2025年中考数学分类复习：函数综合压轴题（解析版）

4<20备熬除金氏枯败

5年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024•广东：相似三角形的判定和性质、解直角三角形、一次函数的中考试卷中，代几

性质、反比例函数的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、轴综合题属于必考

对称的性质、圆的性质题目，这类试题常

2023•广东：全等三角形、相似三角形、特殊四边形的判定和性质、以三大函数为背

四点共圆的性质景，综合考察一次

广东卷

2021•广东：二次函数的综合应用、二次函数与不等式组、平行四边函数的性质、反比

形的存在性问题、中点公式2020•广东：反比例函数系数的性质、相例函数的性质、二

似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、平行线的性质次函数的性质、函

2020•广东：二次函数、一次函数、相似三角形的判定和性质、锐角数与方程和不等

三角函数式、全等三角形、

2024•广东广州：二次函数的图象与性质、一次函数的性质、坐标与相似三角形、平行

图形面积、一元二次方程根与系数的关系、数形结合四边形及特殊平

2023•广东广州：反比例函数和二次函数综合运用、一次函数基本知行四边形、圆、三

识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识角函数、动点最值

2022•广东广州：二次函数的综合问题、待定系数法求二次函数的关问题等，该题型综

广州卷系式、求二次函数的极值合性强，难度系数

2021•广东广州：一次函数的图像与性质、三角形面积计算、圆的相较大，既能考察基

关性质础知识和基本技

2020•广东广州：待定系数法求解一次函数的解析式、二次函数的能，又考查数学思

解析式、二次函数图像上点的坐标特点、二次函数的性质、二次函想方法和数学能

数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系力，区分度较大，

同学们在复习时，

2024•广东深圳：二次函数的综合应用、抛物线的平移

要注重总结解题

2023•广东深圳：二次函数的实际应用、数形结合的思想

技巧，灵活运用数

深圳卷2021•广东深圳：一元二次方程的应用、根的判别式

形结合及分类讨

2020•广东深圳：二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分

论思想，举一反

类讨论思想和存在性问题

--O

5年真题•分点精准练

广东卷

1.(2024・广东•中考真题)【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点瓦。是直线了="(。＞0)上第一象限内的两个动点以线段

BD为对角线作矩形45CZ),/O〃x轴.反比例函数＞=勺的图象经过点4

【构建联系】

(1)求证：函数＞=&的图象必经过点C

X

(2)如图2,把矩形/BCD沿BD折叠，点。的对应点为£.当点E落在〉轴上，且点B的坐标为(1,2)时,

求后的值.

【深入探究】

(3)如图3,把矩形/BCD沿BD折叠，点。的对应点为£.当点E,4重合时，连接ZC交8。于点P.以

点。为圆心，ZC长为半径作OO.若O尸=3收，当。。与V4BC的边有交点时，求左的取值范围.

【分析】(1)设则用含见上的代数式表示出,再代入y=X验证即可得

Im)\am)x

解；

r)F

(2)先由点8的坐标和人表示出左-2,再由折叠性质得出2=^如图，过点。作。轴，过

BE

点5作8尸，y轴，证出ADHESAEFB,由比值关系可求出行=2+公,最后由即可得解；

4

(3)当。。过点2时，如图所示，过点D作。H||x轴交y轴于点X,求出发的值，当O。过点/时，根据

A,C关于直线。。对轴知，。。必过点C,如图所示，连/。，CO,过点。作D〃l|x轴交y轴于点氏求

出发的值，进而即可求出发的取值范围.

【详解】(1)设3(%加。)，则/卜,：

轴，

二。点的纵坐标为勺，

m

...将y=&代入y=◎中得：N=ax得,

mm

.•.将x=2代入y=勺中得出了=。加，

amx

；・函数y=勺的图象必经过点C；

X

(2):点3(1,2)在直线y="上，

••a=2,

y=2x,

•'•A点的横坐标为1,C点的纵坐标为2,

•.•函数＞=上的图象经过点/,C,

X

：.DC=k-2,

•・•把矩形沿折叠，点。的对应点为

ABE=BC=--\,/BED=/BCD=9。。，

2

DCk-2cDE

BC—kiBE，

2

如图，过点。作。轴，过点5作2y轴,

：.H,A,。三点共线，

工/HED+ZBEF=90°,/BEF+NEBF=90°,

JZHED=/EBF,

9：ZDHE=ZEFB=90°,

：.ADHES公EFB,

・DHHEDE、

..--------=--------=--------=2,

EFBFBE

•/BF=\,DH=-

2

k

:.HE=2,EF=一,

4

：.HF=2+~,

4

由图知，HF=DC,

：.2+-=k-2,

4

,,16

,,K=-----;

