2025年新高考数学复习专项训练：直线与圆距离问题十一大题型（原卷版）

专题2-2直线与圆距离问题十一大题型汇总

。常考题型目录

题型1两点间的距离问题..........................................................2

题型2点到直线的距离问题........................................................2

题型3平行线中的距离问题........................................................3

题型4和差距离最值问题..........................................................4

题型5点到直线距离最值问题......................................................5

题型6曲线上的点到直线距离最值问题.............................................7

题型1圆上的点与点距离最值问题..................................................8

题型8圆上的点与直线距离最值问题................................................9

题型9圆上的点到直线距离为定值问题.............................................10

题型10两圆上的点之间的距离最值问题...........................................11

题型11切线长相关最值问题......................................................12

但知识梳理

知识点一.两点间的距离

/22

定义：点P1(X1,yi),P2(X2,加之间的距离|尸色|=J(x2-xr)+(y2-yr)

知识点二.点到直线的距离

1.点到直线的距离公式

\Axo+Byo+Cl

点Po(xo,yo)到直线/：Nx+By+C=。的距离,d=/一

yjA2+B2

2.点到特殊直线的距离公式

点Po(xo,刃)到x轴的距离d=\yo\,到平行于无轴的直线的距离d-MM倒了轴的距离

d=|谢,到平行于丁轴的直线彦=6的距离d=\x0-b\.

知识点三.两条平行直线之间的距离

1.两条平行线之间的距离

两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

2.两条平行线之间的距离公式

_|G-G|

两条平行线Ax+By+G=0与Ax+By+G=0间的距离d=i

■\A2+F

Q题型分类

题型1两点间的距离问题

【方法总结】

两点601，%),2(工2,%)间的距离公式为：山区|=J(龙2-%)2+(%-%)2•

【例题1](2023秋•高二课时练习)(1)求4(3,5),B(—3,3)两点间的距离；

(2)已知点4(3,6),在x轴上的点P与点2的距离等于10,求点P的坐标.

【变式1-1】1.已知点4-3,4),8(2,小)，在x轴上找一点。，使|必1|=|冏,并求附|

的值；

【变式1-1]2.已知点例(箕-4)与点M2,3)间的距离为7^2,求x的值.

【变式1-1】3.到2(1,3),氏-5,1)的距离相等的动点。满足的方程是()

A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0

C.3x-y+6=0D.3%+y+2=0

题型2点到直线的距离问题

【方法总结】

点到直线的距离

已知直线，出+By+C=0,点P(x0,yo),贝小到直线/的距离为：d=

【例题2】(2023秋•高二课时练习)在直线2久-y=0上求一点P，使它到点”(5,8)的距离

为5,并求直线PM的方程.

【变式2-1J1.(2022秋江苏连云港•高二统考期中)已知点4(2,1)点B在直线x-y+3=

。上，则AB的最小值为（）

A.V5B.V26C.2V2D.4

【变式2-1]2.（2023秋•江苏宿迁•高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点P（x,y）在

直线2x+y-5=0上，O是原点，则OP的最小值为（）

A.2V2B.2C.V5D.4

【变式2-1]3.（2023秋•高二课时练习）已知直线/平行于向量2=（1,2）,并且与原点的

距离为3,求直线Z的方程.

【变式2-1]4.（2023秋•高二课时练习）已知点P（l,l）到直线x+ay-2=0的距离为1,

求实数a的值.

【变式2-1]5.（2023秋•高二课时练习）已如圆/+y2—2x-8y+13=0的圆心到直线

ax+y-l=0的距离为1,求a的值.

【变式2-1]6.（2023秋•高二课时练习）已知点P是直线3x-4y+2=。上任意一点，求

点P与点4（3,-1）之间距离的最小值.

【变式2-1]7.（2022秋•广东江门•高二江门市棠下中学校考期中）已知圆G:一+6x+y2-

4=。与圆。2：/+y2+8y_28=0相交.

（1）求交点所在直线方程；

（2）若点P是圆C：（x-3）2+V=1上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线距离的

最大值和最小值.

题型3平行线中的距离问题

【方法总结】

两条平彳丁直线，1：Ax+By+C[=。与％：+By+C=。的距昂是d=与：：!；

2

【例题3】（2023•全国•高二随堂练习）已知两条平行直线小3x-4y+6=。与勿3比-4y+

c=0间的距离为3,求C的值.

