2025年上海高考数学复习热点题型专练：小题限时卷1（题型必刷ABC三组）（解析版）

：题型必刷•小题限时卷

..J_________...._________..............

小题限时卷01（A组+B组+C组）

（模式：12+4满分：72分限时：50分钟）

♦>-------A组.巩固提升----------O

一、填空题

1.已知全集{7={1,2,3,4,6,9},/={x|xeU且,则7=.

【答案】{2,3,6}

【分析】根据补集的定义求解即可.

【解析】全集U={123,4,6,9},则/=且«eU}={l,4,9},

故工={2,3,6}.

故答案为：{2,3,6}

2.若复数z=V^+i，则其共轨复数I的虚部为.

【答案】-1

【分析】写出共朝复数，再根据复数定义求解.

【解析】由已知三=血-3虚部为-1,

故答案为：-1.

3.不等式|x-l|>x+l的解集为.

【答案】{杂<0}

【分析】将原不等式转化为（x-l）2>（x+l）2,结合一元二次不等式的解法计算即可求解.

【解析】原不等式可变为。-1）2>（无+1）2,

整理得4x<0,解得x<0,

即原不等式的解集为{x|x<0}.

故答案为：{x|x<0}

4.已知向量Z=（2,0）,6=（1,1）,贝£在3方向上的数量投影是.

【答案】V2

【分析】根据平面向量数量投影的定义计算即可.

【解析】由向量口=（2,0）,6=（1,1）,

则鼠B=1X2+1X0=2，|^|=#+12=V2,

又Z在B方向上的数量投影为同cos扇B4=*=及，

故答案为：41.

5.函数y=igW1的定义域是.

【答案】(-8,-2)U(1,+S)

【分析】由真数大于零得不等式，转化为一元二次不等式求解即可得到结果.

【解析】由王二>0得，(x-l)(x+2)>0,不等式解集为(-8,-2)」(1,+e),

即函数定义域为+8).

故答案为：(-汉-2)51,+(»).

6.班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结

果有种.(结果用具体数字表示)

【答案】81

【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解.

【解析】每名学生可报一项或两项，所以有C；+C；=3,

所以4名学生共有3x3x3x3=81种.

故答案为：81

7.某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布N(115,〃),若尸(105WX4125)=g,则从参加这次考试的学

生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是.

【答案】《

【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得P(X>125)=1,设选中的学生的成绩高于125分的

4

人数为y~8(3,；),结论重复试验的概率计算公式，即可求解.

【解析】由题意，学生成绩X服从正态分布N(115,〃)，若尸(105WXW125)=g,

则尸(115VXW125)=/X尸(1054X4125)=]xg=；,

所以尸(X>125)=；-尸(115<X<125)=

从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，设选中的学生的成绩高于125分的人数为Y,

可得变量/~8(3,：),

所以至少有2名学生的成绩高于125分的概率为C；（；）2x（l-l）+（；）3=A

故答案为：卷.

8.已知ae[O,兀],且2cos2c-3cosc=5,则"=.

【答案】兀

【分析】由倍角公式化简方程，解出cosa,得a的值.

【解析】已知2cos2a-3cosc=5,由倍角公式得4«）$%-385&-7=（4««&-7）（€0$1+1）=0,

由ae[0,兀],cosae[-1,1],解得cosa=-l,则a=Jt.

故答案为：兀.

9.已知抛物线「：廿=4x的焦点为尸，准线为/,点M在：T上，MNLl/NFM=30。,则点M的横坐标

为.

【答案】|

【分析】过点尸作于点”，由抛物线定义以及三角函数可用含M的横坐标X”的式子表示

\NM\,\HM\,注意到pW|+|MH|=|NH卜1-（-1）=2,由此即可列方程求解.

