2025年新高考数学隐圆与蒙日圆问题（解析版）

隐圆与蒙日圆同题

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1隐圆类型一:到定点的距离等于定长】......................................................2

【题型2隐圆类型二:到两定点距离的平方和为定值】...............................................4

【题型3隐圆类型三:到两定点的夹角为直角】......................................................5

【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】.......................................................7

【题型5阿波罗尼斯圆】............................................................................9

【题型6蒙日圆］..................................................................................11

►命题规律

1.隐圆与蒙日圆问题

从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆,这些问

题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1隐圆与阿波罗尼斯国】

1.除圆问题

在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终

利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.

2.除圆问题的几大类型

(1)隐圆类型一:到定点的距离等于定长；

(2)隐圆类型二:到两定点距离的平方和为定值；

(3)隐圆类型三:到两定点的夹角为直角；

(4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值；

(5)隐圆类型五:阿波罗尼斯圆.

3.阿波罗尼斯圆

"阿波罗尼斯圆”的定义:平面内到两个定点4-a,0),B(a,0)(a>0)的距离之比为正数股片1)的点的轨迹

是以c(沪10)为圆心，।产［|为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

【知铜点2蒙日圆】

1.蒙日圆

在椭圆二十三~\(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆的中

a*b~

心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,为原点，如图.

A举一反三

【题型1除圆类型一:到定点的距离等于定长】

1.(2024•全国•二模)已知直线h：y=tx+5(t&R)与直线l2-x+%—4+4=0(t€B)相交于点P,且点P到

点Q(a,3)的距离等于1,则实数a的取值范围是()

A.[—2V2^—3,—2ypi—1]B.[—2A/2—3,2\/2^—1]

C.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2+l,2V2+3]D.[-272-3,-272-1]U[272-3,272-1]

【解题思路】根据给定条件，求出点P的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.

【解答过程】直线li.y=tx+5过定点4（0,5）,直线l2:x+切-1+4=0过定点B（—4,1）,又直线。_L

因此点P®y）的轨迹是以线段AB为直径的圆（除点（0,1）外），圆心。（一2,3）,半径r=272,

圆。的方程为（x+2>+（沙-3）2=8（2片0且y/1）,又Q（a,3）,|PQ|=1,显然点（0,1）与Q的距离大于1,

则点P在圆Q:（x—a）2+（y—3）2—1上,依题意，圆。与圆Q有公共点，

于是22一14|CQ|<2V2+1,即22一14|a+21&272+1,

解得一—3<a<-2\/2—1或2A/^"—34aW2A/2—1,

所以实数a的取值范围是[一2•一3,—2，^一1]“22一3,22一1].

故选：D.

2社2

2.（24-25高三上•江西南昌•开学考试）已知椭圆E:~+y=1的右焦点为F,则E上满足\PF\="的

P点有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】求出点F的坐标，由|PF|=出求出P点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解判断即可.

【解答过程】椭圆后:亨+弓=1的右焦点为F（l,0）,设P（x,y），由|PF|=通,得（C—I）?+才=3,

22

f（^-l）+y=3.,「

由（3/,2°消去?/得，—8c+4=0,而一24cW2,解得c=4—

+y=3"

当①=4-2四时，对应的V值有2个，所以E上满足|PF|=《的P点有2个.

故选：B.

_____________眇

3.（2024.陕西咸阳.模拟预测）已知落日是两个单位向量，且B+间=归一露若向量3满足归一a=2,则

|c|的最大值为（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.272

【解题思路】根据模长公式可得根据向量的坐标运算不一4=（t—1,9一1）,利用尼一4一百=

V（^-l）2+（y-l）2=2,可得点。的轨迹是以（1,1）为圆心，2为半径的圆，求得圆心到原点的距离为

\OM\=Vl2+12=血，从而可得答案.

【解答过程】已知落，是两个单位向量，且\a+b\^\a-b\,

则a2+2a-b+^=a2-2a-b+i?,

则4・b=0,则4_Lb,

设分别是/轴与g轴正方向上的单位向量，

则a—（1,0）,b—（0,1）,a-\-b—（1,1）,

设3=（劣,g）,则c—a—b=—,

因为\c-a—b\=V（^—1）2+（?/—l）2=2,

所以（/-iy+（g—l）2=4,

故才=。苕中，点。的轨迹是以（1,1）为圆心，『=2为半径的圆,

圆心河（1,1）到原点的距离为|oM=々十仔二伍

忖max=QM+r=2+2.