【变式3-1]1.(2023秋•高二课时练习)求与直线x-y-l=0平行且距离为3的直线的

方程.

【变式3-1J2.(2023秋•江苏盐城・高二江苏省射阳中学校考开学考试两条平行直线x-

2y+1-0与%：2x+my+2m=0之间的距离为.

【变式3-1]3.(多选)(2022秋•全国•高二期中)若点P在直线3*+y-5=0上，且点P到

直线x-y-l=。的距离是a,则点P的坐标为()

A.(1,2)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-1,2)

【变式3-1]4.(2023秋•全国•高二随堂练习)若动点4(*1，%),耿叼,力)分别在直线4：%+

y-7=。和公无+y—5=0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()

A.3V2B.2C.V2D.4

【变式3-1]5.(2022秋•浙江台州•高二校联考期中)已知直线4：x+3y+l=0,l2-.x+

(a—2)y+a=0.

(1)若1]112,求实数a的值；

(2)当I]||(时,求直线。与4之间的距离.

题型4和差距离最值问题

【方法总结】

利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。

【例题4】(2023秋・河北沧州•高二沧县中学校考阶段练习)著名数学家华罗庚曾说过："数

形结合百般好，隔裂分家万事体事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，

如：J(x-a)2+(y-6尸可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,6)的距离.结合上述观点,

可得y=Vx2+4%+8+7好一4x+8的最小值为()

A.4V2B.2V2C.V2+V10D.3+V5

【变式4-1]1.(2023秋•浙江杭州•高二浙江省临安中学校考开学考试)已知eR+,

满足2x+y=2,则x+，合+y2的最小值为()

A.-B,-C.1D.U

553

【变式4-1]2.(2023秋•江苏扬州•高二统考开学考试)已知x+y+l=0,则

yjx2+y2-2x-2y+2+J(x-2尸+*的最小值为()

A.V5B.2V2C.V10D.2V5

【变式4-1]3.(多选)(2022秋•黑龙江齐齐哈尔・高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末)

下列结论错误的是()

A.过点4(1,3),B(—3,1)的直线的倾斜角为30°

B.若直线2x—3y+6=0与直线ax+y+2=。垂直，贝！]a=|

C.直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=。之间的距离是日

D.已知4(2,3),8(—1,1),点P在X轴上，则|P4|+|PB|的最小值是6

【变式4-1]4.(多选)(2023秋・江苏•高二校联考开学考试)已知点,N(2,l),

且点P在直线Z：久+y+2=。上，贝！]()

A.存在点P,使得PM1PNB.存在点P,使得21PMi=\PN\

C.\PM\+|PN|的最小值为旧D.||PM|-|PN||最大值为3

【变式4-1】5.(多选X2022秋•吉林长春•高二东北师大附中校考期中)已知。为坐标原点，

4(3,1),P为x轴上一动点，Q为直线2：y=久上一动点，贝")

A.△力PQ周长的最小值为4鱼B.\AP\+|4Q|的最小值为1+V2

C.\AP\+|PQ|的最小值为2&D.V2|>1P|+|OP|的最小值为4

题型5点到直线距离最值问题

【例题5X2022秋・湖北黄冈•高二统考期中)点(1,0)到直线kx+y+1=0的最大距离为()

A.0B.1C.V2D.V3

【变式5-1]1.(2022秋・全国•高二期中)在直角坐标系xOy中,已知直线以•cos0+y.

sinff=1,当。变化时，动直线始终没有经过点P.定点Q的坐标(-2,0),则|PQ|的取值范围为

()

A.[0,2]B.(0,2)C.[1,3]D.(1,3)

【变式5-1]2.(2023•全国•高二课堂例题)已知直线1：依+y+2-k=0过定点M，点

P(x,y)在直线2x-y+1=0上，则|MP|的最小值是()

A.5B.V5C.迪D.-

55

【变式5-1]3.(2022秋•吉林长春•高二东北师大附中校考期中)已知点P(xo，y0)在直线

3x-4y-10-0.t,则J%。？+y02的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【变式5-1]4.(2023•全国•高二专题练习)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4关于直线ax+

by-2=。对称，则，a2+」的最小值为()

A.-B.延C.-D.1

555

【变式5-1]5.(2023秋•高二课时练习)已知点M(a,6)在直线3x+4y-15=0上，求

7嘘+的最小值.

