2025年人教版七年级数学寒假提升讲义：实数及其简单计算（知识串讲+考点+过关检测）（原卷版）

第07讲实数及其简单计算

-•模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1、了解无理数和实数的概念。

模块二基础知识全梳理(吃透教材)2、会对实数按照一定标准进行分类

模块三核心考点举一反三3、掌握实数的相关概念，增强学生应用数学的意识,

模块四小试牛刀过关测提高学生应用数学的能力。

6模块一思维导图串知识-

分类

有理数的运算法则及性质等同样适用

先进行防和开方运算

运算

再算乘除

运算顺

最后算加减

如果遇到括号，则先进行括号里的运算

实数

表现形式滔>0

Va>0(a>0)

*非负数的性质

非负数有最小值零

非负数之和仍是非负数

几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0

模块二基础知识全梳理

1.无理数

无理数：无限不循环小数叫做无理数.

【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.

常见的无理数：

1）一般的无限不循环小数，如0.43241…,7.6385661…等

2）开方开不尽的数，如：V2、石等.

［易错］带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.

3）与圆周率口有关的数，如5口，3+n,"等.

4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…

5）某些三角函数，如sin60°、cos20".

【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.

利用数轴表示无理数的方法：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段,

一般地，根据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上

述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.

2.实数及其分类

实数的定义：有理数和无理数统称为实数.

正整数

自然数

能够写成分数的嬴）0

\有理数负整数

正分数

按定义分类

正无理数

无理数

负无理数

实数的分类:

实数正整数

正有理数---------

正分数

正实数

正无理数

0

按性质分类

负有理数---------

负分数

负实数

负无理数

实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示

一个实数，实数与数轴上的点一一对应.

3.实数的运算

实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘

方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法

则及性质等同样适用.

运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.

4.实数的非负性及性质：

1）非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|》0；

②任何一个实数a的平方是非负数，即。2三0；

③任何非负数的算术平方根是非负数，即迎NO.

2）非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：无理数的判断

1.（24-25七年级上•浙江台州•期末）在实数3.14159265,—逐，阿中，属于无理数的是（）

A.3.14159265B.-V5C.1D.V64

2.（24-25七年级上•浙江杭州,阶段练习）在实数3,1415926,p0,y,V100,-0.32,-V100,

0.1010010001…（两个"1”之间依次多个"0"）中无理数的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（24-25七年级上•云南文山•期中）下列各数中方3.141141114...,瓜0.16,瓜0,V16,p无理数

的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

考点二：无理数大小的估算

4.（24-25七年级上•浙江杭州•期中）若整数a满足条件通＜a＜后，则a的值是—.

5.（24-25七年级上•浙江台州•期末）已知a＜旧＜b,a和6为相邻的整数，贝M+b的值为（）

A.8B.9C.10D.11

6.（24-25七年级上•山东泰安•阶段练习）估计&T+1的值在（）

A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间

7.（24-25七年级上•浙江金华•期中）如图，长方形内部有两个相邻的正方形，面积分别为10和4.

S=-1

⑴请计算阴影部分的面积.

（2）请计算阴影部分的周长，并估计该周长最接近哪个整数.

考点三：无理数整数部分的有关计算

8.（24-25七年级上•浙江・期中）若爪=后一2,则与m最接近的整数是.

9.（23-24八年级下•河南安阳•阶段练习）若遮的整数部分为x,小数部分为y,则y的值是（）

A.1B.V3C.V3-1D.2-V3

10.（24-25七年级上•山东淄博•阶段练习）已知a,6分别是6—限的整数部分和小数部分，那么2a—b的

值是（）

A.3-V13B.4-V13C.V13D.5-V13

11.（24-25七年级上•浙江绍兴•期中）阅读理解：vV4<V7<V9,即2<V7<3.

•••V7的整数部分为2,小数部分为V7—2.

1<77-1<2.

・•.V7—1的整数部分为1.

V7-1的小数部分为夕-1-1=77-2.

解决问题：

⑴填空：建的整数部分是,同一3的小数部分是；

（2）如果V7+1的小数部分为a,3-V7的整数部分为6,求a+b—V7的值.

12.（24-25七年级上•浙江杭州•期中）若a,6互为相反数，c=‘苧，"是VI3的小数部分.

(1)填空：a+b=_；c=_；d—_.

(2)求竽+-d的值.