【解析】如图所示：

过点尸作切于点a,

显然抛物线r：/=4x的焦点为F(1,O),准线为/:x=-l,

由抛物线定义有|断|=|祢,结合NNW=30°得NNAa=180°-2x30°=120°,

而|心|==XM+1,=\MF\COS60°=1(XM+1),

所以|ACV|+pWH|=XM+l+g(x〃+1)=1-(-1)=2OX"=1.

故答案为：—.

10.对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:

0-1010~2525-5050-100

①小雨②中雨③大雨④暴雨

小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级.(只填入雨水等级所对

【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解.

2r150

【解析】设圆锥形容器中积水水面半径为〃，则丽=而，解得，=50，

所以积水厚度为-171X502X150所以12.5e(10,25).

—=--------；=iZ.jmm

STtxlOO2

所以一天的雨水属于中雨.

故答案为：中雨.

11.已知函数ynV+hu-ax在区间上是严格减函数，则。的取值范围是.

【答案】1,+°°

【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，将问题转化为了40在(g,2)恒成立，且不恒为0,求解即可.

【解析】因为函数了=/+12-"在区间上是严格减函数,

所以"2芯+：-“40在上恒成立，且不恒为0,

所以2x+：W“在恒成立，

设〃X)=2X+L》€佶,21，贝U/，(x)=2-3=

令/3=0,解得x=变或x=-巫(舍去)，

22

因为工《多时，r（x）<0,.（字2）时,/V）>0,

所以〃x）在（g,等）单调递减，在（1,2）单调递增，

19

又因为/弓）=3,"2）=5，

所以当时，/（x）<|,

所以。巧9，

故答案为：?+°01

12.已知数列｛叫是等差数列，若才同=£|%+1|=£|4+2|=力《+3|=£|%+4|=2023,则数列｛%｝的

Z=1Z=1Z=1Z=1Z=1

项数"的最大值是.

【答案】44

【分析】构造函数，"）=力卜-回，则/（x）的图像与直线y=2023至少有5个公共点，确定

1=1

/1]“=2023,d>4,得到“2V2023,得到答案.

【解析】设等差数列的公差为1，构造函数/"）=丑卜-训，

Z=1

则/（X）的图像与直线y=2023至少有5个公共点，

横坐标分别为〃〃+d,an+\+d,a〃+2+d,%+3+d,a〃+4+d,

根据绝对值函数的性质知：

当"为奇数时，函数图像关于》=半1对称，时有最小值，

此时最多有2个交点，不满足题意，

ww+2

当〃为偶数时，函数图像在Qd,一^d上是一条水平的线段，可以有5个交点，

5dWa"+d<Q"+l+d<a〃+2+d<a〃+3+d<Q〃+4+dV——-d,

且/仅）=/（等"）=2023,

故—]d=d*+4+d—d=4,即屋4,

f（-d]=—d=2023,故/=4x2023W2023,故〃v44.

UJ4d

故答案为：44.

【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，数列的绝对值求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综

合应用能力，其中构造函数/（x）=£|x-训，再根据其性质得到"W2023是解题的关键.

i=l

二、单选题

13.在中,“sin/>sin3”是“4>8”的（）

A.充分非必要条件B.充要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】利用正弦定理，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.

【解析】在△“BC中，令角42,C所对边分别为a,b,c,

由正弦定理得sin/>sinB=a>b=A>B,

所以“sin/>sin8”是“4>8”的充要条件

故选：B

14.下列命题错误的是（）

A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B.设&〜若E©=30,。0=20,则”=90

C.线性回归直线了=公+6一定经过样本点的中心叵，歹）

D.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球

作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且E（x）=8

【答案】D

【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的定义依次判断选

项即可.

