2025年新高考数学重难点专项复习：集合中的易错题型五大题型（解析版）

重难点03集合中的易错题型五大题型汇总

题型解读

题型1忽略互异性

题型2错误理解

元素的属性

满分技巧/

技巧一.注意元素的互异性的使用

集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性.

技巧二.注意区分元素的属性

研究集合问题，一定要理解集合的意义，抓住集合的代表元素，

技巧三.注意端点值的取舍

对于与不等式有关的集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定

数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含"="用实①点表示，不含"="用空心圆圈表示，利用

集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题.

技巧四.注意讨论空集

遇到4nB=0时，你是否注意到"极端"情况：A=0或B=0;同样当A=B时，你是否忘记A=0的情形？

要注意到。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

题型提分练

题型1忽略互异性

【例题1]（2023•全国高一专题练习）若弁,0,-1]={a,b,0},则（仍产??的值是（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】B

【分析】根据集合相等列出方程组，求出a,6,检验是否满足元素互异性，最后代入求解.

【详解】因为{a2,0,-1}={a,b.0},所以①或②{:二]：，

由①得{j=;或{j二,1，其中{与元素互异性矛盾，舍去，

{j二符合题意,

由②得{，二，符合题意，

两种情况代入（萌）2。22=（一1）2022=1，答案相同.

故选：B

2

【变式1-1]1.（2023•全国•高一专题练习）已知aeR,beR,若集合{a，1}={a,a-b,0],则+

°2。19的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】根据集合相等的条件及分式2有意义可知a402=0，进而求出b=0，代入集合验证可求出a的值，

aa

进一步计算即可.

【详解】根据集合相等的条件及分式2有意义可知a力02=0,

aa

则b=0,

代入集合得{a,0,1]={a2,a,0],

贝，得a=—l

因此。2019+°2。19=（_1）2019+（）2019=_1

故选:B.

【变式1-1]2.（2023秋•全国•高一专题练习）由。2,2-a,3组成的一个集合A,若A中元素个数不是

2,则实数a的取值可以是（）

A.-1B.1C.V3D.2

【答案】D

【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.

【详解】由题意由a?,2-a,3组成的一个集合A,A中元素个数不是2,

因为a?=2-a=3无解，故由a?,2-a,3组成的集合A的元素个数为3,

故a2十2—a力3,即a力—2,a.丰1,a片—1,a*+V3,即a可取2,

即A,B,C错误，D正确，

故选：D

【变式1-1】3.（多选）（2023秋•高一课时练习）（多选）若集合力=（1,3,%）,B={%2,1},且8U4,

则满足条件的实数x可以是（）

A.1B.0

C.V3D.-V3

【答案】BCD

【分析】由包含关系，/e4,按%2的取值分类讨论即可.

【详解】■■BQAx2eA,即e{1,3,%）,

由集合8={%2,1}中元素的互异性知，/力1,即X羊1且无力一1.

当久2=3时，x=±V3,B={3,1},

验证：当％=8时，A={1,3,V3},BQA；

当x=—旧时，A={1,3,-V3},BQA.

当/久时，x=1（舍），或x=0

验证:当X=0时，4=[1,3,0},B={0,1},BcA.

综上,x=0,或久=±V3.

故选：BCD.

【变式1-U4.（2023秋•甘肃武威・高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知集合4={a,4},B=

{1,a?一3a},且AnB={4},则实数a=

【答案】-1

【分析】根据交集的运算以及集合元素的互异性，即可确定a的取值.

【详解】因为aCB={4},所以4eB,则a2一3a=4,解得a=4或a=-1,

根据集合元素的互异性，可知a丰4,所以a=-1.