13.（2024七年级上•全国•专题练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道鱼是无理数，而无理数是无限

不循环小数，因此鱼的小数部分我们不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部

分，因为鱼的整数部分是1,于是用四一1来表示鱼的小数部分.又例如：

•.•V4<V7<V9,即2<77<3,

・•.V7的整数部分是2，小数部分为V7-2.

根据上述材料，回答下列问题：

⑴行的整数部分是二小数部分是」

（2）6+旧也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a<6+K<b，求a+6的值；

（3）已知10+眄=x+y,其中x是整数，且0<y<l,求3x—y的值.

考点四：实数的分类

14.（24-25七年级上•浙江温州•期中）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现"实数"、"整数"、"正数"、

"无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数.

①；②；③；④；⑤；⑥.

为

MW\

15.（24-25七年级上•浙江宁波・期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里：

①7；②—2.6；③苫；④2|；⑤而；⑥―今⑦（"）1©0.3030030003……（两个"3"之间依次

多一个"0"）

整数集合：｛｝;

负分数集合：｛｝:

无理数集合：｛｝:

16.（24-25七年级上•湖北十堰•期中）将下列各数填入相应的括号内：

-2.5,0,8,f,—1.121121112…，*-0.05

正数集合：｛…｝;

有理数集合：｛

负数集合：｛

无理数集合：｛

17.（2024七年级上•全国•专题练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）：

①一2,②兀，③一，④一|一3|,⑤弓，⑥一0.3,⑦一衣⑧心⑨0,⑩1.1010010001…（每两

个1之间依次多一个0）.

正数：｛

整数:｛

分数：｛

非负有理数：

无理数：｛

负实数：｛

考点五：实数的性质

18.（24-25七年级上•山东泰安•阶段练习）一遍的相反数是—,绝对值等于或的数是—，|3—兀|=—

19.（23-24七年级下•四川广元•期末）在数一0.1,0,3弘和4—IT中，绝对值等于它本身的共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

20.（23-24七年级下,天津河西,期中）下列说法正确的是（）

A.遮一班的相反数为板一四B.兀一3.14的绝对值是3.14—兀

C.若久2=6,贝！|久=乃D.若久3=6,则乂=士四

考点六：实数与数轴

21.（24-25七年级上•浙江舟山•期中）如图，2X2正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边

的中点4、B、C、D得正方形力BCD,则正方形4BCD的边长是,以顶点C为圆心，CD长为半径画圆交

数轴的负半轴于点P,则数轴上点P对应的无理数是.

22.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的

一点4（滚动时与原点重合）由原点到达点B,贝的长度就等于圆的周长,所以数轴上点B代

23.（24-25七年级上•浙江杭州•期中）若a,b是实数，且|a|=a，网=一6,a>\b\,则用数轴上的点来表

示a,b,正确的是（）

_______I______________I_____I______________________________________I______________I_____I_____

A.a0bB.60a

_______i_____i_______________i_____>------------1——।-----------------------1---------->

C.60aD.aQb

24.（24-25七年级上•全国•期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点人与数轴上的原点重合，是圆片

的直径.

B

⑴把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是—数（填"无理"或"有理"）,

这个数是—；

（2）把圆片沿数轴滚动2周，点4到达数轴上点D的位置，点。表示的数是一；

⑶圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如

下：+2,-1,+3,—4,-3.

①第几次滚动后，a点距离原点最近？第几次滚动后，a点距离原点最远？

②当圆片结束运动时，a点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？

考点七：与实数有关的化简问题

25.（2024七年级上•浙江・专题练习）如图，a,6,c是数轴上三个点/、B、C所对应的实数.试化简:

必+|a+b|+V（a+b）3—什一c1

ill1A

BA0C

26.（23-24七年级下•湖北恩施•期中）实数a,b,c是数轴上三点4,B,C所对应的数，如图，

(1)比较大小Q_0；ci—b_0；CL+b_0；b—c_0

⑵化简：+\a—b\+y(a+5)3—\b-c\

27.（23-24七年级下•湖北恩施•期中）已知实数访6在数轴上的位置如图所示：

L工LA

U（］h

⑴化简：a+b—+2Vtt^；

⑵若1+2|可的平方根是±夜;2。+人一4的立方根是一2,求Q+2b的算术平方根.