3

(3)•・•把矩形/BC。沿AD折叠，点。的对应点为E,当点E,4重合，

JAC1BD,

•・•四边形为矩形，

・•・四边形为正方形，ZABP=/DBC=45。,

4PL1

AAB=BC=CD=DA=---------=J24尸，AP=PC=BP=-AC,BP1AC,

sin4502

•・・轴，

・・・直线y=以为一，三象限的夹角平分线，

・••尸X

当。。过点3时，如图所示，过点。作。〃〃无轴交y轴于点H,

,?AD//x轴，

：.H,A,。三点共线，

:以点。为圆心，/C长为半径作G>。，OP=3A/2»

OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=36，

­•AP=4^，

；.AB=AD=6AP=2,BD=2AP=2y[2>BO=AC=2AP=2亚，

；4B〃y轴，

...ADHOSADAB,

.HOPHDO

,•AB一AD一BD'

.HODH26+26

~2V2-，

:.HO=HD=4,

：.HA=HD-DA=4-2=2,

/（2,4）,

.•"=2x4=8,

当。。过点/时，根据4C关于直线对轴知，。。必过点C,如图所示，连NO,CO,过点。作ZV/〃x

轴交y轴于点X,

•・・AO=OC=ACf

zuoc为等边三角形，

u：OPVAC,

：.Z^OP=-x60°=30°,

2

AAP=ian3Q°xOP=—x3y/2=sj6=PD,AC=BD=2AP=2^6,

3

:.AB=AD=4iAP=2。,OD=BP+PD=372+V6,

轴，

ADHOSADAB,

.HOPHDO

,,AB—AD—BD'

.HOPH3V2+V6

"273-2^-2yj6，

:.H0=HD=3+m,

AHA=HD-DA=3+A/3-2^=3-6，

/（3-6,3+6）,

.•.左=（3-⑹x（3+£）=6,

当（DO与VABC的边有交点时,k的取值范围为6<^<8.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，

矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助

线是解决此题的关键.

2.（2023・广东•中考真题）综合运用

如图1,在平面直角坐标系中，正方形ON8C的顶点人在x轴的正半轴上，如图2,将正方形O48C绕点。逆

图1图2图3

(1)当旋转角/C。尸为多少度时，OE=OF-(直接写出结果，不要求写解答过程)

⑵若点44,3),求FC的长；

(3)如图3,对角线/C交>轴于点交直线y=x于点N,连接FN,将△O/W与△OCF的面积分别记为

H与$2,设5=5「52，AN=n,求S关于〃的函数表达式.

【答案】⑴22.5。

⑵“与

1,

⑶S=2〃

【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出/49G=2/0E,再由题意得出

ZEOG=45°,即可求解；

(2)过点A作/尸，x轴，根据勾股定理及点的坐标得出。4=5,再由相似三角形的判定和性质求解即可;

(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F,N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的

判定和性质得出W=ON,NFNO=90。,过点N作G0L8C于点G,交。4于点0,利用全等三角形及矩

形的判定和性质得出CG=o0,co=QG,结合图形分别表示出邑，得出s=E-S2=N02,再由等腰

直角三角形的性质即可求解.

【详解】(1)解：•..正方形。4BC,

OA=OC,ZA=ZC=90°,

'：OE=OF,

：.RMOC尸名RtACME(HL),

，NCOF=ZAOE,

ZCOF=ZAOG,

ZAOG=ZAOE,

•/43交直线V=x于点E,

NEOG=45°,

ZAOG=NAOE=22.5°,

如图所示:

・・,44,3),

/尸=3,。尸=4,

：.OA=5,

・・•正方形O45C,

AOC=OA=5f/C=90。，

・•・/C=/力尸0=90。，

ZAOP=ZCOF,

：."CFS^OPA,

,OCFC5FC

..而即丁了’

