2025年中考数学二轮复习：平行四边形的存在性问题 专项练习（含解析）

平行四边形的存在性问题

1.平行四边形的存在性问题

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-1久2+6刀+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,直线y=

x+4经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,当CP〃A0时，求/PAC的正切值；

(3)当以AP、A0为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求此时点P的坐标.

2.如图1,抛物线y=ax?+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线y=x-5经过点B、C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A的直线交直线BC于点M.

①当AMLBC时过抛物线上一动点P(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q若以点A、

M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；『\

②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于NACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.°\

图1

3.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与x轴、y轴分别相交于点A、B,并与抛物线y--^x2+bx

+5勺对称轴交于点C(2,2),抛物线的顶点为D.

⑴求k和b的值；

(2)点G是y轴上一点,且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD相似，求点G的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点E，它关于直线AB的对称点F恰好落在y轴上如果存在直接写出点E的坐标；

如果不存在，请说明理由.(原题图只有一个坐标系)

专题直击

已知B(0,3)、C(2,2)、D(2,3点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与△BCD相似，求点G的

坐标.

4.如图，已知抛物线y=-好—2%+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点

为P.若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物

线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.

5.满分解答

由y=-x2+2x+3=-(%+1)(%-3),得A(-1,O),B(3,O).

①如图1,当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB的中点(1,0)

对称，所以点M的横坐标为2.

当x=2时,y=-x2+2x+3=3.此时点M的坐标为(2,3).

②如图2,图3,当AB是平行四边形的边时,PM〃AB,PM=AB=4.

所以点M的横坐标为4或-4.

如图2,当x=4时，y=-x2+2x+3=—5.此时点M的坐标为(4,-5).

如图3,当x=-4时，y=-x2+2%+3=—21.此时点M的坐标为(4-21).

6.将抛物线c1:y=/+8沿x轴翻折，得到抛物线cz,如图所示.

现将抛物线ci向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、

B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.

在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存

在，请说明理由.

7.如图，抛物线y=-|/+.+c与y轴交于点A(O,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B(3,|),过点B

作BC，x轴，垂足为C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PNLx轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设0P的长度

为m.

①当点P在线段0C上(不与点0、C重合)时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；

②联结CM、BN,当m为何值时,四边形BCMN为平行四边形？

8如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2-2ax-8a与x轴交于A、B两点(点A在点B的

左侧)，与y轴交于点C(0,-4).

(1)点A的坐标为点B的坐标为线段AC的长度为抛物线的解析式为；

(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.

①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；

②如图2,过点P作PE//CA交线段BC于点E,过点P做直线x=t交BC于点F,交x轴于点G,记PE=f,求f

关于t的函数解析式；当t取m和4-：爪(0＜小＜2)时，试比较f的对应函数值R和f2的大小.

9.如图1,抛物线.y=ax2+bx+6经过A(-2,0)、B(4,0)两点与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点.设点D

的横坐标为m(l<m<4),连接AC、BC、DB、DC.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵当仆BCD的面积等于△AOC的面积的用寸，求m的值；

⑶在⑵的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以

B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线C：y=aY+法+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D(0,4),AB

=4a.设点F(m,0)是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°,得抛物线C.

⑴求抛物线C的函数表达式；

(2)若抛物线C与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；

(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线。上的对应点为P.设

M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说

明理由.

1.满分解答

(1)由y=x+4,得A(-4,0),C(0,4).

设抛物线的解析式为y=-|(x+4)(x-女)，代入C(0,4)得2外=4.

2

解得%2=2.所以y=-|(x+4)(%-2)=-|x-%+4.

⑵如图2,由A(-4,0)、C(0,4),可得AC=4V2,ZOAC=45°.

当CP〃AO时,/C=/OAC=45。.

由CP〃AO,可知P、C关于抛物线的对称轴x=-l对称，所以PC=2.

作PM_LAC于M.

在等腰直角三角形PCM中，PM=CM=V2.

在RtAPAM中，AM=AC-CM=3时所以tan""=翳=磊，

⑶如图3,设点P的横坐标为m.

当PQ〃AO,PQ=AO=4时，因为P、Q两点关于抛物线的对称轴x=-l对称，所以xp=-3.所以

考点伸展

第⑶题可以这样思考：

如图3,如果点Q落在抛物线上，四边形PAOQ是平行四边形，那么四边形PABQ是等腰梯形.

所以△QOB是等腰三角形,QO=QB.

所以点Q在OB的垂直平分线上，点Q的横坐标为1.

将点Q向左平移4个单位，得点P的横坐标为3此时P(-3，|).

第⑶题更简便的方法是：

因为PQ〃AO,所以P、Q两点关于抛物线的对称轴x=-1对称.

因为PQ=AO=4,所以点P在x=-l左侧，到x=-l的距离为2.

所以点P的横坐标为-3.

