2025年新高考数学重难点专练：圆锥曲线易错题十五大题型（原卷版）

重难点13圆锥曲线易错题十五大题型汇总

题型解读

好W满分技巧

易错一.忽略椭圆定义中的限制条件

椭圆是在平面内定义的，所以“平面内"这一条件不能忽视.

定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.

易错二.忽略椭圆焦点位置的讨论

椭圆的标准方程有两个，焦点分别在两个坐标轴上；求椭圆方程时，如果无法确定焦点位置时，常常要进

行分类讨论.此类问题也可设椭圆方程为mx2+ny2=l(mwn,m>0,n>0)因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦

点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算.

易错三.忽略双曲线定义的限制条件

L定义：在平面内，到两个定点月、F2的距离之差的绝对值等于常数2a(。大于0且2。<|耳耳|)的动点

P的轨迹叫作双曲线.

2.焦距：这两个定点8、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：1.若去掉定义中的“绝对值"，常数。满足约束条件：归制-归闾=2a<|4闾（a>0）,贝恸

点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若忸月归耳|=2。<闺舄|（a>0），则动点轨迹仅表示双曲

线中靠焦点片的一支；

2.若常数a满足约束条件：旭娟尸曰=2a=|耳闻，则动点轨迹是以Fi、F2为端点的两条射线（包括

端点）；

3.若常数a满足约束条件：归娟-归闾|=2a>|耳闻,则动点轨迹不存在；

4.若常数。=0，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

易错四.忽略双曲线位置的讨论

双曲线的标准方程有两种形式，其焦点分别在x,y轴上，焦点位置不同求出的解是不一样的，在解题时要注

意分类讨论.

易错五.忽略抛物线定义的限制条件

抛物线的定义是到定点距离等于到定直线距离相等的点的轨迹，注意定点不在定直线上，在解方程时注意

点的坐标范围。

易错六.忽略抛物线的焦点所在位置的讨论

抛物线的焦点位置有四种不同的位置，在解题时要注意避免因焦点位置不同而出错.

易错七.忽略抛物线需要转化为标准形式

抛物线方程如果是y=ax2类型，需要转化为焦点在x轴抛物线的标准形式x2=y,然后在进行求解其他的量。

易错八.求轨迹方程忽略取值范围

在求轨迹方程时，要注意题设条件对变量的限制，这一点易被忽视.

易错九.忽略判别式大于零

在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意；二次项的系数是否为零?判别式A1的限制

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△>0下进行）.

易错十.弦长公式需要合理选择

弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点AB且Xi,X2分别为A,B的横坐标,

2

|AB=V1+k\x1-x2|,

若为,为为分别为A,B的纵坐标，则ABI=Jl+加-y2|,

若弦AB所在直线方程设为x=ky+MMAB|=VrTF|yi-y2|.

易错十一.混淆相切与有一个公共点

当联立直线与圆锥曲线方程构成方程组有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关

系；在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.在解题过程中要注意如下细节：①设直线

方程时，要注意直线斜率是否存在，如果不确定需讨论；②联立方程组，消元得到关于x或y的方程后，

要注意二次项系数是否为0情况的讨论；③直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情

形：相切和相交.如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛

物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点.

易错十二.忽视数形结合的使用

解析几何中解题的关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作

用，如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆、经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分

线、中点弦问题等.圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便.数形结合是解决解析几何问题的重

要思想方法，要记得画图分析！

易错十三.忽视焦点弦与非焦点弦

求抛物线弦长的时候，应该首先确认直线是否通过抛物线的焦点，如果通过焦点就用焦点

弦公式，否则只能用一般弦长公式

2

（1）一般弦长公式：ABI=VI+/c|%i-%2|=Ji+^|yi-y?l.

（2）焦点弦长：设AB是抛物线y2=2px（p>0）的一条过焦点F的弦，A（xi,yJB（X2,y2）,则弦长

|AB|=|AF|+|BF|=Xi+Xz+p.

