2025年新高考数学重难点专项复习：与圆有关的最值与范围问题【十大题型】（解析版）

重难点23与圆有关的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1斜率型最值（范围）问题】............................................................2

【题型2直线型最值（范围）问题】............................................................5

【题型3定点到圆上点的最值（范围）】........................................................7

【题型4圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】............................................9

【题型5过圆内定点的弦长最值（范围）问题】.................................................12

【题型6圆的切线长度最值（范围）问题】.....................................................14

【题型7周长面积型最值（范围）问题】.......................................................16

【题型8数量积型最值（范围）问题1.......................................................................................18

【题型9坐标、角度型最值（范围）问题】.....................................................21

【题型10长度型最值（范围）问题】..........................................................24

►命题规律

1、与圆有关的最值与范围问题

从近几年的高考情况来看，与圆有关的最值与范围问题是高考的热点问题，由于圆既能与平面几何相

联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值与范围问题备受命题者的青睐.此类

问题考查形式多样，对应的解题方法也是多种多样，需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1与距离有关的最值问题】

在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离

最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论.

1.圆上的点到定点的距离最值问题

一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值.

2.圆上的点到直线的距离最值问题

已知圆C和圆外的一条直线/,则圆上点到直线距离的最小值为：dc^-r,距离的最大值为：

dc-i+r.

【知识点2利用代数法的几何意义求最值】

1.利用代数法的几何意义求最值

（1）形如〃=曰9的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

（3）形如m=（,x-ay+（y-b）2的最值问题，可转化为曲线上的点到点（°⑸的距离平方的最值问题.

【知识点3切线长度最值问题】

1.圆的切线长度最值问题

(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.

【知识点4弦长最值问题】

1.过圆内定点的弦长最值问题

已知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.

【知识点5解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法】

1.与圆有关的最值与范围问题的解题方法

(1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借

助数形结合思想求解.

(2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参

数法、配方法、判别式法等进行求解.

(3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者0+6的表

达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定

三相等”的验证.

(4)多与圆心联系，转化为圆心问题.

(5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解.

►举一反三

【题型1斜率型最值(范围)问题】

【例1】(23-24高二上•湖北武汉•阶段练习)已知P(m,n)为圆C：Q—l)2+(y—1)2=1上任意一点，则落的

最大值为()

A.V3B.~C.1+苧

VD.1-^

【解题思路】根据圆上任意一点P(wi)到定点力(-1,1)的斜率，即可结合相切求解斜率得解.

m+nm+1+n—l.n—1

【解答过程】==1H

m+1----m+1--------m+1

由于P(7?Vl)为圆C：(%-1)2+(y-1)2=1上任意一点,

故启可看作圆上任意一点P(科九)到定点"(-LD的斜率，

当直线24与圆相切时，此时斜率最大，

由于相切时，|4C|=2,|CP|=1故|P4|=g，此时斜率仁保上仁,

故需的最大值为1+浮

故选：C.

【变式1-1](2024•河南•模拟预测)已知点PQ,y)在圆(久一1)2+0-1)2=3上运动，则白的最大值为

()

A.-6—^30B.6+，30C.-6+，30D.6——30

【解题思路】将芸看作时圆上的点P(x,y)到点4(3,4)的直线的斜率的最小值即可求解.

[解答过程]三看作圆上的点P(x,y)到点4(3,4)的直线的斜率的相反数.

当经过点2(3,4)的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，

设切线方程为y=k(x-3)+4,所以圆心到切线的距离等于半径，故嗡#=遮，解得k=6士频，故当

k=6-V^时，切线斜率最小，此时W最大，最大值为-6+同，

x—3

故选：C.

【变式1-2](2024•陕西商洛•三模)已知P(xo，yo)是圆C:*2+y2_2x_2y+l=0上任意一点，则瑞的最大

值为()

A.-2B.C.D.

【解题思路】相的几何意义为直线/乂-3)-y-1=0的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.

【解答过程】设卜=瑞，变形可得/与-3)-yo-l=O,

则猾的几何意义为直线k(x-3)-y-1=。的斜率，

圆C:/+y^-2x-2y+1=0化为。(%-1)2+(y-1)2=1,

所以圆C的圆心为(1,1),半径为1.

