2025年新高考数学复习突破讲义：极值与最值（含解析）

专题16极值与最值

【考点预测】

知识点一：极值与最值

1、函数的极值

函数/(X)在点七附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(x)</(x0),则称/(x0)是函数的一个极大

值，记作为大值=/(%).如果对X。附近的所有点都有/(x)>/(x0),则称“X。)是函数的一个极小值，记作

y极小值=/(x°).极大值与极小值统称为极值，称不为极值点.

求可导函数/(X)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(X)的定义域；

(2)求导数f\x)；

(3)求方程/'(x)=0的根；

(4)检验/(x)在方程(。)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，

那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)

在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点％处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即/(%)=0,且在％左

侧与右侧，/'(x)的符号导号.

②/'(x0)=0是％为极值点的既不充分也不必要条件，如〃x)=x3,/,(0)=0,但x0=0不是极值点.

另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(x)=|x|,在极小值点x0=0是不可导的，于是有如下结论：/为

可导函数/(X)的极值点=>尸(%)=0；但/'(Xo)=ogro为/(X)的极值点.

2、函数的最值

函数>=/(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(x)最小值为极小值与靠近极

大值的端点之间的最小者.

1

导函数为/(x)=ax+bx+c=a(x-X1)(x-x2){m<xi<x2<n)

(1)当。>0时，最大值是〃再)与了伽)中的最大者；最小值是与/(M中的最小者.

(2)当a<0时，最大值是"马)与人间中的最大者；最小值是〃网)与/(”)中的最小者.

一般地，设y=/(x)是定义在0,n］上的函数，y=f(x)在(根,n)内有导数，求函数y=/(x)在pw,n］

上的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=/(x)在(〃［，")内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y=/(x)的各极值与/(⑼和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值

是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值;

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【方法技巧与总结】

(1)若函数在区间D上存在最小值/(x)1nhi和最大值”冷皿，则

不等式/(x)>a在区间D上恒成立o/(x)*〉。；

不等式/(x)Na在区间D上恒成立o/(x)m,n>«;

不等式“X)<6在区间D上恒成立o/(%)_<b；

不等式〃x)<6在区间D上恒成立=/(x)max<b；

(2)若函数在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(加，n),则

不等式/(x)>“(或/1(X)2a)在区间D上恒成立<=>m>a.

不等式/(，〈/或/⑺4^在区间D上恒成立=加W6.

(3)若函数f(x)在区间D上存在最小值血n和最大值/(X)—,即〃x)e[加,〃],则对不等式有解

问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间D上有解oa<〃x)1rax；

不等式aW/(x)在区间D上有解oaW/(x)1mx;

不等式a>/(x)在区间D上有解=a>f(x)m，n;

不等式aN/(x)在区间D上有解oa>f(x)mjn;

(4)若函数〃x)在区间D上不存在最大(小)值，如值域为(加，冷，则对不等式有解问题有以下结

论：

不等式a</(%)(或.4/(X》在区间D上有解

不等式6>/(x)(或2/(X))在区间D上有解

(5)对于任意的再e[a,可，总存在马€向,n],使得/(再抬名6)。〃士)111ax4g仁)111ax;

(6)对于任意的”[a,6],总存在々Wm,句,使得了(再)2g(%)=/(再置2；

⑺若存在再式2b],对于任意的％e[m,n],使得/(再)4g(x?)O〃再「4g(%)1nto；

(8)若存在b],对于任意的％e[m,n],使得/(xjNg(z)o/(再)111axN8㈤111ax；

(9)对于任意的”[a,b],x2e[m,"]使得/(xjvg(x2)o/(xj1rax4g优号；

(10)对于任意的西©,,b],々e[m,可使得/(xjNgdo/a)111faNg(A：2)111ax；

(11)若存在苔e[a,可，总存在々am,n],使得g(%)o〃占)向“4g(xj1mx

(12)若存在再小,可，总存在X2e[m,n],使得/(xj2g(%)O/(占)1mxN.

【典例例题】

例1.（2024•江苏南通•二模）若函数/（x）=e"+2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）

1

A.a>—2B.a>—C.ci<-2D.a<——

22

【答案】c

【解析】函数/(x)=ea+2x,

可得r(x)=ae"+2,

若aN0J'(x)>0,此时/'(x)单调递增,无极值点，

17

故。<0,令/'(x)=ae"+2=0,解得x=—皿——),

aa

当x，ln(-2)时，/0(x)>0,当x<』ln(-2)时，f'(x}<0,

aaaa

i?