册y题型提分练/

题型1椭圆定义忽略限制条件

【例题1]（2023上・浙江金华・高二浙江师范大学附属中学校考阶段练习）设「0,丫）满足力狙+（y+2）2+

V%2+（y-2）2=5,贝UP的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.不存在

【变式1-1】1.（多选）（2023上•吉林松原•高二校考期中）下列说法正确的是（）

A.已知点6（-1,0）,F2（l,0）,动点P满足+\PF2\=4,则点P的轨迹是椭圆

B.已知点&（-1,0）,F2（l,0）,动点P满足|PF/+IPF2I=2,则点P的轨迹是椭圆

C.已知点6（—1,0）,尸2（1，。），动点P满足IP6I+\PF2]=1,则点P的轨迹是椭圆

D.已知点&（一1,0）,F2（l,0）,动点P满足IP&I+IPF2U3,则点P的轨迹是椭圆

【变式1-1]2.（多选）（2023上•河南•高二校联考期中）0。WaW180。变化时，方程/+y2cosa=1表

示的曲线的形状可以是（）

A.两条平行直线B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线

【变式1-1】3.（多选）（2023上・江苏扬州•高二仪征市第二中学校考阶段练习）下列命题错误的是（）

A.若定点&,尸2，满足RF2I=8,动点P满足|Pa|+\PF2\=8,则动点P的轨迹是椭圆

B.若定点&,尸2,满足吗以=8,动点M满足IMF]I+\MF2\=10,则M的轨迹是椭圆

22

C.当1<k<4时，曲线C：*+{=1表示椭圆

4-kk-1

D.若动点M的坐标满足方程9+?=1,则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为（土四,0）

【变式1-1】4.（多选）（2023上•江西南昌•高三南昌市第三中学校考阶段练习）下列结论正确的是（）

A.平面内与两个定点Fl,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.

B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.

2

C.方程?nF+ny=l（m>0,n>0,m^n）表示的曲线是椭圆.

D.9+5=l（a>b>0）与《+S=l（a>6>0）的焦距相同.

【变式1-1]5.（多选）（2023下•河南濯河•高二统考期末）下列命题中正确的是（）

A.若平面内两定点4B,则满足|P4|+|PS|=2a（a>0）的动点P的轨迹为椭圆

B.双曲线/一y2=1与直线X一y—2=0有且只有一个公共点

22

C.若方程三-匕=1表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

4—LL—1

D.过椭圆一焦点F作椭圆的动弦PQ,则弦PQ的中点M的轨迹为椭圆

【变式1-1]6.（多选）（2022上•新疆克拉玛依・高二克拉玛依市高级中学校考期中）若方程三+左=1所

D—LL—1

表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是（）

A.曲线C可能是圆

B.若C为椭圆，则1<t<3

C.当t>2时曲线C是焦点在y轴上的椭圆

D.当y0时曲线C不是椭圆

题型2椭圆方程忽略焦点位置的讨论

【例题2]（2023上湖北武汉•高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆C：：+为=1的离心率为]则实

数k的值为（）

A.2B.2或7C.2或孩D.7或葭

【变式2-1]1.（2023上•河南洛阳・高二洛阳市第一高级中学校考期中）已知椭圆C过点（3,0）,且离心率

为手，则椭圆C的标准方程为（）

A.^+Z!=iB.片+杵=1

93279

C.应+日=1或次+日=1

9339

【变式2-1】2.（多选）（2023上•安徽合肥•高二校联考期中）已知曲线C：>+去=1为椭圆，则（）

A.-2<m<1

B.若C的焦点在x轴上,则C的焦距为2V—2m—1

C.若。的焦点在x轴上,则C的短轴长取值范围为（0,日）

D.若C的焦点在y轴上,则C的离心率为旧M

【变式2-1]3.（2023上•江苏南通•高二校联考阶段练习）若椭圆5+f=1的离心率为弓,则小的值

为

22

【变式2-1】4.（2023上•高二课时练习）椭圆二+5=1的焦距为4,则m的值为

m6

【变式2-1]5.（2023上浙江绍兴•高二浙江省上虞中学校考期中）椭圆C：?+条=1的焦距为4，则C的

长轴长为

【变式2-1]6.（2022・高二课时练习）若常数a>0,椭圆式+a2y2=2a2的长轴长是短轴长的3倍，则

实数a的值为

【变式2-1】7.（2023•全国模拟预测）过四点（0,1）,,（1片），（1,-日）中的三点的一个椭圆标准

方程可以是，这样的椭圆方程有个.