因为POWo)是圆C：/+川一2x—2y+1=0上任意一点，

所以圆C与直线k(x-3)-y-l=0有公共点，即圆的圆心C(l,l)到直线k(久-3)-y-l=0的距离不大于圆C的

半径，

所以凤1肃解得陶立wkw昔Z,

即普的最大为若N

故选:D.

【变式1-3](2024•福建南平・三模)已知P(m,n)为圆C：(x-l)2+(y—1尸=1上任意一点，则黑•的最大值

M-

【解题思路】将悬转化为点P(犯n)和(-1,1)连线的斜率，由图像可知当直线与圆相切时取得最大值，由d=r

解出斜率即可.

【解答过程】

n-1n-1

由于故需表示P(巾，①和(一11)连线的斜率，设”(一L1)，如图所示，当MP与圆相切时，黯

m+1-

取得最大值,

设此时MP:y-l=々(％+1),BP/cx-y+fc+1=0,又圆心(1,1),半径为1,故弋篙1^=1,解得k=±洋

故E的最大值为率

故答案为：察

【题型2直线型最值（范围）问题】

【例2】（23-24高三上•河南•阶段练习）已知点P（x,y）是圆C：（久一或2+3/2=3似>0）上的一动点，若圆C

经过点4（1,迎），贝久的最大值与最小值之和为（）

A.4B.2V6C.-4D.-2伤

【解题思路】由圆所过点的坐标求得a,y-x可看成是直线y=x+b在y轴上的截距，直线与圆相切时，b取

得最大值或最小值，由此可得.

【解答过程】因为圆C：（x-a）2+y2=3（a>0）经过点火1,四），

（1—a）2+2=3.又a>0,所以a=2,

y-久可看成是直线y=%+b在y轴上的截距.如图所示，

当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时器解得b=-2±乃，

所以y-x的最大值为-2+最小值为-2-V^,故y一久的最大值与最小值之和为-4.

故选：C.

【变式2-1]（24-25高二上•全国•课后作业）如果实数满足等式/+/+4x-2y-4=0,那么好+y2的

最大值是JL4+6西；2x-y的最大值是_3、/1二5一.

【解题思路】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.

【解答过程】由/+y2+4x-2y-4=0,得（x+2）2+（y-1）2=9,%2+y2的几何意义为圆（%+2）2+（y-1）2

=9上的动点到原点距离的平方.

因为圆心（-2,1）到原点的距离为爪，所以圆上的动点到原点距离的最大值为遥+3,

则/+y2的最大值是（6+3）=14+6V5.

令2%-y=t,则一力是直线2%-y=t在y轴上的截距，

当直线与圆相切时，直线2%-y=《在丫轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，

此时，圆心(一2,1)到直线2x-y=t的距离d=-扇一=3,解得t=-5±3遮,

所以2x-y的最大值为3遥-5.

故答案为：14+65/5；3V5—5.

【变式2-2](23-24高二上•黑龙江绥化•阶段练习)已知x,y是实数，且。—1产+(y—2尸=4.

⑴求3x+4y的最值；

(2)求？的取值范围；

(3)求+、2的最值.

【解题思路】(1)首先设3x+4y=z,利用直线与圆有交点，列式求z的最值；

(2)首先设k=±转化为直线依-y=0与圆有交点，列不等式求k的取值范围；

(3)根据"T5万的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值.

【解答过程】(1)设3%+4y=z,化为3%+4y-z=0,

可知直线3%+4丫-2=0与圆(%-1)2+(丫-2)2=4有交点，圆心(1,2),半径为2,

有空|旭三2,解得1SZW21,

可得3x+4y的最小值为1,最大值为21；

(2)设k=?,化为kx-y=O,

可知直线依—y=0与圆0-1)2+(y—2)2=4有交点，

W-^=<2,解得或kW-g,

7k2+13

故?的取值范围为(-8,-gu[o,+00)；

(3)52+y2的几何意义为坐标原点到圆(x—l)2+(y-2)2=4上任意一点的距离,

圆0-1)2+(y-2)2=4的圆心到坐标原点的距离为，到+22=V5,

故+y2的最小值为廊—2,最大值为遥+2.

【变式2-3］（2024高三•全国・专题练习）已知实数X,y满足方程N+产―4x+l=0.求：

（11的最大值和最小值；

（2）y+x的最大值和最小值；

（3）/+/的最大值和最小值.

