2025年中考数学复习：几何最值-将军饮马问题（含解析）

几何最值专题一将军饮马问题

知识与方法

一、线段之和最短问题的基本图形

一般来说，线段和最短的问题，往往是利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明，关

键是找点关于线的对称点实现“折”转“直”.

1.两定点一动点——可化为：两点之间，线段最短已知:如图3-1-1,在直线1同侧有A,B两点，在1上找一点

P,使得AP+PB最小.

•B

A-

---------------/

图3-1-1

作法：如图3-1-2，作点A关于直线1的对称点A'z连接AB,与直线1的交点就是点P.

A'

图3-1-2

2.一定点两动点——可化为：两点之间，线段最短已知如图3-13在/MON内有一点P,在边ONQM上分别

找点Q,R,使得PQ+QR+RP最小.

作法:如图3-1-4,分别作点P关于射线ON,0M的对称点P；P”,连接PP”,与射线ON,OM的交点就是Q,R.

3.两定点两动点----可化为：两点之间，线段最短已知如图3-1-5,在/MON内有两点P,Q,在边OM,ON上

分别找点RS使得PR+RS+SQ最小.

作法:如图3-1-6,作点P关于射线OM的对称点P,作点Q关于射线ON的对称点Q；连接PQ,与射线

OM,ON的交点就是点R,S.

4.一定点两动点一可化为：垂线段最短

已知:如图3-1-7,在/MON内有一点P,在边OM,ON上分别找点R,Q,使得PR+QR最小.

作法:如图3-1-8,作点P关于射线OM的对称点P,作PQLON,垂足为QPQ与射线0M的交点就是R.

二、线段之差最大问题的基本图形

已知，如图3-1-9,在直线1同侧有A,B两点，在1上找一点P,使得PB-PA最大.

图3-1-9

作法：如图3-1-10,连接BA并延长，与直线1的交点就是点P.(三角形两边之差小于第三边)

图3-1-10

典例精析

例1(两定点一动点)如图3-1-11,在直角坐标系中，点A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐

标为1,且CA=CB在y轴上取一点D,连接AC,BC,AD,BD,使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为—

图3-1-11

答案：4+2V5

【简析】根据平行线的性质得到/BAC=45。，得到/C=90。,求得AC=BC=2/t^3-l-12/、B关于y轴的对称

点E,连接AE交y轴于D,则此时四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE过点E作EF±

AC交CA的延长线于F,根据勾股定理即可得到结论.

例2（一定点两动点）如图3-1-13,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点M为对角线AC上一动点，点N为边AB

上一动点，连接BM,MN,则BM+MN的最小值为.

【简析】同化异：如图3-1-14①，当动点个数超过一个时，我们解题时习惯先假设其中一动点为定点，如将点

N看作定点，即作定点B关于动点M所在的直线AC的对称点即可.

折化直：如图②，因点N为动点且在边AB上运动，则本题转化为定点B，到直线的最短距离问题，即当B'N

±AB时最短.即BM+MN的最小值为线段B'N的长.

图3-1-14

例3（一点两线）如图3-1-15,NAOB=60。点P是ZAOB内的定点且0P=倔，若M,N分别是射线

OA,OB上异于点O的动点，贝以PMN周长的最小值是（）

C.6D.3

图3-1-15

答案：D

【简析】分别作点P关于OAQB的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点M,N,连接OCQD,如图

3-1-16,利用轴对称的性质得MP=MC,NP=ND,OP=0D=0C=遮/BOP=/BOD,NAOP=NAOC,所以/

COD=2ZAOB=120°,利用两点之间线段最短判断此时APMN周长最小，作OHLCD于H,则CH=DH,然后利用

含30。角的直角三角形三边的关系计算出CD即可.

B

7c

图3-1-16

例4（两点两线）如图3-1-17,在AABC中,AC，BC,/B=3（T,E,F是线段AB的三等分点，P是线段BC上的动

点，Q是线段AC上的动点.若AC=3,则四边形EPQF周长的最小值是

答案：8

【简析】如图3-1-18,作点E关于BC的对称点E,作点F关于AC的对称点F,则EP+PQ+QF=

E'P+PQ+QF：连接EF交BC于点P,交AC于点Q此时E'F'+EF是四边形EPQF周长的最小值，EF=^AB=

2,构造直角三角形EFG,利用勾股定理可求得EF'.

例5（线段之差）如图3-1-19,已知直线MN与MN异侧两点A,B,在MN上求作一点P,使PA-PB最大.说说你的

理由

A.

M------------------------------N

B,

图3-1-19

【简析】如图3-1-20,

作法：①作点B关于直线MN的对称点C；

②连接AC,并延长AC与直线MN相交，交点为P,则点P即为所求的点.

理由如下：在MN上任取一点D（不与点P重合），连接AD,BD,CD.