故x=-ln(——)是/(x)=e»+2x的极值点

aa

由于函数/(x)=铲+2x有大于零的极值点，

i?22

-ln(--)>0nln(--)<0n0<--<1,解得a<-2.

aaaa

故选：C.

例2.（2024・高三・陕西•阶段练习）已知函数/■（%）,其导函数/'（x）的图象如图所示，则（）

B.f（x）在尤=1处取得极小值

C.1（x）有极大值，没有极小值D./卜）在（-叫1）上单调递减

【答案】c

【解析】由题意及图得，当x<3时,r（x"0；当x>3时，/，（%）<0；

所以/'（可在（-叫3）上单调递增，在（3,+s）上单调递减，

则/（X）有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，

故选：C.

例3.（2024・高三・江西•开学考试）已知函数/（x）=^-a*+x+l没有极值点，贝ija的取值范围是（

A.(-V3,V3)B.［-V3,V3］C.(-a),-V3)D.［百,+可

【答案】B

【解析】f'(x)=3x2-2办+1,是开口向上的二次函数，

因为函数/(力=、-加+x+l没有极值点,则九(x)NO,

所以八=4/一12<0，解得一

所以。的取值范围是『百，百］

故选：B.

例4.(2024・高二•湖北黄冈•期末)已知函数/(x)=x(x-c)2在>2处有极小值，则常数c的值为()

A.1B.2或6C.2D.6

【答案】C

［解析］/f(x)=(x-c)2+2x(x-c)-(x-c)(3x-c),

由题意得尸(2)=0,gp(2-c)(6-c)=0,解得c=2或6,

当c=2时，/'(无)=(无一2)(3尤—2),

当或x>2时，r(x)>0,〃尤)单调递增，

当：<x<2时，/'(%)<0,y(x)单调递减，

故函数/"(X)=X(尤-C)2在X=2处有极小值，满足要求，

当C=6时，f'(x)=(x-6)(3x-6),

当x<2或x>6时，f'(x)>0,/(x)单调递增,

当2<x<6时，Ax)<0,/(x)单调递减,

故函数/"(X)=X(尤-C)2在X=2处有极大值，不合要求，

故常数C的值为2.

故选：C

例5.(2024・陕西渭南•模拟预测)已知函数〃x)=xe'+a在区间［0,1］上的最小值为1,则实数。的值为()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【解析】由题意可知：r(x)=(x+l)e\

所以当尤e［0』时/(x)>0,则/⑴在［0,1］上单调递增，

所以/(x)mM=〃°)=a=L

故选：D.

例6.(2024・江西上饶•一模)已知函数/'(x)=xe，，则下列说法正确的是()

A.f(x)的导函数为/'(x)=(x-l)exB.Hx)在(-1,+8)上单调递减

C./(尤)的最小值为—D.7(无)的图象在x=0处的切线方程为>=2x

【答案】C

【解析】A：/(x)=xeX=/'(x)=e，+xeX=6+1产，因此本选项不正确;

B：由上可知：/(x)=eA+xer=(x+l)eA,

当x>-l时，/%x)>0,函数/(尤)单调递增，因此本选项不正确；

C：由上可知：/,(x)=(x+l)ev,

当x>-l时，*(x)>0,函数/(无)单调递增，

当x<-l时，/，(%)<0,函数[卜)单调递减，

所以当x=-l时，函数/(X)的最小值为因此本选项正确；

D：由上可知/'(尤)=(尤+1户,因为广(0)=1,/(0)=0,

所以/'(X)的图象在x=0处的切线方程为了=》，因此本选项不正确，

故选：C

例7.(2024・全国•模拟预测)设e为自然对数的底数，函数〃x)=4-山"4在x=2处取得极值，则实

e

数a的值为.

【答案】e2

【解析】因为f(x)=ei-lna-qx,所以/心)=产二色.所以/<2)=e-3=0.所以a=e?.

eee

又当a=e?时，/'(x)=e、T-e,

令/'(无)<0,得x<2,令/'(x)>0,得x>2,符合函数〃x)=ei-lna-卜在x=2处取得极值

故答案为：e2.