?.FC=—；

4

(3),・,正方形CM5C,

JNBCA=NOCA=45。,

•・•直线尸x,

J/FON=45。,

：.NBCA=NFON=45。,

・・・0、C、F、A/四点共圆，

・•・NOCN=ZFON=45°,

・•・NOFN=ZFON=45°,

・•・AFON为等腰直角三角形,

:,FN=ON,NFNO=900,

过点/V作GOJ_BC于点G,交。4于点Q,

・・・BC//OA,

：.GQLOA,

丁NFNO=900,

：./l+/2=90。，

/l+/3=90。，

・•・/2=/3,

GN%NQO(AAS)

.・.GN=OQ9FG=QN,

•：GQLBC,ZFCO=ZCOQ=90°,

・•・四边形COQG为矩形，

.・.CG=OQ,CO=QG,

22222

4=SAOFN=^ON=^(OQ+NQ)=^(GN+NQ2)=；GN?+；NQ,

邑=SACOF=|CF-CO=1(GC-FG)(GN+NQ)=|(G7V2-NQ2)=，

2

:.S=S1-S2=NQ,

'：^OAC=45°,

：.△/QN为等腰直角三角形，

：.NQ=^AN=^n,

.VATCl1f[12

、2J2

【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意,

作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

3.(2021・广东•中考真题)已知二次函数^=。尤2+人+。的图象过点(-1,0),且对任意实数x,都有

4x-12<ax2+bx+c<lx1-8x+6.

(1)求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为/,与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上

的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以/、C、M.N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所

有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴尸？_1一3；（2）存在,（1,0）或（5,0）或（0-2,0）或卜2-亚0）

【分析】（1）令4尤-12=2Y_8X+6,解得%=%=3,可得函数y=a/+fcc+c必过（3,0）,再结合

y=ax2+bx+c必过（一1,0）得出6=-2〃，c=-3a,即可得到歹=Q/一之病一?〃，再根据

Ax-i2<ax2-2ax-3a,可看成二次函数歹="2_/一34与一次函数>=4x-12仅有一个交点，且整体位

于y=4x—12的上方，可得。>0,4%-12=ax?一2"一3〃有两个相等的实数根，再根据A=0,可解得。的

值，即可求出二次函数解析式.

（2）结合（1）求出点C的坐标，设河（也加、2加-3）,N（%0）,①当/C为对角线时，②当为对角线

时，③当/N为对角线时，根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案.

【详解】解：（1）令4x—12=2/_8X+6,解得玉=%=3,

当x=3时，4x—12=2——8X+6=0,

y=ax2+bx+c必过（3,0）,

又「y=ax2+bx+c必过（一1,0）,

\a-b+c=0[Z）=-2Q

\9a+3b+c=0

y=ax2-2ax-3a，

BP4x-12<ax2-2ax-3a,

即可看成二次函数3；=仆2_如—3Q与一次函数歹=4x-12仅有一个交点，且整体位于y=4x-12的上方

；・Q〉0,

4x-12=ax?-2qx-3a有两个相等的实数根

A=0

（2«+4）2-40（12-3a）=0,

.♦.（"I）』,

••tz-1,

b=-2,c=-3,

/.y=x2-2x-3.

（2）由（1）可知:4（3,0）,C（0,-3）,设M（见加2_2H—3）,N（〃,0）,

①当/C为对角线时，卜+"N

3+0=m+n

,解得加=0(舍)，加2=2,

0+(—3)=冽2_2冽一3+012

・・.〃=1,即乂(1,0).

XX

②当/w为对角线时,A+M=%+0

+

M+加=ycyN

3+加=0+〃

,解得m,=0(舍)加2=2,

0+m2-2m-3=-3+01

・・.〃=5,即乂(5,0).

无WCM

③当/N为对角线时,4+X=X+_T

yA+yN=必+加

+〃=0+m

10+0=—3+加2—2m-3’解得吗=1+V7,m2=\—>/7,

**•n=y/l-2或〃=—2—V7，

N3(^7-2,0),JV4(-2-V7,0).

综上所述：N点坐标为(1,0)或(5,0)或-2,0)(-2-77,0).

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性

问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键.

Q

4.(2020・广东•中考真题)如图，点8是反比例函数y=—(x>0)图象上一点，过点8分别向坐标轴作垂

x

线，垂足为A,C,反比例函数y=&(x>0)的图象经过02的中点与4B,5c分别相交于点。，£.连

X

接DE并延长交x轴于点尸，点G与点O关于点C对称，连接BF,BG.