故选：B.

4.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）已知河（如仇），N（g,必）是圆C：Q+2）2+（y-4）2=1上的两个不

同的点，若|AW|=则|3一%|+山一列的取值范围为（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,7V2]D.[472,872]

【解题思路】先确定中点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的最值求解.

【解答过程】由题设知，圆。的圆心坐标。（一2,4）,半径为1,

因为|九亚|=，5,所以皈_1前.

设P为AW的中点，所以|CP|=?.

所以点P的轨迹方程为（c+2y+（0-4）2=1.

2

其轨迹是以。（一2,4）为圆心，半径为彳的圆.

设点M,N,p到直线立一9=0的距离分别为4,必，d,

能〜/E一如,\x-y\,4+弓2

所以必=一^一,为=2一2,d=^,

所以同一如+也一统I=2（4+&2）=2V2d.

因为点。到直线力一y=0的距离为--2厂图=3V2,

V2

所以3四一字Wd432+字，即考与2,

所以以所以同一如+1的一改|的取值范围为[10,14].

故选：A.

【题型2隐圆类型二:到两定点距离的平方和为定值】

5.（24-25高二上•全国•课后作业）平面上一动点尸满足：|尸M『十|pN]2=6且M（-1,O）,7V（1,O），贝恸点P

的轨迹方程为（）

A.（x+I）2+j/2=3B.（X—I）2+y2=3C.x2+y2=2D.x2+y2=3

【解题思路】设P（c,沙），借助两点间距离公式代入计算后化简即可得.

【解答过程】设P（x,y）,由\PM[+|PN『=6,所以（2+I）?+娟+Q—I）?+婿=6,

整理得/+才=2,即动点P的轨迹方程为x2+y2=2.

故选：C.

6.（2024.河南.三模）在平面a内，已知线段的长为4,点P为平面a内一点，且=10,则

2PAB的最大值为（）

A2LTD兀Cc•百兀D

6B-7-1

【解题思路】建立直角坐标系，求出点P的轨迹时一个圆，再根据_R4与圆。相切时角最大求得结果.

【解答过程】如图，以线段所在的直线为立轴，线段AB的中垂线为沙轴，建立平面直角坐标系xOy,

设P（c，9）,因为|AB|=4,不妨设A（—2,0）,B（2,0）,

由IBA?+任引2=J。,得Q+2）2+4+（①一2）2+4=I。,

化简得/+#=1,即点p的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

当24与圆。相切时，取得最大值，此时OP_LQ4.

因为QP|=1,|。川=2,所以sin/R4B=],且/E4B为锐角，

故的最大值为4.

故选:A.

7.（24-25高二上•江苏徐州•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点4（2,0），若点河满足AM2+

MO2=10,则点M的轨迹方程是x2+y2-2x-3=0.

【解题思路】设点M3y）,借助两点间距离公式代入计算即可得.

【解答过程】设Af（①U）,则有（X—2）2+（y—0）2+x2+y2=10,

化简得/+才一2c-3=0,即点M'的轨迹方程是0^+才—2a;—3=0.

故答案为:x2+y2—2x—3=0.

8.（23-24高二上•福建厦门・期末）已知圆O-.x2+，=1和圆O^x—2丫+才=i,过动点p分别作圆O,圆

2

Oi的切线PA,PB（A,B为切点），且IBA/+|PjB|=18，则\PA\的最大值为V15.

【解题思路】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解.

【解答过程】

如图，连接PO,POr,OA,OxB,因为R4,PB与圆相切，

所以|PO|2+IPO/=\PAf+\OA\2+\PB\2+|。画2=18+1+1=20,

设P(x,y)，所以叱+才+3—2)2+y2=2a?+2婿-4又+4=20,

整理得Q—以+d=9,所以P在以(1,0)为圆心，3为半径的圆上运动，

\PA\=V|PO|2-1WV42-l=,当且仅当P在(4,0)时等号成立，

故答案为：，访.