例8.(2024・高三•河北•期末)已知函数/'(x)=办-lnx的最小值为0,则。=.

【答案】-

e

【解析】因为〃力=6-Inx,所以/，(x)=a—=—.

若。40,则/(无)在(0,+e)上单调递减，无最小值.

若a>0,则/(X)在长：上单调递减，在\，+“上单调递增，所以〃).=/[]=1+3=0，解得°=1

故答案为：-

e

例9.(2024•陕西西安・模拟预测)已知奇函数/'(x)=ox3+bx2+cx在x=l处取得极大值2.

⑴求/'3的解析式；

⑵求〃x)在14,3］上的最值.

【解析】(1)易知函数的定义域为xeR,

因为/(x)是奇函数,所以〃r)=-/(x),则6=0.

Efef(x)=ox3+cx,得/'(x)=3办2+c.

因为1(尤)在X=1上取得极大值2,

⑴=3a+c=0,Q=-1,

所以<解得

/(1)=a+c=2,c=3,

a=—1,/、

经经检验当'=3时’/(X)在》=1处取得极大值2，

故/(x)=f3+3x.

(2)由(1)可知，=—3广+3=—3(x—1)(x+1),

当时,/'(x)>0J(x)单调递增;

当和(1,3］时,/'(x)<0J(x)单调递减;

即函数/(X)在X=-1处取得极小值/(-1)=-2,在X=1处取得极大值/⑴=2；

又因为〃-4)=52,/(3)=-18,

所以/'(x)在［-4,3］上的最大值为52,最小值为-18.

例10.(2024•高三・山东德州•期中)记函数/⑴的导函数为/'(x),已知〃可=；/一(+2

+4kx—6,

A5)=3.

⑴求实数后的值；

(2)求函数/(x)在［0,5］上的值域.

【解析】(1)

/'(X)=x2一(左+4)x+4左

因为/'(5)=3,所以25—5(左+4)+4左=3,解得左=2

(2)由(1)可矢口/'(x)=x2—6x+8=(x—2)(x—4)

由"(x)〉0,解得x>4或x<2；由，(x)<0,解得2<x<4

所以函数〃x)在［0,2］,［4,5］单调递增；在［2,4］单调递减

又/(。)=一6,42)=j/(4)=-|,/(5)=|.

所以篇k)=〃0)=-6,加(力=〃2)=〃5)="

「?-

所以函数/(X)在［0,5］上的值域为-6,1.

例11.(2024・高三,全国,专题练习)已知函数/(%)=alnx+w%-a,aeR.讨论函数/(%)的最值；

【解析】由函数/(x)=alnx+；x--可得其定义域为(0,+。)，且/(%)=区+；=,

当a"时，可得"(x)〉0,f(x)在(0,+。)上单调递增，无最值；

当a<0时，令/'(x)<0,可得0(尤<-2a,所以/(x)在(0,-2。)上单调递减；

令/(x)》0,可得x>-2a,所以/(x)在(-2a,4w)单调递增,

所以/'(x)的最小值为/(-2a)=aln(-2.)-2a,无最大值.

综上可得：

当心0时,/(x)无最值;当a<0时，/(无)的最小值为aln(-2a)-2a,无最大值.

例12.(2024•高三・天津•期中)已知函数〃司=4{-3f-18尤+27,xeR.

⑴求/'(x)的单调区间与极值；

⑵求;'(x)在区间［0,3］上的最大值与最小值.

【解析】(1)由题设/'0)=12/一6%-18=12(>+1)0-5),令/'(%)=0,得工=一1或Xu,,

当/'(x)>0时，即12(x+l)(x-g)>0,解得x>g或x<-l,单调递增区间为(一叫一1)和(1,+纥］

当/”(x)<0时，即12(x+l)(x-|)<0,解得-l<x<右单调递减区间为卜,£).

函数〃X)的极大值为〃-1六38,极小值为吗4)=/?7.

33

(2)由5曰0,3］,/(0)=27,/⑶=54,则/弓)</(0)</⑶

且一(X)在区间［0,3］上连续，函数/(X)在区间［0,3］内的最大值为54,最小值为子.

