2025版高考数学大一轮复习第十一章统计统计案例3第3讲变量间的相关关系统计案例新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第3讲变量间的相关关系、统计案例[基础题组练]1．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系．依据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋150，则下列结论正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5C．当销售价格为10元时，销售量为100件D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右解析：选D.由回来直线方程知，y与x具有负的线性相关关系，A错，若r表示y与x之间的线性相关系数，则|r|≤1，B错．当销售价格为10元时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右，C错，故选D.2．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，算得K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选C.依据独立性检验的定义，由K2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.3．(2024·惠州市其次次调研)某商场为了了解毛衣的月销量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x/℃171382月销售量y/件24334055由表中数据算出线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，气象部门预料下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为________件．解析：由题中数据，得eq\o(x,\s\up6(－))＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝38，回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，且eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，代入得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，则回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，所以当x＝6时，y＝46.答案：464．有甲、乙两个班级进行一门课程的考试，依据学生考试成果优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表：优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390利用列联表的独立性检验估计，则成果与班级________(填“有关”或“无关”)．解析：成果与班级有无关系，就是看随机变量的值与临界值2.706的大小关系．由公式得K2的观测值k＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,17×73×45×45)≈0.653＜2.706，所以成果与班级无关．答案：无关5．(2024·高考全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满足或不满足的评价，得到下面列联表：满足不满足男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满足的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满足的比率为eq\f(40,50)＝0.8，因此男顾客对该商场服务满足的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满足的比率为eq\f(30,50)＝0.6，因此女顾客对该商场服务满足的概率的估计值为0.6.(2)K2＝eq\f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．6．(2024·广州市中学综合测试(一))某地1～10岁男童年龄xi(单位：岁)与身高的中位数yi(单位：cm)(i＝1，2，…，10)如下表：x/岁12345678910y/cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))5.5112.4582.503947.71566.85(1)求y关于x的线性回来方程(线性回来方程系数精确到0.01)；(2)某同学认为y＝px2＋qx＋r更相宜作为y关于x的回来方程类型，他求得的回来方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.30x2＋10.17x＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与(1)中的线性回来方程比较，哪个回来方程的拟合效果更好？附：回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）（yi－eq\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(566.85,82.50)≈6.871≈6.87，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝112.45－6.871×5.5≈74.66，所以y关于x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.87x＋74.66.(2)若回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.87x＋74.66，当x＝11时，eq\o(y,\s\up6(^))＝150.23.若回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.30x2＋10.17x＋68.07，当x＝11时，y＝143.64.|143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93，所以回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.30x2＋10.17x＋68.07对该地11岁男童身中学位数的拟合效果更好．[综合题组练]1．(2024·陕西省质量检测(一))基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大独创”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场探讨人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2024.82024.92024.102024.112024.122024.1月份代码x123456市场占有率y(%)111316152021(1)请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明能否用线性回来模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系；(2)求y关于x的线性回来方程，并预料该公司2024年2月份的市场占有率．参考数据：eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝17.5，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝35，eq\r(1330)≈36.5.参考公式：相关系数r＝；回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)作出散点图如下．eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋13＋16＋15＋20＋21,6)＝16，所以eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝76.所以r＝＝eq\f(35,\r(17.5×76))＝eq\f(35,\r(1330))≈eq\f(35,36.5)≈0.96.所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回来模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(6),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(35,17.5)＝2，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6,6)＝3.5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝16－2×3.5＝9.所以y关于x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋9.2024年2月的月份代码为x＝7，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝2×7＋9＝23，所以估计该公司2024年2月份的市场占有率为23%.2．(综合型)(2024·郑州第一次质量预料)近年来郑州空气污染较为严峻，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：PM2.5指数[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]>300空气质量优良稍微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位：元)，PM2.5指数为x.当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．(1)试写出S(x)的表达式；(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并推断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染总计供暖季非供暖季总计100附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依题意，可得S(x)＝eq\b\lc\{(