故答案为：-1

【变式1-1]5.（2023•全国•高一专题练习）数集{1,a,a2-a}中的元素a不能取的值是

【答案】0,1,2,萼

【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解.

a=A1r

【详解】由集合中的元素满足互异性可知a?一a41,解得a丰1且a丰等且a丰2且aH0,

—Q。。

故答案为：0,1,2,萼

题型2错误理解元素的属性

【例题2]（2023秋•全国•高一专题练习）已知集合4=[x\y=V7+1],B={y|y=-x2-1}，全集U=R,

则以下集合（）是空集

A.2nBB.（CM）nBC.力n（C®D.（CMn（"）

【答案】D

【分析】求出A和B,再根据集合的交并补计算即可判断.

【详解】由X+120得A={x\x>-1},=-x2-1<-1得B=（x\x<-1},

故An8={-1],（CiM）CB=（x\x<-1},XngB）={x|x>-1},（品⑷n（CyB）=0,

仅D选项符合题意.

故选：D

【变式2-1]1.（2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考阶段练习）下列说法中正确的个数为（）

①0.333eQ；②。e0；③0U{0}；@{0}£{0}；⑤0={0}；⑥{1}G{1,2,3）；⑦3久22}={m|m>2]；

⑧{x|y=%2+1]={y\y=x2+1}

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由集合与集合，元素与集合以及空集的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于①，0.333eQ正确；

对于②，0是元素，。是没有元素的集合，故②错误；

对于③⑤，0={0}正确，即③对，0={0}错误，即⑤错；

对于④，{0}表示集合中有一个元素0,{。}表示集合中有一-^元素。，研究对象不同，故④错误；

对于⑥,1e[1,2,3},{1}C{1,2,3},故⑥错误；

对于⑦，（x}x22}={m\m>2}正确；

对于⑧，{幻y=/+1}=R,{y|y=%2+1]=（y\y>1}表示不同的集合，错误.

①③⑦正确.

故选：B

【变式2-1]2.（2023秋・四川南充・高一画中中学校考阶段练习）给出下列关系式：①0e0;②-3eZ;

③{0}£{x|x2=x}；④{0}£N*;⑤{1}U上,叫《二；二；};⑥{1}G{1,2,3}，其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断.

22

【详解】0不属于空集，故①错误，一3是整数，故②正确，{%|%=%}={0,1},故{0}c{X|x=x},③正

确，

N*是正整数集，{0}不是其子集，故④错误，

2%—y=1

是点集，{1}不是其子集，故⑤错误,{1}£{1,2,3},故⑥错误,

%+4y=5

故选：B

【变式2-1]3.(2023秋•全国•高一专题练习)已知集合M={1,0},则与集合M相等的集合为()

A.{(居y)+y~=/jB.{(x,y)|y=Vx-1+Vl-x}

C.卜*=--,neNjD.{x|—1<x<2,xeN)

【答案】D

【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出.

【详解】对A,1(x,y)={(0,1)}力M,故A错误；

对B,{(x,y)|y=Vx-1+71-%}中{；1；]；，解得％=1，故{(x,y)|y=V%-1+V1-%}={(1,0)}丰M,

故B错误；

对C,{x'=(-^~1,neNj={-1,0}于M,故C错误；

对D，{划一1<%<2,%eN}={0,1]=M，故D正确.

故选：D.

【变式2-1]4.(多选)(2022秋•全国•高一阶段练习)下列集合中，与{1,2}相等的是()

A.(xGJV||x|<2}B.{V4,(-2)°)

2

C.{x\x-3x+2=0}D.f(x,y){3r刀]

【答案】BC

【分析】化简各选项中的集合，利用集合相等的定义直接判断.

【详解】对于A选项，[%6N\\x\<2｝=｛%GN|—2<%<2｝=｛0,1,2｝,A不满足条件；

对于B选项，｛〃,（一2）。｝=｛2,1｝,B满足条件；

对于C选项，-3x+2=0｝=｛1,2｝,C满足条件；

对于D选项，卜,y）[/[失｝=KIN）｝,D不满足条件.

故选：BC.