【解析】A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1,故A正确；

[zw=30

B：由4~5（七夕）,以9=30,。©=20,得V1解得〃=90,故B正确；

[np（l-p）=20

c：线性回归直线》=%+，一定经过样本点的中心丘5）,故c正确；

D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，

40x?0

所以由超几何分布的定义知X服从超几何分布，得E（x）=z^_=8,故D错误；

故选：D

15.若直线尸/垂直于以48为直径的圆所在的平面，C为圆周上异于45的一点，下列说法错误的是（）

A.AC1PBB.PCIBC

C.PAIBCD.2C_L平面尸4c

【答案】A

【分析】根据条件，利用线面垂直的性质定理和判定定理，对各选项分析判断，即可求解.

【解析】因为直线力垂直于以为直径的圆所在的平面N3C,

又BCu面4BC,所以尸/L8C,故选项C正确，

又NC_L2C,PA^AC=A,P/,/Cu面P4C,所以BC_L平面尸/C,

又尸Cu面尸/C,所以尸CL3C,故选项B和D正确，

对于选项A,若/C_LP8,又/C_L8C,BCCPB=B,BC,PB-PBC,

则/。_1面尸2。，又尸Cu面尸3C,所以/C_LPC,与尸/_L/C相矛盾

故选：A.

16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆。：・+/=1（°>1）上，且其中恰有两个顶点为椭圆C

的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②:

满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（）

A.命题①正确；命题②错误.B.命题①错误；命题②正确.

C.命题①，②均正确.D.命题①，②均错误.

【答案】C

【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案.

【解析】不妨设4（一见0）,《（。，1），

如图1,连接4当，

当4以为等腰三角形的底时，作4与的垂直平分线交椭圆于己。两点，

连接04，。％尸4，尸与，则为等腰三角形，满足题意,

图1

同理当4名,AR,4月为等腰三角形的底时，

也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个;

如图2,当4以为等腰三角形的腰时，以外为圆心，4层为半径作圆,

图2

则圆的方程为V+5-1)2=1+1,[(1-/

x2+(y-1)2-a1+\

联立一,消x得(1-/)/一2了=0,

—+y=1

2

解得…或卜=中

当y=0时，x=±2,则交点有4,4,

2

当-1<;-7<0，即时，

\-a

则圆与椭圆相交于点4,4,连接MA，NA，MBL，

其中△加^当二帖也满足要求，△44星三个顶点均为椭圆顶点，不合题意,

同理当4层,均4,4乌为等腰三角形的腰时，

也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个;

2

当;~r=-L即"百时，

\—a

则圆与椭圆相交于点4,4,4三点,

2

当■；~r>-i,即1<a<6时，则圆与椭圆相交于点4,4两点，

1-Q

综上，当4旦为等腰三角形的腰时，符合题意的三角形的个数可能是8个或0个;

如图3,以鸟为圆心，4层为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点瓦,S,7,

图3

连接期,S%冉，地，此时AS4%△俎为等腰三角形，满足题意，共有2个，

如图4,以用为圆心，片鸟为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点风,

连接UBL叫,％,此时△以也,鸟为等腰三角形，满足题意，共有2个,

图4

由椭圆性质可知，44为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，

而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，

综上所述，满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2=20或8+0+2+2=12,

所以满足条件的三角形至少有12个，最多有20个，

所以命题①，②均正确.

故选：C.

【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行

考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去.

.B组•能力强化♦>

一、填空题

1.已知集合/=[4,+s),8={2,4,6,8},则/口8=.

【答案】{4,6,8}

【分析】找出集合/与集合2的公共元素，即可确定出交集.

【解析】因为集合4=[4,+s),3={2,4,6,8},

所以/口8={4,6,8}.

故答案为：{4,6,8}.

2.在平面向量中，已知£是单位向量，向量办满足归-q=3,则W的最大值为.

【答案】4

【分析】由|a-司=3可得(a-])?=9,进而可得|-2向cos<>=8,再结合cos<>e[-1,1]即可得

24|否区4即可.

【解析】因为|a-加=3,所以(°-5了=-2a•否=1+1g『_21glcos<a,b>=9，

即|Z1-215|cos<a,5>=8,

又因为cos<a,b>e[-1,1],

所以一2111cos

同_2|K|<8

所以__，解得24年区4,

|6「+2$8

故⑸的最大值为4.