【过关测试】

一、单选题

1.(2024•高三・全国・专题练习)已知函数/'(x)=e*+ax,aeR有大于零的极值点，则〃的取值范围为()

C.(-l,+8)D.(-℃,-l)

【答案】D

【解析】由题意/'(x)=e，+i=0有正根,即方程“=有正根，

而当x>0时，g(x)=-eAG(-co,-l),所以“的取值范围为(-叫-1).

故选：D.

2.(2024・高三・河南焦作•期末)已知函数=+有两个极值点0,q,若q=2p,则”0)=()

1ln2B-I

A.I-------C.l-ln2D.

2In2

【答案】D

ep-2Ap=0

【解析】依题意,八无)=e*-22x,则

eq-2Aq=0

ep=2九p

因为4=2。，所以

e2P=440

显然X,两式相除得e"=2,则。=ln2,

代入-2功中，解得人"则

故选：D

3.(2024・广西•模拟预测)设仍20,若为函数〃无)=“('-“)2(》-方)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<b2D.ab>b2

【答案】C

当a<0时，函数/(x)大致图象如图(2)所示，贝！］6<。<0,此;时必</.

综上：ab<b2.

故选：C.

4.(2024・全国•模拟预测)已知函数/(x)=4xex-e2-2ex,/(x)为了⑴的导函数，g(x)=£^,则()

e

A.g(x)的极大值为4e?-2,无极小值

B.g(尤)的极小值为4e°-2,无极大值

C.g(尤)的极大值为41n2-2,无极小值

D.g(x)的极小值为41n2-2,无极大值

【答案】C

【解析】"X)的定义域为R,「(x)=4(e，+xe4-2e2*_2e，=e、(4x_2e，+2),

所以g(x)='')=4x-2ex+2(xeR),

求导得g'(x)=4-2e1令g[x)=0,得x=ln2,

当x<ln2时，g'(x)>0；当x>In2时，g[x)<0,

所以函数g(无)在(F,ln2)上单调递增，在(ln2,+8)上单调递减，且当x=ln2时，g(x)取得极大值

g(ln2)=41n2-2,无极小值.

故选：C.

5.(2024・高三•黑龙江齐齐哈尔・期末)若x=3为函数〃x)=；x2-ax-31nx的极值点，则函数〃无)的最小值

为()

133一

A.—B.—C.------31n3D.3—3In3

222

【答案】C

【解析】rw

因为尤=3是函数/(X)的极值点，

所以/'(3)=3-°-1=0,贝1]。=2,

(x-3)(x+l)

所以f'^x)-x-2——

当xe(0,3)时，//(x)<0,当xe(3,+oo)时,#(x)>0,

所以函数/(x)在(0,3)上单调递减，在(3,+s)上单调递增,

3

所以〃xL=〃3)=-万一31n3.

故选：C

二、多选题

6.(2024•高二・江苏连云港•期末)已知函数AM的定义域为R且导函数为/(无)，如图是函数y=#'(x)的图

象，则下列说法正确的是()

A.函数的减区间是(-2,0),(2,+8)

B.函数/(x)的减区间是(-8,-2),(2,+oo)

C.尤=-2是函数/*)的极小值点

D.x=2是函数/(x)的极小值点

【答案】BC

【解析】观察图象，由得尤<-2或0<x<2,显然当x<-2时，f\x)<0,当0cx<2,f\x)>0,

由V'(x)<0,得-2<x<0或x>2,显然当-2<x<0时，f'(x)>0,当x>2时，/'(无)<0,

因此函数/(X)在(-8,-2),(2,+◎上单调递减，在(-2,2)上单调递增，A错误，B正确；

函数/(x)在x=-2处取得极小值，在x=2处取得极大值，C正确，D错误.

故选：BC

7.(2024・高三•云南楚雄•阶段练习)已知定义域为［-3,5］的函数"X)的导函数为/(x),且/(x)的图象如图

所示，则()

A.Ax)在(-2,2)上单调递减B.〃x)有极小值/(2)

C./(x)有2个极值点D./(x)在x=-3处取得最大值

【答案】AB

【解析】由/(X)的图象可知xe(-2,2)或xe(4,5)时，/'(x)<0,则/⑴单调递减，故A正确;

又xe(-3,-2)或xe(2,4)时，(尤)>0,则/⑴单调递增，

所以当x=2时，/(X)有极小值/\2),故B正确；

由/(无)的图象结合单调性可知》=-2,2,4时，有极值，所以AM有3个极值点，故C错误;

当xe(T-2)时，f'(x)>0,则”x)单调递增,

所以〃-3)</(-2),/⑴在x=-3处不能取得最大值，故D错误.

