2025年山东济南中考数学一轮复习：数的开方与二次根式 （学生版+教师版）

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

——数的开方与二次根式学生版

知识清单梳理

知识点一平方根、算术平方根、立方根

1.平方根：一般地，如果一个数%的等于。，即％2=

a,那么这个数刀就叫作。的平方根（也叫作二次方根），记

作,正数的平方根有两个，它们互为,

0的平方根是0,负数没有平方根.

2.算术平方根：一般地，如果一个正数％的平方等于m即X2="，

那么这个正数％就叫作。的算术平方根，记作.正数

的算术平方根是正数，。的算术平方根是0.

3.立方根：一般地，如果一个数X的立方等于。，即％3=小那么这

个数为就叫作a的立方根（也叫作三次方根）,记作.

正数的立方根是正数，。的立方根是0,负数的立方根是负数，每个

实数有且只有一个立方根.

【温馨提示】平方根等于它本身的数有0;算术平方根等于它本身

的数有。和1;立方根等于它本身的数有一1,0和1.

知识点二二次根式

4.二次根式：形如VE（。20）的式子叫作二次根式.二次根式有意义

的条件：.

5.最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下两个条件：

（1）被开方数不含（也就是说分母中不含根号）.

（2）被开方数不含能的因数或因式.

6.二次根式的性质

（1）.

(2)2=(Q，0).

（4）Vab=4a-Vb（a0,b0）.

（5）口=造Ca0,b0）.

ya7a

7.二次根式的运算

（1）二次根式的加、减法：先把二次根式化为,再

合并的二次根式.

（2）二次根式的乘法：Va-Vb=（。20,820）.

（3）二次根式的除法：络=（g0,b>0）.

7b

高频考点过关

考点一平方根、算术平方根、立方根

1.（2021济南）9的算术平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.V3

2.（2024市中模拟）包的平方根是（）

A.±3B.3C.-9D.±9

3.-8的立方根是（）

A.2B.-2C.±2D.-2^2

考点二二次根式的相关概念及性质

4.（2020市中二模）要使有意义，则实数%的取值范围是（）

A.eiB.eo

C.X2一1D.xWO

5.要使根式有意义，则Q的取值范围是.

6.若二次根式在实数范围内有意义，则％的取值范围

为.

考点三二次根式的运算

7.（2024济南）计算：百一（九一3.14）°+0+IV3I-2cos30°.

_1

8.（2023济南）计算：I—V3I+g）+（兀+1）°—tan60°.

9.（2022济南）计算：I—3I-4sin30°+V4+Q）

10.计算：V8-I1-V2I+2—2—2Xsin45

考点四二次根式的估值

11.（2022济南）写出一个比夜大且比旧小的整数：.

12.（2024商河一模）已知整数机满足g＜根＜"\/5下，则机的最大值

是.

达标演练检测

1.4的算术平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.V2

2.若有意义，则。的值可以是（）

A.-1B.OC.2D.6

3.对于二次根式的乘法运算，一般地，有.该运算法则成

立的条件是（）

A.a>0,Z?>0B.Q<0,Z?<0

C.QWO,bWOD.Q20,b^O

4.若代数式二三有意义，则实数%的取值范围是（）

%—2

A.%W2B.%20

C.%22D.%20且%W2

5.估计VH的值在（）

A.6和7之间B.5和6之间

C.4和5之间D.3和4之间

6.计算：（①+遮）（V6—V3）的结果为.

7.若式子已有意义，则实数%的取值范围是____________.

卜-3

一］

8.计算：gtan45°一（2025—兀）°+I2g—2I+Q）一历.

9.（2023莱芜一模）计算：（Ji-2025）°+I1-V3I-2cos30°

+（»'•

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

——数的开方与二次根式教师版

知识清单梳理

知识点一平方根、算术平方根、立方根

1.平方根：一般地，如果一个数％的平方等于即X2=小那

么这个数％就叫作。的平方根（也叫作二次方根），记作土.

正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0,负数

没有平方根.

2.算术平方根：一般地，如果一个正数％的平方等于m即％2=小

那么这个正数％就叫作。的算术平方根，记作十•正数的算术平

方根是正数，。的算术平方根是0.

3.立方根：一般地，如果一个数X的立方等于。，即％3=小那么这

个数％就叫作。的立方根（也叫作三次方根），记作遮.正数的

立方根是正数，。的立方根是0,负数的立方根是负数，每个实数有

且只有一个立方根.

【温馨提示】平方根等于它本身的数有0;算术平方根等于它本身

的数有。和1；立方根等于它本身的数有一1,。和1.

知识点二二次根式

4.二次根式：形如（。20）的式子叫作二次根式.二次根式有意义

的条件：被开方数大于或等于零.

5.最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下两个条件：

（1）被开方数不含分母（也就是说分母中不含根号）.

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

6.二次根式的性质

（1）VHeo（心0）.

（2）（Va）2=a（心0）.

（4）Vab=4a-Vb（a>0,b三0）.

（5）口=暗Ca>0,b0）.

7.二次根式的运算

（1）二次根式的加、减法：先把二次根式化为最简二次根式

再合并被开方数相同的二次根式.

（2）二次根式的乘法：Va-Vb=Vab（Q20,820）.

（3）二次根式的除法：*他（g0,90）.

高频考点过关

考点一平方根、算术平方根、立方根

1.（2021济南）9的算术平方根是（A）

A.3B.-3C.±3D.V3

2.（2024市中模拟）历的平方根是（A）

A.+3B.3C.-9D.±9

3.-8的立方根是（B）

A.2B.-2C.±2D.-2V2

考点二二次根式的相关概念及性质

4.（2020市中二模）要使卜二1有意义,则实数％的取值范围是

（A）

A.%21B.%20

C.—1D.%W0

5.要使根式有意义，则。的取值范围是.

6.若二次根式13一2%在实数范围内有意义,则％的取值范围为—

------2-

考点三二次根式的运算

一1

7.（2024济南）计算：⑺一（兀―3.14）°+C）+IV3I-2cos30°.

解：原式=3—1+4+V3—2X^=6.

8.（2023济南）计算：I—V3I+G）+（兀+1）0—tan600.

解：原式=V^+2+1—V3=3.

1

9.（2022济南）计算：I—3I-4sin30°+V4+Q）.

解：原式=3—4X^+2+3=6.

10.计算：V8-I1-V2I+2-2—2Xsin45。.

解：原式=2V2—（V2—1）+（工）-2X—=2A/2—V^+l+工一V2=

\2/24

5

4

考点四二次根式的估值

11.（2022济南）写出一个比应大且比旧小的整数：3（答案不

唯一，2,3,4都可以）.

12.（2024商河一模）已知整数根满足遮<加<，正，则机的最大值

是3.

达标演练检测

1.4的算术平方根是（A）

A.2B.-2C.±2D.V2

2.若Ja—4有意义，则。的值可以是（D）

A.-1B.OC.2D.6

3.对于二次根式的乘法运算，一般地，有迎•①二房.该运算法则成

立的条件是（