2.满分解答

⑴由y=x-5得B(5,0),C(0,-5).

将B(5,0)、C(0,-5)两点分别代入y=aY+6久+c得产。+一解得a=-l,c=-5.所以y=-x2+6x

—5.

(2)①第一步，说理，转化.

如图2,过A、P分别作x轴的垂线，分别交直线BC于点G、H.

因为ABOC是等腰直角三角形,AMJ_BC,PQ〃AM,所以PQLBC.

所以△AMG和4PQH都是等腰直角三角形.

如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，那么AM=PQ.

所以AG=PH.而AG=AB=4,所以PH=4.

第二步，分类，计算.

设P(x,-x2+6x-5),H(x,x-5).

(i)如图2,当P在H上方时，由PH=4,^((—如+6%—5)—(X—5)=4.

整理，得x2-5x+4=0.解得x=4,或x=l(与A重合,舍去).所以xp=4.

(ii)如图3,当P在H下方时，(x—5)—(―川+6%-5)=4.

整理，得Y-5x-4=0.解得%=等.

所以Pxp=三/，或xP=二竺

②点M的坐标是09,或偿，-£).

考点伸展

第(2)②题的解题思路是：

⑴如图4,如果/AMB=2NACB用B么MA=MC.

设M(m,m-5).由.MA2=MC?彳导(m—I)2+(m-5)2=m2+m2.

解得m=总此时M(总，

(ii)如图5,以A为圆心、AM为半径画圆，与直线BC的另一个交点为

由小AMG0ZXAM'B彳导MG=M'B.

又因为直线BC与坐标轴的夹角为45°,所以xM-xG-xB-xM：.

所以xM=xB+xG-xM=5+1-=高.此时M，(学-0.

3.满分解答

⑴将点C(2,2)代入y=kx+3狷2k+3=2.解得fc=

由抛物线的对称轴x=2b=2,得b=l.

(2)如图2,由y=—2乂+3彳导B(0,3).

由y=-i%2+%+|=-i(x-2)2+§得D(2,1)

由B(0,3)、C(2,2)、D(2,|)得BC=低CD=|.

因为BG〃CD,当G在B下方时,/GBC=NBCD.分两种情况讨论相似:

①当案=黑时，BG=CD=捺此时G(0,}(如图2所示).

②当黑=海寸，BG=萼=2.此时G(O,1)(如图3所示).

DCLULU

(3)点E的坐标为(2,|或(―I,？.

考点伸展

第(3)题的解题思路是这样的：如图4,作EH±y轴于H.

当点F落在y轴上时，设AB垂直平分EF于G那么/EFH=/A.

由于tan乙4=~=a可设EH=m,FH=2m,那么EF=V5m.

在R3BFG中，FG=在犯所以BG=—m,BF=-m.

244

所以OF=OB-BF=3—三皿所以OH=OF+=3-2zn+2爪=3+三爪.

444

所以E(mf3+1m).

将点E(m,3+：代入y=-+%+，得3+=—^m2+m+1.

整理，得m2-m-2=0.解得m=2,或m=-l.

所以点E的坐标为(卜弓)(如图4所示),或(-喘)(如图5所示,局部放大).

4.满分解答

由y=—%2—2x+3=—(x+3)(x—1)=—(x+l)2+4

得A(-3,0),B(l,0),C(0,3),P(-l,4).

如图，过小PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M.

①因为4MWPC,2Mi=PC,那么沿PC方向平移点A可以得到点Mi.

因为点P(-l,4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0,3)重合，所以点A(-3,0)先向下平

移1个单位，再向右平移1个单位就得到点用式-2，-1).

②因为AM2\\CP,AM2=CP那么沿CP方向平移点A可以得到点M2.

因为点C(0,3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(-l,4)重合，所以点

A(-3,0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点.M2(-4>1).

③因为PM3IM&PM3=ac,那么沿AC方向平移点P可以得到点M3.

因为点A(-3,0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0,3)重合,所以点P(-l,4)先向右平

移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2,7).

6.满分解答

【方法一】抛物线q：y=—百/+四与x轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为((0，次).

抛物线J向左平移m个单位长度后,顶点M的坐标为(-m,遮)，与x轴的两个交点为A(-l-m,0),

0),AB=2.

抛物线C2在平移的过程中，与抛物线ci关于原点对称.所以四边形AMEN是平行四边形.如果以点四边形A

MEN是矩形，那么AE=MN.所以OA=OM.

而OM2=m2+3,所以(1+m)2=m2+3.解得m=l(如图).

【方法二】探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法：

在等腰三角形ABM中，因为AB=2,AB边上的高为V3,所以△ABM是等边三角形.

同理△DEN是等边三角形.

当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合.

因为起始位置时BD=2,所以平移的距离m=l.

7.满分解答，

⑴将A(0,l)、B(3,|):分别代入y=—评+0久+竽+3b+c=，.