【变式2-1]5.（多选）（2022秋广东深圳•高一校考期中）下列关于集合的说法，正确的是（）

A.集合｛1,2,3｝与｛是6的正因数｝相等

B.集合｛久=2fc-1,fceZ｝与=2fc+1,fceZ｝相等

C.集合｛幻x是长方形｝与｛久|x是两条对角线相等的平行四边形｝相等

口.集合｛幻〉=3与｛37|〉=|｝相等

【答案】BCD

【分析】根据两集合相等的定义，逐一判断即可.

【详解】解：因为｛幻%是6的正因数｝=｛1,2,3,6｝丰（1,2,3｝,故A错误；

因为｛%|x=2k-l,keZ｝=｛x|x是奇数｝,｛x\x=2k+l,kEZ｝=｛x|x是奇数｝,

所以｛x|x-2k—l,keZ]-｛x\x-2k+l,keZ],故B正确；

因为｛Mx是两条对角线相等的平行四边形｝=｛%反是长方形｝,故C正确；

因为｛x|y=|｝=｛x|x力0｝,（y\y=|｝=｛y|y丰0],所以｛x|y=：｝=｛y|y=|｝.

故选:BCD.

【变式2-1】6.（2023・全国•高一专题练习）下列说法正确的是

①｛久eyv|%（%2-4）=0｝与集合｛0,-2,2｝相等

②方程0-a）（x+a）=。的所有实数根组成的集合可记为｛-a,a]

③全体偶数组成的集合为｛xIX=2k,xEZ｝

④集合｛O,y)|y=x｝表示一条过原点的直线

【答案】④

【分析】解方程久(/-4)=。化简集合汉GN|x(/-4)=0｝,可判断①错；讨论a的取值，可判断②错；

用集合表示偶数集，可判断③错；根据点集的集合表示，可判断④正确.

【详解】①由-4)=。得比=0或x=±2,因此｛xeN|x(x2-4)=0｝=｛0,洋与集合｛0,-2,2｝不相等,

即①错；

②当a=0时，方程。-a)(x+a)=。的解为比=0，方程(％-a)(x+a)=0的所有实数根组成的集合为｛0｝,

不能表示为｛-a,a｝,即②错；

③全体偶数组成的集合为Wx=2fc,fceZ),即③错；

④集合｛(x,y)|y=X｝表示直线y=%上的所有点，即集合｛O,y)|y=x｝表示一条过原点的直线，即④正确.

故答案为：④.

题型3忽略端点值的取舍

【例题3](2022秋河南商丘•高一校考阶段练习)若无<爪-1或%>爪+1是久<-1或x>3的必要不充

分条件，则实数小的取值范围是

【答案】0W6W2

【分析】不妨设A=(x\x<m-l或x>m+l｝,B=(x\x<-1或x>3],由题意可得BA,由此即可得

解.

【详解】不妨设4=｛x\x<m—1或x>m+1],B=｛x\x<-1或x>3｝,

若x<m-1或x>m+1是x<-1或久>3的必要不充分条件，则有BA,

所以有厂1f丁二1(等号不同时成立)，解得。<m<2.

<m+1<3

故答案为：0W6W2.

【变式3-1]1.（2023秋•河南郑州•高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）已知集合4={%|%>11},

B={x|2比-m>0},若A£B,则实数?n的取值范围是

【答案】m<22

【分析】根据集合的包含关系列不等式求参数范围.

【详解】由题设B={x\x>y},又4={x\x>11}且力cB,

所以晟<11,则m<22.

故答案为：巾<22

【变式3-1]2.（2022秋•河南商丘•高一校考阶段练习）已知集合4={x[l<x<4},集合B=

{x\2m<x<1—m].

Q）当爪=一1时，求71uB；

（2）若4cB,求实数机的取值范围.

【答案】⑴3—2<x<4}

（2）m<—3

【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解；

（2）由4U8,利用数轴法建立关于血的不等式组求解即可.

【详解】（1）当血=-1时，8={%]-2V汽<2},已知4={%|1<%<4},

由4U={x|-2<%<4}.

（2）8=（x\2m<x<1—m],

若aUB,则{，小“解得巾w—3.