28.（23-24七年级下•福建福州•阶段练习）如图，一只蚂蚁从点/沿数轴向右爬了3个单位长度到达点S点

4表示一鱼，设点8所表示的数为

-2-1012

⑴实数m的值是；

⑵在数轴上还有C、。两点分别表示实数c和d,且12c+研与述d+4互为相反数,求3c+d的值;

⑶在数轴上还有E点表示实数久，且1＜久＜根，化简：|比一1|+J(x—2)2

考点八：实数的比较大小

29.(2024七年级上•全国•专题练习)比较下列各数的大小:

(1)277和4四；

(2)近和今

30.(2024七年级上•全国•专题练习)比较下列各组数的大小:

(l)V5-3,亨；

V3

')"F'-F'

31.(24-25七年级上•浙江•期中)已知下列各数：一4,-71,|—3|,V4,0.

⑴将上述各数表示在数轴上.

IIIIIIIIIII_____IIIIII

-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

(2)将上述各数按从小到大的顺序用"＜"连接.

考点九：实数的混合运算

32.(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)计算：

(1)(V3+V2)-(V3-V2)

(2)716++|1-V5|

33.(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)计算

(1)|V2-V3|+2V2

(2)(-l)2024+7(-4)2-V27

34.（2024七年级上•全国•专题练习）计算:

(1)|V^64|；

(3)(V7)2+7(^-2.

35.（23-24七年级下•云南曲靖•期中）计算：（—1）2024+V_27—|2—何+—3）2.

36.（24-25七年级上•浙江宁波•期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法、错

位相减法等，请计算下列各式:

(1\___I______I______|_........_|-

\,1x22x33x42023x2024

⑵+++_-

I‘1x33x55x72021x2023

1111

'‘1x44x77x102020x2023

(4)|1-V2|+|V2-V3|+|V3-V4|+……+|V2023-V2024|=

考点十：实数运算的实际应用

37.（20-21七年级下•湖北武汉•期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地,

长方形长宽之比为3：2.

⑴求该长方形的长宽各为多少？

（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3,

面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由.

38.（23-24九年级上•河南周口•阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式

为7=2*其中T表示周期（单位：C,/表示摆长（单位：m）.假如一台座钟的摆长为。2m.（兀取3,

g=9.8m/s2)

⑴求摆针摆动的周期.

（2）如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？

39.（22-23七年级下•福建莆田•期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一

种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小

于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？

40.（21-22七年级下•北京•期中）"说不完的鱼”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.

（1）近到底有多大？

下面是小欣探索鱼的近似值的过程，请补充完整：

我们知道面积是2的正方形边长是VL且鱼>1.4.设鱼=1.4+x,画出如下示意图.

由面积公式，可得N+=2.

因为x值很小，所以好更小，略去得方程,解得x=（保留到0.001）,即鱼〜.

（2）怎样画出鱼？请一起参与小敏探索画鱼过程.

现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1）,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分

割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.

小敏同学的做法是：设新正方形的边长为x（x>0）.依题意，割补前后图形的面积相等，有炉=2,解得

%=V2.把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形.

n-----r

n------1

n------1

-i------11------r

图⑵图(3)图(4)

请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3）,请把它们分割后拼接成一个新的正方

形.要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不

要求写分析过程.

考点十一：与实数运算有关的新定义问题

41.（24-25七年级上•河南濮阳•期中）对于有理数a,b,定义一种新运算：途6=1篝”旗绦），例

如：3X1=3—1=2,5※4=5+4—6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

⑴7派3；

（2）（-3）※（一5

42.（24-25七年级上•辽宁锦州•期中）材料一：对任意有理数a,6定义运算"因"，a（g）b=a+6—等，

如1⑤2=1+2—等=—竿，10203=1+2-^+3^=-2017.

材料二：规定回表示不超过a的最大整数，$n[3.1]=3,[-2]=-2,[-1,3]=-2.

（1）206=,=；

（2）a是有理数，[a]+[—a]=；

⑶求10203040•••（8）202202023的值.

43.（24-25七年级上,浙江温州•期中）定义一种新运算"0"：当a26时，a0b^ab-b2；当a<6时，

a0b=ab—a2.

（1）根据定义计算：

①（一1）国2,2G）（—1）；

②（一3）（8）（-2）,（-2）0（-3）.

（2）根据（1）中的计算结果，请直接判断该运算是否满足交换律.

⑶己知［(a—2)2+1］名)1=9,求a的值.

44.(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中)【数学中的阅读理解】对于实数a,我们规定：用符号［加表示不

大于的最大整数，称［VH］为a的根整数，例如：［眄］=3,［”团=3.

