2025年新高考数学重难点专项复习：空间向量中的易错题型（六种）（原卷版）

重难点05空间向量中的易错题型（六种）汇总

题型解读

好量满分技巧/

易错一.向量概念的问题，忽略了零向量的特殊性.

易错二.五方的夹角问题，注意去掉共线的问题.

易错三.混淆异面直线的夹角与向量的夹角

1.两异面直线所成角的范围是ee（0,自，两向量的夹角a的范围是［0,扪，所以要注意二者的区别与联系，

应有cose=|cosa\.

易错四.易混淆直线与平面所成角与向量角

用向量法求直线OP与a成的角时一般有两种途径:一是直接求线面角；二是通过求＜万丽〉进而转化求解,

其中元为平面a的法向量，此时应特别注意OP与平面a所成角8与＜元丽〉的关系，它们互为余角，注意最

后转化.

易错五.二面角的求解注意判断钝角与锐角

1.二面角注意区分锐角与钝角

2.两个平面所成角为,不需要判断锐角与钝角.

却*题型提分练

题型1忽视零向量

【例题1]（2023秋•高二单元测试）给出下列命题：

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②在正方体力BCD-&B1C1D1中，必有照=不互；

③⑷=同是向量五=B的必要不充分条件；

④若空间向量而无力满足而〃元元〃力，则下〃户.

其中正确的命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

【变式1-1]1.（2020秋・北京平谷•高二校考阶段练习）给出下列命题：

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②在正方体ABC。-A/iC/i中，必有芯=不B；

③㈤=⑸是向量a=b的必要不充分条件；

④若空间向量m,n,p满足mIIn,n||p,则mIIp.

其中正确的命题的个数是

A.1B.2

C.3D.0

【变式1-1]2.（多选）（2022秋・广东阳江•高二校联考期中）以下关于向量的说法正确的有（）

A.若a=b,则|五|=|&|

B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

C.若五=-3且B=-c,贝！]五=3

D.若a与b共线,。与洪线,则冶3共线

【变式1-1]3.（2022・全国•高二专题练习）下列命题正确的是（）

A.若之与3共线，另与乙共线，贝必与^共线

B.向量匕上0共面就是它们所在的直线共面

C.零向量没有确定的方向

D.若明",则存在唯一的实数4使得2=看

题型2忽略向量夹角定义

【例题2]（2023春・河南南阳•高二校考阶段练习）如图，四面体ABCD中，M,N分别为AB和CD的中点,

AD=2,BC=4,且向量而与向量近的夹角为120。，则线段MN长为（）

A.V3B.V7C.V3ngV7D.3或3b

->—>

【变式2-1]1.（2022•全国高二专题练习）已知空间中四个不共面的点0、A、B、C,若|OB|=\OC\,且

—>—>—>—>—>—>

COS<0A,OB>=COS<0A,OC>,贝!]sin<0A,BC>的值为（）

A.1B.C.-D.-

222

【变式2-1]2.（2021・高二课时练习）如图所示，在正三棱柱yWC-&B1G中，若胸i|=V3IBBJ,则

向量]瓦与向量丽的夹角为（）.

B.60°

C.90°

D.120°

【变式2-1]3.（多选）（2023秋•四川成都•高二校考阶段练习）如图，在平行六面体4BCD-4/©劣中，

其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,下列说法中不正确的是（）

A.AC±=6A/6

B.ACrIBD

C.向量瓦1与左石夹角是60。

D.向量砧与前所成角的余弦值为日

【变式2-1J4.（2023秋•重庆石柱•高二校考阶段练习）如图左间四边形。4BC的各边及对角线长都为2,

E是AB的中点，尸在。C上,且标=2FC,则向量屈与向量而所成角的余弦值为

F

【变式2-1]5.（2023•全国•高二专题练习）如图，在平行六面体ABC。-a/iGA中,以顶点4为端点的

三条边的长度都为1,且两两夹角为60。.求西与北所成角的余弦值.

题型3忽略异面直线所成角的范围

【例题3]（2023秋•宁夏银川•高二校考阶段练习）已知直平行六面体4BCD-2/©必中，AA.=AB=

BC=2,乙BAD=60°,则直线BC1与B也所成角的余弦值为（）

A-TB-ic.[D.o

【变式3-1]1.（2023秋•江苏常州.高三常州高级中学校考开学考试）在空间直角坐标系。-xyz中，已知

异面直线匕,与的方向向量分别为d=（1,-1,-2）,b=（1,1,2）,则%4所成角的余弦值为（）

A.|B,fC,-|D.-f

【变式3-1]2.（2023秋・河南商丘•高二校考阶段练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱

柱4BCD-中，AAi=2AB=2,则异面直线与4劣所成角的余弦值为（）

【变式3-1]3.（2023秋・江西抚州•高三黎川县第二中学校考开学考试）在正方体4BCD-a/iC/i中，E

是棱4D上一点,DE=24E,F是棱AC上一点，FC=3。/,则异面直线4E与BF所成角的余弦值为（）

AA/85BV85c765口V65

34683468

【变式3-1J4.（多选）（2023秋•宁夏银川•高二校考阶段练习）如图，在平行六面体4BCD-A/iQA中，

以顶点A为端点的三条棱长都为1,且AD4B=^DAA,=4员44=60°,则下列说法中正确的有（）

A.异面直线B4与CG所成的角为120。

B.~BDI=BA+~BBI+~BC

C.BO】=2

D.直线OB与CG所成角的余弦值为0

题型4忽略五是的夹角为（锐）钝角的条件中共线部分

【例题4】（2023秋•山东德州•高二校考阶段练习）已知向量N=（1,1,0）5=（-1,0,2）.