因为直线MN是点B,C的对称轴，点D,P在MN上，

所以DC=DB,PC=PB,所以PA-PB=PA-PC=AC,

在AADC中，因为DA-DC<AC,

所以PA-PB>DA-DB,

即PA-PB最大.

进阶训练

1.如图3-1-21,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点，则ABFE周长的最

小值为（）

图3-1-21

A.5B.6

C.7D.8

2.如图3-1-22,在RtAAOB中,/人08=90。,0人=3,08=4以点0为圆心,2为半径的圆与08交于点。过点C作

CDLOB交AB于点D,点P是边0A上的动点.当PC+PD最小时，0P的长为（）

图3-1-22

3

AB.-C.1D

.I41

3.如图3-1-23抛物线y=产+2x-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意

一点.若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点，连接DE,DF,则DE+DF的最小值为.

4.如图3-1-24,反比例函数y=3k为常数，且厚0)的图象经过点A(l,3),B(3,m)在x轴上找一点P,使PA+PB

的值最小，则点P最小值为.

图3-1-25

5.如图3-1-25在扇形BOC中,/BOC=60o,OD平分NBOC交BC于点D点E为半径0B上一动点.若

OB=2,则阴影部分周长的的坐标为.

6.如图3-1-26,四边形ABCD中,DA_LAB,CB，AB,AD=3,AB=5,BC=2,P是AB上一动点则PC+PD的

最小值是__________

图3-1-26图3-1-27

7.如图3-1-27,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3矩形内部有一动点P满足SAPAB=|s矩形ABCD,则点P到

A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为.

8.如图3-1-28①，在AABC中,AB=AC,/BAC=120。,点E是边AB的中点，点P是边BC上f点，设

PC=x,PA+PE=y.图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，那么a+b的值为.

图3-1-28

9.如图3-1-29在菱形ABCD中，AC=6&,BD=6,E是BC边的中点,P,M分别是AC,AB上的动点，连接

PE,PM,则PE+PM的最小值是.

10.如图3-1-30,在R3ABC中,/BAC=9(T,AB=3,AC=6V^,D,E分别是边BC,AC上的动点，贝！|DA+DE的最

小值为,

11.如图3-1-31在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P

为对角线BD上一点则PM—PN的最大值为.

12.如图3-1-32直线AB与反比例函数y=：(x>0)的图象交于A,B两点,已知点A的坐标为(6,1),点B的坐

标为(2,m).动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，点P的坐标为.

13.如图3-1-33,直线y=|%+3分别与x轴，y轴交于点A,B,抛物线y=-/+2x+1与y轴交于点C.

若点E在抛物线.y=-%2+2x+l的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为.

14.如图3-1-34,ZMON=30°,A在OM上,OA=2,D在ON上,OD=4,C是OM上任意一点，B是ON上任意

一点，则折线段ABCD的最短长度为.

15.已知菱形ABCD的面积为2V3,E是一边BC上的中点，P是对角线BD上的动点.连接AE.若AE平

分NBAC,则线段PE与PC的和的最小值为最大值为

16.(1)如图3135①，等边三角形ABC中,AB=2,E是AB的中点,AD是高，在AD上作出点P,使BP+EP的

值最小，并求BP+PE的最小值.

(2)如图②，已知。。的直径CD为2,AC的度数为60。,点B是…4c的中点在直径CD上作出点P使BP+AP

的值最小，并求BP+AP的最小值.

(3)如图③，点P是四边形ABCD内一点BP=m,NABC=a,分别在边AB,BC上作出点M,N，使APMN的周长

最小，并求出这个最小值(用含m,a的代数式表示).

图3-1-35

17.观察发现

如图3-1-36①若点A,B在直线1同侧,在直线1上找一点P,使AP+BP的值最小.

作法如下：作点B关于直线1的对称点B1,连接AB1,与直线1的交点就是所求的点P.

实践运用

如图②，菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB=BD,AC=8,P是对角线AC上的一个动点,M是AB的

中点，求PM+PB的最小值.

拓展延伸

如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使NAPB=NAPD保留作图痕迹，不必写出作法.

图3-1-36

18.如图3-1-37①，等边三角形ABC的边长为6,AD,BE是两条边上的高，点O为其交点.P,N分别是BE,BC上

的动点.

⑴当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

⑵如图②，若点Q在线段BO上,BQ=1,求QN+NP+PD的最小值

A

图3-1-37

答案

专题一将军饮马问题

I进阶训练I

1.B［解析］连接ED交AC于点F,连接BF.

四边形ABCD是正方形，

•••点B与点D关于AC对称.，BF=DF.

ABFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时周长最小.

•••正方形ABCD的边长为4,

AD=AB=4,ZDAB=90°.

••,点E在AB上且BE=1,

；.AE=3.

DE=y/AD2+AE2=5.