题型3双曲线定义忽略限制条件

【例题3]（2023上•江西•高二校联考阶段练习）已知点B（0,4）,C（0,-4），动点力满足||力B|-|4C||=2V3,

则力的轨迹方程为（）

22

A.土一匕=1B.片一杵=1

313164

2,.2

C.土r—匕=1D.^--=1

164313

【变式3-1]1.（2023•全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点4（4,0）,分别过

点M（-5,0）,N（5,0）作圆。的切线并交于点P（点P不在x轴上），则点P的轨迹方程为（）

2,.2

A*r一卷=依>4)

y2“2

B.五一3=1(刀<_4)

22

c.=1(%>4或x<-4)

D.E—片=1

169

22

【变式3-1]2.（2023上•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习）M是双曲线--刍=1上一点，点

41Z

国,尸2分别是双曲线左右焦点，若阿0|=5,则|MF2l=（）

A.9pglB.1C.9D.9或2

【变式3-1]3.（2023上•江苏镇江•高二统考期中）已知双曲线条-g=l（m>0）的左右两个焦点分别是

&、F2,焦距为8，点M是双曲线上一点，且IMF/=5,贝”MFzl=

【变式3-1]4.（2023•全国•高二课堂例题）已知6（-2,0）/2（2,0）,动点P满足|PF/-|P&I=2,求动点

P的轨迹方程.

题型4双曲线方程忽略焦点位置的讨论

【例题4]（2023上•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考期中）若双曲线C以两条坐标轴为对称轴，y=枭

是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（）

22

【变式4-1]1.（2023上河南三门峡•高二统考期末）设双曲线C：?-=1的一条渐近线为y=,贝U

C的离心率为

【变式4-1]2.（2024上•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐

标轴上的双曲线c的一条渐近线与曲线y=F-*相切，则双曲线c的离心率可以是.（写出一个

结果即可）

【变式4-1】3.（2023•高三课时练习）已知双曲线的焦距为6,它的离心率为3,则该双曲线的标准方程

为

22

【变式4-1]4.（2021下•陕西安康•高二统考期末）已知双曲线言+总=1的焦距为2百，则其离心率

为

题型5离心率忽略范围

【例题5]（2023•全国•模拟预测）已知直线/：y=x—c过双曲线C：*5=l（a>0,b>0）的右焦点F（c,0）,

且与双曲线右支交于M,N两点.若前=9MF，则双曲线C的离心率为（）

A竽B.yC.V2D.V3

【变式5-1]1.（2023上•浙江台州•高二校联考期中）椭圆盘+'=l（a>b>0）的左，右焦点分别为a,

F2,若椭圆上存在点Q，使N&Q4=120。，则椭圆离心率e的取值范围为（）

A.（谓）B.（0有

/I）D.怜1）

22

【变式5-1]2.（2023上•山西大同•高二统考期中）已知椭圆C京+竟=l（a>b>0）的左、右焦点分别为

F1,F2，点4B在C上,四边形是等腰梯形，=I6F2I，乙846,则。的离心率的e取值范围是

（）

A•（喝

22

【变式5-1]3.（2023•全国•模拟预测）已知双曲线C:京-竟=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为&,

F2,A为C的左顶点，点B在C的右支上，若=\BF2\,且直线被圆/+f=,2（c为半焦距）

截得的弦长为之c,则双曲线C的离心率为

【变式5-1]4.（2023・全国•模拟预测）双曲线C：g-g=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F2，点P