【变式3-1J3.（2023秋河南郑州•高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）已知集合2={x|-l<x<|],

非空集合B={x|l—m<x<3m+1].

(1)当m=1时,求2nB；

(2)若xe4是％eB的必要条件，求实数小的取值范围.

【答案】(1)4nB={%|0<x<|}

(2)m<-6

【分析】(1)应用集合的交运算求集合；

(2)由必要关系得B£4,讨论B是否为空列不等式求参数范围.

【详解】(1)由题设B={x|0<x<4],而4=[x|-l<x<|],

所以4nB={x|0<%<|].

(2)由xC4是xeB的必要条件，则BU2,

当B为空集，贝!|1-巾23m+1,得m<0,满足题设；

'3m+1>1—m

当B不为空集，则[3m+l<|，得0<爪W：,此时满足BcA；

26

、1—m>—1

综上,MW6

【变式3-1J4.(2022秋•广东东莞•高一校联考期中)已知集合4={x|l<x<3},B={x|ax-l>0,a^

°}：

(1)当a=2时，求4nB与4UB；

(2)若acB,求实数a的取值范围.

【答案】(1)4nB=[x\l<X<3},A\JB={x[x>|]

⑵[l,+8)

【分析】(1)直接代入a值，根据交并集含义即可得到答案；

(2)分a>0和a<0讨论即可.

【详解】(1)当a=2时，8={x|2x-1>0]=\x\x>|],

则AnB={x|l<x<3},AkJB={x\x>

(2)若a>0,则8=\x\x>i),因为4£B,所以！<1,解得a>1,

若a<0,则B=\x\x<5},因为]<0不满足4UB,

综上所述，实数a的取值范围[1,+8).

题型4漏掉空集的情况

【例题4](2023・全国•高一专题练习)已知集合4={x\2a+l<x<3a-5],B=\x\x<0或x>19}.

若2U(AC8),则实数a的取值范围是

【答案】{a|a<6或a>9}

【分析】根据题意，若aa(4n8),贝必aB,分情况讨论，进而求解，得出答案.

【详解】已知集合A={x\2a+1<x<3a-5},B={x\x<0或x>19}.

若力£(xnB),则A£B,

当2a+1>3a-5,即a<6时，A=。满足条件；

当2a+1W3a—5时，即当a26时，若4UB,则3a-5<。或2a+1>19,

解得a<|(舍)或a>9,

综上，实数a的取值范围是{a|a<6或a>9}.

故答案为:{a\a<6或a>9}.

【变式4-1]1.(2023秋・重庆合川•高一重庆市合川瑞山中学校考阶段练习)已知集合A={x|x<-1或

x>l],B=(x\2a<x<a+l),BQA,求实数a的取值范围.

【答案】(-8,-2)U^,+8).

【分析】讨论集合B是否为空集，根据Bc4列出不等关系求解.

【详解】①当8=0,2a2a+1,即a21,满足题设；

②当B丰。时，2a<a+1即a<1,画数轴如图所示.，

AA

JLsB

2aa+1-02aa+1x

由B£4知，a+1<—1或2a>1,即a<-2或a>

又a<1,所以a<-2或|<a<1.

综上，所求a的取值范围是(-8,-2)U[|,+8).

【变式4-1]2.(2022秋•浙江杭州•高一校联考期中)已知集合4={x\-l<x<3},B=(x\l-m<x<

1+m}.

(1)若m=1,求4n(CRB)；

(2)若AnB=A,求实数小的取值范围.

【答案】Q)4n(CRB)={%I-1<%<0或2<x<3]

(2)m>2

【分析】(1)当爪=1时，先求出集合B,再求出集合CRB,然后求出交集得出答案.

(2)根据4nB=A,得出2cB,然后由集合的包含关系得出端点的大小关系，得出答案.