【变式5-1]6.(2023秋・山西•高二校联考开学考试)已知直线Z:a久-y+2-a=。恒过

点P,且与X轴，y轴分别交于4,B两点，。为坐标原点.

(1)求点P的坐标；

(2)当点。到直线/的距离最大时，求直线I的方程；

⑶当[P*•|P8|取得最小值时，求AaOB的面积.

【变式5-1]7.（2023秋•高二课时练习）已知x,y满足x+2y—5=0，则（x-I）2+（y-l）2

的最小值为

题型6曲线上的点到直线距离最值问题

【例题6]（2023春•陕西安康•高二统考期中）若点P是曲线y=Inx-/上任意一点，则点

P到直线/：x+y-4=。距离的最小值为（）

A.B.V2C.2D.2V2

【变式6-1]1.（2023春•江西吉安・高二统考期末）若动点P在曲线y=ex+x±,则动点

P到直线y=2x-4的距离的最小值为（）

A.V5B.e+1C.2V5D.2e

【变式6-1]2.（2023春•江苏南京・高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若

费出=3二=1，贝人/一冷）2+（%—乃尸的最小值为

3yly23

【变式6-1]3.（2023秋•江苏南通・高二海安高级中学校考开学考试）三角形ABC的顶点

8（0,2）,边2B上的中线CD所在直线为7x+2y-19=0,A的平分线AE所在直线为x-y-

1=0.

（1）求A的坐标和直线4c的方程；

⑵若P为直线力C上的动点，M（-l,0）,N（l,0）,求PM?+PW取得最小值时点P的坐标.

【变式6-1]4.（2023春・甘肃张掖・高二高台县第一中学校考期中）已知点P为函娄好。）=

e2x的图象上一点，则点P到直线/：y=2久的距离的最小值为（）

A.-B.-C.-D.i

5524

【变式6-1]5.（2023春•内蒙古阿拉善盟•高二阿拉善盟第一中学校考期中）设点A在直线

V3x-y+1=0上，点B在函数f（x）=In久的图象上，则|AB|的最小值为

【变式6-1]6.（2023春・广东佛山•高二校联考阶段练习）已知函数f（%）=e，-3”,直线

l：2x+y+4=0.若A,B分别是曲线y=和直线I上的动点，则饮用的最小值是

【变式6-1]7.(2022秋・北京海淀・高二清华附中校考期中)在平面直角坐标系xOy中，

定点4(2,0),点B为曲线y=VI中上的动点.则线段AB长度的最小值是—；若第

一象限存在点C使得△ABC为等腰直角三角形且乙4=90。,则线段0C的最大值为.

题型7圆上的点与点距离最值问题

【方法总结】

圆上的点到直接距离最值:

(1)把圆化成圆的标准方程(X-%)2+(y-%)2=户找出圆心(5,%)和半径r

(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离d=

y/^+B2

dmax=d+r

d>/•相离,

d-=d—r

dm”=d+r=2r

(3)判断位置关系<d=厂相切

d-=0

d=d+r

〃〈厂相交max

Wmin=0

【例题7】(2023秋・重庆•高二校联考期末)已知圆心为c的圆经过点2(1,1)和以2,-2),且

圆心C在直线I:比—y+1=。上.

(1)求圆心为C的圆的一般方程；

⑵已知P(2,l),Q为圆C上的点，求|PQ|的最大值和最小值.

【变式7-1]1.(2023•全国•高二课堂例题)已知P是圆C：(x-5)2+(y-5)2=r2(r>0)

上的一个动点，它关于点4(9,0)的对称点为Q,0为原点，线段0P绕原点0逆时针方向

旋转90。后，所得线段为OR,求|QR|的最小值与最大值.

【变式7-1]2.(2023秋•全国•高二随堂练习)已知点2(8,—6)与圆C：/+必=25,P是

圆C上任意一点，则|4P|的最小值是

【变式7-1]3.已知圆C:(x-2产+(y+6-4产=1,当。变化时，圆C上的点与原点O

的最短距离是_______.

【变式7-1]4.(2023秋•高二单元测试)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基

米德齐名.他发现："平面内到两个定点4B的距离之比为定值4(441)的点的轨迹是

圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点Pg,用

在圆0:/+y2=i上，若点4(一|,0)，点C(l,l),则21P川+|PC|的最小值为一.