故答案为：4.

3.已知直线1过点尸(2,3),且它的一个法向量方=(1,-2),则该直线的一般式方程为

【答案】x-2y+4=0

【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解.

【解析】直线/的一个法向量亢=(1,-2),则该直线的斜率为右直线过P(2,3),

由点斜式得到直线方程为j-3=1(x-2)，化简得到一般方程：x-2y+4=0.

故答案为：x-2y+4=Q.

4.设等比数列{%}的前"项和为S"，若%=2,$2=3,则岬.

【答案】4

【分析】利用等比数列的性质得出，再利用等比数列的定义求得公比4,进而求得S.，即可求解.

【解析】•.・等比数列{%}的前〃项和为邑，％=2,$2=3,

a?1

a2=S2—ax=3—2=1,:•q=—二-

2

X，-l<x<0

5.函数y的值域为

0<x<2

【答案】0（

【分析】根据函数的解析式求得函数的值域.

【解析】当-IWXWO时，x2e[0,l],

当0K2时，吟

所以函数的值域为O,y.

故答案为：0,—

6.已知。>0,b>0,4a+/>=1,贝!J2叱的最大值为______.

a+b

【答案】I2

112ab2

----=-----

【分析】先求出一+工的最小值，再将化为a+b11,即可求得答案.

ab-十7

ab

【解析】因为a〉0,6>0,4a+6=l,

1,11z11、,，7、b4a「小[b~~4^^

故一+—=（一+—）（4。+b）=4+l+—H>5+2./—x——=9,

ababab\ab

当且仅当2=半，即a（时等号成立，

ab63

2ab_2<2、卜c

所以K?一『一5,即』，的最大值是

―+―a+b9

ab

2

故答案为：

7.在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图）,

其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是.

211368

302244559

4111336789

502455889

【答案】50

【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图即可得结果.

【解析】因为30x0.75=22.5,可知这组数据的第75百分位数是第23位数,

结合茎叶图可知第23位数是50,所以这组数据的第75百分位数是50.

故答案为：50.

8.已知一个圆锥的高是2,侧面展开图是半圆，则它的侧面积是.

・小今、87r,8

【答案】—

【分析】设圆锥的底面半径为〃，母线长为/,根据侧面展开图是半圆解得力=/,再由产+4=/求出乙/可

得答案.

【解析】设圆锥的底面半径为「，母线长为/,

1.

则无"=,兀/，解得2厂=/,

又由严+4=尸=4r2，可得r=,I=生^

33

所以圆锥的侧面积是加/=及、迪兀=§兀

333

故答案为：y.

(IK

9.随机变量X的概率分布密度函数/(%)=—=

e(I€R)其图象如图所示，设尸(XN2)=0.15,则

c/2兀

图中阴影部分的面积为

7

【答案】0.35/—

【分析】根据正态分布的对称性即可求解.

【解析】由题意可知则P(XW0)=尸(XW2)=0.15,

1-0.15x2

故图中阴影部分的面积为=0.35

2

故答案为：0.35.

10.在△/SC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若2=彳，b=6,a2+c2=2y/2ac>贝！1△48C

的面积为.

【答案】3

【分析】利用余弦定理，结合已知求出因，再利用三角形面积公式计算即得.

【解析】在△48C中，由余弦定理，W/?2=a2+c2-2accosB,贝U36=/+/—2ac(———),

于是3y/?.ac=36，解得ac=6^2!

所以△/BC的面积为S=：—acsinB=—x6^2x=3.

222

故答案为：3

11.已知函数/(x)=cos2x-ssiiw(加>1),若函数y=/(x)在区间(0,河)上恰有2024个零点,则所有可能

的正整数〃的值组成的集合为—.