【详解】(1)当血=1时，B={%|0V%<2},

CRB={%|%<0或%>2}

故/A(CRB)={x\-1<x<。或2<%<3]；

(2)若4nB=4,贝!Mq8,则8w0,故血>o

故解得山“，

【变式4-1J3.(2023秋•山东德州•高一校考阶段练习)已知集合A=[x\-3<x<2]fB={x\m-1<%<

2m+1).

(1)若m=2,求/UB

(2)若ACB=B,求实数m的取值范围.

【答案】QMUB={x|-3<%<5]

⑵{m[m<|)

【分析】(1)将巾=2直接代入求并集即可；

(2)4CB=B今BU2,分别讨论8=0与B牛。的两种情况，根据集合的包含关系列出相应不等式即可

求出范围.

【详解】(1)由题意力={%|-3<x<2},

'.'m=2,

..B={%|1<%<5],

.,.AUB={%|-3<%V5}

(2)//CB=BI

：.BcA,

:当B=0,即zn-1>2m+1,即m<一2时满足题意；

当B*0,即m>一2时，]:，即一2<m<|.

izm+1<z2

综上,实数小的取值范围为{巾加<

【变式4-114.(2023•江苏•高一专题练习)已知集合P={x|a+1<x<2a+1],Q={%|-2<%<5].

(1)若a=3,求(CRP)nQ；

⑵若"xeP"是"xeQ"充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1){幻-2wx<4}

(2)(—8,2]

【分析】(1)当a=3时，求得CRP={x|x<4或x>7},结合集合交集的运算，即可求解；

(2)根据题意得到P0Q,分2=。和P丰0,两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.

【详解】(1)解：当a=3时，集合P={x|4<x<7},可得CRP={x\x<4或乂>7),

因为Q={x|-2<%<5},所以（CRP）nQ={x|-2<%<4}.

（2）解：若"xeP"是"xeQ”的充分不必要条件，即P室Q,

当a+1>2a+1时,即a<0时,此时P=0,满足PcQ,

2a+1>a+1

当P牛。时，则满足2a+1<5且不能同时取等号，解得0<a<2,

a+1之一2

即实数a的取值范围为（-8,2].

【变式4-1]5.（2023•全国•高一专题练习）已知集合2={x\-3<x<4],B={x|2-k<x<2k-l},

且AU8=4,试求k的取值范围.

【答案】fc<|

【分析】根据题意可知BUA,对集合B是否为空集进行分类讨论即可求得k的取值范围.

【详解】由AUB=A可得BcA,

若B=0时，2—k>2k—1,解得k<1；

2—kW2k—1

若BK0时，贝q2-k>一3,解得1<fc<|；

.2fc-1<4

综上所述，kw|

题型5新定义题型背景理解有误

【例题5]（2023秋・江苏南通•高一校考阶段练习）已知0MUZ,对于k"，若k-1《力且k+162,

则称k为A的“孤立元”.给定集合A={123,4,5},则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个

数为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【分析】根据“孤立元"概念，分类讨论求解即可.

【详解】“孤立元"为1的集合为{1},[1,3,4},{1,4,5},{1,3,4,5),

"孤立元"为2的集合为{2},{2,4,5},

"孤立元"为3的集合为{3},

"孤立元"为4的集合为{4},{1,2,4},

"孤立元"为5的集合为{5},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,5）,

综上：满足题意的集合有13个.

故选：D

【变式5-1】1.（2023•江苏•高一专题练习）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的

"康托三分集.（Cantor）"是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区

间［0,1］均分为三段，去掉中间的开区间段6,|）,记为第一次操作；再将剩下的两个区间［0,当，］|,1］分别均

分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将

剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，乘吓

的区间集合即"康托三分集".第三次操作后，从左到右第四个区间为（）

A1|1］B.层山c・像,4D•［!，!!］

【答案】C

【分析】根据题意依次写出即可.

【详解】第一次操作剩下：［。山,［|,1］;

第二次操作剩下：同［|,羽|,优,1］;

第三次操作剩下：［喝栏，扰官糕图,［|,券联］,■糕,1］;

即从左到右第四个区间为瑞,3

故选：C.