【解题思路】（1）转=/,进行求解即可；

（2）令y+x=m,得其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，进行求解即可；

（3）根据N+f的几何意义，进行求解即可.

【解答过程】（1）如图，令则/+做2—4x+l=0,即（1+）x2—4x+l=0.由AK）得一V3<f<V3,

所以（的最小值为一遍，最大值为值.

（2）令歹+工=加，得;V=—1+加.直线J=—%+加与圆，+y2—以+1=0有公共点时，其纵截距在两相切位

置对应的纵截距之间，而相切时有^一~lm—2|=V6,m=2iV6.

所以歹+x的最大值为2+V6,最小值为2—V6.

（3）如图，N+产是圆上点到原点距离的平方，故连接oc,与圆交于点'并延长交圆于C,可知5到

原点的距离最近，点C到原点的距离最大，此时有OB=g+y2=2—W,OC=V%2+y2=2+V3,

则（N+y2）加公=OC，2=7+4V5\（x2-\-y2）加%=。¥=7—4V3.

【题型3定点到圆上点的最值（范围）】

【例3】（2024•陕西铜川•三模）已知圆。:（%-。）2+（丫一力）2=1经过点/（3,4）,则其圆心到原点的距离的最

大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【解题思路】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可.

【解答过程】由圆。0-。)2+0-6)2=1经过点(3,4),可得(3-a)2+(4—b)2=l,

即(a-3)2+(b-4)2=1,故圆心(a,b)的轨迹是以4(3,4)为圆心，1为半径的圆，

又|4。|=V32+42=5,所以圆心到原点的距离的最大值为5+1=6.

故选：C.

【变式3-1](23-24高三下•山东济南•开学考试)已知P是圆O:/+y2=9上的动点，点Q满足衣=(3,一4),

点力(1,1),则MQ|的最大值为C)

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

【解题思路】首先求点Q的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，求|4Q|的最大值.

【解答过程】设Q(x,y),P(xo,yo),

由PQ=(x-&,y-yo)=(3,-4),得祀=*-3,y0=y+4,

因为点P在圆。上，即吐+羽=9,

则(x—3)2+(y+4)2=9,

所以点Q的轨迹是以(3,-4)为圆心，3为半径的圆，

因为4(1,1),(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以点4在圆外，

所以MQ的最大值为J(l—3/+(1+4尸+3=V29+3.

故选：C.

【变式3-2](2024•全国•模拟预测)M点是圆C:(久+2)2+*=1上任意一点，为圆的:0―2尸+*=3

的弦，且MB|=2^,N为4B的中点，则|MN|的最小值为()

A.1B.2C.3D.47

【解题思路】根据弦长公式先求出|CiN|=1,然后可知点N在以5(2,0)为圆心，1为半径的圆上，结合圆

的性质可求|MN|的最小值.

【解答过程】圆。(％+2)2+、2=1的圆心为(7(—2,0),半径为r=l,

圆Ci：(x-2)2+y2=3的圆心为Ci(2,0),半径为「1=V3.

如图所示，由弦长公式知|4B|=2jW—|Ci=|2=2或,

解得UI=1,

所以点N在以的(2,0)为圆心、1为半径的圆上，

由图可知，的最小值为|CCi|-r-1=4-1-1=2.

故选：B.

【变式3-3]（2024•四川乐山•三模）已知圆。:必+、2=16,点4―2弓+g）,点E是1:2x—y+16=0上

的动点，过E作圆。的切线，切点分别为4B,直线力B与E。交于点M,贝的最小值为（）

A2c2D皿

2D-2J22

【解题思路】设M（x,y）,由△AOE〜△MCM表示出点E坐标，代入直线方程得出点M的轨迹，根据点到圆上

一点距离最小值求法计算即可.

【解答过程】设M（x,y）,由题可知△40E~aM04则黑=黑，即|CM|2=|OE「|OM|,

所以耨=黑^=生3,所以点EQI*,於第｝

将点E的坐标代入z：2x-y+16=0,化简得（尤+1）2+（丫-3=、（招、不同时为0），

故点M的轨迹是以（-1,白为圆心，孚为半径的圆，

又（—2+1）2+（|+V19-3?=20>1点F在该圆外，

所以|MF|的最小值为J（—1+2产+一—孚=2西-苧=3三

【题型4圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】

【例4】（2024•河北邯郸•模拟预测）己知跖N是圆C：/+产一2）7-3=0上的两个点，且|MN|=2VLP

为MN的中点，。为直线Z：x-y-3=0上的一点，则|PQ|的最小值为（）

A.2V2B.V2C.2—D.V2—1

【解题思路】先根据弦长得出点P的轨迹，利用直线与圆的位置关系即可解决.