【答案】{2023,2024}

【分析】化简函数得/(x)=-2sin。一加sinx+1,令f=sinx,换元得g(f)=-2产-加+1,根据二次函数零

点可得：原题意等价于sinx=qe(0,1)在区间(0,"兀)上恰有2024个零点，结合正弦函数的图象性质分析求

解.

【解析]/(x)=cos2x—机sinx=—2sin?x-机sinx+1,

令/usinx,te[-1,1],可得g(f)=-2/—,而+1,A=ZM2+8>0,

记g(0=-2/-加+1的两零点为"、t2,

贝！JV2=_g<0，不妨设.<0<，2，

且机>1,则g(-l)=_l+m>0,g(0)=l>0,g(l)=-m-l<0,

可知，<T(舍去)，0<?2<1,

原题意等价于sinx=f2e(O,l)在区间(0,"兀)上恰有2024个零点，

可知sinxf在(O,2E)和(0,(2"1)兀)(左为正整数)内不同根的个数均为2人，

所以"={2023,2024}.

故答案为：{2023,2024).

12.若曲线C的图象上任意不同的两点河(再,必)，N(%,%),坐标都满足关系

I------I---------1丫2

|士力-无2%|<收+了；.+贡，则在①y=2x；②j=sinx；®y=x+-；(4)------/=]中，不可能是曲线

x4

。的方程的序号为(填上所有正确答案的序号).

【答案】①②

【分析】由W%-<旧+y；-泥+乂将两边平方可得（再马+为yj>0,即可得到OM-ON^O恒成立,

利用特殊值判断①②，根据双曲线的性质判断③④.

【解析】因为M（xi，%）,/V（x2,y2）,

所以（W=（xQ］）,OJV=（x2,y2）,则。Af•0可=平2+VM，

由|再当一》2%汴斤.泥+货,

所以（X-工2%丫<A；+「J•出+货），

即w%—2再％工2%+x2y1<X）x2+x2y1+Xjy2+yxy2,

所以xfxf+2网%々必+y；£>0

所以（再3+/弘）>0，

所以（"/而『>o,

依题意可得丽:.砺w0恒成立，

对于①：7=2%,取“（0,0）,N不为（0,0）时加=（0,0）,此时恒有而.函=0,故①错误；

对于②：y=sinx,取M（0,0）,N不为（0,0）时而=（0,0）,此时恒有面.而=0，故②错误；

对于③：y=x+-,由对勾函数的性质可知，函数在（0,1）,（-1,0）上单调递减，

X

在（1,+8）,上单调递增，

且当x〉0时y>0,当x<0时y<0,

JT__

当M、N在同一支时，显然0</MON<5，所以南.丽>0；

JT_______

当M、N在不同支时，显然兀，所以丽.而<0；

综上可得丽.而片0恒成立，故③正确；

2

r11

对于④：y-/=l,双曲线的渐近线方程为丁=±万x，设直线y=的倾斜角为0,

2tan。4

则tan<9=；,所以tan26=所以:<2。苫，

1-tan20

TT

即两渐近线的夹角小于5,

JT_

所以当“、N在双曲线的同一支时，QvNMONJ，所以而•丽>0；

TT___

当〃、N在双曲线的不同支时，显然3<4MONMn,所以血.砺<0;

综上可得丽.而片0恒成立，故④正确；

故不可能是曲线C的方程的序号为①②.

故答案为：①②

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出(国工2>0,从而得到的".而片。.

二、单选题

13.下列函数是偶函数的是()

A.y=x--B.y=x3-xC.y=siiu-lD.y=ex+e~x

X

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.

【解析】选项A,令/(x)=x-L,定义域为{X|XH0},

X

1111

且f(-x)=(一幻----=-x+-=-(x__)=/(x),即y=x—_为奇函数，

-XXXX

选项B,令g(x)=x3—x,定义域为R,g(-x)=(-X)3-(-x)=-X3+X=-(x3-x)=g(x),

即y=X为奇函数；

选项C,令〃(x)=sinx-1,〃(5)=sin]-l=0,=sin(-^-)-l=一2w0,

故歹二sinx-l不是偶函数；

选项D,m(x)=ex+e~x,定义域为R,Mm(-x)=e-x+=m(x),则歹=e*+©一”为偶函数,

故选：D.