(1)填空：k=；

(2)求A&D尸的面积；

(3)求证：四边形为平行四边形.

【答案】(1)2(2)3(3)见解析

QY4”

【分析】（1）根据题意设点B的坐标为（x,—）,得出点M的坐标为（：，之），代入反比例函数y=—（x>0）,

x2xx

即可得出k；

（2）连接OD,根据反比例函数系数k的性质可得%”=手=1,5./=忖=4,可得%8=4-1=3,

根据。尸〃/5,可得点b到45的距离等于点。到45距离，由此可得出答案；

（3）设8（乙,力），。（芍，为），可得/•为=8,xD-yD=2,根据为=%，可得出=4%,同理力=4%,

BD

BEI，证明AEBDSMCF,可得空=在=:，根据堡=出■=：,得出生=3,根

拓1~AB4BDBE3BDBD3CF1

据。，G关于C对称，可得OC=CG,CG=4CF,FG=3CF,可得50=尸G,再根据加〃户G,即可证

明5Q向G是平行四边形.

Q

【详解】解：（1）•.•点B在y=）上,

X

Q

・・・设点B的坐标为（x,-）,

x

Y4

JOB中点M的坐标为（彳，-）,

2x

•・•点M在反比例函数y=±（x>0）,

x

.,x4

..k=---=2,

2x

故答案为：2；

（2）连接0。，则%”=与=1,

%.=；=4,

•*-S^BOD=4-1=3,

,?0F//AB,

.•.点F到AB的距离等于点0到AB距离,

••^\BDF=S空DO=3；

（3）设3（尤8，%）,。（尤°,

xB-yB-8,xD-yD=1,

又：尢=为，

.*.xB=4XD,

同理力=4%，

.BE_3BD_3

•,正一丁U-4"

AB//BC,

AEBD^AECF,

.CFCE

…BD~~BE-3

0C—AB—4

.BDBD3

.OC=_一4,

「CF1

：.O,G关于C对称，

/.OC=CG,

：.CG=4CF,

FG=CG-CF=4OF-CF=3CF,

又：BD=3CF,

：.BD=FG,

又：BD//FG,

9G是平行四边形.

【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性

质，灵活运用知识点是解题关键.

5.（2020・广东・中考真题）如图，抛物线y=2±Ylx2+6x+c与X轴交于A,8两点，点A,3分别位于原点

6

的左、右两侧，80=320=3,过点8的直线与》轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=V3CD.

(1)求b,c的值；

(2)求直线的函数解析式；

(3)点尸在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点0在射线切上，当A48D与ASP。相似时，请直接写出所

有满足条件的点。的坐标.

【答案】(1)-1--3-(2)y=-心~x+0(3)1—-^-,0,(1-2A/3,0),£TO,(5-25/3,0)

3223I3JL3)

【分析】(1)根据m=320=3,得出/(一1,0),8(3,0),将/,g代入>=耳1/+笈+。得出关于4。

的二元一次方程组求解即可；

(2)根据二次函数是>=与亘炉-BCfCD,5(3,0),得出。的横坐标为一如,

6I3J22

代入抛物线解析式求出。(-6,6+1),设加得解析式为：y=kx+b,将瓦。代入求解即可；

(3)由题意得加〃//3。=立，tan/ADB=\,由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与x轴交点

3

为M,P(1,”)且〃<0,Q(x,0)且x<3,分①当△PBQS/X/B。时，②当△PQBs/X/BD时，③当

△PQBs^DAB时，④当△尸。5s△4B。时四种情况讨论即可.