【解答过程】圆C的标准方程：X2+(y-1)2=4,圆心C(O,1),半径为2,

由四州=2鱼，可得|CP|=WP^=VL

所以点尸在以C(O,1)为圆心，逅为半径的圆上，

又点C到直线/：尤―y—3=0的距离d=3^=2&,

所以|PQ|的最小值为2鱼-鱼=V2.

故选：B.

【变式4-1](2024•辽宁鞍山•二模)已知直线I:久一y-2=0,点C在圆(%-1)2+必=2上运动，那么点C到

直线I的距离的最大值为()

A.+1B.|V2C.|A/2D.境

【解题思路】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，加上圆的半径，即可得答案.

【解答过程】圆(%-1)2+产=2的圆心为(1,0),半径为r=Vl

则圆心(1,0)到直线，：x—y—2=0的距离为：=亨.

所以圆上的点C到直线Z：x-y-2=0距离的最大值为：孝+鱼=芋.

故选：C.

【变式4-2](2024•河北•二模)已知4(孙月),B(%2)2)是圆%2+y2=9上的两个动点,且％i%2+y/2=-

若点M满足加=2丽，点P在直线久+后—4g=0上，贝U|MP|的最小值为()

A.4V3B.3V3C.2V3D.V3

【解题思路】连接OM、OA,OB,根据已知可得万？•丽=刀1不+?/2=-:且而=|•市+海，从而可

得动点M的轨迹为圆，由圆心到直线的距离可解.

【解答过程】如图，连接。M、。力、OB,

由力01，%）,B（X2，y2）是圆/+y2=9上的两个动点，且+%及=一，

BP0A-0B=久i%2+7172="

又前=2丽，贝IJ面—瓦？=2（南一丽），可得丽=那+河，

所以|而|=J（|ox+|OB）2=I^OA2+^OA-OB+^OB2=Vl-2+4=V3,

则动点M的轨迹方程为"+*=3,

且圆心。到直线％+V3y-4V3=。的距离为d=^5=^=2遮，

V1+3

所以|“P|的最小值为2g-g=g.

【变式4-3]（2024•湖南岳阳•二模）已知点4（*1,%）,B（久2/2）是圆/+y?=16上的两点，若乙4。8=5，则

1%1+%—2|+咫+y2-2]的最大值为（）

A.16B.12C.8D.4

【解题思路】题目转化为4、B到直线x+y-2=0的距离之和，变换得到MC|+|BD|=2|EF|,利用数形结

合转化求解即可.

【解答过程】因为4（%i，y。、B（X2,丫2）在圆/+*=16上，Z.AOB=^,

因为|。*=|。引=4,则aaoB是等腰直角三角形，

l%i+yi-2|+|%2+丫2-2|表，A、B到直线x+y—2=。的距离之和的倍,

2

原点。到直线久+y-2=0的距离为d=/=VL如图所示：

ACLCD,BDLCD,E是的中点，作EFlCD于F,

S.OEA.AB,\AC\+\BD\=2\EF\,\0E\=^AB\=2<2,

\EF\<\0E\+d=3V2,当且仅当。,三点共线，且在。的两侧时等号成立,

又|EF|=|(|BD|+MC|),故|BD|+|4C|的最大值为6立

l%i+7i-2|+|%2+及-2|的最大值为2但x3V2=12.

【题型5过圆内定点的弦长最值(范围)问题】

【例5】(23-24高二上•重庆・期末)已知圆的方程为了+*―8x=0,则该圆中过点P(2,l)的最短弦的长为

()

A.V10B.VT1C.2V10D.2VH

【解题思路】利用几何法求弦长.

【解答过程】如图:x2+y2-8x=0=>(x-4)2+y2=16,所以圆心C(4,0),半径r=4

由图可知，当弦48iCPHt,弦长最短.