⑴仿照以上方法计算：-［V39］=;

(2)若［①］=1,写出满足题意的％的整数值________:

⑶如果我们对a连续求根整数，直到结果是1为止.例如：对10连续求根整数2次N葩=3+［方］=1,这

时候结果为L则对有理数137连续求根整数，之后结果是1;

⑷只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是.

45.(23-24七年级下•吉林・期末)在平面直角坐标系中，已知任意两点4(a,b),B(m,n),规定2区B=

(—mVa.Vbn),若P(9,—1),且P<8>Q=(—6,3),求点。的坐标.

46.(23-24七年级下•广东阳江,期末)【阅读新知】

定义：如果一个数的平方等于一1,记为i2=—1,这个数i叫做虚数单位，我们把形如a+6i(a,6为实数)

的数叫做复数，。叫做这个复数的实部，6叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘

运算类似.例如：i3=ii-i=(-l).i=-i.复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加.例

如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

【应用新知】

⑴填空：i4=;i5=.

(2)计算：(4-2i)+(-5+6i).

考点十二：程序设计与实数运算

47.(24-25七年级上•浙江杭州•期中)每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图:

例如：当输入x的值为一1时，计算结果g<4；将输入值变为(一1)+1=0,计算结果为遍<4；再将输入

值变为了0+1=1,继续运算，直到计算结果不小于4,才输出该结果.

请思考下列问题.

⑴当输入x的值为5,则输出y的值是多少？请列式计算.

(2)当起始输入x的值为1,请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出八

48.(24-25七年级上•浙江舟山•期中)如图所示为一个数值转换器.

|输入x|金算术平方根性?输曲|

是有理故

⑴当输入的X的值为49时，输出的y的值是；

(2)若输入有效的R直后，始终无法输出y的值，请写出所有满足要求的X的值：

⑶若输出的y值是遮，请写出两个满足要求的x的值：.

49.(23-24七年级下•广东阳江,期中)如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y

的值，并写出详细过程.

输Axl

输出y

50.(23-24七年级上•浙江•期末)有一个数值转换器，运算流程如下:

⑴在一1,2,4,16中选择3个合适的数分别输入久，求对应输出y的值.

(2)若输出y的值为—V3,求输入x的值.

考点十三：与实数运算有关的规律探究问题

51.(24-25八年级上•湖南衡阳•阶段练习)先观察等式，再解答问题:

①Si==1+A击=等②S2=J1+/+1=1+A击=4

⑴请你根据以上三个等式提供的信息，猜想h+±+之=_____；

•M4Z5Z

(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式：―("为正整数);

⑶应用上述结论，请计算S1+$2+S3+$44----+S100的值.

52.（24-25八年级上•山西临汾•阶段练习）先阅读材料，再回答问题:

V13=V12=1

J13+23==3

J13+23+33——=6

,13+23+33+43=V1Q2=10

⑴请根据以上规律写出第七个等式；

⑵根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55,请写出这个等式；

⑶根据以上规律，写出第"个等式.(用含有〃的式子表示，〃为整数，且n21)

53.(22-23七年级上•广东潮州•期中)我们来看下面的两个例子：

(V9x4)2=9x4,(V9xV4)2=(呵2x(VI)2=9x4,

和眄x迎都是9x4的算术平方根，而9x4的算术平方根只有一个，

所以人9x4=V^xV?.

(V5x7)*2=5x7,(V5xV7)2=(V5)2x(V7)2=5x7

V5x7和通xV7都是5x7的算术平方根，

而5x7的算术平方根只有一个，所以_(填空)

(1)猜想：一般地，当a20,620时，而与V^xVF之间的大小关系是怎样的？

(2)运用以上结论，计算：V64X225的值.

54.（23-24七年级下•广东江门•期中）先观察下列各式VT=1,VTTI=V4=2；Vl+3+5=V9=3；

Vl+3+5+7=V16=4；

⑴计算：Vl+3+5+7+9+ll=_

⑵已知〃为正整数，通过观察并归纳，请写出：（1+3+5+7+9+11+...+（2n-1）=_

⑶应用上述结论，请计算A/4+12+20+28+36+44+…+204的值.

考点十四：与实数运算有关的阅读理解类问题

55.(23-24七年级下•重庆江津•期中)阅读下面文字，解答问题：

大家知道：鱼是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此近的小数部分我们不能全部写出来，于

是小明用鱼一1来表示鱼的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上小明的表示方法有道理的，因为鱼

的整数部分是L将这个数减去整数部分，差就是小数部分.又例如：:V4<V7<V9,即2<b<3,

V7的整数部分为2,小数部分为(V7—2).请解答：

⑴市的整数部分为—，小数部分为

(2)已知：x是7—逐的整数部分，y是7—伤的小数部分，求2x—y的值.