【详解】解：(1)•..30=3/0=3,

.•./(一1,0),2(3,0),

3+百,八

-------6+c=0

5代入y=",+6%+。得，6

**•将A9

27+9百一八

[6

22

(2)•.•二次函数是＞=片包―-[1+本]BC=^CD,2(3,0),

6I3J22

二。的横坐标为-G,

代入抛物线解析式得"二8x3+(l+g]xG——g

O322

源+百+i-3

222

=V3+1

・・・。(-6,凤1),

设8。得解析式为：y=kx+b

6+1=-辰+6

将8,。代入得

0=3左+6

,k-------

解得＜3,

b=^3

直线BD的解析式为尸一?x+6

(3)由题意得tanN/5Z)=^^,tanZADB=l,

3

由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与1轴交点为M,P(1,n)且标0,Q(%,0)且x<3,

①当△PBQs44BD时，tanZPBQ=tar\ZABD即二=立

23

解得片一逑

3

tanZPQB=tanZADB即---=1,

1-x

解得x=l一型，

3

此时0的坐标为(1-孚，0)；

②当△尸。8s时，tan/P3Q=tanN/D8BPy=1,

解得n=-2,

tanZQPB=tanZABDBP^-=—,

x3

解得x=l-2百，

此时0的坐标为(1-26，0)；

③当△尸。8s△ON?时，tan/P8Q=tan/N3D即二^=也，

23

解得〃二至，

3

/C…/C，c口口一〃6+1

tanNPQB:tanND4B即-----,

解得了=迪一1,

3

此时0的坐标为(手：，0)；

④当△尸03s时，tan/P8Q=tan/AB。即］=1，

解得n--2,

/C，c口门一〃6+1

tanZPQB=tar\ZDAB即=——~^=,

解得x=5-2A/3，

。的坐标为(5-28，0)；

(2h、(4_

综上：0的坐标可能为1-一—,0,(1-26,0)，---1,0,(5-273,0).

I3JI3,

【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运

用是解题关键.

广州卷

6.(2024广东广州•中考真题)已知抛物线G:y=or2_6ax-a3+2a2+i(a>0)过点4(%,2)和点8口2,2),直

线/x+〃过点C(3,l),交线段于点。，记ACZM的周长为。，△CD2的周长为G，且。］=6+2.

⑴求抛物线G的对称轴；

(2)求他的值；

⑶直线/绕点C以每秒3。的速度顺时针旋转t秒后(04/<45)得到直线7,当「〃时，直线I'交抛物线G于

E,尸两点.

①求t的值；

②设△/所的面积为S,若对于任意的。>0,均有S2人成立，求上的最大值及此时抛物线G的解析式.

【答案】⑴对称轴为直线：、=3；

(2)m=+l

⑶①:15,②后的最大值为2行，抛物线G为y=--6x+2；

【分析】(1)直接利用对称轴公式可得答案；

(2)如图，由G=CZ+2,可得A在B的左边，AD+AC+CD=CD+BC+BD+2,证明CN=C8,可得

/、[X,+x=2x3/、

AD=BD+2,设。(“2),建立9可得：p=4,D(4,2),再利用待定系数法求解即可；

\p—=x?—p+Z

(3)①如图，当/'〃/B时，与抛物线交于瓦厂，由直线＞=x+〃，可得(7=45。，可得3/=45,从而

可得答案；②计算邑,防=；£F・(无—%)=；瓦"当＞=1时，可得f一6工一/+2。=0,则须+工2=6,

王超=-/+2。，可得跖=上-引=[(须+尤2)2_4再/=^4(«-1)2+32，可得当a=1时，EF的最小值为40，

再进一步求解可得答案.

【详解】(1)解：:•抛物线G：歹="2一6"一〃3+2Q2+1(Q＞0),

•••抛物线对称轴为直线：X=-乎=3；

2a

(2)解：・・,直线/号=川％+〃过点。(3,1),

3m2+〃=1,

•直线/=加2%+〃过点。(3,1),交线段45于点。，记△3)/的周长为G，△CD5的周长为G，且

q=C2+2,

二•A在3的左边，AD+AC+CD=CD+BC+BD+2f

・・・c在抛物线的对称轴上，

：.CA=CB,

・•・AD=BD+2,

设。(p,2),

伍+x2=2x3

[2一石=x2-p+29

解得：P=4,

.]3m2+n=l

[4m2+〃=2'

•e•m2=1

解得：m=±l；

（3）解：①如图，当时，与抛物线交于£,尸,

•・•直线尸x+〃，

：.ZDCF=45°,

/：

・•・3/=45,

解得：，=15,

当V=1时，ax2-Gax-a3+2a2+1=1,

••—6x—a2+2。=0,

2

M+马=6,x1x2=-a+2a,

,?4>0,

・••当Q=1时，跖的最小值为4后,

此时S/F=g*4A/2=2V2,

•..对于任意的。>0,均有S2左成立,

左的最大值为20，

•*.抛物线G为y=x~—6x+2；

【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系

数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键.

