2025年中考数学二轮复习：2章 对称与旋转压轴题之 第2节 矩形的折叠（含解析）

第2节矩形的折叠

前言：涉及对称的问题，以矩形对称最多，变化形式多样.比如，可以按对角线折叠，对称点可以落在矩形边

上,可以落在矩形内部，也可以落在矩形外部，无论如何变化，解题工具有三：（1）勾股；（2）全等相似；（3）三角函

数.从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键.

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沿对角线折叠

当矩形沿对角线折叠时，图中必有全等，注意运用对应边相等.

引例1：如图，四边形ABCD是矩形纸片，WABCD沿BD折叠得到△BED,BE交AD于点EAB=3.AF:FD=

1:2,贝[]AF=.

解析：由题意可得△AFBgAEFD,；.BF=DF,

设AF=x,则BF=DF=2x,又AB=3,故%2+32=（2%产解得:%=V3,AF=V3.

落点在矩形边上

寻找两类图形：

（1）三边可求的直角三角形；

（2）三垂直相似.

引例2:如图在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上

的点F处，那么sin/EFC的值为.

解析：根据对称可知AF=AD=5,

又AB=3,；.BF=4,

；.FC=1,设CE=x,

则DE=3-x,EF=3-x,

1?+久2=（3一x）2,解得：x=i

45

・•・CE=-EF=-

3f3f

4

•••sin乙EFC=

5

落点在矩形内

根据落点位置的条件，确定可解的直角三角形或可能存在的相似.勾股定理和相似三角形，解决问题的两大法宝.

弓I例3:如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=*,E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点

F的位置，连接AF,若tan/BAF=/则CE=.

解析：过F点作MN〃BC分别交AB、CD于M、N两点，•••tan/BAF=|,设FM=x,则AM=2x,BM=4-2x,对R

tABMF用勾股定理：/+（4-2%）2=（代解得：久1=1,久2=蔡（舍）

由题意得/△BMFs/NE,案=器代入得：*=高，解得：EF=守,，CE的长为哼I

FEFNFEV5—122

弓例4:如图，在矩形ABCD中.AB=6,BC=10,将矩形ABCD沿BE折叠.点A落在A处，若EA，的延长线恰

好过点C,则sin/ABE的值为.

解析:根据折叠可知BA'=BA=6,又/BA'C=9()o,BC=10,A'C=8,tanz£)FC=tan/BCA=DE=8,AE=2,

4

•••BE=2A/10,sin^ABE=—

2V1010

落点在矩形外

图形交错，绕矩形一圈，存在多个三角形相似，由已知线段逐个推出未知线段的长.

弓I例5:如图，矩形纸ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上，将^CDP沿DP折叠，点C落在点E处,PE、DE分

别交AB于点O、F,且OP=OF,则cos/ADF的值为（）

AA.—11BC

13-g-S

解析：根据OP=OF,则△OEF0△OBP,；.OE=OB,OE+OP=OB+OF,即EP=BF,设EP=BF=x,贝！jAF=4-x,

：CP=EP=x,

/.EF=BP=3-x,

,>.DF=x+l.

在RtAADF中，DF2=AD2+AF2,

代入得：(%+l)2=32+(4-%)2,

解得：x=^,.-.DF=^,

coszXDF=i|,

...选C.

5多次折叠必有中点

当矩形两端均向中间折叠时，注意图中的相等线段，可得中点.

引例6:将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶点A、C、D都落在点。处，且点B、

0、G在同一条直线上，同时点E、0、F在另一条直线上，则条的值为（）

A.|B.V2C.|D.V3

解析：由题意得：△BAE^ABOE,AEDG^AEOG,△GCF也△GOF,；.E、G分别是AD、DC中点，由题意得:

△BAEs^EDG,.••普/设AB=a,AD=b,

贝Uf=京化简得：b=<2a,

22

BP-=V2,

a

.•.选B.

动态中的折叠

弓I例8:如图，折叠矩形纸片ABCD,使点D落在AB边的点M处EF为折痕，AB=1,AD=2.设AM的长为t,

用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是_________

解析：连接DM,过点E作EH,

由题意得：ADAM^>AEHF,

•••AM=t,：.FH=

2

设AE=x,贝UEM=ED=2-x,

勾股定理得：/+/=(2-久产

解得：x=DE=1+-

44

1+-+1+—--2

・•・S=——1-1=-t--t+1,

244

即四边形CDEF的面积是Y—2+1-

44

真题演练

1.如图，将矩形ABCD折叠使点C和点A重合.折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的

长为（）

C.2V5D.4V5

2.如图,在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,

则tan/DAE的值为（）

3.如图，有一张长方形纸片ABCD,AB=8cm,BC=10cm,点E为CD上一点将纸片沿AE折叠，BC的对应边

BC恰好经过点D,则线段DE的长为cm.