【题型3障圆类型三:到两定点的夹角为直角】

9.(2024•浙江嘉兴•二模)已知圆C-.(x-5)2+(夕+2)2=O),A(—6,0),8(0,8),若圆。上存在点P使

得四，。6,则「的取值范围为()

A.(0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+<»)

【解题思路】由PAd.得到点P的轨迹是以AB为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，

解不等式组即得.

如图，由K4_LPB可知点P的轨迹是以48为直径的圆，设为圆M,

因A(-6,0),B(0,8),故圆M：(x+3)2+(y-4)2=25.

依题意知圆M与圆。必至少有一个公共点.

因。(5,-2),河(一3,4),则|CM|=J(5+3)2+(_2—4)2=10,

由|r—5|W|CM|W5+r,解得：5W/W15.

故选：B.

10.(2024.北京平谷.模拟预测)设点4(1,0),动直线Z：c+ay+2a—1=0,作AM±I于点河，则点“到坐

标原点。距离的最小值为()

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

【解题思路】根据直线的垂直关系可得点河的轨迹是以C(l,—1)为圆心，半径r=1的圆，即可得1Moim=

—i.

【解答过程】由AM-LI以及aj+ag+2a—1=0可得直线411的方程为y—a(a;—1),

联立［二:器;)T=°,消去a整理可得(IT+("+1)2=1；

所以可知点河的轨迹是以(7(1,—1)为圆心，半径r=l的圆；

因此|_WO|min=\CO\—r=(1—0)2+(—1—O)2—1=V2—1.

故选:C.

11.(23-24高三下•江苏扬州•开学考试)在平面直角坐标系xOy中，已知为圆x2+y2=9上两点，点

入(1,2),且411，4",则线段郎的长的取值范围是()

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4—V5,4+V5^]D.[V13-V5,V13+V5]

【解题思路】易知以AM,AN为邻边作平行四边形AMPN为矩形，由平面向量可证|dl|2+|OP|2=|(w|2+

|而「，再由|AW|=|AP|可得其取值范围.

(解答过程】以AM,AN为邻边作平行四边形AMPN,

由AMI.4V可得四边形4MpN为矩形，如下图所示：

\OA^+\OP^\ON+^+\OM+^^ON2+N^+2ON-NA+OM2+MP2+2OM-MP

^ON2+OM2+2N^+2NA-MN

=ON2+OM2+2e_2\NA\\MN\cosAMNA

=ON2+OM2,

可得历苏HI而『=9+9,

解得I讨『=9+9—|刀F=13,即|OF|=V13,

即P点轨迹是以(0,0)为圆心，半径为，叵的圆，

易知\MN\=\AP\<\OP\+|OA|=V13+V5,\AP\>\OP\+|OA|=V13-V5,

所以线段AW的长的取值范围是通,

故选：D.

12.(2024•广西南宁•二模)已知直线y=kx+m(km^0)与c轴和"轴分别交于A,B两点，且\AB\=2V2,

动点。满足C4_LCB,则当k,小变化时，点。到点0(1,1)的距离的最大值为()

A.4V2B.3V2C.2A/2D.V2

【解题思路】先求得力，B两点坐标，根据\AB\=2V2得到(一支+加=8,再结合CA±CB可得到。轨迹

为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.

【解答过程】由y—kx+7n(km/0),得A(-半,O),B(O,?TZ),由\AB\—22,得(—华)+m2=8,

由CA_LCB,得通工反5=0,设C(c,g)，则(2+与•(①“一^)=0,

\k7

___________F

即缶+翳华f=圾+年=2,因此点。的轨迹为一动圆，

\2K7'274k4

设该动圆圆心为@',y），即有a/=—答",式=与，则~——2x',m—2式代入（一半）+加=8,

2k2k

整理得：x'2+y'2=2，即。轨迹的圆心在圆"2+y2=2上（除此圆与坐标轴的交点外），

点0（1,1）与圆/+/=2上点（—1,—1）连线的距离加上圆。的半径即为点。到点。（1,1）的距离的最大

值，

所以最大值为<\/[1—（―1）]2+[1—（―I）]2+V2=3A/2^.