故选：AB.

8.(2024・高二•江苏常州•期末)函数/(x)的导函数/'(X)的图象如图所示，则()

B.3是函数［(X)的极大值点

C./(X)在区间(-1,4)上单调递减D.1是函数/(x)的极小值点

【答案】AC

【解析】对于A项，由图象可知，

当x<-l时，*(x)〉0,所以/'(x)在上单调递增；

当-l<x<3时，r(x)<0,所以/(x)在(-1,3)上单调递减.

所以，/卜)在h-1处取得极大值.故A正确；

对于B项，由图象可知，

当时，/'(x)WO恒成立，且不恒为0,所以/⑺在(-1,+8)上单调递减.

所以，3不是函数/(x)的极大值点.故B错误；

对于C项，由B可知，/(无)在区间(T4)上单调递减.故C正确;

对于D项，由B可知，/'(x)在(-1,+s)上单调递减.

所以，1不是函数/(x)的极小值点.故D错误.

故选：AC.

三、填空题

9.(2024・辽宁•一模)已知函数/(x)=x3+"2+6x+/在尤=-1处有极值8,则/'⑴等于

【答案】-4

【解析】r(x)=3jc2+2ax+b,

—1+。—6+。*=8

若函数〃力在产-1处有极值8,则/(-1)=8/(-1)=0,即

3—2a+6=0

解得：a=3,b=3或a=—2,b=—7,

当a=3,6=3时，/。)=3炉+6》+3=3(》+1)220,此时x=T不是极值点，故舍去;

当a=-2,b=-7时，/(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(r+l),

77

当或x<-l时，/'(x)>0,当一l<x<§,r(x)<0,故尸一1是极值点，

故。=-2/=-7符合题意,

故/(X)=X3-2%2-7X+4,

故/⑴=-4.

故答案为：-4.

10.(2024•高三・浙江绍兴・期末)已知函数/(同=92-6+3.+3a111》+2在［4,6)上存在极值点，则正擎戮

4的值是___________

【答案】5

【解析】•・•/(x)=x_(a+3)+应=丫2—(a+3)x+3a=(x3)(x.,

XXX

.•.0=0时,x=3或x=a,

因为函数定义域为［4,6),在左端点%=4处无法取到极值，

'''ae(4,6),而aeZ*,所以，a=5,经检验满足题意，

故答案为：5.

11.(2024•高三・四川•期末)函数/(力=?的极大值为.

【答案】

e

【解析】/'(x)=『，当x<7时,f'(x)>Q,当x>7时,/'(x)<o.

所以/"3在(一甩7)上单调递增，在(7,+向上单调递减，

所以/(x)=—的极大值为〃7)=十=1.

e'ee

故答案为：

e

12.(2024・高三・陕西西安・期中)等差数列｛%｝中的％,%023是函数/(x)=/—6f+4x-1的极值点，则

1。88%012=__.

【答案】I

【解析】由函数/(尤)=丁_6尤2+4x-l,可得/'(无)=3/-12尤+4,

因为％,%)23是函数/(X)的极值点，即%,。2023是方程3/-12》+4=0的两个根，

可得%+。2023=4,又由％012=q+；2必=2,所以logs%012=1隔2=；.

故答案为：

13.(2024・高三.四川南充•阶段练习)已知函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］上的最小值

为

【答案】

【解析】/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,xe[02n],

则/'(%)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx.

令/'(无)=0,解得Ll(舍去)，》=：或X=筌.

所以xe(0,3口软，2TI]/(x)>0,xe卷/⑴<0,

故/(x)在W洋2兀]单调递增，在与名单调递减，

f[^=eos-4四+l〕sinj=2+匕f｛玛=cos型+[型+l]sin型+1=-型,

1^2)2(2)22I2J2(2)22

又/(0)=cos0+(0+l)sinO+1=2/(2i)=cos2兀*2兀+l)sin2?i+l=2,

=2+

所以/(X)1mx=/^p-

故答案为：-万

四、解答题

14.(2024・湖南衡阳二模)已知函数/(耳="3+6/+1,€1<),当x=2时，/(x)取得极值一3.