2/\

p(\y=——(x<o)

7.(2023・广东广州•中考真题)已知点1m%n叼在函数》的图象上.

(1)若机=一2,求"的值；

(2)抛物线y=(x-加与X轴交于两点N(M在N的左边)，与y轴交于点G,记抛物线的顶

点为£.

①力为何值时，点E到达最高处；

②设AGMN的外接圆圆心为C,0c与y轴的另一个交点为尸，当加+〃WO时，是否存在四边形尸GEC为

平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)〃的值为1；

(2)①m=-桓；②假设存在，顶点E的坐标为一，或—

【解析】

22

【分析】(1)把团=-2代入y=——(x<0)得〃=——=1,即可求解；

x-2

(2)①%=-------,得y=(x-加)(、-〃)=——(m—研二-2(m+w)2<-2,即可求解；

244

।]r加+〃1、

②求出直线令的表达式为：y=得到点。的坐标为(一,-,；由垂径定理知，

点。在尸G的中垂线上，则/G=2(〉c—>^)=2x(—(+2)=3；由四边形厂GEC为平行四边形，则

17

CE=FG=3=yc-yE=---yE,求出外二-屋进而求解.

【小问1详解】

22

解：把7"=—2代入y=—(x<0)得"=----=1；

x-2

故〃的值为1；

【小问2详解】

解：①在y=(x—加)(x—")中，令>=0,则(X-加)(x-〃)=0,

解得X=〃7或1=〃，

/.M(m,0),N(n,O),

2

•.♦点尸(加,〃)在函数y=-一(x<0)的图象上，

x

/.mn=-2,

vyt%|1

令x=---,得y=(x—m){x-n)=-—(m-n)2=-2-—(m+«)2<-2,

即当加+〃=0,且mn=-2,

则加2=2,解得：m=-V2(正值已舍去)，

即掰=-亚时，点E到达最高处；

②假设存在，理由：

对于y=(x-/")(x-〃)，当x=0时，y=mn=-2,即点G(0,-2),

vyjH1m+n

由①得M(冽,0),N(%0),G(0,-2),E(-----,——(m-n)2),对称轴为直线x

242

由点"(加,0)、G(0,-2)的坐标知，tanZ0MG=^-=—,

OM—m

作MG的中垂线交MG于点T,交了轴于点S,交x轴于点K,则点加，-1

则tanZMKT=——m,

2

则直线宽的表达式为：j=

当x=加+〃时,y=--m(x-—m)-l=-—,

2-222

m+721)

[2，—5)•

由垂径定理知，点。在尸G的中垂线上，则/G=23c—J；G)=2X(—；+2)=3.

四边形/GEC为平行四边形，

则。£=/6=3=夕。_＞^=_；一夕£,

7

解得：%=一万，

17

即一4（加一〃）7=,且mn=-2,

则加+〃=±A/6，

【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边

形的性质、圆的基本知识，其中（3）,数据处理是解题的难点.

8.（2022•广东广州•中考真题）已知直线/：V=Ax+6经过点（0,7）和点（1,6）.

（1）求直线/的解析式；

⑵若点尸（加，〃）在直线/上，以尸为顶点的抛物线G过点（0,-3）,且开口向下

①求加的取值范围；

②设抛物线G与直线/的另一个交点为0,当点。向左平移1个单长度后得到的点2也在G上时，求G

在g**+1的图象的最高点的坐标.

【答案】⑴直线/解析式为：y=-x+7；

（2）①加＜10,且"W0；②最高点的坐标为（-2,9）或（2,5）

【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；

（2）①设G的顶点式，根据点尸在直线/上得出G的关系式，根据题意得出点（0,-3）不能成为抛物线

G的顶点，进而得出点P必须位于直线＞=-3的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在＞轴上得

出答案；

②先根据点0,点。'的对称，得。0'=1,可表示点0和。'的坐标，再将点。'的坐标的代入关系式，求出

a,再将点（0,-3）代入可求出机的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐

标即可.