14.已知两条不同的直线加，n,两个不同的平面"，刀，则（）

A.若a〃4，"iua,7?u£,则小〃力

B.若加utz,nu。,mLn,则

C.若?M_La,n,则"〃a

D.若夕。6=〃，mua,m//p,则加〃"

【答案】D

【分析】对于A,由题意可得根,〃可能平行，也可能异面，即可判断；对于B,由题意可得能有a，尸,

也可能有々〃），也可能平面a,4相交，即可判断；对于C,由题意可得有可能是“〃a,也可能〃ua,

即可判断；对于D,根据线面平行的性质定理即可判断.

【解析】解：对于A,若a〃），mua,〃u£,则加，〃可能平行，也可能异面，故A错误；

对于B,若mua,nuB,mln,则可能有aJ■方，也可能有"〃刀，也可能平面"，4相交，故B错

误；

对于C,若加_Ltz,nlm,则有可能是"〃a,也可能"ua,故C错误，

对于D,根据线面平行的性质定理可知若="zua,m//13,则m〃"，故D正确，

故选：D.

15.抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件“、8和

C,则下列说法错误的是（）

7

A.事件/、8和C两两互斥B.尸（4）+P（8）+P（C）=—

8

C.事件/与事件BuC是对立事件D.事件/UB与BuC相互独立

【答案】C

【分析】利用互斥事件的定义判断A,；利用互斥事件概率加法公式求解判断B；利用对立事件的定义判断

C；利用相互独立事件判断D.

【解析】抛掷三枚硬币，样本空间"=｛（正，正，正）,（正，正，反）,（正，反，正）,（反，正,正），

（正，反，反）,（反，正，反）,（反，反，正）,（反，反,反）｝）共8个样本点,

事件/=｛（正，正,正）｝,B=｛（正，正，反）,（正，反，正）,（反，正,正）｝,C=｛（正，反，反）,（反，正，反）,（反，反,正）｝,

对于A,事件4B,C中任何两个事件都不能同时发生，事件。两两互斥，A正确：

1337

对于B,P（A）+P（B）+P（Q=-+-+-=B正确；

OOOO

对于C,事件A与BuC可以同时不发生，事件/与事件BuC不是对立事件，C错误；

131333

对于D,P（A+B）=P（A）+P（B）=-+-=-,P（B+Q=P（B）+P（C）=-+-=-,

oo2oo4

P[｛AU5）n（5uC）]=P（5）=-=UB）P（BuC）,则事件/UB,8uC相互独立，D正确.

8

故选：c

16.设函数>=〃x)在区间/上有导函数y=/'(x),且/'(尤)<0在区间/上恒成立，对任意的xe/,有

/(x)e/.对于各项均不相同的数列｛。“｝,a^I,a„+l=f(a„),下列结论正确的是()

A.数列｛出1｝与｛%“｝均是严格增数列

B.数列｛电“T｝与｛的“｝均是严格减数列

C.数列｛g"/与｛g/中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列

D.数列｛%-｝与｛々“｝均既不是严格增数列也不是严格减数列

【答案】C

【分析】由条件易知函数y=f(x)在/上严格递减，构造%+2-2"=/(%+1)-/(%_)，因数列｛%｝的各项

均不相同，由出"+1，。2.一1的大小比较，利用函数单调性可得%"+2,%”的大小关系，即得结论.