此时，RtzXACP中，\CP\=V(4-2)2+(0-1)2=V5,\CA\=r=4,

所以：[4P|="6-5=VTI

所以弦长|4B|=2V1T.

故选：D.

【变式5-1](2024•陕西西安・模拟预测)已知直线2:加+y-2t-V3=0(teR)与圆C:(x—1)2+y2=16相交

于48两点，则弦长1ABi的取值范围是()

A.[2V3,8]B.[4V3,8]C.(4V3,8)D.[4,4V3]

【解题思路】根据题意，求得直线恒过点P(2,g),结合圆的性质和弦长公式，即可求解.

【解答过程】因为直线垃+y-2£-V§*=0(tER),可得t(%-2)+y-V^=0,

由｛；^；°0,解得x=2,y=K，所以直线恒过点P(2,旬，

可得点P(2,⑨在圆0-1)2+y2=16内部，

又由圆0-1)2+俨=16,可得圆心C(l,0),半径为r=4,

当直线Z过圆心C(l,0)时，截得弦长|4B|最长，此时|43|„^=2「=8,

当直线I与PC垂直时，此时弦长|48|最短，又由|PC|=](2-1)2+(g一0)2=2,

可得|4B|min=2〃2Tpe|2=2V16-4=4V3,

所以弦长|4B|的取值范围是[4g,8].

故选：B.

【变式5-2](23-24高二上•广东珠海•期末)已知直线1：m比一丫一3爪+1=0恒过点2，过点P作直线与圆

C：(久一1)2+0-2)2=25相交于/,8两点，则|4B|的最小值为()

A.4V5B.2C.4D.2通

【解题思路】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时直线与直线CP的位置关系，

即可得结果.

【解答过程】由3)—y+l=0恒过P(3,l),

又(3—1)2+(1-2)2=5<25,即P在圆C内，

要使|力切最小，只需圆心C(l,2)与P的连线与该直线垂直，所得弦长最短，

由|。。|=遮，圆的半径为5,

所以|4B|min=2XV25—5=4V5.

故选：A.

【变式5-3](2024•江西赣州•二模)已知直线/:(m+n)x+(m-n)y-2m=0(mn丰0).圆式(％—2)2+(y—2)2

=8,则()

A./过定点(1,—1)B./与C一定相交

C.若/平分C的周长，则爪=1D./被C截得的最短弦的长度为4

【解题思路】根据方程的形式，联立方程产”与1力°,即可求定点，判断A,再根据定点与圆的关系，判

断直线与圆的位置关系，判断B,根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C,当定点为弦的中

点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可判定D.

【解答过程】选项A：Z:(m+n)x+(jn—n)y—2m=0=>m(x+y—2)+n(x—y)=0,

联立，衰片;。，解得所以/过定点(1,1)，故A错误；

选项B：因/过定点(1,1),且(1-2)2+(1—2)2<8,

所以定点(1,1)在圆内，即/与C一定相交，故B正确；

选项C：若/平分C的周长，则直线过圆心(2,2),所以(zn+m)x2+(m—n)X2—2m=0,

即/n=0,故C错误；

选项D：当定点(1,1)为弦的中点时，此时弦长最短，

此时圆心(2,2)到弦所在直线的距离d=V(2-l)2+(2-1)2=V2,

则弦长2«27力2_(烟2=2后故D错误；

故选：B.

【题型6圆的切线长度最值(范围)问题】

【例6】(2024•全国•模拟预测)已知P为直线Z:久-y+1=0上一点，过点尸作圆C:(x-+y=i的一条

切线，切点为/,则上小的最小值为()

A.1B.V2C.V3D.2

【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.

[解答过程】连接C4则|P4|=J|PC『-1,

而|PC|的最小值为点C到直线/的距离d=^===V2>1,

所以|P*min=J(鱼—LI.

故选：A.

【变式6-1](2024•新疆・二模)从直线x—y+2=0上的点向圆好+川―4乂—4y+7=0引切线，则切线长的

最小值为()

A.乎B.1C.乎D.

242

【解题思路】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可.

【解答过程】圆/+y2一4x-4y+7=0化为(久一2)2+0-2)2=1,圆心为C(2,2),半径为1,

直线久―y+2=0上的点P向圆/+y2-4x-4y+7=。引切线，设切点为4

贝[]|P4|2=\pc\2-r2=\PC\2-1,

要使切线长的最小，则|PC|最小，即直线上的点与圆心的距离最小，

由点到直线的距离公式可得，|PC|min=%冬=鱼.