故选：B.

【题型4陋圆类型四:定弦定角、数■积定值】

13.（2024•北京•三模）已知圆。：3-叱y+（y—园=1和两点0）出（力,0）（±>0）,若圆。上存在点P,

使得屈•屈=0,则t的取值范围为（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【解题思路】由方•屈=0知点P的轨迹方程是以AB位直径的圆，可得怙一l|<|OC|Wt+l,即可求出t的

取值范围.

【解答过程】向•4=0说明P在以AB为直径的圆22+才=F上，

而P又在圆。上，因此两圆有公共点，

则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，

所以H&QC&+1,即|t—l|W2Wt+l,又t>0,解得

14.（2024.全国.模拟预测）M•点是圆。：3+2）2+才=1上任意一点，点二为圆G：Q—23+才=3的弦，且

[48|=20，"为48的中点,则匹亚|的最小值为（）

A.1B.2C.3D.47

【解题思路】根据弦长公式先求出|GN|=1,然后可知点N在以G（2,0）为圆

心，1为半径的圆上，结合圆的性质可求|A〃V|的最小值.

【解答过程】圆C:（2+2y+d=1的圆心为。（一2,0）,半径为r=1,

圆G：Q—2）2+才=3的圆心为。1（2,0）,半径为n=、/W.

如图所示,由弦长公式知|GN|2=2A/2,

解得

所以点N在以G⑵0）为圆心、1为半径的圆上，

由图可知，|AW|的最小值为|CCj-r—l=4—l—l=2.

故选：B.

15.（2024•江西赣州•一模）在边长为4的正方体ABCD-A.B.C.D,中，点E是8c的中点，点P是侧面

内的动点（含四条边），且1211/1。。=牡211/皮汨,则。的轨迹长度为（）

兀4兀

A匹R2cnD.普

9-V

【解题思路】根据tan/APO=4tan/EPB,求出24=即可利用坐标法求解轨迹方程，即可由弧长公式

求解.

在长方体ABCD-4瓦。12中，由于DA_L平面A.ABB,,CB_L平面A^BB,,

在Rt^PAD和Rt/^PBC中,tanAAPD=铠，tan/EPB=等,

•••tan/APD=4tan/EPB,BE=-j-BC=^AD,：.PA=^PB,

在平面ABBA,以/.为坐标原点，以AB,44i为⑨夕轴的正方向，建立平面直角坐标系,

设_?（，,“），则4（0,0）,3（4,0）,

则由R4=~PB可得V^+7=yV（^-4）2+y2,

化简可得（力+3+/=半，

由于6>0,g>0,

故P的轨迹表示圆心在（一日,0）,半径为r=~|■的圆在第一象限的弧长，

由于Q（0,怦），

故/QAM=J,因此轨迹为/QAM=q所对的弧长，故长度为母义春=等

33339

故选：D.

16.（2024•河南郑州,二模）在平面直角坐标系xOy中，设4（2,4）,8（—2,—4）,动点P满足PO-PA=—1,则

tanZPBO的最大值为（）

A2历口4何c2函cV2

A--2Tb-ig-c-irD-F

【解题思路】设出点P（x,y）,利用数量积的坐标表示得到点P的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.

______G

【解答过程】设P(力,g),则PO—PA-(2—6,4—g),

则PO-PA=—x(2—x)—y(4—y)=—1,即a?2—2a?+?/2—4?/+1=0,

化为(力一1了+e—2)2=4,则点P的轨迹为以。(1,2)为圆心，半径为2的圆，

又k(jB=―*=2=%£)=5，所以_B,O,°三点共线，

显然当直线PB与此圆相切时，tanZFBO的值最大.

又BD=V32+62=3V5,PD=2,

则PB=y/BD2-PD2=74^4=V41,

ml+/DncPD22质

PBV41V41

故选：C.