是其右支上一点.若IP6I=3,|0P|=乎，"PF?==,则双曲线C的离心率为

22

【变式5-1J5.（2023上•安徽安庆・高二安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）已知椭圆C:京+a=1（a〉

b>0）的左、右顶点分别为4,A2,且以线段为42为直径的圆与直线。久-ay+2ab=0相交，则椭圆C的

离心率的取值范围为

22

【变式5-1]6.（2022上•湖南•高二校联考期末）已知椭圆++卷=l（a>b>0）的右焦点为F（c,0）,上

顶点为4（0,b）,椭圆右准线上存在一点P满足（而+FA）-AP^0,则椭圆的离心率的取值范围为.

题型6抛物线定义忽略限制条件

【例题6]（2023•全国•高三专题练习）点P到点尸（3,0）的距离比它到直线\：x=1的距离大4，则点P的

轨迹是（）

A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.以上都不对

【变式6-1]1.（2023•甘肃酒泉•统考三模）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，

而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹，•世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，

却在转瞬间无处寻见.已知点”（0,1）,直线by=-2,若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直

线1的距离小1,则称该直线为"最远距离直线"，则下列所有正确结论的序号是

①点P的轨迹曲线是一条线段；

②点P的轨迹与直线=-2是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）；

③旷=久-之是"最远距离直线"；

@y=-2%-6不是"最远距离直线”.

【变式6-1]2.（2021•高二课时练习）抛物线f=2x上各点与焦点连线的中点的轨迹方程是_______.

【变式6-1]3.（2022・全国•高三专题练习）动点到y轴的距离比它到定点（2,0）的距离小2,求动

点M（x,y）的轨迹方程.

【变式6-1]4.（2022上•广东•高二校联考期末）已知平面内一动点P到定点F（0,l）的距离比它到x轴的距

离多1.

（1）求P点的轨迹方程c；

⑵过点Q（o,5）作直线/与曲线C交于4B（4点在B点左侧），求S-BF+S^FO的最小值.

题型7抛物线方程忽略焦点位置的讨论

【例题7]（2023上•河南商丘•高二商丘市实验中学校联考期中）已知抛物线C:/=2ay的准线为y=1,

且c与直线y=-x+b相切，则6=（）

A.2B.1C.-1D.-2

【变式7-1]1.（2023上•高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点（-1,2）,则它的方

程是（）

A.y=2*2或y2=—4%B.y2=-4x或—2y

C.x2=—D.y2=—4x

【变式7-1]2.（2023上•高二课时练习）设抛物线y=mx2（m0）的准线与直线y=1的距离为3,则

抛物线的标准方程为

【变式7-1]3.（2023上•高二课时练习）已知顶点在原点，焦点在久轴上的抛物线被直线y=2%+1截得

的弦长为/正，求该抛物线的方程.

【变式7-1]4.（2023上•黑龙江牡丹江•高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线必=2px,p

为方程一一4%-12=0的根.

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线与直线y=2x-5无公共点，求此抛物线的通径MB|（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直

的直线被抛物线所截得的线段）.

题型8抛物线未化成标准形式

【例题8]（2023•全国•模拟预测）抛物线y=a/上一点p（_i,2）到其准线的距离为（）

A.-B.-C-D.-

2828

【变式8-1]1.（2023上•江西南昌•高二南昌十中校考期中）抛物线2%=外的准线方程为（）

.X=--S.X=--

82

C.y=D.y=-1

【变式8-1]2.（2023上•辽宁鞍山•高二鞍山一中校考期中）抛物线y=2/的准线方程是（）

/\.x=-B.x=--

88

C.y=能.y=一:

【变式8-1]3.（2022・重庆涪陵・重庆市涪陵高级中学校校考模拟预测）抛物线y=4%2±A点到焦点F的

距离为亮，则点A的纵坐标为（）

1O

A.1B.-C.-D.-

161616

【变式8-1]4.（2023上•北京•高三北京市陈经纶中学校考阶段练习）抛物线y=2/的焦点坐标为

1O

【变式8-1]5.（2022・高二课时练习）抛物线3/+4y=0的焦点坐标为，准线方程是.