所以切线长的最小值为J（鱼）2-1=1.

故选：B.

【变式6-2］（2024・四川宜宾•二模）已知点P是直线x+y+3=0上一动点，过点P作圆。（久+1/+必=i

的一条切线，切点为4则线段P2长度的最小值为（）

A.2V3B.2V2C.V2D.1

【解题思路】由题意可得|P*=J|PC|2—户,则当|PC|取得最小值时，线段P4长度的最小，利用点到直线的

距离公式求出|PC|的最小值即可得解.

【解答过程】圆。（％+1）2+/=1的圆心（;（—1,0）,半径r=l,

由题意可得24,AC,

顺P4|=J|PC|2一|4C|2=J|PC|2T2=7|PC|2-1,

则当|PC|取得最小值时，线段24长度的最小,

|PC|min=噜詈=a

所以|P*min=J（烟2—1=1.

故选：D.

【变式6-3］（2024・湖北•模拟预测）已知点P为直线/:3%-4丫+12=0上的一点，过点P作圆C:（x-3）2+（y—2尸

=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为（）

A.yB.yC.等D.等

【解题思路】分析可知CM1PM,由勾股定理可得|PM|=J|PC|2-1,当|PM|取小值时，PC1/,求出圆心

到直线/的距离，作为|PC|的最小值，结合勾股求解即可.

【解答过程】由题意可知，圆C的圆心为C（2,3）,半径为=

由圆的几何性质可知，CMLPM,

由勾股定理可得|PM|=y/\PC\2-\CM\2=VPC|2-1,

所以要使切线长|PM|取最小值，只需|PC|取最小值即可.

19-8+121io

当直线PC与直线/：3x—4y+12=。垂直时，|PC|取最小值d=^===

13212

1=

则|PM|的最小值是~5.-T-

故选：A.

【题型7周长面积型最值(范围)问题】

【例7】(2024•上海普陀•二模)直线I经过定点P(2,l),且与无轴正半轴、y轴正半轴分别相交于4B两点，。

为坐标原点，动圆M在△02B的外部，且与直线1及两坐标轴的正半轴均相切，则aOAB周长的最小值是

()

A.3B.5C.10D.12

【解题思路】先设动圆M的圆心M坐标为\0A\^a,\OB\^b,结合直线与圆相切的性质可得

\0A\+\0B\+\AB\=\2m,当圆M与直线2B相切于点尸(2,1)处时，圆M半径最小，结合两点间距离公式即可

求解.

【解答过程】设动圆M的圆心M坐标为

即圆M半径r=zn,由题意zn>0,

设|CM|=a,\OB\=b,圆M与直线AB相切于点N,则MN|=m—a,\BN\^m-b,

所以|0川+\OB\+=\OA\+\0B\+\AN\+\BN\=a+b+m-a+m-b=2m,

即△04B的周长为2zn,

所以△的周长最小即为圆M半径ni最小，因为|PM|>r=m,

则-2尸+(m-l)2Nm,整理得巾2-66+520,

解得m>5或m<1,

当mW1时，圆心M在△OAB内，不合题意；

当m25时，符合题意，即圆M半径的最小值为5,△。48周长的最小值为2nl=10.

故选：C.

IA

，/

【变式7-1]（2024•山西吕梁•一模）已知圆0。—4）2+0-2）2=4,点「为直线乂+）/+2=0上的动点，以

PQ为直径的圆与圆Q相交于48两点，则四边形P2QB面积的最小值为（）

A.2V7B.4V7C.2D.4

【解题思路】写出面积表达式，从而得到当PQ与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.

【解答过程】由题意得P414Q,PBLAQ,<2（4,2）,

S四边形PAQB=2sAPAQ=2>加力|MQ|=2\PA\=PQ2-4,

当PQ垂直直线x+y+2=o时，|PQ|min=弋岁=4近，

•1•（S四边形PAQB）min=4近，

【变式7-2]（2024高三•全国・专题练习）设尸为直线x—y=。上的动点，PA,依为圆C：（x-2）2+y2=1

的两条切线，切点分别为/，B,则四边形4PBC的周长的最小值为（）

A.3B.2+V3C.4D.2+2V3

【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线长定理将四边形周长表示为|PC|的函数求解.