【题型5阿波罗尼斯圆】

17.(23-24高二上•辽宁沈阳•期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,

指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比濯~=4(zl>0,ziWl),那么点M的轨迹就是阿波罗尼

斯圆.已知动点河的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为/+才=1,Q为力轴上一定点，p(—十,0),且久=

2,则点Q的坐标为()

A.(-1,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.⑵0)

【解题思路】由题可设Q(a,0),按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得a得值，从

而可得点Q的坐标.

【解答过程】解:设Q(a,0),,所以=衣二^^

由P(一/0),得\MP\=J(z+£f+才.

粤^=白=所以整理得：谷+婚+且守力=咚;

师VFW33

(4+2a_Q

因为动点河的轨迹方程是"+才=1,所以足：1_解得a=—2,所以Q(—2,0).

[3=1

故选：C.

18.(23-24高二上•江西南昌•阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚

历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲

线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比粤■=4

\MP\

仅>0"#1),那么点河的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的河与定点Q(m,0)和定点F(-y,0)的

距离之比为2,其方程为/+必=1,若点口(1J),则21Mpi+|MB|的最小值为()

A.V6B.V7C.V10D.V11

【解题思路】令必，应用两点距离公式列方程求河轨迹，结合已知圆的方程求参数进而得Q(-2,0),

再由2\MP\+\MB\=\MQ\+|皿引，数形结合求目标式最小值.

【解答过程】由题设平g=2,令M(x,y),则+<=4,

\MP\(x+^f+y1

所以/+旦芋砂土+#=21尹，则Lgm,—1OM=-2,即Q(—2,0),

IO-0

又12+俨>1,即B（L1）在圆外，（-2）2+12>1,即。（-2,0）在圆夕卜,

由2\MP\+\MB\=\MQ\+\MB\>\BQ\=VW,当且仅当共线上等号成立,

所以2|W|+\MB\的最小值为VW.

故选：C.

19.（23-24高二上•陕西咸阳•阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作

《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数;10力1）的

点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点。（0,0）,4（3,0）,动点「出少）满足篇^=方,

则点P的轨迹与圆C：Q—2）2+婚=1的公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】先求得P点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系确定公切线的条数.

【解答过程】依题意动点P（c,夕）满足=

所以41Poi2=|9|2,4/+旬2=（，―3）2+#，

整理得3+1）2+才=4,

所以P点的轨迹是以3（—1,0）为圆心，半径n=2的圆.

圆。:（土一2）2+才=1的圆心为（7（2,0），半径r2—l,

=3=+72,所以两圆外切，则公切线有3条.

故选：C.

20.（23-24高二上•湖南益阳•期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山

大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一

书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比照斗=4。

\MP\

>0J¥1）,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2

=1，其中，定点Q为①轴上一点，定点P的坐标为（-y,0）,/l=3,若点3（1,1）,则3\MP\+\MB\的最小

___________________________________

值为()

A.VWB.VnC.V15D.V17

【解题思路】设Q(a,O),M(x,y),根据=4和/+才=1求出&的值，由3|A4P|+\MB\=\MQ\+\MB\,

两点之间直线最短，可得31Mpi+|7WB|的最小值为|BQ|,根据坐标求出\BQ\即可.

【解答过程】设Q(a,O),M[x,y),所以\MQ\=V(x-a)2+y2，由P(—^o),

所以1PAi|=((2+():：+"，因为\MQ\=)且)=3,所以包工一疗+才=3,

\MP\

X+籽+“

整理可得x2+y2+a产2=9m

中=0

又动点M的轨迹是"+#=],所以

三=1'

解得a=一3，所以Q(-3,0),又\MQ\^3\MP\,

所以3|MP|+\MB\^\MQ\+\MB\>\BQ\,

因为

所以31Mpi+的最小值\BQ\=V(l+3)2+(l-0)2=V17,

当Al在位置M或监时等号成立.

故选：D.

【题型6蒙日圆】

21.(23-24高三上•安徽六安•阶段练习)椭圆军+q=l(a>O,b>O,a¥b)任意两条相互垂直的切线的交

a-b

点轨迹为圆：疗+*=&2+*,这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆Q—4丫+(夕—3)2=/(「>0)上总存在

点P,使得过点P能作椭圆/+与=1的两条相互垂直的切线，则度的取值范围是()

O

A.[1,7]B.[1,9]C,[3,7]D.[3,9]

【解题思路】根据蒙日圆的定义结合两圆的位置关系计算即可.