【解析】依题意，因r(x)<0在区间/上恒成立，则函数y=/(x)在/上严格递减，

由。2"+2-。2.=/(。2"+1)-/(。2"一1)，"CN*,因数列｛%｝的各项均不相同，且为€，，

若a2n+l〉。2所1,则/(。2.+1)</(“2"-1),即a2n+2<a2n，即此时数列｛。2-｝严格递增，数列｛的"｝严格递减；

若%+1<。21，则/(a2“+l)>/(a2“T)，即出"+2>。2”，即此时数列｛。2”1｝严格递减，数列｛/“｝严格递增.

综上所述，数列｛4,-J与｛%,｝中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列.

故选：C.

【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数单调性判断数列的单调性的应用，属于难题.

解题思路在于根据选项信息，考虑数列中连续偶数项的差，通过对应的连续奇数项的大小比较，借助于函

数单调性得出偶数项的大小关系.

o-----------c组•高分突破-----------*

一、填空题

1.若集合/=｛-l,0,l,5,10,20｝,5=｛_v|lgkVl｝,则/口8=.

【答案】｛1,5｝

【分析】解对数不等式得出集合B,然后再根据交集的定义即可得出答案.

【解析】5=｛x|lgx<l｝=｛x|0<x<10｝,所以/C8=｛1,5｝.

故答案为：｛1,5｝

22

2.椭圆土+匕=1的焦点坐标为

210

【答案】(0,±2也)

【分析】由椭圆的性质求出即可；

【解析】由题意可得/=10万=2,所以‘2=/_廿=8,且焦点在y轴上，

所以焦点坐标为(o,±2也)，

故答案为：(0,±20).

3.已知点尸(3,-4)是角a终边上一点，则cos2a=.

7

【答案】一石/一°28

【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可.

【解析】因为点尸(3,-4)是角a终边上一点，，

7

故答案为：一石.

4.已知函数y=/(x),若(⑴=2,则欣〃"？一/⑴二

【答案】2

【分析】根据导数的定义计算可得.

【解析】因为/'⑴=2,所以廛+尸(1)=2.

故答案为：2

5.不等式3"+lgxW3的解集是

【答案】(0』

【分析】设/(x)=3"+lgx,判断其单调性，根据函数的单调性即可求得不等式.的解集.

【解析】由题意可设〃x)=3'+lgx,定义域为(0,+oo),

由于y=3'/=1g无在(0,+8)都单调递增，

故/(x)=3、+1gx在(0,+oo)上单调递增,且/0)=3,

故不等式3，+lgx<3的解集是(0』，

故答案为：(。川

6.在(3/-2］的二项展开式中，常数项为

【答案】405

【分析】由二项式展开式的通项中令2(10-。-；厂=0,再求出即可;

【解析】展开式的通项为1包二加。。/)®]-/],

令2(10一r)_gr=O,解得r=8,

所以常数项为C：032X(-1)8=405,

故答案为：405.

7.若函数/(x)=x+：在区间(。,+00)上是严格增函数，则实数。的取值范围是.

【答案】[1,+8)

【分析】根据对勾函数的知识求得正确答案.

【解析】由对勾函数性质可知，/(X)在(1,+8)上是严格增函数，

所以(。,+8)=1,+8)

所以ae[l,+8).

故答案为：口,+°0)

8.已知i为虚数单位，设加eR.若2+i是实系数一元二次方程/-加x+5=0的一个虚根，则加=.

【答案】4

【分析】将2+i代入方程计算即可求解出加的值.

【解析】因为2+i是/-必+5=0的一个虚根，所以(2+叶-加(2+i)+5=0,

化筒可得8—2加+(4—加)i=0,所以＜，即加=4,

[4—加=0

故答案为：4.

9.已知随机变量x的方差。(x)=i,则随机变量y=3x+2的方差。(丫)=

【答案】9

【分析】利用方差的性质直接计算求解即可.

【解析】因为随机变量X的方差。(x)=l,随机变量y=3X+2,

所以。(y)=D(3X+2)=32£»(X)=9

故答案为：9

10.二面角[-/-4的半平面a上有一点A,到直线/的距离为4,到平面方的距离为2,则二面角[-/-6

的大小是.