题型8圆上的点与直线距离最值问题

【方法总结】

已知直线[与圆C,圆心c到直线，的距离为d,圆的半径为r：

相离相切相交

d>rd=rd<r

【例题812023秋•高二课时练习圮知直线Lx-y+4=0与圆C：(久-I)2+(y-I)2=2,

求圆C上各点到直线用勺距离的最大值.

【变式(2021秋•江苏南通・高二金沙中学校考阶段练习)已知两点4(-l,0),B(0,2),

点C是圆/+必一2久=。上任意一点，则仆ABC面积的最小值是()

A.2+—B.2C.4-V5D.4+V5

22

【变式8-1]2.(2023春•山东青岛•高二校考开学考试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，

与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两

个定点的距离之比为常数4（4>0,且4力1）,那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗

尼斯圆.若点C到4（-1,0）,B（l,0）的距离之比为g,则点C到直线x-2y+8=。的距离的

最小值为（）

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2V5D.V3

【变式8-1]3.（多选）（2023秋•河北保定・高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）圆

222

O1:x+y-2x=0和圆O2：/+y+2x-8y=0的交点为4B,则有（）

A.公共弦所在直线方程为x-2y=0

B.线段中垂线方程为2x+y-2=。

C.公共弦的长为当

D.P为圆。1上一动点，则P到直线48距离的最大值为g+1

【变式8-1]4.（多选）（2023秋・江苏盐城・高二盐城中学校考阶段练习）已知实数满

足曲线C的方程/+y2—2%—2=0,则下列选项正确的是（）

A.x2+y2的最大值是百+1

B的最大值是2+逐

C.\x-y+31的最小值是2夜—V3

D.过点（0,a）作曲线C的切线，则切线方程为比-V2y+2=0

【变式8-1]5.（2022秋•浙江绍兴•高二校考期中）已知点P是圆C:/+f—2x=。上的

一个动点，点P到直线/：x-y+b=0。>0）的距离的最小值为3夜-1,圆M：x2+y2-

2mx=。与圆C外切,且与直线而切，则a的值为（）

A.-2B.5-5V2C.4D.-2V2

题型9圆上的点到直线距离为定值问题

【例题9】（多选）（2023秋・江苏•高二南京市人民中学校联考开学考试）若圆。：x2+y2=

r2（r>0）上恰有相异两点到直线％-y-4=0的距离等于衣，则r的取值可以是（）

A.V2B.2C.2V2D.3V3

【变式9-1]1.（2022秋•广东佛山・高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）若圆

C:（x-IT+（y-6）2=9上恰有4个点到直线3x—4y=。的距离为2,贝帕的取值范围

为

【变式9-1]2.（2023秋•高二单元测试）若圆C:x2+y2-4x-4y-10=。上至少有三

个不同的点到直线/：x-y+c=。的距离为2或，则c的取值不可能是（）

A.-2B.0

C.1D.3

【变式9-1J3.（多选I2022秋•贵州贵阳・高二清华中学校考阶段练习）已知圆/+外=16,

直线/：y=x+m,若圆上恰有四个点到直线的距离为2,则ni的值可能为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式9-1]4.（2021秋・江苏南通・高二金沙中学校考阶段练习）已知圆C：/+y2一2%一

6y+t—0,直线Z:x+2y—2=0.

（1）若圆C上至少有3个点到直线/的距离为有，求实数珀勺取值范围；

⑵若直线/与圆C相交于M,N两点，。为原点且。M1ON,求珀勺值

题型10两圆上的点之间的距离最值问题

【例题101（2023秋•安徽合肥•高二校考期末）已知两定点做-2,0）,B（1,0）,如果动点

P满足|P*=2|PB|,点Q是圆（%-2）2+（y-3）2=3上的动点,则|PQ|的最大值

为.

【变式10-1】1.（2023秋•江苏南通・高二海安高级中学校考开学考试）已知两定点

力(—4,0),B(2,0),如果动点M满足|M4|=21MBi，点N是圆比2+(y—3)2=9上的动点，则

|MN|的最大值为.

【变式10-1】2.(多选)(2022•全国•高二专题练习)点P在圆+y2=1上，点Q在圆

。2：/+y2—6x+8y+2