题型9轨迹方程忽视限制条件

【例题9]（2023上•江西南昌•高二江西师大附中校考期中）已知动圆C与圆Q:（%-3产+f=4外切,

与圆。2：0+3）2+V=4内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线一支

【变式9-1】1.（2023上•上海杨浦•高二复旦附中校考期中庭△48C中4（-3,0）,B（3,0）,3sinB-3sinX=

sinC,则顶点C的轨迹方程是

【变式9-1]2.（2023上浙江台州高二校联考期中）已知椭圆C:1+y2=1,点p（i,o）,M为椭圆上

任意一点，A,B为椭圆的左，右顶点，当M不与A,B重合时，射线交椭圆C于点N,直线4MBN交

于点T,则动点T的轨迹方程为

【变式9-1]3.（2023上浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期中）设圆/+/+2%_15=0的圆

心为2,直线I过点以1,0）且与久轴不重合,1交圆A于&。两点，过8作4。的平行线交2C于点E.

Q）写出点E的轨迹方程；

⑵设点E的轨迹为曲线小,过4且与/平行的直线与曲线G交于P,Q两点,求|前•所|的取值范围.

22

【变式9-1J4.（2023上江苏•高二海安市曲塘中学校考期中）已知椭圆+号=1的左、右顶点为公、A2,

与轴平行的直线交椭圆于两点、,直线与直线的交点为

yAP24Pi4P2P.

（1）求点P的轨迹方程「；

（2）若曲线「上的点Q满足乙=3。。，求441Q42的面积.

【变式9-1]5.（2023上•北京•高二北京市第三十五中学校考期中）已知两定点M（l,3）、N（3,l）,动点P满

足条件—,求动点P的轨迹方程.请从下列条件中任选一个补充到横线上，并在此条件下完成题目.

条件①：直线PM与直线PN垂直；

条件②：点P到M、N两点距离平方之和为20;

条件③：直线PM与直线PN斜率之积为4.

（注：如果选择的条件不符合要求，计0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分）

题型10直线与圆锥曲线的位置关系忽视判别式

【例题10]（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆9+*=1的一个顶点为4（0,-1）,是否存在实数m,

使直线1：y=x+机与椭圆有两个不同的交点M、N，并使=\AN\,若存在，求出m的值；若不存在，

请说明理由.

【变式10-1】L(2022上•福建漳州•高二福建省华安县第一中学校考阶段练习)已知过原点的动直线I与

圆G:(x-2)2+V=1相交于不同的两点A,B

⑴求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

⑵是否存在实数k,使得直线m:y=k(x+1)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若

不存在，说明理由.

【变式10-1】2.(2023上•江苏连云港•高二统考期中)设直线x+y=l与椭圆C：mx2+ny2=

l(m>0,n>0)相交于A,B两点，点M为线段AB的中点，且直线OM的斜率为|(O为坐标原点).

(1)求C的离心率；

⑵若点D的坐标为(40),且NOZM=AODB,求C的方程.

【变式10-1]3.(2023上河北保定•高二统考期中)已知椭圆+'=l(a>6>0)的焦距为2遍,点

P(2,l)在椭圆外，O为坐标原点，OP与椭圆交于点Q,过Q作椭圆的切线I,切线斜率为-]

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,D为线段AB的中点若E上存在点C使得而+2OD=0,

求证：△A8C的面积为定值.

22

【变式10-1]4.(2023上辽宁•高二校联考期中)已知双曲线C:3-S=l(a>0,6>0)的渐近线方程为

y=±V3x,右顶点为(i,o).

⑴求双曲线c的标准方程；

(2)过E(0,2)的直线I与双曲线C的一支交于M,N两点,求前•前的取值范围.

22

【变式10-1】5.(2023上•江苏常州•高二常州市第一中学校考期中)已知双曲线C与双曲线1有

共同的渐近线，且过点(-3,彳).