⑴求〃x)的解析式；

(2)求/(x)在区间[-1,3]上的最值.

【解析】(1)依题意可得/(无)=3办2+2队，

,、[/⑵=一3[8a+4Z>+l=-3

又当〜时一⑴取得极值一3,所以[眉=0,叫⑵+46=0；

[a=\

解得人2；

[Z?=-3

所以〃x)=X3_3f+i；

(2)由(1)可知/'(%)=31—6%=3%。一2),

令/'(x)=0,可得x=0或％=2,

当％变化时，r(x)j(x)的变化情况如下表所示:

X-1(T0)0(0,2)2(2,3)3

/'(X)+0-0+

/(X)-3单调递增1单调递减-3单调递增1

因此，在区间［T3］上，“X)的最小值为-3,最大值为1.

15.(2024・重庆・模拟预测)已知函数/(耳=幺-5》+。111》在工=2时取得极值.

⑴求实数4；

⑵若xe,求/(x)的单调区间和极值.

【解析】(1)因为/'(x)=f-5x+alnx,所以厂(x)=2x-5+@,

由题意得f(2)=0,

即4-5+£=0,解得a=2,经检验符合题意；

2

(2)由(1)得/(%)=工2一5x+21nx,

则/(X)=(2XT)(X-2),

X

由r(x)>0得:<x<；或2<X<4,/V)<ow1<x<2,

即/(x)的单调递增区间为(2,4),单调递减区间为2；

所以/⑴的极大值为=-|-21n2,极小值为/(2)=-6+2In2

16.(2024・高三•江西•开学考试)已知函数/'(x)=2办•lnx+3b(“、。为实数)的图象在点(1，/⑴)处的切

线方程为y=x+L

⑴求实数。、6的值；

(2)求函数〃尤)的单调区间和极值.

【解析】⑴因为/(x)=2mlnx+36,该函数的定义域为(0,+/),/,(x)=2a(l+lnx),

因为函数f(x)=2klnx+36(“、6为实数)的图象在点(1J0))处的切线方程为y=x+l,

常/'⑴=2―a=l解得

则

(2)由⑴可得/(x)=xlnx+2,该函数的定义域为(0,+8),/'(x)=l+lnx,

由广(6=0可得x=：,列表如下:

£

X

日e匕+』

rw-0+

f(x)减极小值增

增区间为g,+8),极小值为=+无极大值.

所以，函数/'(x)的减区间为

17.(2024•高三•河南•专题练习)已知函数/'(x)=xe*-加x?.

(1)求曲线V=/(x)在(0,/(0))处的切线方程；

⑵若函数g(无)=/(x)-e'在x=0处取到极小值，求实数加的取值范围.

【解析】(1)由题意，r(x)=(x+l)e，2蛆,则解(0)=1,

又"0)=0,故所求的切线方程为>

(2)由题意，g(x)=xex-m>3-ex,故g'(x)=xe*-2m=x(e*-2m).

若m40,则e-2加>0,故当尤w(-oo,0)时,g'(x)<0,当xe(0,+a))时,g'(x)>0,

故当x=0时，函数g(x)取到极小值；

若机>0,则令g'(x)=0,解得x=0或x=ln2〃z,

要使函数g(x)在x=0处取到极小值，则需ln2"z<0,即加<；,

此时当xe(y,ln2m)时,g'(x)>0,当xe(ln2m,0)时,g'(x)<0,当xe(0,+(»)时，g'(x)>0,满足条件.

综上，实数机的取值范围为(-00、).

18.(2024・高二・江苏扬州•期末)已知函数〃x)=2/-冰在x=2处取得极小值5.

(1)求实数。，6的值；

⑵当x«0,3］时，求函数/(x)的最小值.

【解析】(1)/,(x)=6x2-2ax+12,

因为/'(x)在x=2处取极小值5,所以/'(2)=24-4。+12=0,得0=9,

止匕时/，(X)=6X2-18X+12X=6(X-1)^;-2)

所以/lx)在(1,2)上单调递减，在(2,+W上单调递增

所以/(无)在x=2时取极小值，符合题意

所以a=9,/(x)=2"-9/+12x+6.