（1）若（a+fcb）II（2a+b）,求实数k;

（2）若向量2+无与23+3所成角为锐角，求实数k的范围.

【变式4-1】1.（2023・全国•高三专题练习）下列命题不正确的是（）

①空间中任意三个不共面的向量都可以作为基底.

②直线的方向向量是唯一确定的.

③若直线a的方向向量和平面a的法向量平行,则alia.

④在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0,b,c）.

⑤若ab<o,则值3）是钝角.

A.①③④B.②③⑤C.③④⑤D.①②④

【变式4-1】2.（2023秋•湖北武汉・高二华中师大一附中校考阶段练习段动点P在棱长为1的正方体4BCD-

a/©%的对角线8必上,记段=上当乙4PC为钝角时，贝M的取值范围是

【变式4-1]3.（2023秋•高二课时练习）如图，设4BCD-a/iC/i为正方体，动点P在对角线8%上,

⑴证明：AP_L；

（2）若异面直线4P与D/i所成角为;,求4的值；

⑶当乙4PC为钝角时，求4的取值范围.

【变式4-1]4.（2023春•江苏淮安•高二统考期末）如图，正方体4BCD-人出好名的棱长为1，点P是对

角线8A上异于8,%的点，记襄=A.

AB

（1）当乙4PC为锐角时，求实数成勺取值范围；

（2）当二面角P-AC-B的大小为34时，求点/到平面P4C的距离.

【变式4-1]5.（2023春•四川绵阳•高二统考期中）在三棱锥4-BCD中,满足4D14B,4D1AC,给出

下列结论：

①砺-DC=DA2-AB-AC；②若NB4C是锐角，则砺■XC>0；

③若N82C是钝角，贝此BDC是钝角；④若[4C|<\AD\^\AB\<\AD\,贝tf/BDC是锐角.

其中正确结论的序号为（）

A.①②④B.①④C.②③D.②④

题型5线面角与向量角的转化不清楚

【例题5]（2023春•河南周口•高二统考期中）如图，在三棱柱ABC-a/】G中，AA.=AC2,AB=

2V3.BC=4,且AC[1乙414c为锐角.

(1)证明：AB1AAr；

（2）若二面角公-4B-C的大小为三，求直线4Q与平面所成角的正弦值.

【变式5-1]1.（2023秋广东深圳•高二深圳大学附属中学校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面

4BCD边长为2百是菱形/DAB=60°，。是对角线4c和BD的交点，4B=4P,NB4P为锐角,S*BP=券，

点M为线段P。上一动点，且始终有AM1BD.

⑴求三棱锥。-4BP的体积；

(2)若二面角M-AB-。为三,求此时直线BM与平面MCD所成角的正弦值.

【变式5-1]2.(2023秋•河南新乡•高二统考期末)如图，正三棱锥P-ABC的所有侧面都是直角三角形，

过点P作PD,平面ABC,垂足为。,过点。作DE1平面PAB,垂足为E,连接PE并延长交AB于点F.

(1)证明：F是的中点.

(2)求直线DE与平面BCE夹角的正弦值.

【变式5-1J3.(2023春•四川成都・高二四川省成都市新都一中校联考期末)如图，在四棱锥Q-2BCD中，

底面力BCD是矩形，若2。=QD=Q2=2,CD=1,QC=小.

(1)证明：平面QAD1平面ABC。；

⑵若E,尸分别是QC,QD的中点，动点P在线段EF上移动，设8为直线BP与平面ABCD所成角，求sin。

的取值范围.

Q

【变式5-1]4.(2023秋•新疆乌鲁木齐•高二乌鲁木齐101中学校考期末)吴老师发现《九章算术》有"刍

V这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个学探究题，如图：E,F,G分别是正方形的三边AB、CD、

AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起,

连接AB、CG就得到一个"刍曹".

图2

⑴若。是四边形EBCF对角线的交点，求证：4011平面6。尸；

(2)若二面角A-EF-B的大小为|n,求直线AB与平面GCF所成角的正弦值.

题型6二面角为钝角或锐角区分不清

【例题6](2023春•江苏扬州•高二统考期末)如图，在直三棱柱XBC-中,△4BC是以BC为斜边的等

腰直角三角形，AA,=AB=3,D,E分别为上的点，且鬟=^=t(0<t<1).

DC

⑴若土=求证：4。〃平面//E;

⑵若t>直线&C与平面&BE所成角的正弦值为专求二面角G-AD-C的余弦值.

【变式6-1J1.(2023春•江苏苏州•高一统考期末)已知直角梯形BQPC中/CBQ=90°,BQ//CP,BC=1,

BQ=2,CP=3,4为BQ的中点，CD=《CP,如图，将四边形2BCD沿力。向上翻折，使得平面ABCD，平

面4DPQ.

(1)在PD上是否存在一点”，使得CH〃平面BDQ?

(2)求二面角B-PQ-C的余弦值.

【变式6-1]2.(2023春•江苏盐城•高二统考期末)已知正方形4BCD的边长为&，