2

【解答过程】根据题意可知椭圆/+牛=1的蒙日圆方程为/+才=4,圆心为原点，半径为2,

O

圆(c—4y(y_3)2=r2(r>0)的圆心为(4,3),半径为r,

则圆(X—4)2+(y—3)2=r2(r>0)与—+才=4必有交点才符合题意，

即两圆圆心距d=J(4—0y+(3-0)2=5,

则|r-2|WdW|r+2|=rC[3,7].

故选：C.

22.(2024•贵州铜仁•二模)法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭

圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.

若椭圆「：4+当=l(a>b>0)的蒙日圆为C:/+才=白2,过。上的动点m作r的两条切线,分别

ab3

与。交于P,Q两点，直线PQ交「于A,B两点，则椭圆r的离心率为()

AB四CD娓

A，2及2。3D3

【解题思路】选取两条特殊的互相垂直的切线，得到其交点，代入圆方程得到a?=3肥，利用离心率公式即可得

到答案.

【解答过程】依题意，取特殊直线7=a和直线y=6,显然这两条直线与椭圆「都相切，且这两条直线互相垂

直，

因其交点(a,b)在圆。上，a2+b2--^-a2，得a2=3b2,

椭圆「的离心率e=£==萼，

故选：D.

23.(2024高三・山东•专题练习)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相

垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆。：-4-+g=1

(a>0)的离心率为则椭圆。的蒙日圆方程为()

A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+y2=5D.®2+y2=4

【解题思路】根据椭圆。的离心率可求出a=3,根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭

圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆。的蒙日圆方程.

【解答过程】因为椭圆+幺=1(a>0)的离心率为!，

a+1a2

所以可^^=£■，解得Q=3,所以椭圆。的方程为受+*=1,

所以椭圆的上顶点A(0,V3)，右顶点B⑵0),

所以经过A,_B两点的切线方程分别为g=A/3,X=2,

所以两条切线的交点坐标为(2,遍)，又过A,的切线互相垂直，

由题意知交点必在一个与椭圆。同心的圆上，可得圆的半径/="而哥=，7,

所以椭圆。的蒙日圆方程为/+#=7.

故选：

___________F

24.(23-24高二上•江苏徐州•期中)画法几何学的创始人--法国数学家加斯帕尔・蒙日发现:与椭圆相切

的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已

222

知椭圆学+4=l(a>b>0)的蒙日圆方程为川+才=口2+应若圆(/—3)2+(4一/=9与椭圆g

abJ

+才=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则4的值为()

A.±3B.±4C.±5D.2V5

【解题思路】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出

结果.

【解答过程】由题意可知春+d=1的蒙日圆方程为"+/=全

O

因为圆(2—3)2+(y—4)2=9与圆/+婿=4仅有一个公共点，

所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，

所以J(3―0)2+(4—0)2=3+2或J(3—Oy+(/l—0)2=|3—2|,

由此解得/l=±4,

故选：B.

►过关测试

一、单融

1.(24-25高二上•江苏徐州•阶段练习)已知动点河与两个定点0(0,0),4(3,0)的距离之比为2,那么直线

0Al的斜率的取值范围是()

A.[2V6,6V2]B.[—呼，年]C.[—乎，乎]D.

【解题思路】根据题意，求出点"的轨迹方程，数形结合求得直线CW的斜率范围.

【解答过程】设动点M&y),则'X'.=2,

V(rc-3)2+y2

化简得(/-4)2+才=4,

所以点7W的轨迹为圆E:(^―4)2+^/2=4,

如图，过点。作圆E的切线，连接EA"则旧必=2,|O石|=4,

所以=£，同理/凶。后=工，

66

则直线。河的斜率范围为[-亨，得4

故选:C.

2.(23—24高三上•重庆•期中)已知Q为抛物线C:峭=4①上的动点，动点M满足到点42,0)的距离与

到点尸(尸是。的焦点)的距离之比为彳,贝IJ\QM\+\QF\的最小值是()

A.3—A/2^B.4—\P1C.4+y/2,D.4

【解题思路】根据题意得到点河的轨迹，然后将|QM+IQ^I的最小值转化为\QB\-V2+\QS\的最小值，根

据垂线段最短得到当S,Q,B三点共线时，|QA/|+\QF\最小，然后求最小值即可.