又〃2)=4+6=5,所以6=1.

(2)f(x^—2x3-9x2+12x+l,所以厂(x)=6(x-l)(x-2)

列表如下:

X0(0,1)10,2)2(2尸)3

rw+0-0+

/(x)1/极大值6极小值5/10

由于1〈5,故@3]时，=

19.(2024・高二・山西大同•期末)已知函数/(x)=g/-+〃在x=l时取得极值.

(1)求实数机的值；

⑵若对于任意的xe[2,4],恒成立，求实数”的取值范围.

【解析】(1)易知/"'(X)=f-4X+7〃，

依题意/'(1)=12-4X1+加=0,解得加=3,

止匕时/'(无)=f-4x+3=(x-l)(x-3),

当x<l或x>3时，r(x)>0；当l<x<3时，r(x)<o,

即函数〃尤)在(-8,1),(3,+8)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

因此函数“X)在尤=1时取得极值，

所以加=3.

(2)由(1)得函数“X)在(2,3)上单调递减,在(3,4)上单调递增；

所以一2x32+3x3+〃=",

由题意可得〃〉〃2,解得

所以〃的取值范围为(0,1).

20.(2024・高二・安徽滁州•开学考试)已知函数/⑴=加+雨》在％=1处有极值，

⑴求。、b的值；

(2)求出/卜)的单调区间，并求极值.

【解析】(1)因为/'(x)=af+61nx,该函数的定义域为(0,+“)，f'(x)=2ax+^,

则I，2,解得2,止匕时，f(x)=^x2-lnx,

f'(l)=2a+b=0(Z>=-12

经检验，«=1,6=T合乎题意.

因此，〃==，b=-1.

2

(2)因为/(无)=：/-111无，该函数的定义域为(O,+e),/a)=尤一工=士

2xx

令/'(x)=0,可得无=1,列表如下:

X(0」)1(1,+8)

/'(x)-0+

/(x)减极小值增

所以，函数/"(X)的递减区间为(0,1),递增区间为(1,+8),

函数/'(X)的极小值为/(1)=；-山1=1,无极大值.

21.(2024・高三.贵州安顺•期末)已知函数f(x)=x3-f-x+2

⑴求/(x)的单调增区间；

(2)方程/(%)=加在xe-1,2有解，求实数加的范围.

【解析】(1)/("=/一/一》+2的定义域为口，

/"(X)=3x2-2x-l=(x-l)(3x+1,

当x4-00,-；］口(1,+00)时，/C(x)〉o；时，/，(x)<0；

故〃X)单调增区间为(l,+s);

(2)由(1)知，函数/(X)在区间1-；,-力，(1,2)上单调递增，

在区间„上单调递减，

“T=m=ii，/⑴=】，力4,

故函数在区间-;,2上的最大值为4,最小值为1,

・•・/(%)6[1,4],

me[1,4].

22.(2024・高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=e=无(其中e是自然对数的底数)，g(x)=；/+l.

⑴求证：/W>1；

(2)当x20时，求证：/(x)>g(x).

【解析】(1)因为/(无)=e，-尤，所以厂(x)=e0l.

当x>0时，*(x)>0；

当x<0时，/'(x)<0,

所以/'(x)在区间(-叫0)上是减函数，在区间(0,+。)上是增函数，

所以==所以

(2)令〃(x)=/(x)-g(x)=e*7-1,则〃(x)=e'-x-l.

由(1)可得e*-x21,所以〃'(x)=e*-x-120,

所以函数，(x)在R上是增函数.

因为x20,所以人(尤)2Mo)=0,所以/(x"g(x).

23.(2024•高二•河南•期中)已知函数/(x)=lnx+x2-foe在点(1J(l))处的切线方程为x+y+加=0.

(1)求实数上和加的值；

⑵求;'(x)在［l,e］上的最大值(其中e是自然对数的底数).

【解析】(1)

因为/(x)=lnx+x2-Ax

所以/'(x)=』+2x-左，

由题意可得，,

Ij(1)=1一左=-m-1

解得:左=4,m=2.

(2