(3)已知x,y是有理数，并且满足等式%2—2〉一&7=17—4鱼，求x+y的值.

56.(21-22七年级下•山西阳泉,期中)阅读材料，完成下列任务：

因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：小鱼等，而常用的

"…"或者的表示方法都不够百分百准确.

材料一：•••V4<V7<V9,即2<77<3,1<V7-1<2.

.•.V7—1的整数部分为1,小数部分为V7—2.

材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值.

我们知道面积是2的正方形的边长是VL易知a>1,因此可设&=1+*可画出如图示意图.

解：由图中面积计算，S正方形=/+2x1,x+1,

'''S正方形=2,

•1•x2+2X1-x+1=2.

・•・X是鱼的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略好,

得方程2x+1=2,解得x=0.5,即鱼=1.5.

解决问题：

⑴利用材料一中的方法，求俄的小数部分；

(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究伤的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解过

程)

57.(24-25七年级上•浙江杭州•期中)阅读下面的文字，解答问题.

如果无理数x满足机＜x＜机+1(其中机是整数)，那么称(m,ni+l)为无理数万的"相邻区间”.例如，因为

I2＜(V3)＜22,所以1＜遮＜2,所以称(1,2)为VI的"相邻区间

请解答下列问题：

⑴求无理数屈的"相邻区间

⑵已知(1+遮)的"相邻区间"是(m,zn+l),且m+a=l-遮,求a的值.

(3)已知y是正整数，若4＜y+近＜5,求y的值.

58.(23-24七年级下•山西阳泉,期末)阅读与思考

下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

*年*月*日星期二晴

无理数与线段长今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了"数轴上的点与

实数----对应”这一事实.

回顾梳理：要在数轴上找到表示土企的点，关键是在数轴上构造线段。4=。4=VL课本里有这样一个探

究：如图1,把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到

一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小

正方形的对角线长为鱼；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2,正方形的边长为1个单

位长度，以原点。为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点/、4,贝IJ,点N对应的数为近，点4

对应的数为一夜.

一一一

LF_JlIM」-2-4-101423-2-IfloI2R3

图I图2图3

类比思考：如图3,改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上

构造出线段。B与。/，其中O仍在原点，，点、B,用分别在原点的右侧、左侧，可由线段。8与。夕的长得到

点、B,所表示的无理数！

按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！

任务：

（1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想.

A.方程思想B.数形结合思想C.化归思想

（2）"类比思考"中，线段08的长为,。⑶的长为；则点8表示的数为

，点用表示的数为.

（3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5,宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方

形.则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示伤一1的点P（保留作图痕迹并标出必要线段长）

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

1.（24-25七年级上•浙江杭州•阶段练习）在实数3,14,V4,0.23,0.1010010001,JV^27,看，班中,

无理数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（24-25七年级上•山东威海•阶段练习）关于无理数，下列说法正确的有（）

①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③无理数也能用数轴上的点表示；④无理数与有理数

的和是无理数；⑤无理数与无理数的和是无理数;

A,①②③B.①③④C.②③④D.①②⑤

3.（24-25七年级上•山东威海•阶段练习）计算y(—2)3+1(—2)2的结果为()

A.0B.4C.-4D.0或一4

4.（22-23七年级下•广西崇左•阶段练习）下列计算正确的是()

A.V36=±6B.V64=±4

C.一5D.|1-V2|=1+V2

5.（24-25七年级上•浙江温州•期末）已知根=历一遮，则实数加在（）

A.5和6之间B.4和5之间C.3和4之间D.2和3之间

6.（24-25七年级上•浙江嘉兴•期中）若x为实数，在"机□久"的"口"中添上一种运算符号（在"+,X,

+"中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）

A.4B.V3C.2-V3D.-V3

7.（24-25八年级上•山西•阶段练习）实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简—a|—小的结果为（）

__IIIII>

-1601a

A.aB.—aC.a—2bD.a+2b

8.（20-21七年级下•北京西城•期中）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的》是（）

输入X>取立方触才取书术中方根——V

是有理教

A.2V2B.2C.V2D.±V2

9.（23-24七年级下•重庆酉阳•期末）计算：V9-|V3-2|=.

10（23-