4.如图.矩形ABCD中，BD为对角线,将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M

处，点C落在BD上的点N处，连结EF.已知AB=3,BC=4,贝UEF的长为（）

A.3B.5C.警D.V13

5.如图,在矩形ABCD中，AB=5,BC=6点M、N分别在AD、BC上,且4M=^AD.BN=|fiC,E为直线B

C上一动点，连接DE,将4DCE沿DE所在直线翻折得到△DCE,当点C恰好落在直线MN上时，CE的长为

6.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E为AD上一点，且/ABE=30。，将△ABE沿BE翻折，得至!]△A'BE

,连接CA，并延长，与AD相交于点F,则DF的长为.

7.如图在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,M为AD上一点，将△ABM沿BM翻折至△EBM,ME和BE分别与CD

相交于O、F两点且OE=OD,则AM的长为

8如图，矩形ABCD中，点G、E分别在边BC、DC±,连接AG、EG、AE,将△ABG和AECG分别沿AG、E

G折叠，使点B、C恰好落在AE上的同一点，记为点F.若CE=3,CG=4,则sin/DAE=.

9.如图，矩形ABCD中，AB=3V6,BC=12,E为AD中点F为AB上一点，将4AEF沿EF折叠后，点A恰好

落到CF上的点G处，则折痕EF的长是.

10.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上才巴ABCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处,

连接DF.若点E、F、D在同一条直线上，AE=2,则DF=,BE=.

11.如图有一张矩形纸条ABCD,AB=5cm,BC=2cm,点M、N分别在边AB、CD±,CN=lcm.现将四边形BC

NM沿MN折叠,使点B、C分别落在点B；C上.当点B恰好落在边CD上时，线段BM的长为cm；在点

M从点A运动到点B的过程中，若边MB，与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为cm.

12.矩形ABCD中.AB=8,AD=12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.

⑴如图1,若点P恰好在BC±,连接AP,求崂的值；

DE

(2)如图2,若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F,求BF的长

13.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.

(1)求证：AABF^>AFCE;

(2)若AB=2V3,AD=4,求EC的长；

(3)若AE-DE=2EC,记/BAF=a,ZFAE=p,求tana+tanp的值

第2节矩形的折叠问题

I.C.

角华析：易证AF=AE=5,又BF=3,・•・AB=4,BC=8,・・.4。=4V5,AO=2逐,故选C.

2.D.

解析：由题意可得tanZ-DAF=tanZ-AFB=tan/DAE=tan/丝=工,故选D.

423

3.5cm.

解析:由题意得AB，=AB=8cm,AD=BC=10cm,，BD=6cm,CD=4cm,设DE=x(cm),贝[]CE=(8-x)cm,勾股定理得(8

—%)2+42=x=5,ADE的长为5cm.

4.C.

解析：由题意可得：AE=DE=3CH=§BC=DF=|,由勾股定理可得：EF=生”，

故选C.

5.|或10

解析：可能情况如下：

情况一：如上左图，

由题意可得：DC'=DC=5,DM=4,/.MC'=3,C'N=2,对于△ENC',设CE=x,贝!JC'E=x,EN=4-x,

根据勾股定理可得：（4-工产+22=比2,解得：x=|,故CE的长为|

情况二：如上右图，

由题意得：C'F=CD=5,；.NF=3,MF=2,

可得EN=4X|=6,；.CE=10.

综上所述，CE的长为1或10.

6.6-2V3.

解析：由题意得：/ABE=NABE=/A，BC=30。,过点A作AHLBC交BC于H点

贝!]A'H=1,BH=V3

•••CW=3-V3,tanzFCF=曰=誓,

又tanZ-DFC=-=

DF6

DF=急=2（3-V3）=6-2V3.

7.4.8.

解析：ZAGE=90°,BG=CG=4,AABG^AGCE,•••CE=3,CG=4,AB=[BG=费,DE=£-3=（又

257

AD=8,AE=-,・•・sin乙DAE=—.

325

9.2V15.

解析：有特殊位置关系必然有隐藏结论.

连接CE,由题意得：△CED^ACEG(HL),

ZCEF=90°,可证△CDE^AEAF,可得—=生，由CD=3V6,ED=EA=6,可得：CE=3同代入比例式，

EAEF

得：EF=当等=2底,故折痕EF的长为2V15.

3V6

1O.DF=2,BE=V5-1.

解析:由题意彳导/BEC=ZFEC,又ZBEC=ZDCE,ZFEC=ZDCE,；.DE=DC,设BE=x,贝！]AB=2+x,DE=DC=AB=2+x,

.-.DF=DE-EF=2.由射影定理得EA2=EF.ED,代入得：22=x（x+2）,解得：/=6一1,久？=一6一1（舍），故

BE=近一1.综上，DF=2,BE=V5-1.

11.V5;（V5-1）.

解析：连接BN,若点B在DC上，则四边形BMBN是菱形，BM=BN=倔

Cr

B'

DC

AB

M

点E的起点即点B落在DC上的位置，第一阶段点E向右运动，当MB」AB时，达到最右，此时路径长为

V5-2,第二阶段点E向左运动，当M与A重合时达到最左端，由全等可求此时DE=