【解答过程】依题意，圆（x-2）2+y2=1的圆心c（2,0）,半径r=l,

AC1PA,\PB\=\PA\=J\PC\2-1,

因此四边形4PBC的周长I=2\PA\+2\AC\=27|PC|2-1+2,

2

而=V2,当且仅当PC垂直于直线x-y=O时取等号,

|PC|min=7i2+（-i）2

所以四边形4P8C的周长的最小值为4.

【变式7-3］（2024•全国•模拟预测）已知4（—3,0）,8（0,3）,设C是圆Ml+、2-2%一3=0上一动点,则△4BC

面积的最大值与最小值之差等于（）.

A.12B.6V2C.6D.3V2

【解题思路】求出C到直线力B的距离的最大值与最小值，结合面积公式做差即可得.

【解答过程】因为直线4B与圆M:（x—l）2+y2—4相离，

设圆心到直线=x+3的距离为d,

则d=^=2«又圆M的半径为2,

所以C到直线4B的距离的最小值为d-r=2V2-2,

C到直线48的距离的最大值为d+r=2e+2,

因此△4BC面积的最大值与最小值之差等于：

嘤［（2V2+2）-（2或-2）］=苧X4=6V2.

故选：B.

【题型8数量积型最值（范围）问题】

【例8】（2024•陕西安康•模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线y=/-4x+l与坐标轴的交点都在圆C上，

4B为圆C的直径，点P是直线3久+4丫+10=0上任意一点；则刀•丽的最小值为（）

A.4B.12C.16D.18

-2

【解题思路】由题意求出圆C的方程，根据数量积的运算律求得刀•丽的表达式PC-4,确定当I定I为圆

心到直线3x+4y+10=0的距离时，PA-方取最小值，结合点到直线的距离即可求得答案.

【解答过程】对于曲线y=/-4x+1,令x=0,则y=l；令y=0,贝i］x=2±g,

曲线y=x2-4x+1与坐标轴的交点分别为（0,1）,（2-旧,0）,（2+V3,0）,

设圆心C(2,t),由J(0—2)2+(l—t)2=J(2+VJ—2)2+(0—t)2,得t=l,

则圆心为C(2,l),半径为2,所以圆C方程为(x-2)2+(y—1)2=4,

PA-PB=(PC+CA)-^PC+CB)=PC2+(CA+CB)-PC+CA-CB=PC2-4,

当|无I最小，即为圆心到直线3刀+4、+10=0的距离时，刀•丽取到最小值，

圆心C(2,l)到直线2:3%+4y+10=0的距离设为d,则d==4,

所以|玩|最小值为4,则丽•丽的最小值为42-4=12,

故选：B.

【变式8-1](2024•全国•模拟预测)已知圆。是圆心为原点的单位圆，48是圆。上任意两个不同的点，M

(2,0),则|加+而|的取值范围为()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,6)

【解题思路】设C为弦4B的中点，贝山加+丽|=2|而后由图形结合C点在圆内部可得答案.

【解答过程】设C为弦48的中点，则|加+话|=2|标因为48两点不重合，则直线与圆O相交，

所以点C在圆。内.

考虑点。为圆上或圆内一点，如图当且仅当。，O,M三点共线时，最长为|MO|+|0。|=3,因C在

圆内，则|MC|<3；

考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当O,E,"三点共线时，|EM|最短为|MO|—|。回=1,因C在圆

内，则

综上,当点C在圆。内时，\MC\&(1,3),则|以+丽|=2|前|c(2,6).

故选：D.

【变式8-2]（2024•河南开封•二模）已知等边△4BC的边长为方，尸为△4BC所在平面内的动点，且|万?

|=1,则而•丽的取值范围是（）

A.[-1目B.C.[1,4]D.[1,7]

【解题思路】首先建立平面直角坐标系且4（-孚0）,B（亨,0）,C（0,|）,进而确定P的轨迹圆，再利用向量数

量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可.