⑴求双曲线C的标准方程；

(2)已知P为直线x=2上任一点，过点P作双曲线C的两条切线P4PB,切点分别为人B,过C的实轴右顶点

作垂直于X轴的直线与直线PA、PB分别交于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、zi,求nm的值

题型11弦长公式选择不恰当

【例题111(2023上河北•高二校联考期中)已知P是圆C:/+*=12上一动点，过P作x轴的垂线，

垂足为Q,点M满足而=2PM，记点M的轨迹为E.

⑴求E的方程；

⑵若A,B是E上两点，且线段AB的中点坐标为(-黑),求的值.

22

【变式11-1】1.(2023上•天津•高二校考期中)设椭圆京+^=l(a>b>0)的左右顶点分别为①,4，

左右焦点6,尸2.已知14141=3,\A2F2\=1.

(1)求椭圆方程及离心率.

⑵若斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点，与以&,尸2为直径的圆交于C,D两点若|2B|=学|8|,求

直线珀勺方程.

2

【变式11-1]2.(2023上浙江温州•高二校联考期中汜知椭圆合+y2=1的左焦点为&，直线l：y=%-1

与椭圆C交于4B两点.

(1)求线段AB的长；

(2)求44B0的面积.

【变式11-1】3.(2023上•北京顺义•高二校考期中)已知椭圆C：55=l(a>b>0)的长轴长为6,离

心率e=|.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线y=尤+m与椭圆C相交于A,B两点,且|4B|=,求实数血的值.

【变式11-1】4.(2023上云南昆明・高二昆明市第三中学校考期中)已知椭圆CM+2外=2,左、右焦

点分别为&尸2，过点&作倾斜角为:的直线1交椭圆于4B两点.

4

(1)求AB的长和△4的周长；

⑵求△ABF2的面积.

22

【变式11-1】5.（2023上•重庆•高二重庆巴蜀中学校考期中）已知双曲线E:京—a=l（a>0,b>0）的

左右焦点分别为&月到其中一条渐近线的距离为，过&且垂直于久轴的直线交双曲线于，且=

,F21A,B

1.

⑴求E的方程；

⑵过Q（4,0）的直线/交曲线E于M,N两点若|MN|=4,求直线/的方程

【变式（2023上•江苏南通・高二统考阶段练习双曲线C经过2（4,百）,8（遮,-1）两点过点。（3,0）

的直线。与双曲线交于过点。的直线%与直线相交于点且

CP,Q,（3,0）x=1S11112.

⑴求双曲线C的方程；

（2）若|PQ|=3囱|,求直线4的斜率.

题型12直线与圆锥曲线有一个交点误认为是相切

【例题12]（2023•江西南昌・江西师大附中校考三模）已知尸是双曲线C噂-5=l（a>0,6>0）的左焦

点，P（0,V6a）,直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V6

【变式12-1】1.（多选）（2023上•江苏淮安・高二统考期中）关于双曲线C：f-V=1,以下结论正确的

有（）

A.准线方程为比=±竽

B.焦点到渐近线的距离为1

C.与双曲线C两支各有一个交点的直线斜率的取值范围为（-14）

D.过点（1,1）有且仅有2条直线与双曲线C仅有一个公共点

【变式12-1】2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知抛物线C：y2=2Px（p>0）的焦点F到准线I

的距离为2,则（）

A.焦点F的坐标为(1,0)

B.过点P(-1,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

C.直线x+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为4

D.抛物线C与圆/+f=5交于M,N两点,则|MN|=4

【变式12-1】3.(多选)(2023•湖南怀化•统考二模)已知抛物线C:*=2Px(p>0)的焦点F到准线珀勺距

离为2,则()

A.过点4(-1,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

B.若7(3,2),P为C上的动点,则|PT|+|PF|的最小值为5

C.直线x+y-l=。与抛物线C相交所得弦长为8

D.抛物线C与圆/+y2=5交于M,N两点，则|MN|=4

【变式12-1】4.(2023・全国•高三专题练习)已知双曲线E的两个焦点分别为0(-2,0),F2(2,0),并且E

经过点P(2,3).过点M(0,l)的直线I与双曲线E有且仅有一个公共点，则直线I的方程为

【变式12-1】5.(2023上•高二课时练习)直线y=kx-1与双曲线/一必=1有且只有一个公共点，则

实数k=.