【详解】（1）解：•••直线了=履+。经过点（0,7）和点（1,6）,

k+b=6

b=y

k=-l

解得

6=7

•••直线/解析式为：V=f+7；

(2)解：①设G：y=a(x-m)2+n(a<0),

•.,点尸(机，«)在直线/上，

/.n=—m+7；

/.G：y—a(x-rnf—m+1(a<0)

V(0,-3)不在直线/上，

(0,-3)不能成为抛物线G的顶点，

而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过(0,-3),

.♦.点P必须位于直线y=-3的上方，

贝(Jn=-m+7>—3,m<10,

另一方面，点尸不能在>轴上，

，所求加取值范围为：机<10,且机w0；

②如图，关于直线》=加对称，且

・••点。横坐标为加+;,

113113

而点。在/上，Q（w+—>—Tn+—）,QQm——,—m+—）；

113

VQ（m~~?~^+—）在G：y=a{x-nif-m+7_b,

・Q-13c

・・加+7=—Tn-\,ci=—2,

42

G：y=-2（x-m）2-m+7,^y=-2x2+4mx-2m2-m+7.

・・,抛物线G过点（0,-3）,

—2m2—加+7=—3,

即（2加+5）（加-2）=0,

59

mx=~-,加2=2；

当机=-g时，抛物线G为了=-2--10x-3,对称轴为直线x=-g,

对应区间为-24XW-1,整个区间在对称轴x=-二的右侧,

2

此时，函数值y随着光的增大而减小，如图，

...当X取区间左端点x=-2时，y达最大值9,最高点坐标为（-2,9）；

Q]3

当机=2时，对应区间为[sxs],最高点为顶点尸（2,5）,如图，

；.G在指定区间图象最高点的坐标为（-2,9）或（2,5）.

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等.解

题的关键是掌握当机=0时，顶点在直线/与了轴的交点（0,7）,此时抛物线不可能过点（0,-3）,因此，m^O

可能会被忽视.

9.（2021・广东广州•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=gx+4分别与x轴，y轴相交于

/、8两点，点尸（尤/）为直线/在第二象限的点

(1)求N、B两点的坐标；

(2)设AR4O的面积为S,求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；

(3)作△尸20的外接圆。C,延长尸C交。C于点°,当△尸。。的面积最小时，求0c的半径.

【答案】(1)A(-8,0),B(0,4)；(2)S=2x+16,-8<x<0；(3)4.

【分析】(1)根据一次函数的图像与性质即可求出/、2两点的坐标；

(2)利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；

(3)根据圆周角性质可得=ZPOQ=90°.由等角的三角函数关系可推出

十On”。。啜，再根据三角形面积公式得=由止匕得

tanZPAO=—

OA

结论当加最小时，△尸。。的面积最小，最后利用圆的性质可得加有最小值，且O/为。。的直径，进而求

得结果.

【详解】解：(1)当y=0时，0=gx+4,解得》=一8,

：.A(-8,0).

当x=0时，y=；x0+4=4,

：.B(0,4).

(2)'：A(-8,0),

OA=8.

点尸在直线/：y=；x+4上，

yP=—x+4,

•*.SAPAO——OA,yp——x8x(—x+4)—2x+16.

・・,点尸在第二象限，

—x+4>0,且％V0.

2

解得-8<x<0；

(3),:B(0,4),

OB=4.

,/oc为APZO的外接圆，

/.PAO=APQO,APOQ=90°.

tanZPAO=—=▲=tanZPQO=—

OA2OQ

设。尸=m,则。。=2机.

2

SAPOQ=—OP-OQ=--m-2.m=m.

二当加最小时，△尸。。的面积最小.

...当OPL48时，〃?有最小值，且。/为OC的直径.

r=—OA=4.

2

即0c的半径为4.

【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数

的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键.

10.(2020•广东广州•中考真题)平面直角坐标系无。中，抛物线G:y=(zx2+6x+c(o<a<i2)过点/0,c_5a),

3(占,3),C(尤2,3),顶点。不在第一象限，线段8c上有一点E,设△O5E的面积为工，△OCE的面积为邑，

3

岳=邑+于

(1)用含。的式子表示6；

(2)求点E的坐标；

(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为9+3,求y=a/+6x+c在l<x<6时的取值范围(用

a

含。的式子表示).

【答案】(1)b=-6a-,(2)或£展,3］；(3)当l<x<6时，有04><9么

【分析】(1)把/(l,c-5a)代入：G