【解答过程】如下图构建平面直角坐标系，且做-郛），5（^,0）,C（0,|）,

所以P（x,y）在以4为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为（x+字<+>2=1,

而而=（^-x,-y）^PC=（-x,|-y）,故而•~PC=x2-x+y2-|y=O-乎）+（y-1）2-1,

综上，只需求出定点（霁）与圆（久+亨）+产=1上点距离平方的范围即可，

而圆心4与（孚怖）的距离d=J（^+^）2+（1）2=|,故定点除》与圆上点的距离范围为四，

4T-\424444乙乙

所以丽■PCe[-iy].

故选：B.

【变式8-3]（2024•河北唐山•二模）已知圆C：/+（y—3产=4,过点（0,4）的直线，与x轴交于点P,与圆C

交于4B两点，则而・（方+方）的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

【解题思路】作出线段4B的中点D,将不+而转化为2而，利用垂径定理，由图化简得而•9？+而）=2|

CD\2,只需求|而|的范围即可，故又转化成求过点M（0,4）的弦4B长的范围问题.

【解答过程】

如图，取线段4B的中点D,连接CD,则CD14B,

SCP-（C4+CB）=2CP-CO=2（CD+DP）-CO=2|CD|2,

因直线/经过点M（0,4）,考虑临界情况，

当线段中点。与点M重合时（此时CM14B）,弦长AB最小，此时CD最长，

为|CD|max=£M|=4—3=1,（但此时直线Z与x轴平行，点P不存在）；

当线段4B中点。与点C重合时，点P与点。重合，CC最短为0（此时符合题意）.

故而•（CA+方）的范围为［0,2）.

故选：D.

【题型9坐标、角度型最值（范围）问题】

【例9】（2024•江西•模拟预测）已知点时是圆乂2+、2=1上一点，点可是圆。（刀—3）2+}72=3上一点，贝IUCMN

的最大值为（）

【解题思路】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解.

【解答过程】圆％2+y2=1的圆心。（0,0）,半径T1=1,

圆C:（x—3）2+y2=3的圆心C（3,0）,半径上=W，

在三角形CMN中，|CN|=g,

根据正弦定理可得，1=导，即』=自，

所以sin/CAfN=V3sinzZWM

\CM\

因为|CM|N|CO|-ri=3—l=2,sinzCWM<1,

所以sin/CMNW孚,

因为所以NCMN是锐角,

所以“MN的最大值为去

故选：B.

【变式9-1］（2024•全国•模拟预测）已知直线Z：x—y+2=0与圆O：/+y2=i,过直线/上的任意一点p作圆

。的切线尸工,PB,切点分别为4,B,贝的最小值为（）

311—211—71—71

A4.彳—C.5D.q

【解题思路】由题意可得cos乙40P=高，可知当。尸最小时，乙40B最小，结合点到直线的距离公式运算

求解.

【解答过程】由题意可知：圆。：/+y2=i的圆心为。（0Q）,半径为1,

则圆心。到直线/的距离为号=&>1,可知直线I与圆。相离，

V2

因为N40B=2/AOP,且cosNAOP=

当|0P|最小时，则C0SN40P最大，可得N40P最小，即“0B最小,

又因为|0P|的最小值即为圆心。到直线Z的距离为VL

此时cos乙40P=与乙AOP=p所以乙40B取得最小值与

故选：C.

【变式9-2］（23-24高一下•河南洛阳•期末）在平面直角坐标系久Oy中，已知。（0,0）,4律,0）,曲线C上任

一点M满足10Ml=4|4M|,点P在直线y=鱼（%-1）上，如果曲线C上总存在两点到点P的距离为2,那么点P

的横坐标t的范围是（）

A.1<t<3B.1<t<4C.2<t<3D.2<t<4

【解题思路】根据|。"|=4|/1阳可求出曲线c的方程，根据曲线c上总存在两点到点P的距离为2,可得到点P

到圆心(4,0)的距离小于2+r,解不等式即可.

【解答过程】设M(x,y),因为M满足|OM|=4|4M|

152

汽2+y2=16[(%——)+y2]

4

化简得：。-4)2+y2=1

・•.曲线C的方程：(x—4)2+y2=i,圆心(4,0),半径r=l,

圆心(4,0)到直线y=遮(工—1)的距离d=詈=V6>r,

所以直线与圆相离，如图所示：

设点「亿鱼(匕-1)),只需点P到圆心(4,0)的距离小于2+r即可.

此时点P在点Pi与点P2之间