【变式5-D2.（2023•江苏•高一专题练习在整数集Z中被5除所得余数为k的所有整数组成一个"类"，

记为冈，即[k]={5n+fc|n6Z},/c=0,1,2,3,4,给出如下四个结论：

①2025£[3]；②—2£[2]；③Z=[0]U[1]U[2]U[3]U[4]U[5]；

④整数a、6属于同一"类"的充要条件是"a-be⑼".

其中正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】》各整数按照除以5的余数分成5类，每一类组成一个集合，每一组内的数除以5余数都相同，在

此基础上，可以对下面四个命题依次判断.

【详解】①2。25-405x5+06[0],错误；

②-2=—1X5+3G[3],错误；

③Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]U[5],对；

每个整数除以5后的余数只有0,1,2,3,4,没有其他余数，故原命题成立.

④整数a、6属于同一"类"的充要条件是"a-be血"，对；

证明④:（充分性）a,b€[m],m=0,1,2,3,4,

不妨a=5nl+m,nreZ,b=5n2+m,n26Z,

a—b=5（nt-n2）G[0]

（必要性）a—bG[0],a—b-5p,peZ

即a,6除以5后余数相同，二a,6属于同一"类"

故选：B

【变式5-1]3.（多选）（2021秋•广东东莞•高一东莞实验中学校考阶段练习）在整数集Z中，被4除所

得余数为k的所有整数组成一个"类"，记为[灯={4n+k\nGZ）,fc=0,1,2,3，则下列结论正确的为（）

A.2021e[3]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[1]U[2]U[3]D.整数a/属于同一"类"的充要条件是"a-bE[0]"

【答案】BCD

【分析】理解"类”的定义，容易判断AB选项的正误；而C,则由被4除所得的余数只有0,1,2,3四种情况

理解辨析即可；而D,则需要互为条件结果各证一次，进而得以判断.

【详解】对于A,由2021=4x505+1得2021e[1],故A错误；

对于B,由—2=4x(-1)+2得—2G[2],故B正确；

对于C,所有整数被4除所得的余数只有0,123四种情况，即刚好分成[0],[1],[2],⑶共4类，故Z=[0]u

[1]U[2]U[3],故C正确.

对于D,若整数a,b属于同一"类"，则a=4nt+fc,nx6Z,b=4n2+k,n2eZ,

故a-b=4(^-n2)+0,所以a-6e[0]；

反之,不妨设a=4rli+反nteZ,ft=4n2+k2,n2eZ,则a-b=4(%-n2)+(kt-k2),

^a-be[0],则自一七=0,即自=k2,所以整数a力属于同一"类"；

故整数a力属于同一"类"的充要条件是“a—be⑼"，即D正确.

故选：BCD.

【变式5-1】4.(2023•全国•高一专题练习)已知4是非空数集，如果对任意久,yeA都有x+y”,孙"，

则称力是封闭集.

⑴判断集合B={0},C={-1,0,1}是否为封闭集，并说明理由；

⑵判断以下两个命题的真假，并说明理由；

命题P:若非空集合&,4是封闭集，则&Ua也是封闭集；

命题q:若非空集合为,々是封闭集，且&ClX20,则4C4也是封闭集；

(3)若非空集合A是封闭集合，目4丰R,R为全体实数集，求证：CR4不是封闭集.

【答案】Q)集合B={0},C={-1,0,1}都是封闭集，理由见解析；

(2)命题p为假命题,命题q为真命题,理由见解析；

(3)见解析.

【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；

(2)对命题p举反例&={x\x=2k,kEZ),A2={x\x=3k,kEZ}说明即可；

对于命题q:设a,b€nX2),由AiH是封闭集，可得a+be(A1n&),abe(&nA2),从而判断为正

确；

⑶根据题意，令力=Q,只需证明CRQ不是封闭集即可，取CRQ中的士企即可证阻

【详解】(1)解：对于集合B={0},因为0+o=oes,oxo=oes,

所以B={0}是封闭集；

对于集合c=