ABFE的周长=5+1=6.

故选B.

2.B［解析］延长CO交。O于点E,连接ED,交AO于点P,如图，此时PC+PD最小.

VCDXOB,

ZDCB=90°.

又NAOB=90°,

:.NDCB二NAOB.

・・・CD〃AO.

.BC_CD

••BO-AO'

VOC=2,OB=4,ABC=2.

.1=拳解得CD=j.

即解得PO=-,VCDZ/AO,.*.BC=DC,-=学，故选B.

44

2

3.手［解析］•••点P是抛物线对称轴上一点，・••AP=PB.；.PB+PC=PA+PC.连接AC,与对称轴交于点P,

此时PC+PB最小.

•.•点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点，

11

•••DE=-PC,DF=-PB.

22

.♦.当PC+PB最小时,DE+DF最小.

在二次函数y=X1+2x-3中，当x=0时,y=-3.

当y=0时,x=-3或x=l.

.,.A(-3,0),B(l,0),C(0,-3),OA=OC=3,AC=A/32+32=3A/2.

.•.PB+PC的最小值为3V2,

.-.DE+DF的最小值为：\(PB+PC)=当.

故答案为言.

4.(|,0)［解析］把A(l,3)代入y=禧k=lx3=3,

；・反比例函数解析式为y=|.

把B(3,m)代入V=潍3m=3,解得m=l.

，B点坐标为(3,1).

作A点关于x轴的对称点A1,连接BA交x轴于P点则A,(l,-3).

•••PA+PB=PA'+PB,

此时PA+PB的值最小.

设直线BA，的解析式为y=ax+n把A，(1,-3),B(3,1)代入得｛紫f：二:'解得｛。

I十71—1,1几=一□.

；•直线BA的解析式为y=2x-5,

当y=0时,2x-5=0,解得x=|,；.P点坐标为（（|,0）.

5.2V2+三［解析］：Ck=CE+DE+lco,：.C阴影最短，则CE+DE最短.

3圆形737

如图，作扇形BOC关于0B对称的扇形BOA,连接AD交OB于E,

贝CE=AE,

?.CE+DE=AE+DE=AD.

此时E点满足CE+DE最短,CE+DE的最小值为AD的长.

ZCOB=ZAOB=60°,OD平分/BOC,

ZDOB=30°,ZDOA=90°.

,/OB=OA=OD=2,

AD=722+22=2V2.

「CD的长：=曙=今

，C阴影最短为2V2+J

故答案为2V2+J

6.5V2［解析］如图，作点C关于AB的对称点C,连接CD,交AB于P点,PC+PD的最小值即为CD的

长,

作CEJ_DA的延长线于点E,

易矢口四边形ABCE是矩形,BC'=BC=2,AE=BC=2,EC=AB=5.

；.DE=AD+AE=5.

•••CD=V52+52=5V2.

E......C

7.4V2［解析］设^ABP中AB边上的高是h.

丁SpAB=^ABCD>

112

.：-AB-h=-AB-AD..：h=-AD=2.

.♦.动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，如图，作A关于直线1的对称点E,连接BE,交直

线1于点P,则点P满足PA+PB最小,PA+PB的最小值为BE的长.

在RtAABE中,：AB=4,AE=2+2=4,

BE=VXB2+AE2=442+42=4位.

•••PA+PB的最小值为44V2a

故答案为：4V28隼―c

F

8.7［解析］•.•点E是边AB的中点，.•.AE=BE=\AB.从图象中可以看出，当x的值最大时,所对应的函

数值是3V3,此时点P恰与点B重合.此时PA+PE=AB+|XS=1AB=3代得AB=2陋=AC,AE=BE=

遍如图，作点E关于BC的对称点F,连接AF交BC于点P,此时PA+PE有最小值，即是AF长.连接BF,EF.V

在AABC中,AB=AC,/BAC=120。，；./ABC=/C=30。.由轴对称可得BF=BE,ZABC=ZFBP=30°.ZEBF=60°./.

△EBF是等边三角形.；.EF=BE.：AE=BE,AE=BE=EF./AFB=90。.4ABF是直角三角形AF=AB-sin/

ABF=2V3sin600=2V3xy=3,即a=3.在AABF中,/AFB=90°,ZABF=60°,AZBAF=30°.

VZBAC=120°,/.ZPAC=ZBAC-ZBAF=

90cosC=cos30°="=?；.PC=贵=4,即b=4,二a+b=7.

9.2遥［解析］如图，作点E关于AC的对称点E,过点E作EM_LAB于点M,交AC于点P,

则点P,M即为使PE+PM取得最小值的点,PE+PM的最小值为E'M的长.

•••四边形ABCD是菱形，

•••点E在CD上.

•••AC=6V2,BD=6,

•••AB=J(3应J+32=3V3.