【答案】g或篙

66

【分析】作出图像，根据二面角定义求解即可.

【解析】①如图，过点A作/C，/于点C,4DL平面?于点。，则二面角a7—4是4CD

an-i兀

/C=4,AD=2,则sin/AZ7=—=—,/.ZACD=-,

AC26

①如图，过点A作于点C,4。_1平面分于点。，则二面角a-/一4是的补角

AHijr

AC=4,AD=2,贝!Jsin/ND=—=—,：./ACD=一,二面角cc—l-13

AC26

%5%

为不

，二面角的大小是：涛?

故答案为:港青

11.如图，探测机器人从。点出发,准备探测道路0A和0B所围的三角危险区域.已知机器人在道路0A和0B

上探测速度可达每分钟2米，ZAOB=60°,在N/O8内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人

可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器

人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为

OL-----------------------B

【答案】迎m

3

【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可.

【解析】如图所示，机器人只在道路上前进可到达N3点，则。/=。=10米,

作N/O8的角平分线OC,过工作4DLOB,垂足为。点，交0c于C点，

设机器人先在道路OA上前进f分钟到达P点，

此时OP=27,AP=10-2f,后进入危险区域，

其能探测到达的点组成以P为圆心，以（5-。为半径的圆弧武，

y1

由题意可知：—=-=sinZCMD,即40与该圆弧相切，设切点为E,

故随P点从。移动到/,机器人可探测的区域为△04。，

结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有△04。与人05尸，即图中阴影部分,

其面积为2s.OAC'

易知AO/C为含120。的等腰三角形，所以区域面积为：2x」xCM2xsinl2（r=旦亚.

23

故答案为：也叵

3

【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再

解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.

12.已知集合〃={々送,5,…2,〃eN是由函数〉=8次广€[0,2可的图象上两两不相同的点构成的

点集，集合S={a|a=丽•玩「=0,1,2,…,％〃N2,〃eN},其中《（0,1）、6（私-1）.若集合S中的元素按照

从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差数列，当时，则符合条件的点集M的个数为.

【答案】60

【分析】确定数列中最大值为1,最小值为-1,然后根据d分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点？

的横坐标的值，然后由M中对应点的情形确定集合个数.

【解析】由已知%=砒•函=1,%=函•西=一1,

设月（4％），则生=西-斯=%,显然

若d=l,贝”={-1,0,1},因此有％=0,

由cosX,.=0,X,.e[0,2利得玉、TT或三47r，对应0亨7T0）,&（三37r,0）,

同理。3（2兀,1）对应4，

集合“中已经含有点乙，4，

因此产生S={-1,0,1}的集合M中，点口可有也可没有，2,2至少有一个，

所以M的个数为2x3=6,

若d=；,则5={一1,一；,0,；,1},

1271T4兀1兀…5兀

cosx.=——,%=:-或x二-,cos=—,苞=7或不"，

233233

i,>.1八/兀1、八/5兀1、八/2兀1、八,4兀1、

对应点。4（5，5）,。5（”-，不入以仆-「/方与"厂不）,

产生｛-1,-；。；」｝的集合M中，点。3可有也可没有，0,2至少有一个，

。4，以中至少有一个，以，。7中至少有一个，〃■的个数为2x3x3x3=54,

综上，集合新的个数为6+54=60.

故答案为：60.

【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最

大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数.

二、单选题

13.已知直线加，平面则“直线是“"〃a”的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义可判断.

【解析】若直线加，平面a,nlm,则直线”u平面a或〃//&；

若直线加_L平面a,直线〃〃a,则〃L",

所以“力1m”是“nHa”的必要不充分条件.

故选：B.

14.某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率

分布直方图.则下列结论错误的是（）

A.估计数学成绩的众数为75B.a—0.05

C.估计数学成绩的7