【解答过程】VvJ

।

由题意得F(1,O),\QF\等于点Q到准线的距离，

过点Q作QS垂直准线于点S,则|QF|=|QS|,

设动点M(x,y),则个-2)丁彳=卓，整理得(/-3)2+#=2,

V(rr-l)2+y22

所以点州的轨迹为以5(3,0)为圆心，半径为四的圆，

\QM\+\QF\)\QB\-V2+|QS|,

所以当四点共线时，|QM|+|QF|最小，(|QM+|QF|)mM=l+3—2=4—

故选：B.

3.(23-24高二下•贵州六盘水•期末)已知线段AB的长度为4,动点河与点A的距离是它与点B的距离

的，^倍，则面积的最大值为()

A.8V2B.8C.4V2D.华O

【解题思路】以4B的中点为坐标原点,AB所在直线为力轴建立直角坐标系，可得州的轨迹方程为圆(2—6?)

+d=32,数形结合△AMB高的最大值为圆的半径，可解问题.

【解答过程】以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为立轴建立直角坐标系，

设MQ,2/),且4(—2,0),5(2,0),

由|M4|=，^|MB^^^(2：+2)2+92=2(C—2)2+2/

化简得的轨迹方程为圆(2一6)2+才=32,半径r=4\走"，

如下图，有=

故选：A.

4.(23-24高二上•河北石家庄•期末)在平面直角坐标系内，曲线力2=夕+1与①轴相交于A,8两点，P是

平面内一点,且满足|融|=2区8，则△R4B面积的最大值是()

A.V3B.2V3C.V2D.272

_________F

【解题思路】根据题意不妨取4(1,0),B(—1,0),进而求点P的轨迹方程，结合方程分析求解.

【解答过程】对于曲线/=9+1,令9=0,即a?=1,

可得多=±1,不妨取4(1,0),8(—1,0),可知\AB\=2,

设P3妨，因为|R4|=,则11+靖=V2^(x+l)2+y2,

整理得(c+3y+*=8,

可知点P的轨迹是以(一3,0)为圆心，半径为2方的圆，

所以面积的最大值是-j-x2x2V2=2V2.

故选：D

5.(23—24高二下•陕西宝鸡•期中)已知点A为直线3力+40一5=0上一动点，点P(m+2,1—n),B(2,0),

且满足病+/=2n—4nz—4,则21Api+|BF|的最小值为()

【解题思路】通过构造关系\PB\=21PM找至定点M,将最值转化为求2(|P4|+\PM\)的最值，进而转化为

\AM\最值，则点线距求解可得.

【解答过程】m2+n2=2n—4m—4,/.(m+2)2+(n—1)2=1.

设P点坐标为(a:,y),由题意x—m+2,y=1—九,则x2+y2—l,

.♦.P点轨迹是以0(0,0)点为圆心，1为半径的圆，记为圆O,

设在c轴上存在定点M(a,0)，使得圆上任意一点P(x,y)，满足|PB|=2\PM\,

贝'I(a7—2)2+y2=2-y(x—a)2+y2,

化简得3(1+y2)—4(2a—V)x+4(a?-1)=0,

又；a?+/=1,代入得4(1—2a)x+4a2—1=0,

要使等式恒成立，则1—2a=0,即a=-y.

.•.存在定点Al(],0),使圆上任意一点P满足|PB|=2|PM|,

则2\AP\+\BP\=21Api+2|皿F|=2(|4P|+\MP\)>2\AM\,

当A,P,M三点共线(AM位于P两侧)时，等号成立.

又入点为直线3c+4g—5=0上一动点，则的最小值即为点M到直线的距离，

由河([,0)到直线距离d=星工=条，则

\2)V32+421。10

故21Api+\BP\>2\AM\>2d=《.

5

如图，过7W作直线3力+4g—5=0的垂线段，垂线段与圆O的交点即为取最值时的点P,此时取到最小值二.