数学（新高考Ⅰ卷）01（参考答案）

2025年高考第一次模拟考试高三数学（新高考Ⅰ卷）01·参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DCBCCDDD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ACDABDBCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13． 14．3.3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【详解】（1）由

得，而为三角形内角，故sinB>0,得，.…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….….……2而为三角形内角，或.…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….…….…4分（2）由得，又，∴，故，….……….…….…….…….……6分由（1）得，故，….…….……….…….…….……….…….…….…….……7分∴，而为三角形内角，∴.….…….…….…….…….…….……8分又即，….…….…….…….…….…….……10分又，而为三角形内角，故，….…….…….…….…….…….……11分.…….…….…….…….…….…….…….…….……13分16．（15分）【详解】（1）函数的定义域为，….…….…….…….…….……2分当时，恒成立，在上单调递增.….…….…….…….…….……4分当时，由，得，由，得，则函数在上单调递减，在上单调递增.….…….…….…….…….……6分综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增..…….…….…….….…….…….…….…….…….…….…….…….…….……….…….…….…….…….……7分（2）由（1）知，当时，在上单调递增，由，知当时，，不符合题意；…….…….…….……….…….…….…….…….……9分当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故，由恒成立，得恒成立，…….…….…….……….…….…….…….…….……11分令，求导得，…….…….…….……….…….…….…….…….……12分当时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，所以，故恒成立，…….…….…….……….…….…….…….……14分因此，所以.…….…….…….……….…….…….…….…….……15分17．（15分）【详解】（1）依题意可知，直线，，两两垂直，以点A为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，….…….…….……1分依题意得C1,1,0，，，，….…….…….……2分因为，所以，所以，又，所以，又，，从而得，….…….…….……4分所以向量，，共面，又平面，平面，平面，所以平面．.…….……..…….…….…….…….……….……….…….…….……6分（2）由（1）方法1可知，，C1,1,0，，设平面的法向量为，则，即，取，则平面的一个法向量为，….…….…….……8分设平面的法向量为，则，即．取，则平面的一个法向量为，…….…….……….………….…….……10分则，…….…….…….…….……13分由图知二面角为钝角，…….…….……….…….….…….…….……14分故二面角的余弦值为．.…….…….……….…….…….…….…….……15分18．（17分）【详解】（1）由题意，2ab=4，又，解得，.…….…….……….…….….…….…….……2分所以椭圆的标准方程为．.…….…….……….…….….…….…….……4分（2）如图所示①设直线AB的方程为，设联立，得.…….…….……….………….…….…….……6分(*).…….…….……….….…….…….…….……7分.…….…….……….…….………….…….……8分=.…….…….…………….…….…….…….……9分，，整理得，.…….…….……….……..…….…….….…….…….……….….…….……10分所以直线和直线的斜率之和为定值0．…….…….……….…..…….………….…….……12分②由①，不妨取，则设原点到直线AB的距离为d，则又，所以.…….…….……….….…….…….…….……15分当且仅当时取等号．.…….…….……….…….…….….…….……16分．即四边形ABCD的面积的最大值为4．.…….…….……….….…….…….…….……17分

19．（17分）【详解】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法；当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法，剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有种站法．…….…….…….……3分（2）易知，．如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法；第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类：第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种；第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种．所以，，又，…….…….…….……6分所以．…….…….…….……8分所以数列，是首项为1，公比为的等比数列…….…….…….……9分（3）由题意可知，……….…….…….…….…….…….….