∞，0)∪(a3，+∞)时，若a=0，f(x)在(−∞，+∞)单调递增；若a<0，则当x∈(−∞，a3)∪(0，+∞)时，f'(x)>0；当x∈(a3，0)时，（2）当0<a<3时，由（1）知，f(x)在(0，a3)单调递减，在(a3，1)单调递增，所以f(x)在[0，1]