解得］1所以抛物线的表达式为y=—+

(c=1.44

(2)①当点P在线段OC上(不与点0、C重合)时，线段PM的长度等于点M的纵坐标，而点M运动的轨迹

是线段AB.

s8=1,

设直线AB的解析式为y=kx+n,将A(0,l)、B(3,|)分别代入得5

解得卜=子所以直线AB的解析式为y=i%+l.

In=1.2

因此线段PM的长度用m表示为PM=|m+l,m的取值范围是0<m<3.

②NM='N一=(一I771?++1)一66+1)=—|m2+^-m,BC=|

解方程-泞2+当根=|得m=i或m=2.

因此当m=l或m=2时,四边形BCMN为平行四边形(如图2,图3).

8.满分解答

(1)(-2,0),(4,0),2V5,y=*x-4.

⑵①如图3,由点P在线段BC下方，可知只存在CP为平行四边形的边的厚况.

\Q'8/Q

所以CP〃BQ,CP=BQ.

由y=#-％-4得C(0,-4),对称轴为直线x=l.

所以P(2,-4).所以BQ=CP=2.

⑴当点Q在点B左侧时.Q(2,0).(ii)当点Q在点B右侧时,Q(6,0).

②如图4,由B(4,0)、C(0,-4］得直线BC的解析式为y=x-4,ZOCB=45°.

所以F(t,t-4).又因为P(t'^t2-t-4),所以FP=t-4-(|t2-t-4)=-|t2+2t.

因为PF〃丫轴,所以/PFE=NOCB=45。.所以tan/PFE=l.

在RtAAOC中,OA=1,OC=2,所以tanZTlCO=

又因为PE〃CA,所以NEPH=/ACO.所以tan/EP”=/

F

如图5,作EH±FP于H.设EH=a，所以FH=a,HP=2a.

所FP=FH+HP=a+2a=—+2t.角单彳导a=—t?H—t.

263

所以PE=y/5a=——t2+t.

63

当t=m时，h=-^-m2+竽根.

当t=4一：7n时，f2=-y+竽S-/血).

所以左一%=爪2+警小一卜个(4_号巾)2+苧(4_/山)

整理，得/1一心=巾2+ym.

当0<m<2时，％-力>。始终成立，所以外>A.

考点伸展

第⑵题如果没有限制点P的位置，那么还存在CP为平行四边形的对角线的情况：

如图6,由yp+yc=yB+yQ=O,可得yp=4.

代入y-|x2—x—4彳导jx2—x—4=4.整理，彳导光2—2x—16=0.

解得的=1+V17,X2=1—V17.

图6

当Xi=l+g时，P（l+g，4）,Q（—3+g，4）.

当右=1_旧时，P(1_VT7,4),Q(_3_VT7,4).

9.满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点，所以y=a(x+2)(x-4).

对照y=ax2+bx+6,根据常数项相等，得-8a=6.

解得a=—|.所以y=-1(%+2)(X-4)=-|x2+|x+6.

(2)如图2,设D(m,n),其中n=+|m+6,连接OD.

所以SBCD=SCOD+SBOD~SCOB=|C0-m+^BO-n-^CO-BO

=3m+2n—12=3m+2(--m2+-m+6)-12=—~m2+6m

k42J2

由A(-2,0)、C(0,6),得SA0C=|X0-CO-|x2x6=6.

解方程—|巾2+6m=|X6,整理，得Hi?-4m+3=0.

解得m=3,或m=l(与已知条件不符，舍去).

(3)点M的坐标为(0,0),M(-V14,0),(V14,0)或(8,0).

考点伸展

第(3)题的解题思路是这样的：如图3,已知.B(4,0),D(3,9,B、D两点间的水平距离为1,中点G的横坐标为|

以BD为分类标准，分两种情况讨论：

①如果BD为平行四边形的边，那么MN与BD平行且相等.

所以D、N两点到直线BM(x轴)的距离相等.

⑴当D、N在x轴同侧时，-久/一2%-8)=

整理，得久2—2久-3=0.解得x=-l,或x=3(N与D重合，舍去).

点N的横坐标向右平移一个单位，得点M的横坐标.此时M(0,0).

(ii)当D、N在x轴两侧时，一沁2一2x-8)=-3

整理，彳导f—2久一13=0.解彳导x=1±V14,

点N的横坐标向左平移一个单位，得点M的横坐标.此时M(-g，0),或(后，0).

②如果BD为平行四边形的对角线，那么MN与BD互相平分.

所以点M、N关于BD的中点G对称，ND〃MB(x轴).

由xN=-l,xG-^,XM-xG=xG-XN得xM=2xG-xN=8.1k匕时M(8,0).

10满分解答

(1)因为抛物线C的顶点为D(0,4),设.y=ax2+4.

因为AB=4鱼，所以B(2或,0).将B(2V2<0)代入y=