由=工453。=43/，时得工*6a*6=3旧万，”，

麦形ABCD22

解得：E'M=2V6,

即PE+PM的最小值是2V6

10.争解析］如图，作点A关于BC的对称点A1连接AA；交BC于F,过点A作A，E_LAC于E.交BC于D,则

AD=AD,此时AD+DE的值最小，最小值为A'E的长.

在RtAABC中,NBAC=90o,AB=3,AC=6V2

BC=J32+（6A/2）2=9,

11

SABC=^AB-AC=^BC-AF.

：.3x6V2=94F.角星彳导AF=2V2.

•••AA'=2AF=4V2.

ZA'FD=ZDEC=9O°,ZA'DF=ZCDE,

=ZC.

/.AEA'=/.BAG=90°,

AAAEA'^ABAC.

.AA^__BC_.4A/2__9_

"A'E-AC■-ArE-6V2*

A'E=—,

3

即AD+DE的最小值是y

故答案为：y

11.2［解析J作点M关于BD的对称点M；根据正方形的对称性可知M，在AB上且.=2,连接PM；则.

PM'=PM,

•••PM-PN=PM'-PN<M'N.

如图，当M；N,P共线时,PMiPN=MN,取到最大值.

AAM'N^AABC,

即AAMN是等腰直角三角形.

•,.M'N=AM'=2.

；.PM-PN的最大值为2.

12.(0,4)［解析］将A(6,l)的坐标代入y=式行0)得：1=*解得:k=6,

•••y=沁)0).

将点B(2,m)的坐标代入y=：(x>0)得：m=|=3,

二点B的坐标为(2,3).

•；A,B,P三点组成三角形或共线，当组成三角形时，三角形的任意两边之差小于第三边，即PA-PB<AB,当

共线时PA-PB=AB,

•••当A,B,P三点在一条直线上时，PA与PB的差最大.

设直线AB的解析式为y=ax+b,将A(6』),B(2,3)代入y=ax+b,

得解得：卜=/

(3=2a+b,1b=4.

，直线AB的解析式为y=-|x+4.

当x=0时,y=4,

...点P(0,4).

13.y［解析］由题意可知，抛物线的对称轴为直线x=l,A点的坐标为(-4,0),B点坐标为(0,3),C点坐标为(0,1).

作点C关于直线x=l的对称点C,则C(2,l).过点C作CFLAB于点F,且与对称轴交于点E止匕时FC的长为CE+EF

的最小值.连接CBCA,作C1K±x轴于点K,则SABC，=SLB0+SABC，K0B-Sc，.，即jx3x4+|x(l+3)x

2-［X1X6=.FC懈得FL=",,则CE+EF的最小值是,

14,2V5［解析］作点D关于OM的对称点D；作点A关于ON的对称点A；连接AD；AD与OM,ON的交

点就是C,B.圣

It匕时AB+BC+CD=A'B+BC+CD'=4。为最短长度.连接OA；OD.

易知(。£>'=0D=4,OA'=0A=2,^D'OA,=90°,A'D'=V42+22=2乘."A，

15.V32+V7［解析］根据题意可画出图形，如图所示，过点B作BF/7AC交AE的延长线于点F，连接AP,

/.ZF=ZCAE,ZEBF=ZACE.木、”。

W

,••点E是BC的中点，

；.BE=CE.

AACE^AFBE(AAS).

，BF=AC.

VAE平分/BAC,；.ZBAE=ZCAE.

ZBAE=ZF..\AB=BF=AC.

在菱形ABCD中,AB=BC,，AB=BC=AC,即AABC是等边三角形.

ZABC=60°.

设AB=a，则BD=V3a,

•菱形ABCD的面积=^AC-BD=28，

即|•a-yf3a=2A/3,

；.a=2,即AB=BC=CD=2.

四边形ABCD是菱形，

点A和点C关于BD对称.

；.PE+PC=AP+EP.

当A,P,E三点共线时,AP+EP的和最小,此时AE=V3.

当点P和点D重合时，PE+PC的值最大，此时PC=DC=2,如图过点D作DGLBC交BC的延长线于点G,

连接DE,

；AB〃CD,/ABC=60。,，ZDCG=60°.

CG=1,DG=V3..-.EG=2.

DE=yjEG2+DG2=J22+(旧了=夕，此时PE+PC=2+夕，

即线段PE与PC的和的最小值为V3,最大值为2+V7.

16.解:⑴如图①，作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P.

线段CE的长即为BP+PE的最小值.

A

BDC

①

AABC是等边三角形,E为AB中点，

1

.：BC=AB=2,BE=-AB=1,CE1AB.

•••CE=y/BC2-BE2=V3,

即BP+PE的最小值为V3

⑵如图②，作点B关于CD的对称点E,由圆的对称性可知点E在。。上.连接AE交CD于一点