【变式12-1]6.(2023上高二课时练习)已知直线y=依-4与抛物线必=8%有且仅有一个公共点，求

实数k的值.

题型13定点问题理解不透彻

【例题13】(黑龙江省龙东五地市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题)已知点P(4,-4)是抛物

线C:y2=2px(p>0)上一点，直线I与抛物线C交于A,B两点(位于对称轴异侧)，瓦？•砺=5(O为

坐标原点).

⑴求抛物线C的方程；

(2)求证：直线I必过定点.

22

【变式13-1】1.(2023上•江苏盐城•高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中)已知椭圆C：今+为=

l(a>b>0)的离心率为手,椭圆的上顶点为(0,1),过点P(2,0)且不垂直于x轴直线/与椭圆C相交于人B两

点

(1)求椭圆C的方程；

(2)求瓦？■砺的取值范围；

(3)若点8关于x轴的对称点为点E,证明：直线AE与工轴相交于定点.

22

【变式13-1J2.(2023上河南新乡•高二统考期中)已知椭圆C：U+.=l(a>b>0)的右焦点为F(3,0),

短轴长为2.

(1)求C的方程.

⑵若4B为C上的两个动点，48两点的纵坐标的乘积大于0,〃(—4,0),%(4,0),且乙4FM=/BFN.证明：

直线4B过定点.

【变式13-1J3.(2023上辽宁鞍山•高二鞍山一中校考期中旧知抛物线C：/=-2py(p>0)的焦点为尸，

且经过点(2,-1).

Q)求抛物线C方程及其准线方程；

(2)过F作斜率不为0的直线交抛物线C于两点，直线y=-1分别交OM,ON于4B两点，求证：以为

直径的圆经过y轴上的两个定点.

【变式13-1】4.(2023上•河北保定•高二统考期中)椭圆C：^+^=l(a>b>0)的一个焦点为“1,0),

且过点.

(1)求椭圆C的标准方程和离心率；

(2)若过点(|,0)且斜率不为0的直线与椭圆C交于M,N两点，点P在直线%=6上，且NP与x轴平行,

求直线MP恒过的定点.

【变式13-1]5.(2023上河北邯郸•高二校联考期中)已知椭圆C：/+V=l(a>b>0)的离心率为日,

且过点（次,企）.

⑴求椭圆c的方程；

（2）若椭圆C的上顶点为P,过P的两条直线匕,%分别与C交于异于点P的A,B两点，若直线匕，%的斜

率之和为-1,试判断直线4B是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

题型14忽略数形结合的重要性

【例题14]（2021下•山东济宁・高一阶段练习）已知实数居y满足方程（乂-3）2+（y-3产=6,求

（1）（的最大值与最小值；

（2）-2尸+④的最大值与最小值.

22

【变式14-1】1.（2023上•河南•高二校联考期中）已知双曲线=1（«>0,b>0）,4为C的上顶点，

B（0,5a）.若在C的渐近线上存在一点P,使得乙4PB=90。，则C的离心率的取值范围为（）

A.（L苧）B.（l,乎]C.（l,誓）D.（l,啕

2

【变式14-1】2.（2023・湖北•武汉市第三中学校联考一模）已知圆Q：%2+y2=b2（b>0）与双曲线。2号-

-.2

缶=l（a>0,6>0）,若在双曲线C?上存在一点P,使得过点P所作的圆6的两条切线，切点为力、B,且

乙4PB=T,则双曲线C2的离心率的取值范围是（）

A.]B.怜+可

C.（1,V3]D.[V3,+c»）

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【变式14-1]3.（2023上河北邯郸•高二校联考期中）已知直线1：2x+3y=。与双曲线C京-左=l（a>

0,b>0）无